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湛江二中2013届高三5月模拟测试数学(理)试题


满分:150 分

时量:120 分钟

说明:本卷为试题卷,要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上. 一、选择题(本大题 共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1、已知全集 U={0,1,2,3,4,5} ,集合 A={0,1,3} ,集合 B={0,3,4,5} ,则(

) A . A ? B ? ?0? B. A ? B ? U 2、下列说法中正确的是( ) .

1? D. (CU A) ? B ? B C. A ? (CU B) ? ?

A. “ x ? 5 ”是“ x ? 3 ”必要不充分条件; B.命题“对 ?x ? R ,恒有 x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,使得 x 2 ? 1 ? 0 ” . C.? m∈R,使函数 f(x)=x2+mx (x∈R)是奇函数 D.设 p , q 是简单命题,若 p ? q 是真命题,则 p ? q 也是真命题; 3、若 sin( ? ? ) ? ? ,则 cos( ? 2? ) ? ( 3 3 3 A. ?
7 9

?

1

?

) C.
1 3

B. ?

1 3

D.

7 9

4、两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,计算出它们的相 关指数 R 2 如下,其中拟合效果最好的模型是 ( A.模型 1(相关指数 R 2 为 0.97) C.模型 3(相关指数 R 2 为 0.56 ) )

B.模型 2(相关指数 R 2 为 0.89) D.模型 4(相关指数 R 2 为 0.45)

5、 如图是某几何体的三视图,其中正视图是边 长为 2 的等 边三角形,俯视图是半圆,则该几何体的体积是( A.
? 3


正视图 左视图

B.

2? 3

C.

2? 6

D.

3? 6

2 2 6、 以双曲线 x ? y ? 1 的离心率为首项, 以函数 f ?x ? ? 4 x ? 2

4

5

俯视图

的零点为公比的等比数列的前 n 项的和 S n ? ( A. 3 ? ?2n ? 1? ?
3 2


? 2 3

(第 5 题图)

B. 3 ? 3n
2

C. 2

n ?1

3

D. 4 ? 2
3

n

3

1

7、 ? 04 cos 2xdx =( A.
1 2

?

) C.2
? 0 的解集为 ?1, 2

B.1
x?2 ax ? b

D.

3 2
b x
2

8、已知不等式 那么 A. ? 15
ma a ? 2b
7

?

? ,m 是二项式 (ax ?

)

6

的展开式的常数项,

7

?(

) B. ? 5 C. ? 5a D. 5

二.填空题:(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答 案填在题中的横线上)选做题(从 14 题和 15 题中选一 题作答,全做则按第 14 题记分) ??? ??? ? ??? 9、已知 A、B 是圆 C (C 为圆心)上的两点, | AB | =2,则 AB ? AC = _____
[来源:学科网]

10、执行如图所示的程序框图,则输出的复数 z 是 ? 11、 设矩形区域 ? 由直线 x ? ? 和 y ? ?1 所围成的平面图形区 2 域 D 是由余弦函数 y ? cos x 、 x ? ?

开始 n=1
1 3 1 3 z0 ? ? ? i, z ? ? ? i 2 2 2 2

?
2

及 y ? ?1 所围成的平面图

形. 在区域 ? 内随机的抛掷一粒豆子, 则该豆子落在区域 D 的概 率是 .


z ? z0 ? z
n=n+1

12、电脑系统中有个“扫雷”游戏,要求游戏者标出所有的雷, 游戏规则:一个方块下面至多埋一个雷,如果无雷掀开方块下面 就标有数字,提醒游戏者此数字周围的方块(至多 八个)中雷的个 数(0 常省略不标),如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且 仅有 3 个埋有雷.图乙是张三玩游戏中的局部,图中有 4 个方块 已确定是雷(方块上标有旗子), 则上方左起七个方块中(方块正上 方对应标有字母),能够确定一定不是雷的有 _________; _______ .(请填入方块上方对应字母)

n>2013?
是 输出 z 结束

(第 10 题图)

一定是雷的有

x2 y2 13、方程 + =1( a, b ?{1,2,3,4,?,2013})的曲线中,所有圆面积的和 b a
2

等于 _ ,离心率最小的椭圆方程 为 . 14、如图,AB 是⊙O 的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 与 ⊙O 相切于点 E,∠C=
? x ? 2cos ? ? ? y ? 1 ? 2sin ?

D A

E O B C

? ,则∠AED=________. 6

15 、已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 ( ? 为参数 ),与直角坐标系 xoy 取相同的长度单
?

(第 14 题图)

位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系,直线 l 的极坐 标方 程为 2? sin(? ? ) ? 3 ,则圆 C 截直线 l 所得的弦长为
3

____



三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) 16、 (本小题满分 12 分)设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知
a ? 3, b ? 4, cos C ?
2 . 3

(1) 求 ?ABC 的面积; (2) 求 sin( B ? C) 的值. 17、 (本小题满分 13 分)已知正项数列满足 4Sn ? (an ? 1) 2 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?
1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

18、 (本小题满分 13 分) 从某学校高三年级共 1000 名男生中随机抽取 50 人测 量身高。据测量,被测学生身高全部介于 155cm 到 195cm 之间,将测量结果按 如下方式分成 八组,第一组[155,160),第二组[160,165),? ,第八组[190,195]。 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、 第八组人数依次构成等差数列。 (1)求第六组、第七组的频率,并估算高三年级全体男生身高在 180cm 以 上(含 180cm)的人数; (2) 学校决定让这 50 人在运动会上组成一个彩旗队,在这 50 人中要选身高 在 180cm 以上(含 180cm)的三人作为队长,记 X 为身高在[180,185)的人数, 求 X 的分布列和数学期望。

3

19、 (本小题满分 14 分)如图一,△ ABC 是正三角形,△ ABD 是等腰直角三角 形,AB=BD=2。将△ ABD 沿边 AB 折起, 使得△ ABD 与△ ABC 成 30o 的 二面角 D ? AB ? C ,如图二,在二面角 D ? AB ? C 中. (1) 求 D、C 之间的距离; (2) 求 CD 与面 ABC 所成的角的大小; (3) 求证:对于 AD 上任意点 H,CH 不与面 ABD 垂直。
A C D B
图一

A

C B
图二

D

20、 (本小题满分 14 分)在直角坐标系 xoy 中,椭圆 C1: 离心率 e ?
3 2

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的

,F 是抛物线 C2:y2=4x 的焦点, C1 与 C2 交于 M,N 两点(M 在

第一象限),且|MF|=2. (1) 求点 M 的坐标及椭圆 C1 的方程; (2) 若过点 N 且斜率为 k 的直线 l 交 C1 于另一点 P, 交 C2 于另一点 Q, 且 MP⊥MQ, 求 k 的值.
1 21、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 ? (a ? 1) x 2
(a ? 1 )

(1)讨论 f ( x ) 的单调性与极值点。 (2)若 g ( x) ? 象上方. (3)证明
ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ? ? ? ? ? (n ? N ? .n ? 2) 22 32 n2 4(n ? 1)

1 2 x ? x ? 1( x ? 1) , 证明当 a ? 1 时, g ( x) 的图象恒在 f ( x ) 的图 2

4

湛江市第二中学 2013 届高三级第二学期 5 月考模拟考试 数学答案(理科)
一、 选择题

二、填空题: 9 10 11 12 2 13 14 15 B,D,F,G

2027091 ?

y2 x2 x2 y2 + =1 和 + =1, 2013 2012 2012 2013

1 3 ? + i 2 2 2?? P? 2?
A,C,E

? 3
2 3

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17、 (本小题满分 13 分) 已知正项数列满足 4S n ? (an ? 1) 。
2

(1)求数列 {an } 的通项公式;

5

(2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的 前 n 项和 Tn。 an an ?1
……………………………… ……………………………… 4分 7分

解:(Ⅰ)整理得 a n ? a n ?1 ? 2 又 a1 ? 1 得 a n ? 2n ? 1

(Ⅱ)由(1)知

bn ?
n 2n ? 1

1 1 1 ( ? ) …………………………… 2 2n ? 1 2n ? 1
……………………………………

9分

所以 Tn ?
[来源:学科网 ZXXK]

13 分

18、 (本小题满分 13 分) 从某学校高三年级共 1000 名男生中随机抽取 50 人测量身高。 据测量, 被测学生身高全 部介于 155cm 到 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组,第一组[155,160),第二组 [160,165),? ,第八组[190,195]。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、 其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。 (1) 求第六组、 第七组的频率, 并估算高三年级全体男生身高在 180cm 以上 (含 180cm) 的人数; (2)学校决定让这 50 人在运动会上组成一个彩旗队,在这 50 人中要选身高在 180cm 以上(含 180cm)的三人作为队长,记 X 为身高在[180,185)的人数,求 X 的分布列和数学 期望。

解: (Ⅰ) 第六组 p ? 0.08 第七组 p ? 0.06 估计人数为 180

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
6

(Ⅱ) X 可能的取值为 0,1, 2, 3.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

P ( x ? 0) ?

3 C5 5 ? 3 C 9 42

P ( x ? 1) ?

1 2 C4 C5 20 ? 3 42 C9

2 1 C4 C 5 15 P ( x ? 2) ? ? 3 42 C9

3 C4 2 P ( x ? 3) ? 3 ? C 9 42

所以 X 的分布列

X

0

1

2

3

P

5 42

10 21
ZXXK]

[来源:学科网

5 14

1 21

· · · · · · · · · · · · · 11 分

E( X ) =
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分

0*

5 10 5 1 4 ? 1* ? 2* ? 3* = . 42 21 14 21 3

19、 (本小题满分 14 分) 如图一, △ ABC 是正三角形, △ ABD 是等腰直角三角形, AB=BD=2。 o 将△ ABD 沿边 AB 折起, 使得△ ABD 与△ ABC 成 30 的二面角 D ? AB ? C ,如图二, 在二面角 D ? AB ? C 中. (1) 求 D、C 之间的距离; (2) 求 CD 与面 ABC 所成的角的大小; (3) 求证:对于 AD 上任意点 H,CH 不与面 ABD 垂直。

A
[来源:Z|xx|k.Com]

A

C D B
图二

C

B
图一

D

解: 依题意, 建立如图的坐标系使得△ ABC 在 yoz 平面上, ? ABD=90o , ?△ ABD 与△ ABC o o 成 30 的二面角, ? ? DBY=30 ,又 AB=BD=2, ? A(0,0,2) ,B(0,0,0), C(0, 3 ,1),D(1, 3 ,0), (1)|CD|= (1 ? 0) ? ( 3 ? 3 ) ? (0 ? 1) = 2 ??? 5 分
2 2 2

z

A (2)?x 轴与面 ABC 垂直,故(1,0,0)是面 ABC 的一个法向量。
7

C B

y

设 CD 与面 ABC 成的角为 ? ,而 CD = (1,0,-1),

?sin ? =

| (1,0,0) ? (1,0,?1) | 1 ?0 ?0
2 2 2

1 ? 0 ? (?1)
2 2

2

=

2 2

? ? ? [0,

? ? ],? ? = ;???????9 分 2 4

(3) 设 AH =t AD = t(1, 3 ,-2)= (t, 3 t,-2 t),

CH = CA + AH =(0,- 3 ,1) +(t, 3 t,-2 t) = (t, 3 t- 3 ,-2 t+1),
若 CH ? BA ,则 (t, 3 t- 3 ,-2 t+1)·(0,0,2)=0 得 t=

1 , ?????11 分 2

此时 CH =(

3 1 ,,0), 2 2

而 BD =(1, 3 ,0), CH · BD =

1 3 - =-1 ? 0,? CH 和 BD 不垂直, 2 2

即 CH 不可能同时垂直 BD 和 BA,即 CH 不与面 ABD 垂直。???????14 分 20、 (本小题满分 14 分)在直角坐标系 xoy 中,椭圆 C1:
y a
2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率 e ?

3 2



F 是抛物线 C2:y2=4x 的焦点, C1 与 C2 交于 M,N 两点(M 在第一象限),且|MF|=2. (1) 求点 M 的坐标及椭圆 C1 的方程; (2) 若过点 N 且斜率为 k 的直线 l 交 C1 于另一点 P , 交 C2 于另一点 Q,且 MP⊥MQ,求 k 的值. 解:(1) 抛物线 C2:y2=4x,2p=4,p=2, 设 M(x0,y0), p |MF|=x0+ ? x0 ? 1 ? 2 , 2 x0=1, y0=2,
y x c 3 , ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ? a 2 a 2 b2 c2 3 b2 1 得 2 ? , 2 ? , a ? 2b , 4 4 a a 2 2 y x 椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1 过点 M(1,2), 4b b 求得 b ? 2 , a ? 2 2 , y 2 x2 椭圆 C1 的方程是 ? ? 1 8 2
2 2

y M l P O F N Q x

椭圆 C1:

.………7 分

8

1 21、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 ? (a ? 1) x 2

(a ? 1 )

(1)讨论 f ( x ) 的单调性与极值点。 (2)若 g ( x) ? 象上方. (3)证明
ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ? ? ? ? ? (n ? N ? .n ? 2) 22 32 n2 4(n ? 1)

1 2 x ? x ? 1( x ? 1) , 证明当 a ? 1 时, g ( x) 的图象恒在 f ( x ) 的图 2

解: (1) f ?( x) ?

a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)( x ? a) ? x ? (a ? 1) ? ? ( x ? 0) x x x
( x ? 1) 2 ? 0 在(0, ?? )上恒成立 x

.........(1 分)

当 a ? 1 时 f ?( x) ?

? f ( x) 在(0,+∞)单调递增,此时 f ( x) 无极值点
当 a ? 1 f ?( x), f ( x) 在定义域上的变化情况如下表: x

...............(2 分)

[来源:学*科*网]

(0,1)


(1, a )


( a, ?? ) +

f ?( x )

9

f ( x)







由此表可知 f ( x) 在(0 , 1)和( a, ?? ) 上单调递增,

f ( x) 在(1 , a )上单调递减

x ? 1 为极大值点, x ? a 为极小值点 . ...............(4 分) 1 1 (2) a ? 1 时令 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? ln x ? x 2 ? 2 x ? x ? 1 ? ln x . 2 2
............... ...............(5 分)

F ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? 当 x ? 1 时 F ?( x) ? 0, 0 ? x ? 1 时, F ?( x) ? 0 x x

? F ( x) 在(0 1)递减,在(1, ?? ) 上递增.
恒成立 ? F ( x) ? F ( 1 ) ? 0 ? ,x ? 时, 1 F ( x )? 0 即 x ? 1 时 g ( x) ? f ( x) 恒成立 ......(7 分)

? 当 x ? 1 g ( x) 的图象恒在 f ( x) 的图象的上方

......(9 分)

) ( 3 ) 由 ( 2 ) 知 F ( x?
令 x ? n (n ? N )则
2 ?

F( ? 1 )即 0 ln x ? x ? 1 ? x ? 0,?

ln x 1 ? 1? . x x

ln n 2 1 ln n 1 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? (1 ? 2 ) 2 n n n 2 n

.....(11 分)

?
=

ln 2 ln 3 ln n 1 ? 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? ?1 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? 1 ? 2 ) 2 2 3 n 2? 2 3 n

1 1 1 1 1 (n ? 1) ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) . 2 2 2 3 n
.....(13 分)

1 1 1 1 1 ? (n ? 1) ? ( ? ?? ) 2 2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 (n ? 1) ? ( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 1 1 ) = ( n ? 1) ? ( ? 2 2 2 n ?1
=

2n 2 ? n ? 1 = 4( n ? 1)
∴ 不等式成立. ....(14 分)

10


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