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第一章力物体的平衡第五课时


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第一章力物体的平衡

第五课时物体的平衡 第一关:基础关展望高考 基 础 知 识 共点力作用下的平衡 知识讲解 1.平衡状态 一个物体在力的作用下保持静止或匀速直线运动状态,就说这个 物体处于平衡状态.如光滑水平面上做匀速直线滑动的物块,沿斜面 匀速直线下滑的木箱,天花板上悬挂的吊灯等,这些物体都处于平衡 状态. 2.共点力作用下的平衡条件 ①平衡条件:在共点力作用下物体的平衡条件是合力 F 合=0. ②平衡条件的推论 a.若物体在两个力同时作用下处于平衡状态,则这两个力大小相 等,方向相反,且作用在同一直线上,其合力为零,这就是初中学过的 二力平衡. b.若物体在三个非平行力同时作用下处于平衡状态,这三个力必
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定共面共点(三力汇交原理),合力为零,称为三个共点力的平衡,其中 任意两个力的合力必定与第三个力大小相等,方向相反,作用在同一 直线上. c.物体在 n 个非平行力同时作用下处于平衡状态时,n 个力必定 共面共点,合力为零,称为 n 个共点力的平衡,其中任意(n-1)个力的 合力必定与第 n 个力等大,反向,作用在同一直线上. 第二关:技法关解读高考 解 题 技 法 一、处理平衡问题的基本方法 技法讲解 1.力的合成法 物体受三个力作用而平衡时, 其中任意两个力的合力必定跟第三 个力等大反向.可利用力的平行四边形定则,根据正弦定理、余弦定 理或相似三角形等数学知识求解. 2.正交分解法

?

将各力分解到 x 轴上和 y 轴上, 运用两坐标轴上的合力等于零的 条件多用于

?

Fx=0 三个以上共点力作用下的物体的平衡.值得注意的是,
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对 x,y 方向选择时,

?

Fy=0,

尽能使较多的力落在 x,y 轴上,被分解的力尽可能是已知力,不宜分 解待求力. 3.力的三角形法 物体受同一平面内三个互不平行的力处于平衡时, 可以将这三个 力的矢量首尾相接,构成一个矢量三角形;即三个力矢量首尾相接, 恰好构成三角形,则这三个力的合力必为零,利用三角形法,根据正 弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力. 典例剖析 例 1 重为 G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ , 一人欲用最 小的作用力 F 使木块做匀速直线运动, 则此最小作用力的大小和方向 应如何?
解析:木块在运动中受摩擦力作用,要减小摩擦力,应使作用力 F

斜向上,设当 F 斜向上与水平方向的夹角为α 时,F 的值最小. (1)正交分解法

?

木块受力分析如图所示,由平衡条件列方程: Fcosα -μ FN=0 Fsinα +FN-G=0
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解得 F=

?G cos? ? ?sin?

如图所示,设 tan ? =μ , 则 sin ? ?
?
1? ? 2 ,cos? ? 1 1? ? 2

,则

cosα +μ sinα = 1 ? ? 2 (cos ? cosα +sin ? sinα ) = 1 ? ? 2 cos(α - ? ) 可见,当α = ? =arctanμ 时 F 有最小值, 即 Fmin=
?G
1? ? 2 .

由于 Ff=μ FN,故不论 FN 如何改变,Ff 与 FN 的合力方向都不会发 生改变.如图所示,合力 F1 与竖直方向的夹角一定为 ? =arctanμ , 力 F1、G、F 组成三角形,由几何极值原理可知,当 F 与 F1 方向垂
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直时,F 有最小值,由几何关系得:Fmin=G ? sin ? =

?G
1? ?
2

.

二、动态平衡问题的解决方法 技法讲解 所谓动态平衡是指通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢 变化,而在这个过程中物体始终处于一系列的平衡状态.解决动态平 衡问题常用以下几种方法: (1)矢量三角形法 抓住各力中的变化量与不变化量,然后移到矢量三角形中,从三 角形中就可以很直观地得到解答. (2)相似三角形法 将物体受的各力移到矢量三角形中,由矢量三角形与已知三角形 相似,利用几何关系进行求解. 典例剖析 例 2 如图甲所示,物体 m 在 3 根细绳悬吊下处于平衡状态,现用手 持绳 OB 的 B 端,使 OB 缓慢向上转动,且始终保持结点 O 的位置不动, 分析 OA,OB 两绳中的拉力如何变化?

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解析:物体始终处于平衡状态,对 O 点而言,受 3 个力作用,即 OC

对 O 点的拉力 F 不变,OA 对 O 点的拉力 F1 的方向不变,由平衡条件的 推论可知 F1 与 OB 对 O 点的拉力 F2 的合力 F′的大小和方向不变.现假 设 OB 绳转到图乙中 F′2 位置,用平行四边形定则可以画出这种情况 下的平行四边形,可以看到 F′,F′2 末端的连线恰为 F1 的方向.由此 可以看出,在 OB 绕 O 点转动的过程中,OA 中的拉力 F1 变小,而 OB 中的拉力 F2 先变小后变大.
答案:OA 绳中拉力变小,OB 绳中拉力先变小后变大

例 3 光滑半球面上的小球被一通过定滑轮的力 F 由底端缓慢拉到 顶端的过程中,试分析绳的拉力 F 及半球面对小球的支持力 FN 的变化 情况(如图所示).

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解析:如图所示,作出小球的受力示意图,注意弹力 FN 总与球面垂

直,从图中可得到相似三角形. 设球体半径为 R,定滑轮到球面的距离为 h,绳长为 L,根据三角形 相似得:
F mg FN mg ? , ? L h?R R h?R

由以上两式得 绳中张力 F=mg
L h?R R h?R

球面弹力 FN=mg

由于拉动过程中 h,R 均不变,L 变小,故 F 减小,FN 不变.
答案:F 减小,FN 不变

三、平衡问题中的临界和极值问题 技法讲解 1.临界状态 一种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态. 当某个物理量变化时,会引起其他一个或几个物理量的变化,从而使 物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现” ,或某个物理量 “恰好”“刚好”满足什么条件等.解决这类问题的基本方法是假设 、 推理法,即先假设某种情况成立,然后再根据平衡条件及有关知识进 行分析、求解.
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2.极值问题 平衡问题的极值, 一般是指在力的变化过程中出现的最大值或最 小值. 解决这类问题的常用方法是解析法, 即根据物体的平衡条件列出 方程,在解方程时,利用数学知识求极值,或根据物理临界条件求极 值.另外,图解法也是一种常用的方法,此方法是画一系列力的平行 四边形,根据动态平行四边形的边角关系,可以确定某个力的最大值 或最小值. 典例剖析 例 4 如图所示,倾角为 30°的斜面上有物体 A,重 10 N,它与 斜面间最大静摩擦力为 3.4 6 N,为了使 A 能静止在斜面上,物体 B 的重力应在什么范围内 (不考虑绳重及绳与滑轮间的摩擦力)?

解析:由于物体 B 重力不同,A 沿斜面滑动趋势不同,则受到的摩

擦力方向不同,受力情况不同. 假设 A 上滑,据 A 的受力情况,B 的重力 GB 应满足 GB>GAsin30° +Ff=8.46 N,为了使 A 不上滑,应有 GB≤8.46 N.
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假 设 A 下 滑 , 根 据 此 时 A 的 受 力 情 况 .B 的 重 力 应 满 足 GB+Ff<GAsin30°,则 GB<1.54 N,为了使 A 不下滑,应有 GB≥1.54 N. 欲使物体 A 不上滑也不下滑, B 的重力应满足 1.54 N≤GB≤8.46 则 N.
答案:1.54 N≤GB≤8.46 N

第三关:训练关笑对高考 随 堂 训 练 1.把重 20 N 的物体放在θ =30°的粗糙斜面上并静止, 物体的右端与固定于斜面上的轻弹簧相连接,如图所示, 若物体与斜面间最大静摩擦力为 12 N,则弹簧的弹力不可 能是( )

A.22 N,方向沿斜面向下 B.2 N,方向沿斜面向下 C.2 N,方向沿斜面向上 D.零
解析:当物体与斜面间最大静摩擦力方向沿斜面向上且大小为 12

N 时,由平衡条件可知,弹簧的弹力方向沿斜面向下,大小为 F1=Fμ -Gsinθ =2 N.当物体与斜面间最大静摩擦力方向沿斜面向下且大小 为 12 N 时,由平衡条件可知,弹簧的弹力的方向沿斜面向上,大小
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为 F2=Fμ +Gsinθ =22 N,故选项 B、C、D 正确.
答案:A

2.如图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水 平,O 点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的.一根细 线跨在碗口上,线的两端分别系有质量为 m1 和 m2 的小 球,当它们处于平衡状态时,质量为 m1 的小球与 O 点连线与水平线 的夹角为α =60°.两小球的质量比 m2m1 为( )

A.

3 3 2 3 3 2 2 2

B.

C.

D.

解析:方法一:设绳对球的拉力大小为 FT,对 m2 由平衡条件

可得 FT=m2g m1 受重力 m1g,绳的拉力 FT,碗面的支持力 FN, 由几何知识可 知,FT,FN 与水平线的夹角均为 60°,如图所示,由平衡条件可 得

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FNcos60°=FTcos60° FNsin60°+FTsin60°=m1g 以上各式联立解得
m2 =33 m1

方法二:设绳对球的拉力大小为 FT,对 m2 由平衡条件可得 FT=m2g m1 受重力 m1g,绳的拉力 FT,碗面的支持力 FN,由几何知识可 知,FT,FN 与水平线的夹角均为 60°,如图所示,由对称性得 FT=FN. 根据平衡条件可知 FT 与 FN 的合力 F 与 m1g 等大反向,则 F=2FTsin60°=m1g 以上各式联立解得
答案:A

m2 3 . ? m1 3

3.如图所示, 质量为 m 的物体在沿斜面向上的拉力 F 作用下, 沿放在水平地面上的质量为 M 的粗糙斜面匀速上 滑,此过程中斜面体保持静止,则地面对斜面( A.无摩擦力 B.有水平向右的摩擦力,大小为 F5cosθ C.支持力等于(m+M)g
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)

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D.支持力为(M+m)g-Fsinθ
解析:对小物块与楔形物块系统,分解恒力 F,由受力平衡,在竖

直方向(M+m)g=FN+Fsinθ ,即 FN=(M+m)g-Fsinθ ,故选项 D 正确; 摩擦力 Fμ =Fcosθ ,方向向左,选项 B 错.
答案:D

4.如图所示,木板 B 放在水平地面上,在木板 B 上放一重 1200 N 的 A 物体, 物体 A 与木板 B 间、 木板与地面间的动摩擦因数均为 0.2, 木板 B 重力不计,当水平拉力 F 将木板 B 匀速拉出,绳与水平方向成 30°时,问绳的拉力 T 为多大?水平拉力为多大?

解析:对 A 受力分析如图所示,由平衡条件得

f=Tcos30° Tsin30°+ FN =G
1

又 f=μ FN

1

解得 T=248 N,f=215 N, FN =1075 N
1

对物体 B 受力分析如图. 由于匀速拉出, 处于平衡状态, 根据平衡条件得
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F=f′+f 地=f+μ FN

2

FN 2 ? FN1 ? ? FN1 联立解得 F=430 N.
答案:248 N

430 N

5.一种简易“千斤顶” ,如图所示,一竖直放置的 T 形轻杆由于光滑限制套管 P 的作用只能使之在竖直方向 上运动,若轻杆上端放一质量 M=100 kg 的物体,轻杆的 下端通过一与杆固定连接的小轮放在倾角θ =37°的斜面体上,并将 斜面体放在光滑水平面上,现沿水平方向对斜面体施以推力 F,为了 能将重物顶起,F 最小为多大?(小轮与斜面体的摩擦和质量不计, g 取 10 m/s2)

解析:设斜面体的质量为 m,对物体、斜面体整体,由受

力平衡得,地面对斜面体的支持力 FN=Mg+mg 对斜面体受力如图. 分解轻杆对斜面体的压力,由受力平衡得 FN=mg+F1cosθ F=F1sinθ 由以上三式解得 F=Mgtanθ =100×10× N=750 N.
答案:750 N
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3 4

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课时作业五物体的平衡 1.用轻弹簧竖直悬挂质量为 m 的物体, 静止时弹簧伸长量为 L.现用该弹簧沿斜面方 向拉住质量为 2m 的物体,系统静止时弹簧伸 长量也为 L.斜面倾角为 30°,如图所示.则物体所受摩擦力( A.等于零 B.大小为
1 2

)

mg,方向沿斜面向下 C.大小为
3 mg,方向沿斜面向上 2

D.大小为 mg,方向沿斜面向上 解析:设弹簧的劲度系数为 k,竖直悬挂时 kL=mg①;将物体放在 斜面上时,设摩擦力为 f,根据物体的平衡条件:kL+f=2mgsin30° =mg②.由①②两式得:f=0. 答案:A 2.如图所示,用两根细线把 A、B 两小球悬挂在 天花板上的同一点 O,并用第三根细线连接 A、B 两 小球, 然后用某个力 F 作用在小球 A 上, 使三根细线 均处于直线状态,且 OB 细线恰好沿竖直方向,两小 球均处于静止状态.则该力可能为图中的( )

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A.F1 B.F2 C.F3 D.F4 解析:A 小球受三个力作用,重力 G、绳 子 OA 向上的拉力 T 和拉 力 F,绳子 AB 中没有拉力,只有 G、T、F 三力平衡,由平衡条件, 水平方向和竖直方向的合力都平衡,F4 只有水平向左的分量,不能平 衡 T 的水平向左的分量,D 不正确.F1 竖直分量总比 T 的竖直分量小, 所以, 水平向右的分量总比 T 的水平分量小, F1 不能平衡, 不正确, A BC 正确. 答案:BC 3.如图,质量为 M 的楔形物块静置在水平地面 上,其斜面的倾角为θ .斜面上有一质量为 m 的小物 块,小物块与斜面之间存在摩擦.用恒力 F 沿斜面向 上拉小物块,使之匀速上滑.在小物块运动的过程中,楔形物块始终 保持静止.地面对楔形物块的支持力为( A.(M+m)g B.(M+m)g-F C.(M+m)g+Fsinθ )

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D.(M+m)g-Fsinθ 解析:由于小物体匀速上滑,楔形物块保持静止,因此楔形物块 和小物块组成的系统处于平衡状态,系统所受的合力为零,竖直方向 的合力为零,设地面对楔形物块的支持力为 N,则有, N+Fsinθ =Mg+mg, N=Mg+mg-Fsinθ ,D 选项正确. 答案:D 4.如图, 一固定斜面上两个质量相同的小物块 A 和 B 紧挨着匀速 下滑,A 与 B 的接触面光滑.已知 A 与斜面之间的动摩擦因数是 B 与 斜面之间动摩擦因数的 2 倍,斜面倾角为α .B 与斜面之间的动摩擦 因数是 ( )

A. B.

2 tanα 3 2 cotα 3

C.tanα D.cotα 解析:设 B 与斜面之间的动摩擦因数为μ ,A 和 B 质量均为 m,A
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和 B 紧挨着在斜面上匀速下滑过程中, 和 B 组成的系统处于平衡态, A 即有:3μ mgcosα =2mgsinα ,所以μ = tanα ,故选项 A 正确.有的 考生认为 A 和 B 匀速下滑则它们之间就没有相互作用力,对 A 或者 B 进行受力分析,列方程:μ mgcosα =mgsinα ,就误选了选项 C;也 有考生在分解重力时出错, 列方程: mgsinα =mgcosα 或者 3μ mgsin μ α =2mgcosα ,就误选了 B、D 选项. 答案:A 5.在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆 的柱状物体 A,A 与竖直墙之间放一光滑圆球 B,整个装 置处于静止状态.现对 B 加一竖直向下的力 F, 的作用线 F 通过球心,设墙对 B 的作用力为 F1,B 对 A 的作用力为 F2,地面对 A 的作用力为 F3.若 F 缓慢增大而整个装置仍保持静止, 截面如图所示, 在此过程中( )
2 3

A.F1 保持不变,F3 缓慢增大 B.F1 缓慢增大,F3 保持不变 C.F2 缓慢增大,F3 缓慢增大 D.F2 缓慢增大,F3 保持不变 解析:把 A、B 看成一个整体,在竖直方向地面对 A 的作 用力 F3 与 F 大小相等方向相反,因为 F 缓慢增大,所以 F3 也 缓慢增大,因此可以排除 B、D 选项,再以 B 物体为研究对象,
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受力图如图所示,由图可知,当 F 缓慢增大时,F1、F2 都将增大,所 以 C 选项正确. 答案:C 6.如图所示,质量为 m 的木块 A 放在斜面体 B 上, 若 A 和 B 沿水平方向以相同的速度 v0 一起向左做匀速直 线运动,则 A 和 B 之间的相互作用力大小为( A.mg B.mgsinθ C.mgcosθ D.0 解析:对 A 物体受力分析如图所示.因为 A 做匀速直线 运动,所以处于平衡状态.因此 Fm 和 F′的合力为 mg,选 A. 答案:A 7.竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘,小球 A、B 带有同种电荷, 用指向墙面的水平推力 F 作用于小球 B, 两球分别静止在竖直墙面和水平地面上,如图所示.若 将小球 B 向左推动少许,当两球重新达到平衡时,与原 来的平衡状态相比较( A.推力 F 变大
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)

)

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B.竖直墙面对小球 A 的弹力变大 C.地面对小球 B 的支持力不变 D.两个小球之间的距离变大 解析:受力分析如图,对 A 球:F 斥 cosθ =mAg,由于 B 球向左运动,θ 减小,cosθ 增大,故 F 斥减小,由 F 斥=kq1q2/r2 可知,两球间的距离 r 增大,故 D 项正确.对 B 球:F=F 斥 sinθ ,因 F 斥减小,θ 减小,故 F 减小,故 A 项错.对 A、B 构成的整体:水平方向 F=F N2,可见竖直墙壁对小球 A 的弹力变小,故 B 项错.竖直方向 FN1=mAg+mBg,可见地面对小球 B 的 弹力 FN1 不变,故 C 项正确,故选 C、D. 答案:CD 8.以下四种情况中,物体受力平衡的是( A.水平弹簧振子通过平衡位置时 B.单摆摆球通过平衡位置时 C.竖直上抛的物体在最高点时 D.做匀速圆周运动的物体 解析:水平弹簧振子通过平衡位置时 F 合=0,故 A 对;单摆做圆周 运动,摆球通过平衡位置时仍需向心力,故 B 错;竖直上抛的物体在 最高点时,受重力,故 C 错;做匀速圆周运动的物体需向心力,F
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)

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≠0,故 D 错.本题主要考查受力平衡的条件或特点. 答案:A 9.滑板运动是一项非常刺激的水上运动.研究表明,在进行滑板 运动时, 水对滑板的作用力 FN 垂直于板面, 大小为 kv2,其中 v 为滑板 速率(水可视为静止).某次运动中,在水平牵引力作用下,当滑板 和水面的夹角θ =37°时,滑板做匀速直线运动,相应的 k=54 kg/m, 人和滑板的总质量为 108 kg, (重力加速度 g 取 10 m/s2,sin37° 试求 取 ,忽略空气阻力) :
3 5

(1)水平牵引力的大小; (2)滑板的速率. 解析:(1)以滑板和运动员为研究对象,其受力如 图所示. 由共点力平衡条件可得 FNcosθ =mg ① FNsinθ =F ②

由①、②联立,得 F=810 N (2)FN=mg/cosθ FN=kv2 得 v=
mg =5 m/s kcos?

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答案: (1)810 N(2)5 m/s

10.一光滑圆环固定在竖直平面内,环上套着两个 小球 A 和 B(小球中央有孔) 与 B 间由细绳连接着, ,A 它们处于如图所示位置时恰好都能保持静止状态,此情 况下, 球与环中心 O 处于同一水平面上, B 间的细绳呈伸直状态, B A、 与水平成 30°夹角,已知 B 球的质量为 m,求细绳对 B 球的拉力和 A 球的质量. 解析:对 B 球受力分析如图所示.

Tsin30°=mg① 故 T=2mg 对 A 球,受力分析如图所示,在水平方向 Tcos30°= NAsin30°② 在竖直方向 NAcos30°=mAg+Tsin30°③ 由以上方程解得:mA=2m④

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答案:2 mg

2 m

11.如图所示,物体重 30 N,用 OC 绳悬挂在 O 点,OC 绳能承受的最大拉力为 20 3 N,再用一绳系在 OC 绳上 A 点,BA 绳能承受的最大拉力为 30 N,现用水平力拉 BA 可 以把 OA 绳拉到与竖直方向成多大角度? 解析:初步判断知:OA 绳为斜边,受力最大,故使 FOA=203 N, 达到最大,∴FAC<FOA 不断,FAB=FOA·sinα 且 FAC=mg=30 N ∴ cos a ?
FAC 30 3 ? ? FOA 20 3 2
1 2

∴α =30°

∴FAB=20 3 × =10 3 =17.32 N<30 N 也未断,故当α ≤30°时, 绳子都未断.当α 超过 30°,绳断,也就无法拉动了. 12.在科学研究中,可以用风力仪直接测量风力的大小,其原因 如图所示.仪器中有一根轻质金属丝,悬挂着一个金属球 m.无风时, 金属丝竖直下垂;当受到沿水平方向吹来的风时,金属丝偏离竖直方 向一个角度.风力越大,偏角越大,通过传感器,就可以根据偏角的 大小指示出风力.那么,风力大小 F 跟小球质量 m、偏角θ 之间有什 么样的关系呢?

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解析:以小球为研究对象,有风时,它受到三个力作用:重 力 mg,竖直向下;风力 F,水平向左;金属丝拉力 FT,沿金属 丝倾斜向上.如图所示, 当风力一定时, 小球能保持在一定的偏 角θ 的位置上处于静止,由平衡条件可知:mg、F、FT 三个力的 合力为零,即上述三力中任意两个力的合力都与第三个力大小相等、 方向相反.根据平行四边形定则将任意两力合成,由几何关系进行求 解. 将金属丝拉力 FT 与小球重力 mg 合成,由平衡条件可知,其合力 方向必定与风力 F 的方向相反,且大小相等.如图所示,由几何关系 可知:F=F′=mgtanθ 由所得结果可见, 当小球质量 m 一定时, 风力 F 只跟偏角θ 有关. 因此,根据偏角θ 的大小就可以指示出风力的大小.

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高考第一轮复习讲义(第一章力物体的平衡)
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01 第一章 力 物体的平衡
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力 物体的平衡
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力与物体的平衡
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