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【高考数学一本通】2014届高中数学(理)一轮复习(课前热身)课件:第14章 第72讲 古典概型


1.一枚硬币连掷2次,只有一次出现正面的概率 1 为 . 2 解析:一枚硬币连掷2次可能出现正正、反反、
正反、反正四种情况,而只有一次出现正面的 2 1 有两种,所以P ? ? .  4 2

2.从数字1、、、、中任取二个数字,两个数字 2345

3 都为奇数的概率为   . 10

3.(201

1 ? 南京期末卷)在集合A ? ?2,3?中随机取一 个元素m,在集合B ? ?1, 2, 3?中随机取一个元素n, 得到点P(m,n),则点P在圆x ? y ? 9内部的概
2 2

率为

1   3
2 2

解析:由题意知P点(m,n)共有2 ? 个.因为P 在圆内部,所以m ? n ? 9,所以满足条件的P共 2 1 有 ? 2,1?, ? 2, 2 ? 这两个点.故P ? ? . 6 3

4.(2011 ? 苏州期末卷)已知集合A ? ?2,5?,在A中可 重复的依次取出三个数a、b、c,则“以a、b、c为 边恰好构成三角形”的概率是

5 8

解析:我们将基本事件一一列举出来,有

? 2, 2, 2 ?, ? 2, 2,5?, ? 2,5, 2 ?, ?5, 2, 2 ?, ? 2,5,5 ?, ?5, 2,5 ?, ? 5,5, 2 ?, ? 5,5,5 ? 这8种等可能结果.其中? 2, 2, 2 ?, ? 2,5,5?, ? 5, 2,5 ?, ?5,5, 2 ?, ?5,5,5 ? 这5种情况可构
5 成三角形,所以P ? . 8

5.一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个, 除颜色外其他特征完全相同,已知蓝色球3个. 若从袋子中随机取出1个球,取到红色球的概率 1 是 ,则红色球有 6

4

个.

解析: x 1 设红色球有x个,依题意得 ? ,解得x ? 4, 24 6 所以红色球有4个.

列举法求概率
【例1】 在箱子中装有十张卡片,分别写有1到10十 个整数.第一次从箱子中任取一张卡片, 记下它的读数为x,然后再放回箱子中;第 二次再从箱子中任取一张卡片,记下它的 读数为y,求“x+y是10”的倍数的概率.

【解析】先后两次抽取卡片,每次都有1~10 这10种结果,故形成有序实数对( x,y )共有 10 ?10=100个.因为x+y是10的倍数,它包含 下列10个数对: ?1,9 ?, ? 2,8?, ? 3, 7 ?, ? 4, 6 ?, ? 5,5 ?,

? 6, 4 ?, ? 7,3?, ?8, 2 ?, ? 9,1?, ?10,10 ?,故 " x+y是10
10 1 的倍数 "的概率P= = . 100 10

运用古典概型的概率计算公式解 题时,首先要确定试验中各基本事件

出现的机会是均等的,如本题中卡片
的抽取,同时还要注意分析题中的条 件,如本题中抽取的第一张卡片是否 放回等条件

【变式练习1】 一个口袋内装有大小相同的5个红球和3 个黄球,从中一次摸出两个球.

(1)求摸出两个球都是红球的概率;
(2)求摸出的两个球一红一黄的概率.

【解析】分别对红球编号为 1 、 2 、 3 、 4 、

5 号,对黄球编号 6 、 7 、 8 号,从中任取
两球,有如下等可能基本事件,枚举如 下: (1,2) 、 (1,3) 、 (1,4) 、 (1,5) 、 (1,6) 、 (1,7)、(1,8)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、 (2,7)、(2,8)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(3,7)、

(3,8)、(4,5)、(4,6)、(4,7)、(4,8)、(5,6)、
(5,7)、(5,8)、(6,7)、(6,8)、(7,8)共有28个 等可能事件

?1? 设

摸出两个球都是红球 为事件A,则A

中包含的基本事件有10个, 10 5 因此P ? A ?= = . 28 14 ? 2 ? 设 摸出的两个球一红一黄 为事件C, 则事件C包含的基本事件有15个, 15 因此P ? C ?= . 28 5 答: ?1? 摸出两个球都是红球的概率为 ; 14 15 ? 2 ? 摸出的两个球一红一黄的概率为 . 28

等价转化思想将复 杂条件明确化求概率
【例2】 连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记 向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为?, 7 ? 则? ? (0, ]的概率为 ________ 12 . 2

【解析】因为cos?= 所以m ? n满足条件.

,? ? (0, ], 2 2 2 m ?n

m?n

?

6 1 又m=n的概率为 = ; 36 6 1 5 5 m ? n的概率为 ? = , 2 6 12 ? 1 5 7 所以,? ? (0, ]的概率为 + = . 2 6 12 12

因为 a 与 b 不共线,所以“夹 角 θ∈(0,π/2]” 的 充 要 条 件 是

“cosθ≥0”,即“m≥n”.

【变式练习2】 甲、乙两人各掷一次骰子 ( 均匀的正 方体,六个面上分别为 1,2,3,4,5,6 点 ) ,

所得点数分别为x,y.
(1)求x<y的概率; (2)求5<x+y<10的概率.

【解析】记基本事件为 (x,y),则有 (1,1),(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) , (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3), (6,4) , (6,5) , (6,6) ,共 36个 基本事件. 其中满足 x<y 的基本事件有 (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,4) , (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.

满足5 ? x+y ? 10的基本事件有 ?1,5 ?, ?1, 6 ?,

? 2, 4 ?, ? 2,5?, ? 2, 6 ?, ? 3,3?, ? 3, 4 ?, ? 3,5 ?, ? 3, 6 ?, ? 4, 2 ?, ? 4,3?, ? 4, 4 ?, ? 4,5?, ? 5,1?, ? 5, 2 ?, ?5,3?, ? 5, 4 ?, ? 6,1?, ? 6, 2 ?, ? 6,3?,共20个.
15 5 ?1? x ? y的概率P ? x ? y ?= = ; 36 12 ? 2 ? 5 ? x+y ? 10的概率 20 5 P(5 ? x+y ? 10)= = . 36 9

1.(2011 盐城二模卷 从 ?1, 2,3?中随机选取一个数a, 1 从 ?2,3?中随机选取一个数b,则b>a的概率是 2

解析:从 ?1, 2,3?中随机选取一个数a,从 ?2,3?中随机 取一个数b,共有 ?1, 2 ?、 ?1,3?、 ? 2, 2 ?、 ? 2,3?、 ? 3, 2 ?、 ? 3,3? 6 种等可能的不同情况,满足b>a的有 ?1, 2 ?、 ?1,3?、 ? 2,3? 3种不同的情况,根据古典概型的概率公式得所求概 3 1 率P ? ? . 6 2

2.(2011 ? 扬州三模卷)从1, 2,3, 4,5这五个数中任

3 取两个数,这两个数的和是奇数的概率为   5
解析:从1, 2,3, 4,5这五个数中任取两个数,有

?1, 2 ?、 ?1,3?、 ?1, 4 ?、 ?1,5?、 ? 2,3?、 ? 2, 4 ?、 ? 2,5?、 ?3, 4 ?、 ? 3,5?、 ? 4,5? 共10种不同的取法,其中?1, 2 ?、 ?1, 4 ?、 ? 2,3?、 ? 2,5?、 ? 3, 4 ?、 ? 4,5? 共6种取法两个数的和是
6 3 奇数,故所求概率P ? ? . 10 5

3.(2011 ? 盐城期末卷)从长度分别为2,3, 4,5的四 条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边 可以构成三角形的概率是  3
4

解析:所有可能情况为? 2,3, 4 ?, ? 2, 4,5?, ? 3, 4,5?,

? 2,3,5?,共4种,其中? 2,3,5? 不能围成三角形,
3 所以P ? . 4

4. 用红、黄、蓝三种不同颜色给 3 个矩形 染色,每个矩形只染一种颜色,求: (1)3个矩形颜色都相同的概率; (2)3个矩形颜色都不相同的概率.

【解析】 ?1? 所有可能的基本事件总数为27.事件 A“3个矩形颜色都相同 含的基本事件有 个, 3 1 故P ? A ? = = . 27 9 ? 2 ? 事件B 个矩形颜色都不相同 的基本事件 为(红、黄、蓝), (红、蓝、黄), (黄、红、蓝), (黄、蓝、红), (蓝、红、黄), (蓝、黄、红),共6种. 6 2 故P ? B ? = = . 27 9

5.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的 点数分别为 1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次,记 第一次出现的点数为 x ,第二次出现的点

数为y. (1)求事件“x+y≤3”的概率; (2)求事件“|x-y|=2”的概率.

【解析】设( x,y )表示一个基本事件,则掷两 次骰子包括: ?1,1?, ?1, 2 ?, ?1,3?, ?1, 4 ?, ?1,5 ?, ?1, 6 ?, ?, ? 2,1?, ? 2, 2 ?, ? 6,5?, ? 6, 6 ?,共36个基本事件. ?1? 用A表示事件 " x+y ? 3",则A的结果有 ?1,1?, ?1, 2 ?, ? 2,1?,共3个基本事件. 3 1 所以P ? A ?= = . 36 12 1 答:事件 " x+y ? 3"的概率为 . 12

? 2 ? 用B表示事件“ | x-y | =2”,则B的结果 有 ?1,3?, ? 2, 4 ?, ? 3,5 ?, ? 4, 6 ?, ? 6, 4 ?, ? 5,3?, ? 4, 2 ?, ? 3,1?,共8个基本事件.
8 2 所以P ? B ?= = . 36 9 2 答:事件“ | x-y |? 2”的概率为 . 9

1.利用古典概型的概率计算公式求概

率时,关键是求出基本事件的总个数和事
件A包含的基本事件数. 2.用列举法把基本事件一一列举出来,

是一个形象、直观的好方法,但列举时必
须按某一顺序做到不重复、不遗漏.

3 .可用集合的观点来探求事件 A
的概率,如下图所示.


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