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2014年高考数学(理)二轮热点专题突破讲练:第十五讲 直线与圆(含新题详解)


第十五讲

直线与圆

1.(直线方程)(2013· 福建高考)设点 P(x,y),则“x=2 且 y=-1”是“点 P 在直线 l:x +y-1=0 上”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 当 x=2 且 y=-1 时,满足方程 x+y-1=0,

即点 P(2,-1)在直线 l 上.点 P′(0,1)在直线 l 上,但不满足 x=2 且 y=-1,∴“x=2 且 y=-1”是“点 P(x,y)在直线 l 上”的充分而不必要条件. 【答案】 A 2.(直线与圆的位置关系)已知圆 C:x2+y2-4x=0,l 是过点 P(3,0)的直线,则( A.l 与 C 相交 C.l 与 C 相离 【解析】 B.l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能 )

圆的方程可化为(x-2)2+y2=4,易知圆心为(2,0),半径为 2,圆心到点 P

的距离为 1,所以点 P 在圆内.所以直线与圆相交.故选 A. 【答案】 A 3.(弦长计算)(2013· 安徽高考)直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦 长为( A.1 C.4 ) B.2 D.4 6

【解析】 圆的方程可化为 C:(x-1)2+(y-2)2=5,其圆心为 C(1,2), 半径 R= 5.如图所示,取弦 AB 的中点 P,连接 CP,则 CP⊥AB,圆心 C 到 直线 AB 的距离 d=|CP|= |1+4-5+ 5| 1 +2
2 2

=1.在 Rt△ACP 中,|AP|= R2-d2=

2,故直线被圆截得的弦长|AB|=4. 【答案】 C 4.(两直线的位置关系)已知直线 l1:x-2my+3=0,直线 l2 的方向向量 为 a=(1,2),若 l1⊥l2,则 m 的值为________. 【解析】 由直线 l2 的方向向量为 a=(1,2),知直线 l2 的斜率 k2=2,∵l1⊥l2,∴直线 1 l1 的斜率存在,且 k1= , 2m 1 由 k1· k2=-1,即 · 2=-1,得 m=-1. 2m 【答案】 -1 5.(圆的方程)(2013· 江西高考)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则 圆 C 的方程是________. 【解析】 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0), 所以设圆心为(2, m). 又因为圆与直线 y=1 相切, 所以 ?4-2?2+?0-m?2=|1-m|, 所以 m2+4=m2-2m+1, 3?2 25 3 解得 m=- ,所以圆的方程为(x-2)2+? ?y+2? = 4 . 2 3?2 25 【答案】 (x-2)2+? ?y+2? = 4

直线的方程

(1)(2013· 济南调研)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y=0 与直 线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 条件 (2)过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交点,且到点 P(0,4)距离为 2 的 直线方程为________. 【思路点拨】 (1)先求出两条直线平行的充要条件,再判断;(2)联立 l1,l2 的方程,求 交点坐标,利用待定系数法求直线方程. 【自主解答】 (1)若直线 l1 与 l2 平行,则 a(a+1)-2×1=0,即 a=-2 或 a=1, ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要

∴a=1 是直线 l1 与直线 l2 平行的充分不必要条件.
?x-2y+3=0, ?x=1, ? ? (2)由? 得? ?2x+3y-8=0, ?y=2. ? ?

∴l1 与 l2 交点为(1,2), 直线 x=1 显然不适合. 设所求直线为 y-2=k(x-1),即 kx-y+2-k=0, |-2-k| ∵P(0,4)到直线距离为 2,∴2= , 1+k2 4 ∴k=0 或 k= . 3 ∴直线方程为 y=2 或 4x-3y+2=0. 【答案】 (1)A (2)y=2 或 4x-3y+2=0

1.第(1)题利用两直线平行的充要条件,避免了分类讨论.第(2)题利用点斜式求直线方 程,要注意判定直线的斜率是否存在. 2.直线与直线的位置关系的判定方法 (1)给定两条直线 l1:y=k1x+b1 和 l2:y=k2x+b2,则有下列结论: l1∥l2?k1=k2 且 b1≠b2;l1⊥l2?k1· k2=-1. (2)若给定的方程是一般式,即 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x+B2y+C2=0,则有下列 结论: l1∥l2?A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1≠0 或 A1C2-A2C1≠0; l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

变式训练 1

(1)(2013· 天津高考)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与

直线 ax-y+1=0 垂直,则 a= ( 1 A.- 2 B.1 C.2 1 D. 2 )

(2)(2013· 四川高考)在平面直角坐标系内,到点 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距 离之和最小的点的坐标是________. 【解】 (1)由题意知圆心为(1,0),由圆的切线与直线 ax-y+1=0 垂直,可设圆的切线 方程为 x+ay+c=0,由切线 x+ay+c=0 过点 P(2,2),∴c=-2-2a, ∴ |1-2-2a| = 5,解得 a=2. 1+a2

(2)设平面上任一点 M,因为|MA|+|MC|≥|AC|,当且仅当 A,M,C 共线时取等号,同 理|MB|+|MD|≥|BD|,当且仅当 B,M,D 共线时取等号,连接 AC,BD 交于一点 M,若|MA| +|MC|+|MB|+|MD|最小,则点 M 为所求. 6-2 又 kAC= =2,∴直线 AC 的方程为 y-2=2(x-1), 3-1 即 2x-y=0.① 5-?-1? 又 kBD= =-1, 1-7 ∴直线 BD 的方程为 y-5=-(x-1), 即 x+y-6=0.②
?2x-y=0, ?x=2, ? ? 由①②得? ∴? ∴M(2,4). ? ? ?x+y-6=0, ?y=4,

【答案】

(1)C (2)(2,4) 圆的方程

若圆 C 的半径为 1, 圆心在第一象限, 且与直线 4x-3y=0 和 x 轴相切, 则圆 C 的标准方程是( )

A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-1)2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+(y-1)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1 【思路点拨】 设圆心坐标,利用直线与圆相切的条件,得圆心坐标的方程,进而求待 定系数,得圆 C 的方程. 【自主解答】 因为圆 C 与 x 轴相切,半径 r=1,且圆心在第一象限,

∴圆心的纵坐标为 1,设圆心为 C(a,1)(a>0). 又直线 4x-3y=0 与圆 C 相切, |4a-3×1| ∴d= =1, 5 1 解之得 a=2 或 a=- (舍). 2 故点 C(2,1),则圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=1. 【答案】 A

1.本题抓住圆 C 与 x 轴相切,确定圆心纵坐标为 1,减少待定参数,优化了解题过程. 2.求解圆的方程,一般利用待定系数法,即确定待定方程中的参数取值,但一定要注 意圆的几何性质的灵活应用, 要熟练掌握平面几何中确定圆心和半径的基本方法, 如圆心在 弦的中垂线上、直线和圆相切、其切点在圆上且圆心到直线的距离等于圆的半径等. 变式训练 2 已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被该圆所 截得的弦长为 2 2,则圆 C 的标准方程为________. 【解析】 设圆心坐标为(a,0)(a>0),由于圆过点(1,0),则半径 r=|a-1|,圆心到直线 x |a-1| -y-1=0 的距离为 d= . 2 由弦长为 2 2可知?

?|a-1|?2=(a-1)2-2,解得(a-1)2=4,∴a=3 或 a=-1(舍去). ? ? 2 ?

故圆心为(3,0),半径为 2,所求圆的方程为(x-3)2+y2=4. 【答案】 (x-3)2+y2=4 直线与圆的位置关系

在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为圆心的圆与直线:x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)若圆 O 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,且|MN|=2 3,求直线 MN 的方程; →→ (3)圆 O 与 x 轴相交于 A, B 两点, 圆内的动点 P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列, 求PA· PB 的取值范围. 【思路点拨】 (2) (1) 直线与圆相切 → 求半径 → 求圆方程

设MN的方程 写MN → 利用|MN|=2 3,求m → 2x-y+m=0 的方程

(3)利用|PO|2=|PA||PB|建立动点 P(x,y)中变量 x,y 的等量关系,利用点与圆的位置关

→→ 系求PA· PB的范围. 【自主解答】 即 r= (1)依题意,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y=4 的距离,

4 =2. 1+3

所以圆 O 的方程为 x2+y2=4. (2)由题意,可设直线 MN 的方程为 2x-y+m=0. 则圆心 O 到直线 MN 的距离 d= |m| . 5

m2 由垂径分弦定理得: +( 3)2=22,即 m=± 5. 5 所以直线 MN 的方程为:2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0. (3)不妨设 A(x1,0),B(x2,0),x1<x2.由 x2=4 得 A(-2,0),B(2,0). 设 P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得 ?x+2?2+y2· ?x-2?2+y2=x2+y2,即 x2-y2=2. →→ 因为PA· PB=(-2-x,-y)· (2-x,-y)=2(y2-1).
2 2 ? ?x +y <4, ? 由于点 P 在圆 O 内,故 2 2 由此得 y2<1. ?x -y =2. ?

→→ 所以PA· PB的取值范围为[-2,0).

→→ 1.本题(3)在求解过程中常因忽视条件 x2-y2=2 的限制作用使所求PA· PB的范围变大. 2.与弦长有关的问题常用几何法,即利用圆的半径 r,圆心到直线的距离 d,及半弦长 l 构成直角三角形的关系来处理. 2 3.讨论点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几 何性质寻找解题途径,减少运算量. 变式训练 3 (1)(2013· 重庆高考)设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上的动点,Q 是直线 x=

-3 上的动点,则|PQ|的最小值为 ( A.6 B.4 C.3 D.2 )

(2)(2013· 课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2, 在 y 轴上截得线段长为 2 3. ①求圆心 P 的轨迹方程;

②若 P 点到直线 y=x 的距离为

2 ,求圆 P 的方程. 2

【解析】 (1)如图,圆心 M(3,-1)与定直线 x=-3 的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6, 又圆的半径为 2,故所求最短距离为 6-2=4.

【答案】 B 【解】 (2)①设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题设 y2+2=r2,x2+3=r2,从而 y2+2=x2+3. 故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. |x0-y0| 2 ②设 P(x0,y0).由已知得 = . 2 2 又 P 点在双曲线 y2-x2=1 上,
? ?|x0-y0|=1, 从而得? 2 2 ?y0-x0=1. ? ? ? ?x0-y0=1, ?x0=0, 由? 2 2 得? ?y0-x0=1 ?y0=-1. ? ?

此时,圆 P 的半径 r= 3.
? ? ?x0-y0=-1, ?x0=0, 由? 2 2 得? 此时,圆 P 的半径 r= 3. ?y0-x0=1 ?y0=1, ? ?

故圆 P 的方程为 x2+(y+1)2=3 或 x2+(y-1)2=3.

从近两年高考看,直线与圆是高考的热点,主要涉及直线方程、圆的方程、直线与圆相 切(交)的切线方程(或弦长计算).预计 2014 年高考仍以直线和圆的位置关系为核心,以客观 题的形式进行命题.求解时应注意几何图形的性质的应用,重视数形结合的数学思想.

以形助数巧求最小值 已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为________.

【解析】 设 P(x,0),C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C1′(2,-3), 那么|PC1|+|PC2|=|PC1′|+|PC2|≥|C′1C2|= ?2-3?2+?-3-4?2=5 2. 而|PM|=|PC1|-1,|PN|=|PC2|-3, ∴|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5 2-4. 【答案】 5 2-4 【阅卷心语】 易错提示 (1)弄不清圆 C 外一点 A 到圆上一点距离的最小值为|AC|-r,最大值为|AC|

+r,难以将所求问题 转化为求|PC1|+|PC2|的最小值.(2)数形结合思想意识差,难以作出 C1 关于 x 轴的对称 点 C′1,求不出|PC1|+|PC2|的最小值. 防范措施 (1)涉及圆的几何最值,要充分考虑圆的几何性质由形思数;(2)若两点 P1,

P2 在直线 l 的同侧, 直线 l 上的点 P 到 P1 与 P2 的距离和最小, 宜作 P1 关于 l 的对称点 P1′, 则|P1′P2|为所求的最小值.

1. 已知点 M(a, b)在圆 O: x2+y2=1 外, 则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是________. 【解析】 由题意知点在圆外,则 a2+b2>1,圆心到直线的距离 d= 线与圆相交. 【答案】 相交 2.已知直线 l 经过坐标原点,且与圆 x2+y2-4x+3=0 相切,切点在第四象限,则直 线 l 的方程为________. 1 <1,故直 a +b2
2

【解析】 由题易知,圆的方程为(x-2)2+y2=1,圆心为(2,0),半径为 1,如图,经过 原点的圆的切线的倾斜角为 150° , 切线的斜率为 tan 150° =- x. 3 3 , 故直线 l 的方程为 y=- 3 3

【答案】 y=-

3 x 3


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