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四川省成都市武侯区2014-2015学年高一(下)期末数学试卷


四川省成都市武侯区 2014-2015 学年高一(下)期末数学试卷
一、单项选择题(每题 5 分) 1.已知 x∈(﹣ A. ,0) ,cosx= ,则 tan2x=( B. ) C. D.

考点:二倍角的正切. 专题:计算题. 分析:由 cosx 的值及 x 的范围, 利用同角三角函数间的基本关系求出 sinx 的值, 进而求出 tanx 的值,

然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后,将 tanx 的值代入即可求出值. 解答: 解:由 cosx= ,x∈(﹣ 得到 sinx=﹣ ,所以 tanx=﹣ , ,0) ,

则 tan2x=

=

=﹣



故选 D 点评:此题考查了同角三角函数间的基本关系,以及二倍角的正切函数公式.学生求 sinx 和 tanx 时注意利用 x 的范围判定其符合. 2.有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个( )

A. 都不对

棱台

B.棱锥

C. 棱柱

D.

考点:由三视图还原实物图. 分析:根据主视图、左视图、俯视图的形状,将它们相交得到几何体的形状. 解答: 解:由三视图知,从正面和侧面看都是梯形, 从上面看为正方形,下面看是正方形, 并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱, 故这个三视图是四棱台. 故选 A.

点评:本题考查几何体的三视图与直观图之间的相互转化. 3.sin163°sin223°+sin253°sin313°等于( A. ﹣ ) B. C. ﹣ D.

考点:两角和与差的正弦函数;运用诱导公式化简求值. 分析:通过两角和公式化简,转化成特殊角得出结果. 解答: 解:原式=sin163°?sin223°+cos163°cos223° =cos(163°﹣223°) =cos(﹣60°) = . 故答案选 B 点评:本题主要考查了正弦函数的两角和与差.要熟练掌握三角函数中的两角和公式. 4.设 a>1>b>﹣1,则下列不等式中恒成立的是( A. a >2b 考点:不等关系与不等式. 专题:计算题. 分析:通过举反例说明选项 A,B,D 错误,通过不等式的性质判断出 C 正确. 解答: 解:对于 A,例如 a=2,b= 此时满足 a>1>b>﹣1 但 故B错 故A错
2

) C. a>b
2

B.

D.

对于 B,例如 a=2,b= 此时满足 a>1>b>﹣1 但 对于 C,∵﹣1<b<1∴0≤b <1∵a>1∴a>b 故 C 正确 对于 D,例如 a=
2 2

此时满足 a>1>b>﹣1,a <2b 故 D 错

2

故选 C 点评:想说明一个命题是假命题,常用举反例的方法加以论证. 5.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm,则球的表面积是( ) 2 2 2 A. 8πcm B.12πcm C. 16πcm D. 2 20πcm 考点:球内接多面体;球的体积和表面积. 专题:计算题. 分析:由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长,求出正方体的对角线长,即可 求出球的表面积.

解答: 解:正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则 2 =2R, 2 R= ,S=4πR =12π 故选 B 点评:本题是基础题,考查正方体的外接球的不面积的求法,解题的根据是正方体的对角线 就是外接球的直径,考查计算能力,空间想象能力. 6.在△ ABC 中,若 C=90°,a=6,B=30°,则 c﹣b 等于( A. 1 B. ﹣1 C . 2 考点:正弦定理. 专题:计算题. 分析:利用 c= 解答: 解:c= ,b=atan30°分别求得 c 和 b,则答案可得. =4 , ) 2 D. ﹣

b=atan30°=2 ∴c﹣b=4 ﹣2 =2 故选 C 点评:本题主要考查了解三角的实际应用.属基础题. 7.设数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+2,则{an}的通项公式为( ) n n﹣1 A. an=2?3 ﹣1 B.an=2?3 ﹣1 n+1 D.an=2?3 ﹣1 考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:通过对 an+1=3an+2 变形可得 an+1+1=3(an+1) ,进而计算即得结论. 解答: 解:∵an+1=3an+2, ∴an+1+1=3(an+1) , 又∵a1=1,∴a1+1=2, n﹣1 ∴an+1=2?3 , n﹣1 ∴an=2?3 ﹣1, 故选:B. 点评:本题考查求数列的通项,注意解题方法的积累,属于中档题. 8.已知函数 f(x)=ax +bx+c 的图象过点(﹣1,3)和(1,1) ,若 0<c<1,则实数 a 的取 值范围是( ) A. B. C. (1,2) D. (1,3) 考点:函数解析式的求解及常用方法;不等关系与不等式. 专题:计算题. 分析:由图象过两点建立 a、b、c 的关系式,得到关于 a 的不等式,解此不等式即可.
2

C. an=2?3

n﹣1

+1

解答: 解:由题意:

得 b=﹣1,

∴a+c=2. 又 0<c<1, ∴0<2﹣a<1, ∴1<a<2. 故选 C 点评:本题考查了待定系数法求函数解析式,以及不等关系的应用,属于基础题 9.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a5 ,a2=1,则 a1=( A. B. C.
2

) D. 2

考点:等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 2 分析:设等比数列的公比为 q, 根据等比数列的通项公式把 a3?a9=2a 5 化简得到关于 q 的方程, 由此数列的公比为正数求出 q 的值,然后根据等比数列的性质,由等比 q 的值和 a2=1 即可求 出 a1 的值. 2 8 4 2 解答: 解:设公比为 q,由已知得 a1q ?a1q =2(a1q ) , 2 即 q =2,又因为等比数列{an}的公比为正数, 所以 q= ,故 a1= .

故选 B. 点评:此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值,是一道中档 题. 10.在△ ABC 中,AB=2,BC=2.5,∠ABC=120°,若使△ ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形 成的几何体的体积是( ) A. B. C. D.

考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题:空间位置关系与距离. 分析:如图,大圆锥的体积减去小圆锥的体积就是旋转体的体积,结合题意计算可得答案. 解答: 解:依题意可知,旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥, 所以 OA=AB?sin60°= ,OB=1, 所以旋转体的体积: ×π ( 故选:C. ) (OC﹣OB)= ×π (
2

) ?BC=

2



点评:本题考查圆锥的体积,考查空间想象能力,是基础题. 11.在△ ABC 中,若 sin(A﹣B)=1+2cos(B+C)sin(A+C) ,则△ ABC 的形状一定是( ) A. 等边三角形 B. 不含 60°的等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 考点:两角和与差的正弦函数. 专题:三角函数的求值. 分析:利用三角形内角和定理、诱导公式、和差公式即可得出. 解答: 解:∵sin(A﹣B)=1+2cos(B+C)sin(A+C) , ∴sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB, ∴sinAcosB+cosAsinB=1, ∴sin(A+B)=1, ∴sinC=1. ∵C∈(0,π) , ∴ .

∴△ABC 的形状一定是直角三角形. 故选:D. 点评:本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.
2

12. (理)若不等式 x ﹣logax<0 在(0, )内恒成立,则 a 的取值范围是( A. 0<a< ≤a<1 B. <a<1

) D.

C. 0<a≤

考点:函数恒成立问题. 专题:计算题;数形结合. 分析:作出函数 y= 的图象, 结合题意可得 0<a<1, 作出函数 y=logax (0

<a<1)的图象,结合图象确定 a 的取值范围 解答: 解:由题意可得,a>1 不符合题意,故 0<a<1, 分别作出函数 f(x)= ,函数 g(x)=logax(0<a<1)的图象

而函数
2

单调递增,函数 g(x)=logax 在(0, )单调递减

若不等式 x ﹣logax<0 在(0, )内恒成立,只需 f( )≤g( )即 从而可得 故选:A

点评:函数的图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供“形”的直观性,是探求 解题途径、获得解题结果的重要工具,应重视数形结合解题单调思想方法 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)=cos2x﹣2 sinxcosx 的最小正周期是 π . 考点:三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性得出结论. 解答: 解:函数 f(x)=cos2x﹣2 期为 =π, sinxcosx=cos2x﹣ sin2x=2cos(2x+ )的最小正周

故答案为:π. 点评:本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,余弦函数的周期性和求法,属于基础 题. 14.等差数列{an}中,a2=9,a5=33,{an}的公差为 考点:等差数列. 专题:计算题. 分析:由题设知 ,由此能求出公差 d 的值. 8 .

解答: 解:∵等差数列{an}中,a2=9,a5=33, ∴ ,

解得 a1=1,d=8. 故答案为:8. 点评:本题考查等差数列的性质和应用,解题时要注意等差数列通项公式的合理运用. 15.如图:在山脚下 A 测得山顶 P 的仰角为 a,沿倾斜角为 β 的斜坡向上走 a 米到达点 B,在 B 处测得山顶 P 的仰角为 γ,则山高 PQ 为 米.

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 过 B 作 BC 垂直于 PQ, 过 B 作 BD 垂直于 AQ, 可得 BD=CQ, 由已知条件表示出∠PAB 及∠BPA,在三角形 ABP 中,由 a,sin∠PAB 及 sin∠BPA,利用正弦定理表示出 PB,在直 角三角形 PBC 中,由 PBsinγ 表示出 PC,在直角三角形 ABD 中,由 asinβ 表示出 BD,即为 CQ 的长,然后由 PC+CQ 表示出 PQ 即可.

解答: 解:过 B 作 BC⊥PQ,交 PQ 于点 C,过 B 作 BD⊥AQ,交 AQ 于点 D, 可得 BD=CQ, 在△ PAB 中,∠PAB=α﹣β,∠BPA=( ∴ = ﹣α)﹣( ﹣γ)=γ﹣α, ,

,即 PB=

则 PQ=PC+CQ=PB?sinγ+asinβ = = = ?sinγ+asinβ

=

= 故答案为:



点评: 此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:正弦定理,锐角三角函数定义,以及直 角三角形的边角关系,利用正弦定理表示出 PB 是解本题的关键. 16.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 4 . 考点:基本不等式;简单线性规划的应用. 专题:计算题. 分析:首先分析题目由已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求 x+2y 的最小值,猜想到基本不等 式的用法,利用 a+b≥2 代入已知条件,化简为函数求最值. 解答: 解:考察基本不等式 x+2y=8﹣x?(2y)≥8﹣( 整理得(x+2y) +4(x+2y)﹣32≥0 即(x+2y﹣4) (x+2y+8)≥0,又 x+2y>0, 所以 x+2y≥4(当且仅当 x=2y 时取等号) 则 x+2y 的最小值是 4 故答案为:4. 点评:此题主要考查基本不等式的用法, 对于不等式 a+b≥2 用非常广泛,需要同学们多加注意.
2

) (当且仅当 x=2y 时取等号)

2

在求最大值最小值的问题中应

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (1)解不等式﹣
2

<﹣2;
2

(2)已知集合 A={x|x ﹣x﹣6<0},B={x|x +2x﹣8>0},求 A∩B. 考点:交集及其运算;一元二次不等式的解法. 专题:集合. 分析: (1)不等式整理后,求出解集即可; (2)分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 2 解答: 解: (1)不等式整理得:x +2x﹣1>0, 解得:x<﹣1﹣ 或 x>﹣1+ ; (2)由 A 中不等式变形得: (x﹣3) (x+2)<0, 解得:﹣2<x<3,即 A={x|﹣2<x<3}, 由 B 中不等式变形得: (x﹣2) (x+4)>0, 解得:x<﹣4 或 x>2,即 B={x|x<﹣4 或 x>2}, 则 A∩B={x|2<x<3}. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2 +

n

(n∈N+)

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(an﹣n) (3n﹣1) ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1) 由 Sn=2 + 可得出. (2)bn=(an﹣n) (3n﹣1)=(3n﹣1)?2 即可得出. 解答: 解: (1)∵Sn=2 + ∴当 n=1 时,a1=S1=2; 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2 + 当 n=1 时,上式成立. ∴数列{an}的通项公式 an=2 +n. n﹣1 (2)bn=(an﹣n) (3n﹣1)=(3n﹣1)?2 , 2 n﹣1 ∴{bn}的前 n 项和 Tn=2×1+5×2+8×2 +…+(3n﹣1)×2 , 2 n﹣1 n 2Tn=2×2+5×2 +…+(3n﹣4)×2 +(3n﹣1)×2 , ∴﹣Tn=2+3×2+3×2 +…+3×2 ﹣4, ∴Tn=(3n﹣4)×2 +4. 点评:本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”、递推式 的应用,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题. 19.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且(b﹣ (1)求角 A, (2)若 a= ,cosB= ,D 为 AC 的中点,求 BD 的长度. )cosA+acosB=0.
n 2 n﹣1 n﹣1 n n n﹣1 n

(n∈N+) , 可得当 n=1 时, a1=S1; 当 n≥2 时, an=Sn﹣Sn﹣1. 即

,利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式

(n∈N+) ,



=2

n﹣1

+n.

﹣(3n﹣1)×2 =

n

﹣1﹣(3n﹣1)×2 =(4﹣3n)×2

n

n

考点:正弦定理;余弦定理. 专题:计算题;解三角形. 分析: (1) )△ ABC 中,由 acosB=( c﹣b)cosA,利用正弦定理求得 cosA= ,可得

A 的值. (2)△ ABC 中,先由正弦定理求得 AC 的值,再由余弦定理求得 AB 的值,△ ABD 中,由余 弦定理求得 BD 的值.

解答: 解: (1)△ ABC 中,由 acosB=( sinAcosB= sinCcosA﹣sinBcosA, 化简可得 sin(A+B)= ∴A= . ,可得 sinB=

c﹣b)cosA,利用正弦定理可得

sinCcosA,即 sinC=

sinCcosA,求得 cosA=



(2)由 cosB=

,再由正弦定理可得

,即

,求得

b=AC=2. △ ABC 中,由余弦定理可得 BC =AB +AC ﹣2AB?AC?cos∠A,即 10=AB +4﹣2AB?2? 求得 AB=3 .
2 2 2 2 2 2 2



△ ABD 中,由余弦定理可得 BD =AB +AD ﹣2AB?AD?cos∠A=18+1﹣6 ∴BD= . 点评:本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基本知识的考查. 20.已知等差数列{an}的公差为﹣1,且 a2+a7+a12=﹣6, (1)求数列{an}的通项公式 an 与前 n 项和 Sn;

?

=13,

(2)若{bn}是首项为 4,公比为 的等比数列,前 n 项和为 Tn,求证:当 t>6 时,对任意 n, m∈N ,Sn<Tm+t 恒成立. 考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)根据题设条件,利用等差数列通项公式求出公差,由此能求出数列{an}的通项 公式 an 与前 n 项和 Sn. (2)由已知条件,利用等比数列前 n 项和公式求出 Tn,分别求出 Tn 的最小值和 Sn 的最大值, * 由此能够证明当 t>6 时,对任意 n,m∈N ,Sn<Tm+t 恒成立. 解答: (本题满分 14 分) 解: (1)∵等差数列{an}的公差为﹣1,且 a2+a7+a12=﹣6, ∴3a7=﹣6,解得 a7=﹣2, ∵a7=a1+6(﹣1)=﹣2,解得 a1=4, (3 分) ∴an=a1+(n﹣1)d=5﹣n, (5 分) ∴ = . (7 分)
*

(2)∵{bn}是首项为 4,公比为 的等比数列,前 n 项和为 Tn,

∴Tn=

=8,Tm≥T1=4, (9 分)

又∵

=﹣ (n ﹣9n)=﹣ ,

2

∴(Sn)max=S4=S5=10, (11 分) * 当 t>6 时,对任意 m,n∈N ,Tm+t>T1+6>10≥Sn, * ∴当 t>6 时,对任意 n,m∈N ,Sn<Tm+t 恒成立. (14 分) 点评:本题考查数列的通项公式的求法,考查数列前 n 和的应用,是中档题,解题时要注意 等价转化思想的合理运用. 21.在锐角△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 4sin (1)求角 A 的大小; (2)若 BC 边上高为 1,求△ ABC 面积的最小值? 考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值. 专题:解三角形. 分析: (1)利用三角形内角和,转化 B+C,用诱导公式、降幂公式、倍角公式化简,得到 关于 cosA 的方程,求得 cosA,进而求得 A. (2)在 Rt△ ABD,Rt△ ACD 中,sinB= ,sinC= ,代入三角形面积公式,求得面积的最值, 只需化简求表达式中分母的最值,将 C 用 B 表示,利用两角和公式化简,利用 B 的范围求得 分母的最值,进而求得面积的最值. 解答: 解: (1)∵A+B+C=π, ∴sin ∵4sin
2 2

﹣cos2A= .

=sin

=cos ,

﹣cos2A= . ﹣cos2A= .
2

∴4cos

2

∴2(1+cosA)﹣(2cos A﹣1)= , 整理得(2cosA﹣1) =0, ∴cosA= , ∵0<A<π, ∴A= .
2

(2)过点 A 作 AD⊥BC,在 Rt△ ABD,Rt△ ACD 中,sinB= ,sinC= , S△ ABC= bcsinA= × 设 y=4sinBsinC, 则 y=4sinBsin( ﹣B)=2 sinBcosB+2sin B=
2

×

×

=



sin2B+1﹣cos2B=2sin(2B﹣

)+1,

∵0<B< ∴ <B<

,0< , =

< <2B﹣

, < ,

∴当 2B﹣

,即 B=

时,y 有最大值为 3, .

∴此时 S 有最小值,为

点评:本题主要考查了两角和与差的争先公式,二倍角公式,诱导公式,三角函数最值等基 础知识.考查运用三角公式进行三角变换的能力和计算能力. 22.设函数 f(x)=﹣4x+b,且不等式|f(x)|<c 的解集为{x|﹣1<x<2}. (1)求 b 的值; (2)解关于 x 的不等式(x+m)?f(x)>0(m∈R) . 考点:其他不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)解绝对值不等式|f(x)|<c,结合不等式|f(x)|<c 的解集为{x|﹣1<x<2}.我 们可以构造关于 b,c 的方程组,解方程组即可得到 b 的值; (2)由于不等式中含有参数 m,故我们要对参数 m 进行分类讨论,分 m=﹣ ,m>﹣ ,m <﹣ 三种情况进行讨论,最后综合讨论结果即可得到答案 解答: 解: (1)∵f(x)=﹣4x+b ∴|f(x)|<c 的解集为{x| (b﹣c)<x< (b+c)} 又∵不等式|f(x)|<c 的解集为{x|﹣1<x<2}. ∴ (b﹣c)=﹣1, (b+c)=2 解得:b=2; (2)由(1)得 f(x)=﹣4x+2, ∵(x+m)?f(x)>0,化为(x+m) (x﹣ )<0, 当 m=﹣ 时,不等式的解集为空集, 当 m>﹣ 时,解集为(﹣m, ) , 当 m<﹣ 时,解集为( ,﹣m) 点评:本题考查的知识点是绝对值不等式的解法,一元二次不等式的应用,其中(1)的关键 是解绝对值不等式并根据已知构造关于 b,c 的方程组, (2)的关键是对参数 m 分 m=﹣ ,m >﹣ ,m<﹣ 三种情况进行讨论.


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