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切比雪夫I型数字滤波器的设计


数字信号处理原理及实现 课程设计报告

题 专

目 业

切比雪夫 I 型数字滤波器的设计 电子信息工程 黄 亚 胜 090305041 2009 级 邓 班级 凯 5班

学生姓名 学 年 号 级

指导教师 设计时间

2011

年<

br />
12



21



目录

一、数字滤波器介绍 ............................................................. 1 二、数字滤波器的分类和设计方法 ..................................... 1 1、FIR 滤波器的特点及设计方法 ................................... 1 2、IIR 滤波器的特点及设计方法 .................................... 2 三、设计内容介绍 ................................................................... 5
3.1. 设计目的 ............................................................................... 5 3.2. 设计内容 ............................................................................... 5 3.3. 技术指标 ............................................................................... 5 3.4. 功能参数 ............................................................................... 5

四、MATLAB 编程实现 ......................................................... 6 五、总结 ................................................................................... 7

一、数字滤波器的介绍
数字滤波器处理模拟信号时,首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模 数转换。数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍,其 频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特性, 且以折叠频率即 1/2 抽样 频率点呈镜像对称。为得到模拟信号,数字滤波器处理的输出数字信号须 经数模转换、平滑。数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性 或复用、便于集成等优点。数字滤波器在语言信号处理、图像信号处理、 医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。

二、数字滤波器的分类和设计方法
数字滤波器有低通、高通、带通、带阻和全通等类型。它可以是时不变的 或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。应用最广的是线性、 时不变数字滤波器,以及 FIR 滤波器。

1、 FIR 滤波器的特点及设计方法 、
一个截止频率为 ω c (rad/s)的理想数字低通滤波器,其传递函数的表达式:
?e ? jωτ , ω ≤ ω c ? H d ( e jω ) = ? ?0, ω c ≤ ω ≤ π ?

由上式可以看出,这个滤波器在物理上是不可实现的,因为冲激响应具有无 限性和因果性。为了产生有限长度的冲激响应函数,我们取样响应为 h(n) ,长度 为 N,其系数函数为 H (z ) :
H ( z ) = ∑ h( n ) z ? n
n =0 N ?1

用 h(n) 表示截取 hd (n) 后冲激响应,即 h(n) = ω (n)hd (n) ,式子中 ω (n) 为窗函数, 长度为 N。当 τ=(N-1)/2 时,截取的一段 h(n) 对(N-1)/2 对称,可保证所设计的滤 波器具有线性相位。

2、IIR 滤波器的特点及设计方法 、
典型的模拟低通滤波器的指标如下: ? P , ? S 分别为通带频率和阻带频 率 , δ P ,δ S 分 别 为 通 带 和 阻 带 容 限 ( 峰 波 纹 值 ) 在 通 带 内 要 求 。

1 ? δ P ≤ H a ( J ?) ≤ 1 ,有时指标由通带最大衰减 α p 和阻带最小衰减 α s 给出, 定
义如下: α p = ?20 lg(1 ? δ p ) 和 α s = ?20 lg(δ s ) 第二种常用指标是用参数 ε 和 A 表示通带和阻带要求,如图所示:

二者之间的关系为: ε = [(1 ? δ p ) ?2 ? 1]1/ 2 和 δ s = 1/ A ,根据这几个参数可导出 另外两个参数 d,k,分别称为判别因子和选择性因子。
d=

ε
A2 ? 1

k = ? p / ?s

BUTTERWORTH 低通滤波器:幅度平方函数定义为 H a ( J ?) =
2

1 , 1 + (? / ? c ) 2 N

N 为滤波器阶数, ? c 为截止频率。当 ? = ? c 时,有 H a ( J ?) = 1/ 2 ,为 3DB 带

宽。 BUTTERWORTH 低通滤波器系统函数有以下形式:

H a ( s) =

?c N

∏(s ? sk )
k =1

N

=

s + a1 s
N

N ?1

1 + ... + aN ?1s + aN

由模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器, 必须建立好 s 平面和 z 平面的映射关系。 使模拟系统函数 H a ( s ) 变换成数字滤波器的系统函数 H ( z ) ,通常采用冲激相应 不变法和双线性变换法。冲激相应不变法存在频谱混叠现象,双线性变换法消除 了这一线象,在 IIR 数字滤波器的设计中得到了更广泛的应用。 2 1 ? Z ?1 ,将 s = j? 和 z = e jw 待入数 s 平面和 Z 平面的映射关系为 s = f ( Z ) = ?1 Ts 1 + Z
w 字频率和等效的模拟频率之间的映射关系: = tan( ) , 由于二者不是线性关系, ? 2 所以称为预畸变。

三、设计内容介绍
3.1. 设计目的
通过本次课程设计巩固所学的理论知识。 提高综合运用所学理论知识独立分 析和解决问题的能力。更好地将理论与实践相结合。掌握信号分析与处理的基本 方法与实现。熟练使用 MATLAB 语言进行编程实现。

3.2 设计内容
一个信号含有两个频率分量 100Hz 和 130Hz, 现要将 130Hz 分量衰减 50dB, 而通过的 100Hz 分量衰减小于 2dB。 设计一个最小阶次的切比雪夫 I 型数字滤波 器完成这个滤波功能,画出幅度响应并对设计予以确认。

3.3 技术指标
从设计内容的要求分析得知,所设计滤波器的指标为: 阻带截止频率:fs=130Hz;通带截止频率:fp=100Hz;通带最大衰减:Rp=2dB; 阻带最小衰减:As=50dB;取采样频率为 Fs=500HZ

3.4. 功能参数
由于题目要求使用切比雪夫 I 型滤波器来完成该滤波功能。 结合技术指标可 以算出所需要的各参数。I 型切比雪夫滤波器的幅度平方函数是

| H C ( j? ) | 2 =

1 2 1 + ε 2 C N (? / ? c )

从公式 1 中我们可以看出需要计算出 ε 和 N 。

边带频率 ? p ,通带最大衰减 α p =0.1dB、阻带最大衰减 α s =50dB、阻带截止 频率 ? s ,它们满足

ε = 10

0.1a p

?1

ar cosh( 100.1as ?1 ? 1 / ε ) N≥ ar cosh(? s / ? p )
根据公式可以求出最小的切比雪夫 I 型滤波器阶数的 N 最小值。

四、MATLAB 编程实现
MATLAB 程序如下: fp=100;fs=130; Rp=2;Rs=50;Fs=500;T=1/ Fs; wp=2*pi* fp/Fs;ws=2*pi* fs/Fs; wp1=(2/T)*tan(wp*T/2);ws1=(2/T)*tan(ws*T/2); [n,wn]=cheb1ord(wp1,ws1,Rp,Rs,'s'); [c,d]=cheby1(n,Rp,wn,'s'); [b,a]=bilinear(c,d,Fs); [db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a); plot(w/pi,db);axis([0,1,-60,5]);title('幅频响应');

仿真图如下:

五、总结
这次课程设计,由于自己数字信号处理的理论课程跟不上进度,对数字滤 波器的设计缺少认识。而且需要运用 matlab 软件,所以比较吃力首先,设计滤 波器前一定要选好设计的方法。 这次课程设计采用切比雪夫 I 型来设计一个模拟 低通滤波器。其次,确定好参数。最后,用 MATLAB 软件编程式设计过程大为 简化。通过课程设计,加深了对课堂抽象概念的理解,巩固了课堂上所学的理论 知识,并能很好地理解与掌握数字信号处理中的基本概念、基本原理、基本分析 方法。同时掌握编程方法和解决实际问题的技巧。


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