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2.5等比数列前n项和公式的推导(1)


细节决定成败 态度决定一切

复习
等差数列 等比数列
an ?1 ?q an

定义 通项 公式

an?1 ? an ? d
an ? a1 ? ( n ? 1)d

an ? a1q
(m, n, r , s ? N * )

n ?

1
n?m

an ? am ? (n ? m)d

性质

m?n ? r ?s

an ? am q

am ? an ? ar ? as

am an ? ar as

Sn

n(a1 ? an ) Sn ? 2
Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d 2

预备知识:

?

Sn = a1 + a2 +…+an Sn – Sn-1 (n 》2)

? Sn-1=a1+a2+…+an-1(n >2) ? an=

问题:如何来求麦子的总量?
即求:1,2,22,··,263的和; ·· ··
令:S64=1+2+22+······+262+263 得: 2S64= 2+22+23+······ +263+264


错位相减得: S64= 264 – 1 > 1.8 ×1019
以小麦千粒重为40麦子质量超过7000亿吨!
麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出的。

等比数列的前n项和
设等比数列 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?
它的前n项和是 即

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
2 n?2

S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q

? a1q

n ?1

.



⑴×q, 得

qSn ?
⑴-⑵,得
由此得q≠1时,

a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n?2 ? a1q n?1 ? a1q n .

?1 ? q ?? S n ? a1 ? a1q
a1 ? 1 ? q Sn ? 1? q



n

?

n

?

,

说明:这种求和方法称为错位相减法

当q≠1时,


a1 ? 1 ? q n Sn ? 1? q

?

?

a1q n ? a1q n ?1 ? q ? an q,
a1 ? an q Sn ? 1? q

?

?



显然,当q=1时,

S n ? na1

等比数列的前n项和表述为:

Sn ?

{

na1 ,
a1 ? 1 ? q 1? q

( q=1).
n

?

?? a ?a q,
1 n

1? q

(q≠1).

等比数列的前n项和公式
已知 a1 、n、 q时 已知 a1 、an、 q时

? a1 (1 ? q n ) ( q ? 1) ? ? 1? q Sn ? ? ?na ( q ? 1) 1 ? ?

? a1 ? an q (q ? 1) ? 1? q Sn ? ? ?na1 (q ? 1) ?

等比数列前n项和公式 你了解多少?

(1) 等比数列前n项和公式: 利用“错位相减法”推 na1 (q=1) 导 na1 (q=1) Sn= Sn= n

{

a1 (1 ? q ) (q=1)
1-q

{

a1 ? an q
1-q

(q=1)

(2) 等比数列前n项和公式的应用: 1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提; 2.在使用公式时,要根据题意,适当选择公式。

例1、求下列等比数列前8项的和
(1) 1 1 1 , , ,? 2 4 8

(2)a1 ? 27, a9 ?

1 ,q ? 0 243

1 1 (1 解: ) 因为 a1 ? 2 , q ? 2
Sn ? 1 2

所以当n ? 8时

8 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? 255 1 256 1? 2

1 1 ? 27 ? q 8 ( 2) 由a1 ? 27 , a9 ? , 可得 : 243 243

又由q ? 0, 可得:

q??
Sn

于是当n ? 8时

8 ? ? 1? ? 27 ?1 ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 1640 ? 1 81 1 ? (? ) 3

1 3

例2、在等比数列?a n ? 中,求满足下列条件的 量 :
(1)a1 ? a3 ? 2, 求sn

(3)a1 ? 1,a n ? ?512 , s n ? ?341 .求q和n

1 (2)q ? 2, n ? 5, a1 ? .求an 和sn 2

1 (1 ? a ? 2 n 5 a 解: ) ?q 1 ? ,a3?? ,2 1 ? 2 a ? 1, a ? ?512, S ? ?341代入S ? a1 ? an q 可得 (3)将 1 n n 1? q 2n 2 ? q ? 1 q n ?1 1 即 ?? a1 1 ? q n 说明:1.1a?q?512 n q? 代入a n ?在利用公式,一定要注 意q的取值,应把它 , s) 得: 1( 12, q ?q ? ? 1时,数列为常数列 2, 2, ,所以 .解得:? 当q341 ? 作为第一要素来考虑。 ? ?2 S n ? na1 ? 2n 1 1? q 4 4 a5 ? a1q ? ? 2 ? 8 2 在五个变量 a ? n )n512 S?n( ?1? (?2) n ?1 )n ] 2. a q n ?1 , a1 (11 ,qq,? , an2,[1?中,只知三可求二, n 因为a n ? 1 所以 1 1 1? q 1 ( ?1) ?并且要根据具体题意,?选择适当的公式。 1 ?105 2n 解得: n ? 1 31 5 2 s5 ? ? ? 2 ?1 ? 1? 2 2 2

?

?

当q ? ?1时,S ?

?

?

?

?

?

? 1 ? (?1)

? 1.数列{2n-1}的前99项和为( ) ? A.2100-1 B.1- 2100 ? C.299-1 D.1-299
1×?1-299? 99 解析:a1=1,q=2,∴S99= =2 -1. 1-2
答案:C

? 2.在等比数列{an}中,已知a1=3,an=96 ,Sn=189,则n的值为( ) ? A.4 B.5 ? C.6 D.7
解析:an=a1· q
n-1

=96=3· q

n-1

,∴q

n-1

a1-anq =32,Sn= 1-q

3-96q 1-32q = =189, =63.解得q=2.∴n=6. 1-q 1-q

答案:C

? 3.已知等比数列{an}中,an>0,n=1,2,3, ?,a2=2,a4=8,则前5项和S5的值为 ________.
1-25 解析:易求得q=2,a1=1.∴S5= =31. 1-2
答案:31

? 4.求Sn=x+2x2+3x3+?+nxn(x≠0).

n?n+1? 解:当x=1时,Sn=1+2+3+?+n= 2 ; 当x≠1时,xSn=x2+2x3+3x4+?+(n-1)xn+nxn+1, ∴(1-x)Sn=x+x2+x3+?+xn-nxn+1, x?1-xn? ∴(1-x)Sn= -nxn+1, 1-x x + ∴Sn= [nxn 1-(n+1)xn+1], ?1-x?2

?n?n+1? ?x=1?, ? 2 ∴Sn=? ? x 2[nxn+1-?n+1?xn+1]?x≠1?. ??1-x?

(一) 用等比定理推导 因为 所以

合比定理:

当 q = 1 时 Sn = n a1

Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an
= a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1

= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
a1 ( 1 – q n )
1–q

Sn =

(q ? 1)
递推公式:

? 答案: B

1 1.在等比数列{an}中,若 a1=1,a4=8,则该数列的前 10 项和为( ) 1 1 A.2- 8 B.2- 9 2 2 1 1 C.2-210 D.2-211 1 1 3 3 解析: 因为 a4=a1q =q = ,所以 q= , 8 2 ?1? 1-?2?10 1 ? ? 所以 S10= 1 =2-29.故选 B. 1- 2

? 2.在等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44, 则a1的值为( ) ? A.4 B.-4 ? C.2 D.-2
a1?1-q5? 解析: S5= 1-q a1[1-?-2?5] ∴44= 1-?-2? ∴a1=4,故选 A.

? 答案: A

解析: 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=2n- 1.易知等比数列{an}的公比 q=2,首项 a1=1, ? 3.在等比数列{a }中,已知a +a
n-1,则a -1, ∴an=2n-1,于是 an2=4n12+a22+?+an +an=2

n

1

2+? 2等于

∴a1 +a2 +?+an =1+4+4 +?+4

________. 2 2

2

2

n-1

1 n = (4 -1) 3

1 n 答案: 3(4 -1)

解析:

①当 q=1 时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;

a1?1-q3? ? ②当 q≠1 时, n}是等比数列,其前n项和为 4.设数列{a =3a1q2, 1-q 因为 a1≠0,所以 1-q3=3q2(1-q), 因为 q≠1, 所以 1-q≠0,化简得 1+q+q2=3q2, 1 解得 q=-2或 q=1(舍) 1 综上,q 的值为 1 或-2.

Sn,且S3=3a3,求公比q的值.

某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销 售量 例3: 比上一年的销售量增加 10 %,那么从今年起,大约 几年 可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位) ?
分析:第1年产量为 第2年产量为 第3年产量为 5000台 5000×(1+10%)=5000×1.1台 5000×(1+10%) ×(1+10%)

……
第n年产量为
n ?1

? 5000?1.12台

5000 ?1.1 台

则n年内的总产量为:

5 ? 5 ?1.1 ? 5 ?1.12 ? ? ? 5 ?1.1n?1

某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销 售量 例3: 比上一年的销售量增加 10 %,那么从今年起,大约 几年 可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位) ?
分析:本例相当于在等 比数列?an ? ,求满足S n ? 30000 n值。 的
,每年的销售量成等比 数列 解: 由题意可知,从今年起 a1 ? 5000 q ? (1 ? 10%) ? 1.1, S n ? 30000 ,

由公式得: 30000 ?
整理得 .1n ? 1.6 1

5000(1?1.1n ) 1?1.1

两边取对数,得 lg1.1 ? lg1.6, n

用计算器算得 n ?

lg1.1 lg1.6

?

0.2 0.041

?5

答:从今年起,大约 年可使总销售量达到 5 30000 台。

[例1] 已知数列{an}为等比数列,a1+a3=10,a4+a6= 5 4,求a4和S5.

[分析]

5 先由a1+a3=10与a4+a6= ,求出a1与q,代 4

入Sn公式求S5.

[解] 设等比数列的公比为q,则有

?a1+a1q =10, ? ? 3 5 a1q +a1q5= . ? 4 ?
2 2 ?a1?1+q ?=10, ① ? 解得? 3 5 a1q ?1+q2?= . ② ? 4 ?

由于q≠0,1+q2≠0, ② 1 1 13 3 3 得q = 8 .∴q= 2 .∴a1=8,a4=a1q =8×( 2 ) =1,S5= ① 1 8×[1-? ?5] 2 31 =2. 1 1- 2

[点评]

a1?1-qn? 在等比数列求和公式Sn= 中,只要能求 1-q

出a与q即可.

1 1 迁移变式1 求等比数列1,3,9,?的前6项和. 16 1×[1-? ? ] 3 1 3 解:∵a1=1,q= ,n=6.∴S6= = ×[1- 3 1 2 1- 3

1 6 364 (3) ]=243.

7 63 [例2] 在等比数列{an}中,S3=2,S6= 2 ,求an.

? [分析] 由题目可获取以下主要信息:已知 等比数列的前3项和前6项的和,求其通项 .解答本题可直接利用前n项和公式,列方 程求解.

[解] 由已知S6≠2S3,则q≠1, 7 63 又S3= ,S6= , 2 2

?a1?1-q ? 7 ? 1-q =2 即? a1?1-q6? 63 ? = 2 ? 1-q
3

① ②

②÷ ①得1+q3=9, ∴q=2. 将q=2代入① 1 可求得a1= , 2 因此an=a1qn-1=2n-2.

? [点评] 在等比数列{an}的五个量a1,q,an ,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,在条件 与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q 列方程组求解.

? 迁移变式2 设等比数列{an}的前n项和为Sn ,若S3+S6=2S9,求公比q的值.
解:若q=1,则S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9. ∴q≠1,由已知可得: a1?1-q3? a1?1-q6? 2a1?1-q9? + = . 1-q 1-q 1-q ∴q3(2q6-q3-1)=0. ∵q≠0,∴2q6-q3-1=0, ∴(q3-1)(2q3+1)=0. 3 1 1 ∵q≠1,∴q3=-2,∴q=- 2.

1 2 3 n [例3] 求和Sn= + 2+ 3+?+ n. a a a a

[分析]

1 { an }成等比数列,其系数构成的数列{n}成等差数

列,故可用错位相减法求前n项和.

[解] 分a=1和a≠1两种情况. n?n+1? 当a=1时,Sn=1+2+3+?+n= ; 2 1 2 3 n 当a≠1时,Sn= + 2+ 3+?+ n, a a a a 1 上式两边同乘以a,得 n-1 1 1 2 n aSn=a2+a3+?+ an +an+1, 1 1 1 1 n 两式相减,得(1-a)Sn=a+a2+?+an- n+1, a

a?an-1?-n?a-1? 即Sn= , an?a-1?2 综上所述,得

?n?n+1? ? 2 ,a=1, Sn=? n ?a?a -1?-n?a-1?,a≠1. an?a-1?2 ?

? [点评] 在求含有参数的等比数列的前n项 和时,容易忽略对a=1和q=1的讨论,从 而丢掉一种情况.

2n-1 1 3 5 迁移变式3 (1)求数列2,4,8,?, 2n 的前n项和Sn. (2)a≠0且a≠1,求1+3a+5a2+?+(2n-1)an-1.
2n-3 2n-1 1 3 5 解:(1)令Sn=2+4+8+?+ n-1 + 2n ① 2 2n-3 2n-1 1 1 3 S = + +?+ n + n+1 ② 2 n 4 8 2 2

1 1 2 2 2 2n-1 ①-②得 Sn= + + +?+ n- n+1 2 2 4 8 2 2 1 1 1 1 2n-1 = +2×( + +?+ n)- n+1 2 4 8 2 2 1 1 ×?1- n-1? 4 2 2n-1 1 =2+2× - n+1 , 1 2 1-2 2n-1 ∴Sn=1+2(1- n-1)- 2n 2 1 2n-1 3+2n =3- n-2- 2n =3- 2n . 2 1 2n+3 ∴Sn=3- 2n .

(2)Sn=1+3a+5a2+?+(2n-3)an 2+(2n-1)an aSn=a+3a2+?+(2n-3)an 1+(2n-1)an ①-②得 (1-a)Sn=1+2a+2a2+?+2an-1-(2n-1)an =1+2(a+a2+?+an-1)-(2n-1)an a?1-an-1? =1+2× -(2n-1)an 1-a 2a?1-an-1? ?2n-1?an 1 ∴Sn= + - 1-a ?1-a?2 1-a




-1





? 如图1,一个热气球在第 一分钟上升了25 m的高 度,在以后的每一分钟 里,它上升的高度都是 它在前一分钟里上升高 度的80%.这个热气球上 升的高度能超过125 m吗 ?

? [分析] 通过仔细审题,抓住“在以后每一 分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟 里上升高度的80%”这一“题眼”,从而构 造出等比数列模型——热气球在每分钟里上 升的高度组成一个等比数列,于是热气球 上升的总高度便是该等比数列的前n项和, 利用公式即可.

[解] 用an表示热气球在第n分钟上升的高度,由题意,得an+1= 4 4 a ,因此,数列{an}是首项a1=25,公比q= 的等比数列. 5 n 5 热气球在前n分钟内上升的总高度 Sn=a1+a2+?+an 4n a1?1-qn? 25[1-?5? ] = = 4 1-q 1-5 4n =125×[1-(5) ]<125. 答:这个热气球上升的高度不可能超过125 m.

[评析]

在比较Sn与125的大小时,由于n未知,容易无

4x 从下手,应考虑指数函数y=(5) ,x>0,y<1而求解.

? 迁移变式4 如果某人在听到喜讯后的1 h后 将这一喜讯传给2个人,这2个人又以同样 的速度各传给未听到喜讯的另2个人,?? ,如果每人只传2人,这样继续下去,要把 喜讯传遍一个有2047人(包括第一个人)的小 镇,所需时间为( ) ? A.8 h B.9 h ? C.10 h D.11 h

? 解析:设第n个小时后知道喜讯的总人数为 Sn,Sn=1+2+22+?+2n=2n+1-1=2047 ,n=10,故选C. ? 答案:C

1.等比数列前n项和公式中(包括通项公式中)涉及到五个 量:a1,q,n,an,Sn,已知其中三个量就可以求出另外 的两个量,但要注意灵活选取公式.如当已知a1,q,n a1?1-qn? 时,可用公式Sn= ;当已知a1,q,an时可直接用 1-q a1-anq 公式Sn= 等. 1-q

? 2.因为公比为1和不为1时等比数列前n项 和有不同的公式,所以若公比为字母时, 应进行分类讨论.这也是由公式的适用范 围引发的分类讨论的典型例子之一.

a1?1-qn? a1 a1 3.当q≠1时,Sn= =- ·n+ q ,可以看 1-q 1-q 1-q 出,式子是一个指数式与一个常数的和,并且指数式的系 数与这一常数恰好互为相反数,由此我们又得到判定一个 数列是等比数列的一种方法: 公比不为1的等比数列是Sn=mqn-m(m≠0,q≠0,q≠1, n∈N*)的充要条件.

在等比数列{an}中, (1)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; 5 (2)若 a1+a3=10,a4+a6=4,求 a4 和 S5; (3)若 q=2,S4=1,求 S8.

[解题过程]

a1?1-qn? (1)由 Sn= ,an=a1qn-1 以及已知条件得 1-q

a1?1-2n? ? ?189= , 1-2 ? ?96=a ·n-1, ? 12 192 ∴a1· =192,∴2 = a . 2 1
n n

∴189=a1(2 又∵2
n -1

n

?192 ? -1)=a1? a -1?,∴a1=3. ? 1 ?

96 = 3 =32,∴n=6.

(2)设公比为 q,由通项公式及已知条件得 ① ?a1+a1q2=10, ?a1?1+q2?=10, ? ? ? 3 即? 3 5 5 5 2 ?a1q +a1q =4, ?a1q ?1+q ?=4. ② ? ? 1 1 ∵a1≠0,1+q ≠0,∴②÷ ①得,q =8,即 q=2,∴a1=8.
2 3

∴a4=a1q

3

?1? =8×?2?3=1, ? ?

a1?1-q5? S5= = 1-q

? ?1? ? 8×?1-?2?5? ? ? ? ?

1 1- 2

31 = . 2

(3)方法一:设首项为 a1, a1?1-24? 1 ∵q=2,S4=1,∴ =1,即 a1= , 15 1-2 1 ?1-28? 8 a1?1-q ? 15 ∴S8= = =17. 1-q 1-2 a1?1-q4? 方法二:∵S4= =1,且 q=2, 1-q a1?1-q8? a1?1-q4? ∴S8= = (1+q4)=S4· (1+q4) 1-q 1-q =1×(1+24)=17.

? [题后感悟] 在等比数列{an}的五个量a1,q, an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,在条件 与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q列 方程组求解. ,

解析:

∵a1an=a2an-1=128,又 a1+an=66,

?a =2 ?a =64 ? 1 ? 1 ?∴1.在等比数列{a.n}中,a1+an=66,a2an- ? 或? ?an=64 ?an=2 ?=128,前n项和S =126,求n和q. ? 1 n

a1-anq ∵Sn= =126,an=a1qn-1, 1-q
?q=2 ? ∴? ?n=6 ?

? 1 ?q= 或? 2 . ?n=6 ?

2.在等比数列{an}中, 7 63 (1)已知 S3=2,S6= 2 ,求 an; (2)a3=-12,前 3 项和 S3=-9,求公比 q.
解析: (1)已知 S6≠2S3,则 q≠1, 7 63 又∵S3=2,S6= 2 , ?a1?1-q3? 7 ? =2 ? 1-q 即? a1?1-q6? 63 ? ? 1-q = 2 ? ① ②

②÷ ①得 1+q3=9,∴q=2. 1 将 q=2 代入①,可求得 a1=2, 因此 an=a1qn-1=2n-2.
(2)方法一:由已知可得方程组
?a =a ·2=-12 ? 3 1q ? ?S3=a1?1+q+q2?=-9 ?

① ②

1+q+q2 3 ②÷ ①得 q2 =4,即 q2+4q+4=0. 所以 q=-2.

1 方法二:a3,a2,a1 成等比数列且公比为 . q
? ?1? ? a3?1-?q?3? ? ? ? ?

所以 S3=a3+a2+a1= -12?q3-1? = 2 =-9. q ?q-1?

1 1- q

所以 q2+4q+4=0,即(q+2)2=0. 所以 q=-2.

?

已知等比数列{an}中,前10项和S10= 10,前20项和S20=30,求S30.

[解题过程] 方法一:设公比为 q,则 ?a1?1-q10? ? =10 ? 1-q ? a1?1-q20? ? ? 1-q =30 ? ② 得 1+q10=3,∴q10=2, ① ① ②

a1?1-q30? a1?1-q10? ∴S30= = (1+q10+q20) 1-q 1-q =10×(1+2+4)=70.

方法二:∵S10,S20-S10,S30-S20 仍成等比数列, 又 S10=10,S20=30, ?30-10?2 ∴S30-S20=S30-30= , 10 即 S30=70.

? [题后感悟] 等比数列前n项和的常用性质: ? (1)“片断和”性质:等比数列{an}中,公比为 q,前m项和为Sm(Sm≠0),则Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,?,Skm -S(k-1)m ,?构成公比为qm 的 等比数列,即等比数列的前m项的和与以后依 次m项的和构成等比数列.
Sn+m-Sn (2)“相关和”性质:Sn+m=Sn+q Sm?q = (q 为 Sm
n n

公比?.

? 3.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn ,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于( ) ? A.80 B.30 ? C.26 D.16

? 解析: ∵Sn ,S2n -Sn ,S3n -S2n ,S4n -S3n 成 等比数列 ? ∴(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n) ? ∴(S2n-2)2=2·(14-S2n),解得S2n=6 ? 又∵(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)·(S4n-S3n) ? ∴(14-6)2=(6-2)·(S4n-14) ? ∴S4n=30.故选B. ? 答案: B

?

已知等比数列的首项为1,项数为偶 数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170, 求这个数列的公比与项数.

? 由题目可获取以下主要信息: ? ①等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等 比数列; ? ②当项数为2n时,S偶∶S奇=q. ? 解答本题的关键是设出项数与公比,然后建立 方程组求解.

[解题过程] 设此等比数列共 2n 项,公比为 q. 由于 S 奇≠S 偶,∴q≠1. 由于奇数项依次组成以 a1 为首项,以 q2 为公比的等比 数列, a1?1-q2n? 故所有奇数项之和为 S 奇= =85① 1-q2 a2?1-q2n? 同理可得所有偶数项之和为 S 偶= 2 =170② 1-q

? ②÷①,得q=2,代入①得22n=256, ? 解得2n=8,所以这个数列共8项,公比为2.

[题后感悟] 等比数列前 n 项和的常用性质 项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为 q. (1)若共有 2n 项,则 S 偶∶S 奇=q; (2)若共有 2n+1 项, a1+a2n+2 则 S 奇-S 偶= (q≠1 且 q≠-1). , 1+q

解析: 由题意知 S 奇=S 偶+80, S2n=S +S =2S +80=-240, ?则4.等比数列{an}共2n项,其和为-240, 且奇数项的和比偶数项的和大80,求该 S -160 ∴S =-160,则 S =-80,∴q= = =2. S -80 数列的公比q.
偶 奇 偶 偶 奇 偶 奇

? ?

求数列1,3a,5a2,7a3,?,(2n-1)an-1的前n 项和(a≠0).

? 由题目可获取以下主要信息: ? ①数列的通项公式an=(2n-1)·an-1. ? ②每一项可分成两个因式,由前一个因式可构 成等差数列,后一因式可构成等比数列. ? 解答本题可选用错位相减法求数列的和.

[规范作答] 当 a=1 时数列变为 1,3,5,7,?,2n-1, n[1+?2n-1?] 2 则 Sn= =n .4 分 2 当 a≠1 时,有 Sn=1+3a+5a2+7a3+?+(2n-1)an-1① aSn=a+3a2+5a3+7a4+?+(2n-1)an② 6分 ①-②得

Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+?+2an 1-(2n-1)an, 分 8 2a?1-an 1? 即(1-a)Sn=1+ -(2n-1)an,10 分 1-a




1-?2n-1?an 2a?1-an 1? ∴Sn= + 2 .12 分 1-a ?1-a?


? [题后感悟] 错位相减法 ? 一般来说,如果数列{an}是等差数列,公差为 d;数列{bn}是等比数列,公比为q,则求数列 {anbn}的前n项和就可以运用错位相减法.

? 在运用错位相减法求数列的和时,要注意以下 四个问题: ? (1)注意对q的讨论,在前面的讨论中,我们已 知q是等比数列{bn}的公比,所以q≠0,但求和 Sn=1+2x+3x2+?+nxn-1时,就应分x=0、 x=1和x≠0且x≠1三种情况讨论. ? (2)注意相消的规律. ? (3)注意相消后式子(1-q)Sn的构成,以及其中 成等比数列的一部分的和的项数. ? (4)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这 一前提条件.如果不能确定公比q是否为1,应 分两种情况讨论,这在以前高考中经常考查.

n+1 3 4 n 5.求和:1+ 2+ 3+?+ n-1+ n . 2 2 2 2 n+1 2 3 4 解析: 设 Sn=2+22+23+?+ 2n ,①

n+1 1 2 3 4 则2Sn=22+23+24+?+ n+1 .② 2 由①-②,
?n+1 1 2 ?3 2? ?4 3? n ? n+1 ? 得2Sn=2+?22-22?+?23-23?+?+? n - n?- n+1 2? 2 ? ? ? ? ? 2 ?

2 1 1 1 n+1 =2+22+23+?+2n- n+1 2 1? 1? ?1- n? 2 ? n+1 2? 1 =2+ 1 - 2n+1 1-2 1 1 n+1 3 n+3 =2+1-2n- n+1 =2- n+1 , 2 2 n+3 ∴Sn=3- n . 2

? 1.在运用等比数列前n项和公式进行运算时应 注意以下几点: ? (1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共 有a1,an,n,q,Sn五个量,知道其中任意三 个量,都可求出其余两个量.

(2)在应用公式求和时,应注意到公式的使用条件为 q≠1,而当 q=1 时应按常数列求和,即 Sn=na1,由于非常 a1?1-qn? a1 n a1 数列的等比数列的前 n 项和 Sn= =- q+ , 1-q 1-q 1-q 可以看出,式子的组成是由一个指数式与一个常数的和构成 的,而指数式的系数与常数项互为相反数,由此可以根据前 n 项和公式判断等比数列, 即非常数列为等比数列是 Sn=aqn -a(a≠0,q≠0,n∈N*)的充分必要条件.

? (3)在公比为字母参数的等比数列求和时,应 分q=1与q≠1两种情况进行讨论.

2.等比数列前 n 项和的性质 (1)数列{an}为公比不为-1 的等比数列,Sn 为其前 n 项 和,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?,仍构成等比数列. a1 (2)在等比数列的前 n 项和公式中,如果令 A= ,那 q-1 么 Sn=Aqn-A.
(3)项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为 q. ①若共有 2n 项,则 S 偶∶S 奇=q; a1+a2n+2 ②若共有 2n+1 项,则 S 奇-S 偶= (q≠1 且 q≠- 1+q 1).

◎已知等差数列{an}的首项 a1=1, 公差 d>0, 且第二项、 第五项、第十四项分别为等比数列{bn}的第二项、第三项、 第四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn (2)设数列{cn}对任意正整数 n 都有b +b +?+b =an+1 1 2 n 成立,求 c1+c2+?+c2 009 的值.

【错解】 b1q3.

(1)设 a1+d=b1q,a1+4d=b1q2,a1+13d=

由题意,得(1+d)(1+13d)=(1+4d)2, 整理,得 d2-2d=0, 解得 d=2,d=0(舍去), ∴an=2n-1.于是 b2=a2=3,b3=a5=9,b4=a14=27, b3 所以公比 q= =3,b1=1,故 bn=b1qn-1=3n-1. b2

(2)∵an=2n-1,bn=3n 1,∴an+1=2n+1. cn-1 c1 c2 cn c1 c2 由b +b +?+b =an+1,得b +b +?+ =an, bn-1 1 2 n 1 2 cn 两式相减得 =an+1-an=2, bn 所以 cn=2bn=2·n-1, 3 ∴c1+c2+?+c2 009=2·0+2·1+2·2+?+2·2 008 3 3 3 3 =2(30+31+32+?+32 008) 1· 2 009-1? 2 009 ?3 =2· =3 -1. 3-1



c1 c2 cn c1 【错因】 由递推关系式b +b +?+b =an+1 得到b + 1 2 n 1 cn-1 c2 cn +?+ =a , 两式相减得到 =an+1-an=2 时, 忽视了 b2 bn bn-1 n n≥2 这一条件,事实上,数列{cn}的通项公式应当为分段函 数型,这是易错点.

【正解】 b1q3.

(1)设 a1+d=b1q,a1+4d=b1q2,a1+13d=

由题意,得(1+d)(1+13d)=(1+4d)2, 整理,得 d2-2d=0,解得 d=2,d=0(舍去), ∴an=2n-1.于是 b2=a2=3,b3=a5=9,b4=a14=27, b3 所以公比 q=b =3,b1=1,故 bn=b1qn-1=3n-1. 2

(2)∵an=2n-1,bn=3n 1,∴an+1=2n+1. c1 c2 cn 由b +b +?+b =an+1,得 1 2 n cn-1 c1 c2 b1+b2+?+bn-1=an(n≥2), cn 两式相减,得b =an+1-an=2, n 所以 cn=2bn=2·n-1(n≥2). 3
c1 又当 n=1 时, =a2=3,于是 c1=3b1=3, b1 由上述公式得 c1=2·1-1=2, 3



?3 ?n=1? ? ∴cn=? n-1 ?2· ?n≥2? ? 3

.

∴c1+c2+?+c2 009 =3+2·1+2·2+?+2·2 008 3 3 3 =3+2(31+32+?+32 008) 3· 2 008-1? 2 009 ?3 =3+2· =3 . 3-1

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