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近五年(2011-2015)高考新课标Ⅱ文科试题分类汇编(精校版,解析版,word版)


§1. 集合及其运算
1. (2015· 1)已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 3} ,则 A∪B=( A. )

(?1,3)

B. (?1,0)

C. (0,2)

D. (2,3) )

2. (2014·

1)已知集合 A={-2, 0, 2},B={x|x2-x-2=0},则 A ? B=( A.Φ B.{2} C.{0} D. {-2}

3. (2013· 1)已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 1} , N ? {?3, ?2, ?1,0,1},则 M I N ? ( A.{-2, -2, 0, 1} B.{-3, -2, -1, 0} C.{-2, -1, 0} 4. (2012· 1)已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( A.A? ?B B.B? ?A C.A=B D.{-3, -2, -1} )



D.A∩B=? )

5. (2011· 1)已知集合 M={0, 1, 2, 3, 4},N={1, 3, 5}, P ? M I N ,则 P 的子集共有( A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

§2. 复数计算
1. (2015· 2)若 a 为实数,且 A. -4 2. (2014· 2) A.1+2i 3. (2013· 2) A. 2 2 4. (2012· 2)复数 z ? A.2+i 5. (2011· 2)复数 A. 2 ? i B. -3

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? ( 1? i
C. 3

) D. 4

1 ? 3i ?( 1? i

) C.1-2i D.-1-2i

B.-1+2i

2 ?( 1? i
B.2

) C. 2 ) D.-1-i D.1

?3 ? i 的共轭复数是( 2?i
B.2-i

C.-1+i ) C. ?2 ? i

5i ?( 1 ? 2i
B. 1 ? 2 i

D. ?1 ? 2i

§3. 简易逻辑
1. (2014· 3) 函数 f (x)在 x = x0 处导数存在, 若 p: f ′(x0) = 0: q: x = x0 是 f (x)的极值点, 则 ( A. p 是 q 的充分必要条件
· 1 ·



B. p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D. p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件

§4. 平面向量
1. (2015· 4)向量 a = (1,-1),b = (-1,2),则(2a +b)· a =( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 ) )

? ? ? ? ? ? ? ? 2. (2014· 4)设向量 a, b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 ,则 a ? b ? (
A.1 B.2 C.3 D.5

uuu r uuu r 3. (2013· 14)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? _______.

4. (2012· 15)已知向量 a,b 夹角为 45?,且|a|=1, |2a ? b|= 10 ,则|b|=

.

5. (2011· 13)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直, 则 k= .

§5. 程序框图
1. (2015· 8)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九 章算术》中“更相减损术”. 执行该程序框图,若输入的 a、b 分别为 14、18,则输出的 a=( A. 0 B. 2 C. 4 ) D. 14

开始

2. (2014· 8)执行右面的程序框图,如果如果输入的 x,t 均为 2,则输 出的 S=( A.4 ) B.5 C.6 D.7


输入 x,t
M ?1,S ? 3

k ?1
k ?t
否 输出 S 结束

M?

M x k

S ?M ?S

k ? k ?1

· 2 ·

3. (2013· 7)执行右面的程序框图,如果输入的 N=4,那么输出的 S=( A. 1 ? C. 1 ?



1 1 1 ? ? 2 3 4 1 1 1 1 ? ? ? 2 3 4 5

1 1 1 ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 1 D. 1 ? ? ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 5 ? 4 ? 3? 2
B. 1 ?

开始

4. (2012· 6)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,?,aN,输出 A、B,则( A.A+B 为 a1,a2,?,aN 的和 B. A ? B 为 a1,a2,?,aN 的算术平均数 2 C.A 和 B 分别为 a1,a2,?,aN 中的最大数和最小数 D.A 和 B 分别为 a1,a2,?,aN 中的最小数和最大数 )

输入 a1,a2,…,aN k=1,A=a1,B=a1 x =ak x >A 是 B=x 否 x< B 否 k≥ N 是 输出 A,B 结束 开始 输入 N 否 是 A=x k=k+1

5. (2011· 5) 执行右面的程序框图, 如果输入的 N 是 6, 那么输出的 p 是 ( A.120 B.720 C.1440 D.5040



k=1, p=1 p=p· k k<N 否 输出 p 结束 k=k+1 是

§6. 线性规划
?x ? y ?1 ? 0 ? 1. (2014· 9)设 x,y 满足的约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
A.8 B.7 C.2 D.1



· 3 ·

? x ? y ? 1 ? 0, ? 2. (2013· 3)设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是( ? x ? 3, ?
A.-7 B.-6 C.-5 D.-3



3. (2012· 5)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ ABC 内部,则 z ? ? x ? y 的取值范围是( ) A. (1 ? 3,2) B.(0,2) C. ( 3 ? 1,2) D. (0, 3 ? 1)

?x ? y ? 5 ? 0 4. (2015· 14)若 x 、 y 满足约束条件 ? ?2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
?3 ? 2 x ? y ? 9 5. (2011· 14)若变量 x, y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9

.

.

§7. 数列
1. (2015· 5)1.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? ( A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 ) )

2. (2015· 9)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? A. 2 B. 1

1 , a3a5 ? 4(a4 ?1) ,则 a2 ? ( 4 1 1 C. D. 2 8
n(n ? 1) 2
n(n ? 1) 2

3. (2014· 5)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项 Sn=( A. n(n ? 1) B. n(n ? 1) C. D.



4. (2012· 12)数列{ an }满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则{ an }的前 60 项和为( A.3690 B.3660 C.1845 D.1830



5. (2014· 16)数列 {an } 满足 an?1 ?

1 , a = 2,则 a =_________. 2 1 1 ? an
.

6. (2012· 14)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q =

7. (2013· 17)已知等差数列 {an } 的公差不为零, a1 ? 25 ,且 a1 , a11 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 +a7 ????? a3 n?2 .
· 4 ·

8. (2011· 17)已知等比数列{an}中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 . 3 3 (I)Sn 为{an}的前 n 项和,证明: S n ?

1 ? an ; 2

(II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? L L ? log3 an ,求数列{bn}的通项公式.

§8. 三角函数
1. (2013· 4)在△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b ? 2 , B ? 则△ABC 的面积为( A. 2 3 ? 2 ) C. 2 3 ? 2 D. 3 ? 1 ) D.

? ? ,C ? , 6 4

B. 3 ? 1

2. (2013· 6)已知 sin 2? ? A.

2 ? 2 ,则 cos (? ? ) ? ( 3 4
1 3
C.

1 6

B.

1 2

2 3

3. (2012· 9)已知 ? >0, 0 ? ? ? ? ,直线 x = 相邻的对称轴,则 ? =( π A. 4 π B. 3 )

?
4

和x=

5? 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条 4
3π D. 4

π C. 2

4. (2011· 7)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y = 2x 上,则 cos2θ =( A. ? 4 5 ) B. ? 3 5 C. 3 5 D. 4 5

5. (2011· 11)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? cos(2 x ? ? ) ,则( ) 4 4 A.y = f (x)在 (0 , ? ) 单调递增,其图像关于直线 x ? ? 对称 2 4 B.y = f (x)在 (0 , ? ) 单调递增,其图像关于直线 x ? ? 对称 2 2 C.y = f (x)在 (0 , ? ) 单调递减,其图像关于直线 x ? ? 对称 2 4 D.y = f (x)在 (0 , ? ) 单调递减,其图像关于直线 x ? ? 对称 2 2 6. (2014· 14)函数 f (x) = sin(x+φ)-2sinφcosx 的最大值为_________. 7. (2013· 16)函数 y ? cos(2 x ? ?)( ?? ? ? ? ? ) 的图象向右平移

?
2

个单位后,与函数 y ? sin(2 x ?

? ) 3

· 5 ·

的图象重合,则 ? ? _________. 8. (2011· 15)在△ABC 中 B=120° ,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为 9. (2015· 17)在 ΔABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (Ⅰ)求 .

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ)若∠BAC=60° ,求∠B. 10. (2014· 17)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (Ⅰ)求 C 和 BD; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积. 11. (2012· 17)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, c ? 3a sin C ? c cos A . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a =2,△ABC 的面积为 3 ,求 b , c .

§9. 立体几何
1. (2015· 6)一个正方体被一个平面截取一部分后,剩余部分的三视图如 右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( A. ) D.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

1 5

2. (2015· 10)已知 A、B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90?,C 为该球面上的动点. 若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A. 36π B. 64π C. 144π ) D. 256π

3. (2014· 6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中 粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高 为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体 积的比值为( A.
17 27

) B.
5 9

C.

10 27

D.

1 3

4. (2014· 7) 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2, 侧棱长为 3 , D 为 BC 中点, 则三棱锥 A-B1DC1 的体积为( A.3 ) B. 3 2 C.1 D. 3 2

5. (2013· 9) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 0), 画该四面体三视图中的正视图时, 以 zOx 平面为投影面, 则得到正视图可以为 (
· 6 ·



A.

B.

C.

D.

6. (2012· 7)如图,网格上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体 的三视图,则此几何体的体积为( A.6 B.9 C.12 ) D.18

7. (2012· 8)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 2 ,则此球的体积为( A. 6 π B.4 3 π ) C.4 6 π D.6 3 π

8. (2011· 8)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧 视图可以为( )

A.

B.

C.

D.

9. (2013· 15)已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 3 2 ,底面边长为 3 ,则以 O 为球心,OA 为半 2 径的球的表面积为________. 10. (2011· 16)已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上, 若圆锥底面面积是这个球面面积的 3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的 16 高的比值为 .

11. (2015· 19)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10, AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4,过点 E, F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (Ⅱ)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值. 12. (2014· 18)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的点. (Ⅰ)证明:PB // 平面 AEC; (Ⅱ)设 AP=1,AD= 3 ,三棱锥 P-ABD 的体积 V= 3 ,求 A 4 点到平面 PBD 的距离.

· 7 ·

13. (2013· 18)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的 中点. (Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 A1CD ; (Ⅱ) 设A 求三棱锥 C ? A1DE 的体积. A 1 ?A C ? C B ? 2 ,AB ? 2 2 ,

A1 B1 A D
C1

C1

E

C

B

14. (2012· 19) 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱垂直底面, ∠ACB=90° ,
AC ? BC ? 1 AA1 ,D 是棱 AA1 的中点. 2

B1

A1 D C A B

(I) 证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 15. (2011· 18)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边 形,∠DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高.

§10. 排列组合、概率统计
1. (2015· 3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图, 以下结论中不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 2. (2012· 3)在一组样本数据(x1,y1) , (x2,y2) ,?, (xn,yn) (n≥2,x1, x2,?, xn 不全相等) 的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1, 2,?,n)都在直线 y ? 样本相关系数为 ( A.-1 ) C.

1 x ? 1 上,则这组样本数据的 2

B.0

1 2

D.1

3. (2011· 6)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组
· 8 ·

的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4



4. (2014· 13)甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服种选择 1 种,则他 们选择相同颜色运动服的概率为_______. 5. (2013· 13)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是_______. 6. (2015· 18) 某公司为了解用户对其产品的满意度, 从 A, B 两地区分别随机调查了 40 个用户, 根据用户对产品的满意度评分,得分 A 地区用户满意评分的频率分布直方图和 B 地区用户满 意度评分的频数分布表.

B 地区用户满意度评分的频数分布表 [50,60) [60,70) 满意度评分分组 2 8 频数 (Ⅰ)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分 的频数分布直方图, 并通过直方图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度 (不要求计算出具 体值,给出结论即可). (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度分 为三个等级; 满意度评分 低于 70 分 70 分到 80 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由. 7. (2014· 19)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民. 根据这 50 位市民 对两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)绘制的茎叶图如图: [70,80) 14 [80,90) 10 [90, 100) 6

(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数; (Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率; (Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
· 9 ·

8. (2013· 19)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未 售出的产品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得 到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如 有图所示 . 经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品.以 x(单位:t,100≤x≤150)表示下一 个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示 下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概 率. 9.(2012· 18)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格 出售. 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10
O

频率/组距
0.030 0.025 0.020
0.015 0.010

100 110 120 130 140 150

需求量/ t

(i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花, 求这 100 天的日利润 (单位: 元) 的平均数; (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 求当天的利润不少于 75 元的概率. 10. (2011· 19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指 标值大于或等于 102 的产品为优质品, 现用两种新配方 (分别称为 A 配方和 B 配方) 做试验, 各生产 了 100 件这种产品,并测 量了每件产品的质量指 标值,得到下面试验结 果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) [102,106) [106,110] 42 22 8

B 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 10 4 12 42 32 频数 (Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率;

(Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2 , (t < 94) ? y ? ? 2 , (94 ? t < 102) ,估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生 ? 4 , (t ? 102) ?
产的上述 100 件产品平均一件的利润。

· 10 ·

§11. 解析几何
1. (2015· 7) 已知三点 A(1,0) ,B(0, 3) ,C (2, 3) , 则 ?ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 ( ) A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

2. (2014· 10) 设 F 为抛物线 C: y2 = 3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30° 的直线交于 C 于 A、 B 两点, 则|AB|=( A. 30 3 ) B.6 C.12 D. 7 3

3. (2014· 12)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN=45° ,则 x0 的取值范 围是( A. [?1,1] )
1 B. [ ? 1 , ] 2 2

C. [? 2, 2]

D. [ ? 2 , 2 ] 2 2

4. ( 2013· 5 )设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 C 上的点, a 2 b2
) D.

? ,则 C 的离心率为( PF2 ? F 1F 2 , ?PF 1F 2 ? 30

A.

3 6

B.

1 3

C.

1 2

3 3

5. (2013· 10)设抛物线 C: y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点. 若|AF|=3|BF|, 则 l 的方程为( ) B. y ? D. y ?

A. y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 C. y ? 3( x ?1) 或 y ? ? 3( x ?1)

3 3 ( x ? 1) ( x ? 1) 或 y ? ? 3 3

2 2 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 2 2

6. (2012· 4)设 F1、F2 是椭圆 E:

3a x2 y2 上一点,△ ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x ? 2 a 2 b2
) D.

F1PF2 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

4 5

7. (2012· 10)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点, |AB| ? 4 3 ,则 C 的实轴长为( A. 2 8. (2011· 4)椭圆 B. 2 2 ) C.4 ) D.8

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( 16 8

· 11 ·

A. 1 3

B. 1 2

C. 3 3 )

D. 2 2

9. (2011· 9) 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点, 且与 C 的对称轴垂直. l 与 C 交于 A, B 两点, |AB|=12, P 为 C 的准线上一点,则 ? ABP 的面积为( A.18 B.24 C.36 D.48

1 10 . ( 2015· 15 )已知双曲线过点 (4, 3) ,且渐近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的标准方程 2
为 .

x2 y 2 2 11. (2015· 20)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的离心率为 ,点(2, 2 )在 C 上. a b 2
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A、B,线段 AB 的中点为 M, 证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 12. (2014· 20)设 F1 ,F2 分别是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一点 a 2 b2

且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为
3 ,求 C 的离心率; 4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 13. (2013· 20)在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 ,在 y 轴上截得 线段长为 2 3 . (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y ? x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程.
2

14. (2012· 20) 设抛物线 C: x2=2py(p>0)的焦点为 F, 准线为 l, A 为 C 上一点, 已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (I)若∠BFD=90?,△ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (Ⅱ)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值. 15. (2011· 20)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交与 A,B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值.

§12. 函数与导数
1. (2015· 11)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与
· 12 ·

DA 运动,∠BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像 大致为 ( )

A.

B.

C.

D. )

2. (2015· 12) 设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? A.

1 , 则使得 f ( x) ? f (2 x ?1) 成立的 x 的取值范围是 ( 1 ? x2
C. (? , )

1 ( ,1) 3

B. ( ??, ) ? (1, ??)

1 3

1 1 3 3

D. ( ??, ? ) ? ( , ?? ) )

1 3

1 3

3. (2014· 11)若函数 f (x) = kx-lnx 在区间(1,+ ? )单调递增,则 k 的取值范围是( A. ? ??, ?2? B. ? ??, ?1? C. ? 2, ?? ? D. ?1, ?? ? ) D. c ? a ? b )

4. (2013· 8)设 a ? log3 2 , b ? log5 2 , c ? log2 3 ,则( A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. c ? b ? a

5. (2013· 11)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是( A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 B.函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形 C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0 6. (2013· 12)若存在正数 x 使 2 ( x ? a) ? 1 成立,则 a 的取值范围是(
x



A. (??, ??) 7. (2012· 11)当 0< x ≤ A.(0, 2 ) 2

B. (?2, ??)

C. (0, ??)

D. (?1, ??) )

1 x 时, 4 ? loga x ,则 a 的取值范围是( 2
C.(1, 2 )

B.( 2 ,1) 2

D.( 2 ,2) )

(0, +?) 8. (2011· 3)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是(
A. y ? x
3

B. y ?| x | ?1 B. (0, 1 ) 4

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? 2 D. ( 1 , 3 ) 2 4

?|x|

9. (2011· 10)在下列区间中,函数 f (x) = ex + 4x - 3 的零点所在的区间为( A. (? 1 , 0) 4 C. ( 1 , 1 ) 4 2



10. (2011· 12)已知函数 y = f (x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f (x) = x2,那么函数 y = f (x)的图像
· 13 ·

与函数 y = |lgx|的图像的交点共有( A.10 个 B.9 个

) C.8 个 D.1 个 .
2

11. (2015· 13)已知函数 f (x) = ax3-2x 的图象过点(-1, 4),则 a =

12. (2015· 16)已知曲线 y ? x ? ln x 在点(1, 1)处的切线与曲线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 1相切,则

a?

.

13. (2014· 15)偶函数 y = f (x)的图象关于直线 x = 2 对称,f (3) = 3,则 f (-1) = _______. 14. (2012· 13)曲线 y ? x(3ln x ? 1) 在点(1, 1)处的切线方程为 15. (2012· 16)设函数 f ( x ) ? . .

( x ? 1)2 ? sin x 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m = x2 ? 1

16. (2015· 21)已知函数 f (x) = ln x +a(1- x). (Ⅰ)讨论 f (x)的单调性; (Ⅱ)当 f (x)有最大值,且最大值大于 2a -2 时,求 a 的取值范围. 17. (2014· 21)已知函数 f (x) = x3-3x2+ax+2,曲线 y = f (x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐 标为-2. (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)证明:当 k<1 时,曲线 y = f (x)与直线 y = kx-2 只有一个交点. 18. (2013· 21)已知函数 f ( x) ? x e . (Ⅰ)求 f ( x ) 的极小值和极大值; (Ⅱ)当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围。 19. (2012· 21)设函数 f (x) = ex-ax-2 (Ⅰ)求 f (x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f ? (x)+x+1>0,求 k 的最大值 20. (2011· 21) 已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?
2 ?x

a ln x b 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . ? , x ?1 x ln x . x ?1

§13. 几何证明选讲
1. (2015· 22)如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底

边 BC 交于 M、N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.
· 14 ·

(Ⅰ)证明:EF∥BC; (Ⅱ)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN= 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积.
2. (2014· 22)如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC

与⊙O 相交于点 B、C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线 交⊙O 于点 E. 证明:(Ⅰ)BE = EC; (Ⅱ)AD· DE = 2PB2.
3. (2013· 22)如图, CD 为 △ABC 外接圆的切线, AB 的延长线

交直线 CD 于点 D , E , F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且
BC ? AE ? DC ? AF ,B、E、F、C 四点共圆.

(Ⅰ)证明: CA 是 △ABC 外接圆的直径; (Ⅱ)若 DB ? BE ? EA ,求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与
△ABC 外接圆面积的比值.
A

4. (2012· 22)如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE

交于△ABC 的外接圆于 F,G 两点,若 CF // AB,证明: (Ⅰ)CD = BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD.
5. (2011· 22)如图,D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 上的点,且不

G

E D

F

B

C

与△ABC 的顶点重合. 已知 AE 的长为 m,AC 的长为 n,AD, AB 的长是关于 x 的方程 x2-14x+mn=0 的两个根. (Ⅰ)证明:C、B、D、E 四点共圆; (Ⅱ)若∠A=90?,且 m=4,n=6,求 C、B、D、E 所在圆的半径.

§14. 坐标系与参数方程
1. (2015· 23) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1:?

? x ? t cos ? (t 为参数, t≠0) 其中 0 ? ? ? ? , ? y ? t sin ?

在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? . (Ⅰ)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (Ⅱ)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.
2. (2014· 23)在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C

的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? , ? ?[0, ? ] . 2 (Ⅰ)求 C 的参数方程;
· 15 ·

(Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到 的参数方程,确定 D 的坐标.
? x ? 2cos t , 3. (2013· 23)已知动点 P , Q 都在曲线 C : ? ( t 为参数)上,对应参数分别为 t ? ? ? y ? 2sin t

与 t ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点. (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.
4. (2012· 23)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数),以坐标原点为极点, x 轴 ? y ? 3sin ?
?

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ = 2. 正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ( 2, ) . 3 (Ⅰ)点 A,B,C,D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2 + |PB|2 + |PC|2 + |PD|2 的取值范围.

? x ? 2cos ? 5. (2011· 23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数),M ? y ? 2 ? 2sin ? uu u v uuuv 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2.
(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

?
3

与 C1 的异于极点的

§15. 不等式选讲
1. (2015· 24)设 a,b,c,d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明:

(Ⅰ)若 ab > cd ,则 a ? b ? c ? d ; (Ⅱ) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件.
2. (2014· 24)设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | (a ? 0) .

a

(Ⅰ)证明:f (x) ≥ 2; (Ⅱ)若 f (3) < 5,求 a 的取值范围.
3. (2013· 24)设 a、b、c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 .

证明:(Ⅰ) ab ? bc ? ca ? ;(Ⅱ)

1 3

a 2 b2 c 2 ? ? ?1. b c a

· 16 ·

4. (2012· 24)已知函数 f (x) = |x + a| + |x-2|.

(Ⅰ)当 a =-3 时,求不等式 f (x) ≥ 3 的解集; (Ⅱ)若 f (x) ≤ | x-4 |的解集包含[1, 2],求 a 的取值范围.
5. (2011· 24)设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1} ,求 a 的值.

· 17 ·


1. 【答案:A】







§1. 集合及其运算
解析:因为 A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},所以 A∪B={x|-1<x<3},故选 A. 2. 【答案:B】 解析:把 M={0, 1, 2}中的数,代入等式,经检验 x = 2 满足. 所以选 B. 3.【答案:C】 解析:因为 M ? {x ?3 ? x ? 1} , N ? {?3, ?2, ?1,0,1},所以 M ? N ? { ? 2, ? 1,0} ,故选 C. 4. 【答案:B】 解析:A =(-1,2) ,故 B? ? A,故选 B. 5. 【答案:B】 解析:显然 P={1,3},子集数为 22=4,故选 B.

§2. 复数计算
1. 【答案:D】 解析:由题意可得 2 ? ai ? (1 ? i )(3 ? i ) ? 2 ? 4i ? a ? 4 ,故选 D. 2. 【答案:B】 解析:?

1 ? 3i (1 ? 3i )(1 ? i ) ?2 ? 4i ? ? ? ?1 ? 2i. 故选 B. 1? i 2 2

3.【答案:C】 解析:

2 2 2(1 ? i) 2(1 ? i) ? ? ? 1 ? i ,所以 ? 2 ,故选 C. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i ) 2 1? i

4. 【答案:D】 解析:∵ z = 5. 【答案:C】 解析:

?3 ? i = ?1 ? i ,∴ z 的共轭复数为 ?1 ? i ,故选 D. 2?i

5i ?1 ? 2i ? 5i = ? ?2 ? i ,故选 C. 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ?

§3. 简易逻辑
1. 【答案:C】 解析: 则 x0 不一定是极值点, 所以命题不是的充分条件; ? 若 f ? ( x0 ) ? 0 , ? 若 x0 是极值点, 则 f ? ( x0 ) ? 0 ,命题 p 是 q 的必要条件. 故选 C .

· 18 ·

§4. 平面向量
1. 【答案:C】 解析:由题意可得 a2=2,a· b=-3,所以(2a+b)· a=2a2+a· b=4-3=1. 2. 【答案:A】 解析: ? | a ? b |? ? ? 则 ab ? 1. 3.【答案:2】 解析:在正方形中, AE ? AD ?

? ?

? ?2 ?? ? ? ? ?2 ?? 10, ? a 2 ? b ? 2ab ? 10. ?| a ? b |? 6, ?a 2 ? b ? 2ab ? 6. 两式相减,

r uu r uuu r uuu r uuu r r uuu 1 uuu DC , BD ? BA ? AD ? AD ? DC ,所以 2 uuu r uuu r uuu r 1 uuu r uuu r uuu r uuu r 2 1 uuu r2 1 AE ? BD ? ( AD ? DC ) ? ( AD ? DC ) ? AD ? DC ? 22 ? ? 22 ? 2 . 2 2 2
uuu r uuu r
2

4. 【答案: 3 2 】 解析: ∵ | 2a ? b |= 10 , 平方得 4a2 ? 4a ? b + b2 ? 10 , 即 |b| 或 ? 2 (舍) 5. 【答案:k = 1】 解析: (a+b)· (ka-b)=0 展开易得 k=1.

?2 2 |b|

解得 | b |= 3 2 ? 6 ?0 ,

§5. 程序框图
1. 【答案:B】 解析:输出的 a 是 18,14 的最大公约数 2. 2. 【答案:D】 解析:输入的 x , t 均为2.1 ? 2 是, M ? ? 2 ? 2 , S ? 2 ? 3 ? 5 , k ? 1 ? 1 ? 2 ; 2 ? 2 是

1 1

2 M ? ? 2 ? 2 , S ? 2+5=7,k ? 2+1=3 , 3 ? 2 ,否,程序结束,输出 S ? 7 . 2
3.【答案:B】 解析:第一次循环, T ? 1, S ? 1, k ? 2 ;

1 1 , S ? 1? , k ? 3 ; 2 2 1 1 1 , S ? 1? ? ,k ? 4, 第三次循环, T ? 2?3 2 2?3 1 1 1 1 , S ? 1? ? ? ,k ? 5 第四次循环, T ? 2 ? 3? 4 2 2 ? 3 2 ? 3? 4 1 1 1 ? 此时满足条件输出 S ? 1 ? ? ,故选 B. 2 2 ? 3 2 ? 3? 4
第二次循环, T ? 4. 【答案:C】
· 19 ·

解析:由框图知其表示的是判断 x>A 得 A 应为 a1,a2,?,aN 中 的最大数,由 x<B 得 B 应为 a1,a2,?,aN 中的最小数,故 A 和 B 分别为 a1,a2,?,aN 中的最大数和最小数,故选 C. 5. 【答案:B】 解析: 可设 P1=1, k1=2, 则 P2=2, k2=3, P3=6, k3=4, P4=24, k4=5, P5=120,k5=6,P6=720,k6=7 > 6,输出 720. 故选 B.

开始 输入 a1,a2,…,aN k=1,A=a1,B=a1 x =ak x>A 否 x< B 否 k≥ N 是 A=x k=k+1

是 B=x



§6. 线性规划
1. 【答案:B】 解析:画出可行域为如图所示,由 z ? x ? 2 y ,得 y ? ? 图象可知当直线 y ? ?

是 输出 A,B 结束

1 z 1 z x ? ,平移直线 y ? ? x ? ,由 2 2 2 2

1 z x ? 经过 A 点时,直线 2 2

1 z y ? ? x ? 的截距最大,此时 z 最大. 2 2
由?

?x ? y ?1 ? 0 ?x ? 3 ,得 ? ,即 A(3,2), ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?y ? 2

此时 z 的最大值为 z=3+2× 2=7 2.【答案:B】 解析: 由约束条件作出可行域如图所示, 由 z=2x-3y 得 y ? 移直线 y ?

2 z x? . 平 3 3

2 z 2 z x ? ,由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 B 时,y 轴 3 3 3 3

上的截距最大,此时 z 取得最小值,由 ?

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? 3 得? ,即 ?x ? 3 ?y ? 4

B(3, 4) ,代入直线 z=2x-3y 得 z ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?6 ,故选 B.

3. 【答案:A】 解析: 有题设知 C(1+ 3 ,2), 作出直线 l0:? x ? y ? 0 , 平移直线 l0,

zmax =2, zmin = 1 ? 3 , 有图像知, 直线 l : z ? ? x ? y 过 B 点时, 过 C 时,
∴ z ? ? x ? y 取值范围为( 1 ? 3 ,2),故选 A. 4. 【答案:8】 解析:不等式表示的可行域是以(1, 1),(2, 3),(3, 2)为顶点的三角形区域,z = 2x + y 的最大值 必在顶点处取得,经验算,当 x=3,y=2 时,zmax=8. 5. 【答案:-6】

?3 ? 2 x ? y ? 9 解析:只需画出线性区域 ? 即可. 易得 z=x+2y 的最小值为-6. ?6 ? x ? y ? 9
· 20 ·

§7. 数列
1. 【答案:A】 解析: a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 3 ? a3 ? 1, S5 ? 2. 【答案:C】 解析:由 a42 =a3· a5= 4(a4-1),得 a4 = 2,所以 q3 ? 3. 【答案:A】 解析: ∵d=2, a2, a4, a8 成等比, ∴a42 = a2· a8,即 a42=(a4-4)(a4 + 8), 解得 a4=8, ∴a1=a4-3× 2=2, ∴ Sn ? na1 ? 4. 【答案:D】

5 ? a1 ? a5 ? ? 5a3 ? 5 . 2
1 a4 ? 8 ? q ? 2 ,故 a2 ? a1q ? . 2 a1

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? 2n ? ? 2 ? n(n ? 1) ,故选 A. 2 2

a3 ? a2 =3②, a4 ? a3 =5③, a5 ? a4 =7, a6 ? a5 =9, a7 ? a6 解析: 【法 1】 有题设知 a2 ? a1 ? 1 ①,
=11, a8 ? a7 =13, a9 ? a8 =15, a10 ? a9 =17, a11 ? a10 =19, a12 ? a11 ? 21 ,?? ∴②-①得 a1 ? a3 =2 ,③+②得 a4 ? a2 =8 ,同理可得 a5 ? a7 =2, a6 ? a8 =24, a9 ? a11 =2,

a10 ? a12 =40, a9 ? a11 , a5 ? a7 , a2 ? a4 , a6 ? a8 , ?, ∴ a1 ? a3 , ?, 是各项均为 2 的常数列, a10 ? a12 , ? , 是 首 项 为 8 , 公 差 为 16 的 等 差 数 列 , ∴ { an } 的 前 60 项 和 为
1 15 ? 2 ? 15 ? 8 ? ?16 ?15 ?14 =1830. 2
【法 2】 bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 1 ?0
5. 【答案:

1 5? 1 4 ? S1 5 1 ?0 1 ?5 ? 2

1 ?6 ? 1830

1 】 2
1 1 1 1 ,∵ a8 ? 2 ,∴ a7 ? 1 ? ? , a6 ? 1 ? ? ?1 , an ?1 a8 2 a7

解析:由已知得 an ? 1 ?

a5 ? 1 ?

1 1 1 ? 2 , a4 ? ,a3 ? ?1,a2 ? 2,a1 ? . 2 2 a6

6. 【答案:-2】 解析:当 q =1 时, S3 = 3a1 , S2 = 2a1 ,由 S3+3S2=0 得, 9a1 =0,∴ a1 =0 与{ an }是等比数列

a1 (1 ? q3 ) 3a1 (1 ? q 2 ) 矛盾,故 q ≠1,由 S3+3S2=0 得, ? ? 0 ,解得 q =-2. 1? q 1? q
7.解析: (Ⅰ)设{an}的公差为 d. 由题意,a112=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去) ,d=-2. 故 an=-2n+27. (Ⅱ)令 Sn=a1+a4+a7+?+a3n-2. 由(Ⅰ)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差
· 21 ·

为-6 的等差数列.从而 Sn=

n n (a1+a3n-2)= (-6n+56)=-3n2+28n. 2 2

1 1 (1 ? n ) n 1 1 n ?1 1 n 3 ? 1 ? 3 ,? S ? 1 ? an 8.解析: (Ⅰ)∵ an ? ( ) ? ( ) , Sn ? 3 n 1 3 3 3 2 2 1? 3 n(n ? 1) ( 1 ? 2 ? 3 ? L ? n)= ? (Ⅱ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ???? ? log3 an ? ? ,? 数列{ bn } 2 n(n ? 1) 的通项公式为 bn ? ? 2
§8. 三角函数
1.【答案:B】

? ? 7? b c , C ? ,所以 A ? ? .由正弦定理得 ,解得 c ? 2 2 .所以三 ? ? 6 4 12 sin sin 6 4 1 1 7? 角形的面积为 bc sin A ? ? 2 ? 2 2 sin . 2 2 12
解析:因为 B ? 因为 sin 所以

7? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 1 2 3 1 ? sin( ? ) ? sin cos ? cos sin ? ? ? ? ? ( ? ), 12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 bc sin A ? 2 2 ? ( ? ) ? 3 ? 1 ,故选 B. 2 2 2 2

2.【答案:A】

1 ? cos 2(? ? ) 1 ? cos(2? ? ) 2 4 ? 2 ? 1 ? sin 2? , 解析:因为 cos (? ? ) ? 4 2 2 2 2 1? ? 1 ? sin 2? 2 3 ? 1 ,故选 A. 所以 cos (? ? ) ? ? 4 2 2 6

?

?

?

3. 【答案:A】

? 5? ? ? ? ? ? , ∴ ? =1, ∴ ? ? = k? ? ( k ? Z ) , ∴ ? = k? ? ( k ? Z ) , 4 2 ? 4 4 4 ? ∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? = ,故选 A. 4
解析: 由题设知, = 4. 【答案:B】

3 解析:易知 tan ? =2,cos ? = ? 1 .由 cos2θ=2,cos2θ-1= - ,故选 B. 5 5
5. 【答案:D】
· 22 ·

解析:因为 f ? x ? ? 2sin(2 x ? ? ) ? 2cos2x . 所以 f (x) 在 (0 , ? ) 单调递减,其图像关于直线 2 2 ? x ? 对称. 故选 D. 2 6. 【答案:1】 解析: ∵f (x) = sin(x+φ)-2sinφcosx = sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx = sinxcosφ-sinφcosx = sin(x-φ) ≤ 1,∴f (x)的最大值为 1. 7.【答案:

5? 】 6

? ? ? 个单位,得到 y ? sin(2 x ? ) ,即 y ? sin(2 x ? ) 3 3 2 ? ? ? 向左平移 个单位得到函数 y ? cos(2 x ? ? ) ,所以 y ? sin(2 x ? ) 向左平移 个单位,得 3 2 2
解析:函数 y ? cos(2 x ? ? ) ,向右平移

? ? ? ? ? ? y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? cos( ? 2 x ? ) 2 3 3 3 2 3 5? 5? . ? cos(2 x ? ) ,即 ? ? 6 6
8. 【答案: S ?

15 3 】 4

解析:由余弦定理得 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos120? ,所以 BC=3,有面积公式得

S?

15 3 . 4

9.解析: (Ⅰ)由正弦定理得

AD BD AD DC ? , ? . 因 为 AD 平 分 sin ?B sin ?BAD sin ?C sin ?CAD sin ?B DC 1 ? ? . ?BAC, DB ? 2 DC, 所以 sin ?C BD 2

(Ⅱ)因为

?C ?1 8 0? ? ( B ?A C ? ? B) , ? BAC ? 6, 0所 ? 以 sin ?C ? s i n ? B ( A C ? ?B )
?B s n i ? , ?C 所以 tan ?B ?

?

3 1 (Ⅰ) 知2 s n i cos ?B ? sin ?B. 由 2 2

3 , 即 ?B ? 30? . 3

10. 解析: (Ⅰ)在△BCD 中,BC=3,CD=2,由余弦定理得:BD2 = BC2+CD2-2BC· CDcosC = 13 -12cosC ①, 在△ABD 中, AB=1, DA=2, A+C=π, 由余弦定理得: BD2 = AB2+AD2 -2AB· ADcosA = 5-4cosA = 5+4cosC ②, 由①②得: cosC ? (Ⅱ)∵ cosC ?

1 , 则 C=60° , BD ? 7 . 2

3 1 1 , cosA ? ? ,∴ sinC ? sinA ? ,则 2 2 2

S?

1 1 1 3 1 3 AB ? DAsinA ? BC ? CDsinC ? ? 1 ? 2 ? ? ? 3? 2 ? ?2 3. 2 2 2 2 2 2

11. 解析: (Ⅰ)由 c ? 3a sin C ? c cos A 及正弦定理得 3sin Asin C ? cos Asin C ? sin C ,由于
· 23 ·

sin C ? 0 ,所以 sin( A ?
(Ⅱ)?ABC 的面积 S = 解得 b ? c =2.

?
6

)?

1 ? ,又 0 ? A ? ? ,故 A ? . 2 3

1 2 2 2 2 2 bc sin A = 3 , 故 bc =4, 而 a ? b ? c ? 2bc cos A , 故 c ? b =8 , 2
§9. 立体几何

1. 【答案:D】 解析:截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的 1 ,所以截去部分体积与剩余部 6 分体积的比值为 1 . 5 2. 【答案:C】 解析:设球的半径为 R,则△AOB 面积为 距离最大且为 R,此时 V ? 3. 【答案:C】 解析:原来毛坯体积为:π· 32· 6=54π (cm2),由三视图得,该零件由左侧底面半径为 2cm,高 为 4cm 的圆柱和右侧底面半径为 3cm ,高为 2cm 的圆柱构成,所以该零件的体积为: π· 32· 2+π· 22· 4=34π (cm2),则切削掉部分的体积为 54π-34π =20π(cm2),所以切削掉部分的体积 与原来毛坯体积的比值为 20? ? 10 ,故选 C. 54? 27 4. 【答案:C】 解析:∵B1C1 // BD,∴BD // 面 AB1C1,点 B 和 D 到面 AB1C1 的距离相等,? VD-AB1C1 ? VB-AB1C1

1 2 R ,三棱锥 O-ABC 体积最大时,C 到平面 AOB 2

1 3 R ? 36 ? R ? 6 ,所以球 O 的表面积 S ? 4? R 2 ? 144? . 6

1 1 ? VC1 -ABB1 ? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 1, 故选 C. 3 2
5.【答案:A】 解析: 在空间直角坐标系中, 先画出四面体 O-ABC 的直观图, 以 zOx 平面为投影面,则得到正视图如右图,故选 A. 6. 【答案 B】 解析:由三视图知,其对应几何体为三棱锥,其底面为一边长为 6,这边上高为 3,棱锥的高 为 3,故其体积为 ? ? 6 ? 3 ? 3 =9,故选 B. 7. 【答案:B】 解析:设求圆 O 的半径为 R,则 R ? 12 ? ( 2) 2 ? 3 ,?V ? 8. 【答案:D】
· 24 ·

1 1 3 2

4 ? R 3 ? 4 3? . 3

解析:由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥,后面是一个圆锥,故选 D. 9.【答案: 24? 】 解析:设正四棱锥的高为 h ,则 V ? ? ( 3) 2 h ?

1 3

3 2 ,解得高 h ? 3 2 . 则底面正方形的对 2 2

角线长为 2 ? 3 ? 6 , 所以 OA ? ( 3 2 )2 ? ( 6 )2 ? 6 , 所以球的表面积为 4? ( 6)2 ? 24? . 2 2 10.解析:由圆锥底面面积是这个球面面积的

?r 3 3 ,得 ? 2 16 4? R 16
2

所以

r 3 ,则小圆锥的 ? R 2

3R 高为 R ,大圆锥的高为 ,所以比值为 1 . 2 2 3
11.解析: (Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图: (Ⅱ) 作 EM⊥AB, 垂足为 M, 则 AM=A1E=4, EB1=12, EM=AA1=8. 因 为 EHGF 为 正 方 形 , 所 以 EH=EF=BC=10. 于 是 MH=

EH 2 ? EM 2 ? 6, AH ? 10, HB ? 6 .因为长方体被平面 ? 分为
9 7 两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为 ( 也正确). 7 9
12.解析: (Ⅰ)设 AC 的中点为 O, 连接 EO. 在三角形 PBD 中, 中位线 EO//PB,且 EO 在平面 AEC 上,所以 PB//平面 AEC. (Ⅱ) ∵AP=1,AD ? 3 ,VP -ABD ?

1 1 3 ,?VP -ABD = ? PA ? AB ? AD 3 2 4

=

3 3 3 ,∴ AB ? ,作 AH⊥PB 角 PB 于 H,由题意可知 AB = 2 6 4
PA ? AB 3 1 3 , 故 A 点到平面 PBC ? PB 13

BC⊥平面 PAB, ∴BC⊥AH, 故 AH⊥平面 PBC. 又 AH ? 的距离 3 13 . 13

13. 解析: (Ⅰ) 连结 AC1 交 A1C 于点 F, 则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点, 连结 DF, 则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD, BC1 ? 平面 A1CD,所以 BC1∥平面 A1CD. (Ⅱ) 因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB, D 为 AB 的中点, 所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A, 于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB ? 2 2 得∠ACB=90° , CD ? 2 ,A1D ? 6 ,

DE ? 3 ,A1E=3,故 A1D2+DE2=A1E2,即 DE⊥A1D. 所以

1 1 VC-A1DE= ? ? 6 ? 3 ? 2=1 . 3 2
14. 解析: (Ⅰ)由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,∴BC⊥面 ACC1A1, 又∵DC1 ? 面 ACC1A1, ∴DC1⊥BC, 由题设知∠A1DC1=∠ADC

C1 A1 D C A

B1

B

· 25 ·

=45?,∴∠CDC1=90?,即 DC1⊥DC,又∵DC∩BC=C, ∴DC1⊥面 BDC,∵DC1 ? 面 BDC1, ∴面 BDC⊥面 BDC1 . (Ⅱ)设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1 , AC =1,由题意得,V1 ?

1 1? 2 1 ? ? 1 ? 1 ? ,由三棱柱 3 2 2

ABC-A1B1C1 的体积 V ? 1 , ∴ (V ? V1 ) : V1 ? 1:1 , ∴平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积之比为 1:1. 15.解析: (Ⅰ)因为∠DAB=60?,AB=2AD,由余弦定理得 BD ? 3AD ,从而 BD2+AD2= AB2, 故 BD⊥AD,又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD,所以 BD⊥平面 PAD. 故 PA⊥BD. (Ⅱ)过 D 作 DE⊥PB 于 E,由(I)知 BC⊥BD,又 PD⊥ 底面 ABCD,所以 BC⊥平面 PBD,而 DE ? 平面 PBD,故 DE⊥BC, 所以 DE⊥平面 PBC, 由题设知 PD=1, 则 BD= 3 , PB=2,由 DE· PB=PD· BD 得 DE= 为

3 ,即棱锥 D-PBC 的高 2

3 . 2

§10. 排列组合、概率统计
1. 【答案:D】 解析:由柱形图可知,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈减少趋势,所以二氧化硫排放 量与年份负相关,故选 D. 2. 【答案:D】 解析: 样本相关系数的绝对值越接近于 1, 相关性就越强, 现在所有的样本都在直线 y ? 上,故这组样本数据完全正相关,随意其相关系数为 1,故选 D. 3. 【答案:A】 解析:设三个兴趣小组分别为 A、B、C,他们参加情况共一下 9 种情况,其中参加同一小组 情况共 3 中,故概率为 4. 【答案:

1 x +1 2

3 1 ? . 故选 A. 9 3

1 】 3
3 1 ? . 9 3

解析:所有的选法共有 3× 3=9 种,而他们选择相同颜色运动服的选法共有 3 种,故他们选择 相同颜色运动服的概率为 5.【答案: 】 解析:该事件基本事件空间 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5)},共有 10 个,记 A=“其和为 5”={(1,4),(2,3)},有 2 个,∴P(A)=

1 5

2 1 ? . 10 5

6.解析: (Ⅰ)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分
· 26 ·

的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值;B 地区用户满意度评分比较集中,而 A 地区 用户满意度评分比较分散。 (Ⅱ) A 地区用户满意度等级为不满意的概率大。 记 CA 表示事件: “A 地区用户满意度等级为不满 意” ;CB 表示事件: “B 地区用户满意度等级为不 满 意 ” . 由 直 方 图 得 P(CA) 的 估 计 值 为 (0.01+0.02+0.03)× 10=0.6 , P(CB) 的 估 计 值 为 (0.005+0.02)× 10=0.25. 所以 A 地区用户满意度等级为不满意的概率大. 7.解析: (Ⅰ)两组数字是有序排列的,50 个数的中位数为第 25,26 两个数. 由给出的数据可 知道,市民对甲部门评分的中位数为(75+75)/2=75,对乙部门评分的中位数为(66+68)/2=77, 所以,市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为 75,77. (Ⅱ)甲部门评分数高于 90 共有 5 个、乙部门评分数高于 90 共有 8 个,部门的评分做于 90

8 5 的概率. 因此估计市民对甲、 乙部门的评分小于 90 的概率分别为 P ? 0.1,P乙 ? ? 0.16 , 甲 ?
50

50

所以,市民对甲、乙部门的评分大于 90 的概率分别为 0.1,0.16. (Ⅲ)由茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数,而且由茎叶 图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差,说明该市市民对甲部门的评 价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大. 8.解析: (Ⅰ)当 x∈[100,130)时,T=500x-300(130-x)=800x-39 000. 当 x∈[130,150]时,T= 500× 130=65 000. 所以 T ? ?

( 100 ? x ? 130) ?800 x ? 39000, ( 130 ? x ? 150) ?65000,

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤x≤150. 由直方图知需求量 x∈[120,150] 的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. 9. 解析: (Ⅰ)当日需求量 n ? 17 时,利润 y=85;当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 10n ? 85 , ∴ y 关于 n 的解析式为 y ? ?

?10n ? 85, n ? 17 (n ? N ) . n ? 17 ?85,
1 (55 ?10 ? 65 ? 20 ? 75 ?16 ? 85 ? 54) 100

(Ⅱ)(i)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润为 75 元, 54 天的日利润为 85 元, 所以这 100 天的平均利润为 =76.4 . (ii)利润不低于 75 元当且仅当日需求不少于 16 枝,故当天的利润不少于 75 元的概率为
P ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.1 ? 0.7

10.解析: (Ⅰ)由实验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为

22 ? 8 ? 0.3 ,所以用 A 配 100

方生产的产品中优质品率的估计值为 0.3. 由实验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频 率为

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的产品中优质品率的估计值为 0.42. 100

(Ⅱ)由条件知,用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率当且仅当 t≥94,由试验结果
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知, t≥94 的频率为 0.96, 所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96. 用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润为 1 ? [4 ? (?2) ? 54 ? 2 ? 42 ? 4] ? 2.68 . (元) 100

§11. 解析几何
1. 【答案:B】 解析:圆心在直线 BC 垂直平分线上,即直线 x=1 上,设圆心 D(1, b) ,由 DA=DB 得

| b |? 1 ? (b ? 3)2 ? b ?
2. 【答案:C】

2 3 2 21 2 3 ,所以圆心到原点的距离 d ? 12 ? ( . ) ? 3 3 3
3 3 3 ,故直线 AB 的方程为 y ? ( x ? ) ,与抛物 3 3 4

解析:由题意,得 F ( , 0). 又因为 k ? tan 30? ?

3 4

线 y 2 =3x 联 立 , 得 1 6x 2 ? 1 6x 8? ? 9 , 0 设 A( x ) 由抛物线定义得, 1, y 1 ) , B (x 2 ,y 2,

AB ? x1 ? x2 ? p ?
3. 【答案:A】

168 3 ? ? 12 ,故选 C. 16 2

解析:由题意画出图形如图:∵点 M(x0,1) ,∴若在圆 O:x2+y2=1 上存 在点 N,使得∠OMN=45° ,∴圆上的点到 MN 的距离的最大值为 1,要使 MN=1,才能使得∠OMN=45° ,图中 M′显然不满足题意,当 MN 垂直 x 轴 时,满足题意,∴x0 的取值范围是[-1,1]. 4.【答案:D】
? ? 解析:因为 PF2 ? F 1F 2 , ?PF 1F 2 ? 30 ,所以 PF2 ? 2c tan 30 ?

2 3 4 3 c, PF1 ? c .又 3 3

PF1 ? PF2 ?
5.【答案:C】

c 1 3 6 3 3 ,即椭圆的离心率为 ,故选 D. ? c ? 2a ,所以 ? 3 3 a 3 3

解析:抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1,0),准线方程为 x=-1,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

1 因为|AF|=3|BF|,所以 x1+1=3(x2+1),即 x1=3x2+2,因为|y1|=3|y2|,x1=9x2,所以 x1=3,x2= , 3
当 x1=3 时, y12 ? 12 ,所以此时 y1 ? ? 12 ? ?2 3 ,若 y1 ? 2 3 ,则 A(3, 2 3), B( , ? 此时 k AB ? 3 ,此时直线方程为 y ? 3( x ?1) . 若 y1 ? ?2 3 ,则 A(3, ? 2 3), B ( ,

1 3

2 3 ), 3

1 2 3 ),此时 3 3

k AB ? ? 3 ,此时直线方程为 y ? ? 3( x ?1) . 所以 l 的方程是 y ? 3( x ? 1) 或 y ? ? 3( x ?1) ,
故选 C. 6. 【答案:C】
· 28 ·

解析:∵△F2PF1 是底角为 30?的等腰三角形,??PF2 A ? 60? , | PF2 |?| F1F2 |? 2c ,∴ | AF2 | = c ,? 2 c ? 7. 【答案:C】 解析:由题设知抛物线的准线为: x ? 4 ,设等轴双曲线方程为: x2 ? y 2 ? a2 ,将 x ? 4 代入 等轴双曲线方程解得 y ? ? 16 ? a 2 ,∵ | AB |? 4 3 ,∴ 2 16 ? a2 ? 4 3 ,解得 a =2, ∴ C 的实轴长为 4,故选 C. 8. 【答案:D】 解析: e ?

3 3 a ,? e ? ,故选 C. 2 4

b2 8 1 2 c 2 2 2 ,也可以用公式 e2 ? 1 ? 2 ? 1 ? ? , ,故选 D. ?e ? ? ? a 16 2 2 a 4 2

9. 【答案:C】 解析:易知 2P=12,即 AB=12,三角形的高是 P=6,所以面积为 36,故选 C. 10. 【答案:

x2 ? y 2 ? 1】 4

解析:根据双曲线渐近线方程为 y ? ? 入得 m=1. 11.解析: (Ⅰ)由题意有

x2 1 x ,可设双曲线的方程为 ? y 2 ? m ,把 (4, 3) 代 2 4

a 2 ? b2 2 4 2 ? , 2 ? 2 ? 1 ,解得 a2 ? 8, b2 ? 4 . 所以 C 的方程为 a 2 a b

x2 y 2 ? ? 1. 8 4
(Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), M ( xM , yM ).

x2 y 2 ? ? 1 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 8 ? 0 , 8 4 x ?x ?2kb b y 1 故 xM ? 1 2 ? 2 , yM ? kxM ? b ? 2 ,于是直线 OM 的斜率 kOM ? M ? ? , 2 2k ? 1 2k ? 1 xM 2k
将 y ? kx ? b 代入 即 kOM ? k ? ?

1 ,所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 2
b2 b2 , 即 M (c, ) , a a

12. 解析: ∵M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, ∴M 的横坐标为 c, 当 x=c 时, y? 若直线 MN 的斜率为

b2 a b2 3 3 ,则 tan ?MF1F2 ? ? ? ,即 4 2c 2ac 4

3 b2 ? ac ? a 2 ? c 2 , 2
2 亦即 c ?

3 1 1 ac ? a 2 ? 0 ,则 2e2 ? 3e ? 2 ? 0 ,解得 e ? ,故椭 2 2 2
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圆 C 的离心率为

1 . 2

(Ⅱ)由题意,原点 O 是 F1F2 的中点,则直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中 点,故

b2 ,由题意知 y1<0, ? 4 ,即 b2=4a,由|MN|=5|F1N|,解得|DF1|=2|F1N|,设 N(x1,y1) 4

3 ? ?2( ?c ? x1 ) ? c 9c 2 1 ? x1 ? ? c 则? ,即 ? 2 ,代入椭圆方程得 2 ? 2 ? 1 ,将 b2=4a 代入得 4a b ? ?2 y1 ? 2 ? ? y1 ? 1
9(a 2 ? 4a ) 1 ? ? 1,解得 a=7, b ? 2 7 . 4a 2 4a
13.解析: (Ⅰ)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题设 y2+2=r2,x2+3=r2. 从而 y2+2=x2+3. 故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. (Ⅱ) 设 P(x0, y0). 由已知得

| x0 ? y0 | 2

?

?| x0 ? y0 |? 1 2 . 又 P 点在双曲线 y2-x2=1 上, 从而得 ? 2 . 2 2 ? y1 ? x0 ? 1

由?

? x0 ? y 0 ? 1 ? x0 ? 0 ,得 ? . 此时,圆 P 的半径 r ? 3 . 2 2 ? y 0 ? x0 ? 1 ? y0 ? ?1 ? x0 ? y 0 ? ? 1 ? x0 ? 0 ,得 ? . 此时,圆 P 的半径 r ? 3 . 2 2 ? y 0 ? x0 ? 1 ? y0 ? 1

由?

故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3. 14. 解析: (Ⅰ)设准线 l 于 y 轴的焦点为 E,圆 F 的半径为 r ,则|FE|= p ,|FA|=|FB|=|FD|= r ,E 是 BD 的中点,∵ ?BFD ? 900 ,∴ | FA |?| FB|= | FD |? 2 p ,|BD|= 2 p ,设 A( x0 , y0 ),根 据抛物线定义得,|FA|=

p ? y0 ,∵ ?ABD 的面积为 4 2 ,∴ S?ABD = 2

1 p 1 | BD | ( y0 ? ) = ? 2 p ? 2 p = 4 2 ,解得 p =2,∴F(0,1), |FA|= 2 2 2

2 2 ,∴圆 F 的方程为: x2 ? ( y ?1)2 ? 8 .
(Ⅱ) 【方法 1】 ∵ A ,B ,F 三点在同一条直线 m 上, ∴ AB 是圆 F 的直径, ?ADB ? 900 ,由抛物线定义知 | AD |?| FA |?

1 0 | AB | ,∴ ?ABD ? 30 ,∴ m 的斜率为 2

3 3 3 p 3 或- ,∴直线 m 的方程为: y ? ? x ? ,∴原点到直线 m 的距离 d1 = p, 3 3 3 2 4
设直线 n 的方程为: y ? ? 有一个公共点,

3 2 3 x ? b ,代入 x2 ? 2 py 得,x 2 ? x ? 2 pb ? 0 ,∵ n 与 C 只 3 3

· 30 ·

∴? =

4 2 p 3 p p ? 8 pb ? 0 ,∴ b ? ? ,∴直线 n 的方程为: y ? ? x ? ,∴原点到直线 n 3 6 3 6
3 3 3 p ,∴坐标原点到 m , n 距离的比值为 p: p ? 3. 4 12 12
2 p x0 )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) ,点 A, B 关于点 F 对称得: 2 2p

的距离 d2 =

【方法 2】由对称性设 A( x0 ,

B(? x0 , p ?

2 3p x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p 2 得 A( 3 p, ) , 2 2p 2p 2

3p p ? 2 2 x ? p ? x ? 3y ? 3 p ? 0 , m : y ? 直线 2 2 3p

x2 x 3 3 3p p x ? 2 py ? y ? ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( , ), 3 6 2p p 3 3
2

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p ? 0, 6 3 3 6
3p 3p : ?3. 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为

15.解析: (Ⅰ)曲线 y ? x2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点为(0,1) ,故可设圆的圆心坐标 (3 ? 2 2 ,0) 为(3,t)则有 32 ? (t ? 1)2 ? (2 2 )2 ? t 2 ,解得 t=1,则圆的半径为 32 ? (t ? 1) 2 ? 3 ,所以 圆的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 . (Ⅱ)设 A(x1, y1) , B(x2, y2) 坐标满足方程组 ?

?x ? y ? a ? 0
2 2 ?( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9

,消去 y 得到方程

2x 2 ? (2a ? 8) x ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,由已知可得判别式△=56-16a-4a2>0 ,由韦达定理可得

x1 ? x2 ? 4 ? a , x1 x2 ?

a 2 ? 2a ? 1 ①,由 OA⊥OB,可得 x1x2 ? y1 y2 ? 0 , 2

2 又 y1 ? x1 ? ay2 ? x2 ? a , 所以 2x1x2 ? a(x1 ? x2 ) ? a ? 0 ②, 由①②可得 a=-1, 满足△>0,

故 a=-1.

§12. 函数与导数
1. 【答案:B】 解析:∵ f ( ) ? 2 2 , f ( ) ? 5 ? 1 ,∴ f ( ) ? f ( ) ,由此可排除 C,D,当 时, f ( x ) ? ? tan x ? 2. 【答案:A】
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? 2

? 4

? 2

? 4

3? ? x ?? 4

1 ,可排除 A. cos x

解 析 : f ( x ) 是 偶 函数 ,且在 [0, +∞) 是增函 数, 所以 f ( x) ? f (2 x ? 1) ? f (| x |) ? f (| 2 x ? 1|)

?| x |?| 2 x ? 1 |?
3. 【答案:D】

1 ? x ? 1. 3

解 析 : ∵ 函 数 f ( x ) 在 区 间 ( 1 , +∞ ) 单 调 递 增 , ∴ 当 x > 1 时 , f ?( x ) ? 0 恒 成 立 ,

? f ( x ) ? kx ? ln x ? f ?( x ) ? k ?
4.【答案:D】 解析:因为 log 3 2 ?

1 1 ? 0 ,∴ k ? 1 ? ,故选 D. x x

1 1 ? 1 , log 5 2 ? ? 1,又 log2 3 ? 1 ,所以 c 最大. log 2 3 log 2 5

又 1 ? log2 3 ? log2 5 ,所以 5.【答案:C】

1 1 ,即 a ? b ,所以 c ? a ? b ,故选 D. ? log 2 3 log 2 5

解析: 若 c ? 0 则有 f (0) ? 0 , 所以 A 正确. 由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 得 f ( x) ? c ? x3 ? ax2 ? bx , 因为函数 y ? x3 ? ax2 ? bx 的对称中心为(0,0) ,所以 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的对称中心为

(0, c) ,所以 B 正确. 由三次函数的图象可知,若 x0 是 f (x)的极小值点,则极大值点在 x0 的
左侧,所以函数在区间(-∞, x0 )单调递减是错误的,D 正确. 故选 C. 6.【答案:D】 解析:因为 2 ? 0 ,所以由 2 ( x ? a) ? 1 得 x ? a ?
x

x

1 ? 2? x ,在 2x

坐标系中, 作出函数 f ( x) ? x ? a, g ( x) ? 2 的图象, 当 x ? 0 时,
x 所以如果存在 x ? 0 , 使 2( x ?)a 1? , 则有 ? a ? 1 , g ( x) ? 2? x ? 1 ,

?x

即 a ? ?1 ,故选 D. 7. 【答案:A】

?0 ? a ? 1 2 ? 1 ,解得 0 ? a ? 解析:由指数函数与对数函数的图像知 ? ,故选 A. 1 2 2 ?log a ? 4 ? 2
8. 【答案:B】 解析:可以直接判断:A 是奇函数,B 是偶函数,又是(0,+∞)的增函数,故选 B. 9. 【答案:C】 解析:只需验证端点值,凡端点值异号就是答案. 故选 C. 10. 【答案:A】 解析:本题可用图 像法解,易知共 10 个交点,故选 A.
· 32 ·

1

9

11. 【答案:-2】 解析: f ? ?1? ? ?a ? 2 ? 4 ? a ? ?2 . 12. 【答案:8】 解析:曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线斜率为 2,故切线方程为 y=2x-1,与 y= ax2+(a+2)x+1 联立得 ax2+ax+2=0,显然 a≠0,所以由△=a2-8a=0,得 a=8 . 13. 【答案:3】 解析: ∵ f ( x ) 为偶函数, ∴ f (?1) ? f (1) , ∵ f ( x ) 的图像关于 x ? 2 对称, ∴ f (1) ? f (3) ? 3 , ∴ f ( ?1) ? 3 . 14. 【答案: 4 x ? y ? 3 ? 0 】 解析:∵ y? ? 3ln x ? 4 ,∴切线斜率为 4,则切线方程为: 4 x ? y ? 3 ? 0 . 15. 【答案: 2】

2 x ? sin x 2 x ? sin x ,设 g ( x) = f ( x) ? 1 = ,则 g ( x) 是奇函数, 2 x ?1 x2 ? 1 ∵ f ( x) 最大值为 M,最小值为 m ,∴ g ( x) 的最大值为 M-1,最小值为 m -1,
解析: f ( x ) = 1 ? ∴ M ? 1 ? m ? 1 ? 0 , M ? m =2.

? ? )f ,? x ( ? ) 16 . 解 析 : ( Ⅰ ) f ( x) 的 定 义 域 为 ( 0 ,

1 ?a , 若 a ? 0, 则 f ?( x ) ? 0, 所 以 x

1 1 f ( x )在 ( 0?? , 单 ) 调 递 增 . 若 a ? 0 , 则 当 x ? ( 0, )时 , f ?( x ) ? 0,当 x ? ( , ??) 时 , a a

f ?( x ) ? 0,所以 f ( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时, f ( x)在(0, ??) 无最大值;当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 最大值 ,最大值为 f ( ) ? ln( ) ? a (1 ?

1 a

1 a

1 取得 a

1 a

1 a

1 1 ) ? ? ln a ? a ? 1 . 因此 f ( ) ? 2a ? 2 等 价于 a a

ln a ? a ? 1 ? 0 . 令 g (a) ? ln a ? a ? 1 ,则 g (a) 在 (0, ??) 单调递增, g (1) ? 0 . 于是,当 0 ? a ? 1 时 g (a) ? 0 ;当 a ? 1 时, g (a) ? 0 ,因此, a 的取值范围是 (0,1) .
18.解析: (Ⅰ)函数 f (x)的定义域为(-∞,+∞),f ′(x)=-e-xx(x-2). 当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时, f ′(x)<0;当 x∈(0,2)时,f ′(x)>0.所以 f (x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增.故 当 x=0 时,f (x)取得极小值,极小值为 f(0)=0;当 x=2 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(2)=4e -2. (Ⅱ)设切点为(t,f(t)),则 l 的方程为 y=f ′(t)(x-t)+f(t).所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)=

t?

2 f (t ) t 2 0)∪(2, +∞). 令 h(x)= x ? (x≠0), ?t? ?t ?2? ? 3 .由已知和①得 t∈(-∞, x f ?(t ) t?2 t ?2

则当 x∈(0, +∞)时,h(x)的取值范围为[ 2 2 ,+∞); 当 x∈(-∞,-2)时, h(x)的取值范围是(-∞, -3).所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 ? 3 ,+∞). 综上,l 在 x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 ? 3 ,+∞).
· 33 ·

19.解析: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (??, ??) , f ?( x) ? e x ? a ,若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 则当 x ? (??,ln a ) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ?( (??, ??) 单调递增. 若 a ? 0 , l n ,a ?? ) 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 在 ( ??,ln a) 单调递减,在 (ln a, ??) 单调递增. ( Ⅱ ) 由 于 a ? 1 , 所 以 ( x ? k ) ?f ( x? )
( x ? k ) ?f ( x? )

当 x?0 时 , x ? 1? ( x? xk ) (e? 1 ?) .x?故 1 令 g ( x ) ? xx ? 1 ? x , 则 (e ? 1)

x ?1 x ? 1? 等 0 价 于 k? x ?x( x? 0 )① . (e ? 1 )

g ?( x) ?

? xe x ? 1 e x (e x ? x ? 2) . ? 1 ? (e x ? 1)2 (e x ? 1)2

由(Ⅰ)知,函数 h( x) ? e x ? x ? 2 在 (0, ??) 单调递增,而 h(1) ? 0 , h(2) ? 0 ,所以 h( x ) , 在 (0, ??) 存在唯一的零, 故 g ?( x ) 在 (0, ??) 存在唯一的零点. 设此零点为 a , 则 a ?1 2 ,( ) . 当

x ? (0, a) 时, g ?( x ) ? 0 ; , ?? ) 时, g ?( x ) ? 0 . 所以 g ( x ) 在 (0, ??) 的最小值为 g ( a ) . 当 x ? (a
又由 g ?(a) ? 0 ,可得 e ? a ? 2 ,所以 g (a ) ? a ? 1 ? (2,3) . 由于①式等价于 k ? g (a ) ,故整
a

数 k 的最大值为 2. 20. 解析: (Ⅰ)f ?( x) ?

a(

x ?1 ? ln x) 1 b x 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0的斜率为 ? , 且过点 (1, 1) , ? 2, 2 2 ( x ? 1) x

?b ? 1, ? f (1)? 1, ? ? 故? 1 解得 a ? 1 , b ? 1 . 1 即 ?a f '(1)? ? , ? ? b ? ? , ? ?2 2 ? 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)= 则 h?( x) ?

ln x 1 ln x 1 x2 ?1 ? ,所以 f ( x) ? ? ( 2 ln x ? ) ,考虑函数, x ?1 x x ? 1 1 ? x2 x

2 2 x 2 ? ( x 2 ? 1) ( x ? 1) 2 , 所以 x≠1 时 h′(x)<0, 而 h(1)=0 故 x ? (0,1) 时, h(x)>0 ? ?? x x2 x2 ln x ln x 可得 f ( x ) ? , x ? (1,??) 时, h(x)<0 可得 f ( x ) ? ,从而当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, x ?1 x ?1 ln x . f ( x) ? x ?1

§13. 几何证明选讲
1.解析:(Ⅰ)由于 ?ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平分线,又 因为⊙O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F,所以 AE ? AF ,故

AD ? EF ,从而 EF // BC .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, AE ? AF , AD ? EF ,故 AD 是 EF 的垂 直平分线.又 EF 为⊙O 的弦,所以 O 在 AD 上. 连结 OE , OM , 则 OE ? AE , 由 AG 等 于 ⊙ O 的 半 径 得 AO ? 2OE , 所 以

· 34 ·

?OAE ? 30? , 因此 ?ABC 和 ?AEF 都是等边三角形. 因为 AE ? 2 3 , 所以 AO ? 4, OE ? 2 .
因 为 OM ? OE ? 2, DM ?
EBCF 的面积为 ? (

1 10 3 . 所以 四边 形 MN? 3 ,所 以 OD ? 1 . 于是 AD ? 5, AB ? 2 3

1 10 3 2 3 1 3 16 3 . ) ? ? ? (2 3)2 ? ? 2 3 2 2 2 3

2.解析: (Ⅰ)∵PC=2PA,PD=DC,∴PA=PD,△PAD 为等腰三角形. 连接 AB,则∠PAB= ∠DEB=β, ∠BCE=∠BAE=α, ∵∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD= ∠PDA=∠DEB+∠DBE, ∴β+α=β+∠DBE, 即 α=∠DBE,亦即∠BCE= ∠DBE,所以 BE=EC. (Ⅱ)∵AD· DE=BD· DC,PA2=PB· PC,PD=DC=PA, ∴BD· DC=(PA-PB) · PA=PB· PC-PB· PA=PB· (PC-PA), ∴PB· PA=PB· 2PB=2PB2. 3.解析: (Ⅰ)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知 BC ? DC , FA EA 故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为 B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90° .所以∠CBA=90° ,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (Ⅱ)连结 CE,因为∠CBE=90° ,所以过 B,E,F,C 四点的圆 的直径为 CE,由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC2=DB· BA=2DB2, 所以 CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而 DC2=DB· DA=3DB2, 故过 B, E, F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为

1 . 2
A

4.解析: (Ⅰ) ∵D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,∴DE//BC. ∵CF//AB, DF//BC, ∴CF//BD 且 CF=BD, ∵又 D 为 AB 的中点, ∴CF//AD 且 CF=AD,∴CD=AF. ∵CF//AB,∴BC=AF,∴CD=BC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC//GF,∴GB=CF=BD,∠BGD=∠BDG=∠DBC =∠BDC,∴△BCD∽△GBD.
B G D

E

F

C

AD AE 5.解析: (Ⅰ)连结 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,AD× AB=mn=AE× AC,即 , ? AC AB 又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,因此∠ADE=∠ACB,所以 C、B、D、E 四点共圆. (Ⅱ) m=4, n=6, 方程 x2-14x+mn=0 的两根为 2, 12. 即 AD=2, AB=12,取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G、F 作 AC、 AB 的垂线,两垂线交于点 H,连结 D、H,因为 C、B、D、E 四点共圆,所以圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=90?,故 GH ∥AB,HF∥AC. 从而 HF=AG=5,DF=5,故半径为 5 2 .

§14. 坐标系与参数方程

· 35 ·

1.解析:(Ⅰ)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ,曲线 C3 的直角坐标方程为

? 2 2 x? ? x ? y ? 2 y ? 0 ?x ? 0 ? ? ? 2 2 ,解得 ? 或? x ? y ? 2 3x ? 0 . 联立 ? 2 2 ? ?y ? 0 ?y ? ? x ? y ? 2 3x ? 0 ? ?
交点的直角坐标为 (0, 0) 和 (

3 2 ,所以 C 与 C 2 3 3 2

3 3 , ). 2 2 (Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? ,因此 A 的极坐标为
? (2sin ? , ? ) ,B 的极坐标为 (2 3 cos ? , ? ) ,所以 | AB |?| 2sin ? ? 2 3 cos ? |? 4 | sin(? ? ) | ,
3
当? ?

5? 时, | AB | 取得最大值,最大值为 4. 6
2 2

2.解析: (Ⅰ)设点 M(x, y)是曲线 C 上任意一点,∵ ? ? 2cos ? ,∴ x ? y ? 2 x , 即: ( x ?1) ? y ? 1 ,∴C 的参数方程为 ?
2 2

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? ). ? y ? sin ?

(Ⅱ)设点 D(1+cosφ, sinφ),∵C 在 D 处的切线与直线 l: y ? 3x ? 2 垂直,∴直线 CD 和 l

? 3 sin ? ? ? sin ? ? ? 2 , 的斜率相同,∴ ? tan ? ? 3 ,∵ 0 ? ? ? ? ,?? ? ,∴ ? 3 cos ? ?cos ? ? 1 ? ? 2
∴点 D 的坐标为 ( ,

3 3 ). 2 2
? x ? cos ? ? cos 2? (α 为参数,0<α<2π). ? y ? sin ? ? sin 2?

3.解析: (Ⅰ)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此 M(cos α+cos 2α,sin α+ sin 2α).M 的轨迹的参数方程为 ?

(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离 d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0<α<2π).当 α=π 时,d=0, 故 M 的轨迹过坐标原点. 4.解析: (Ⅰ)依题意,点 A,B,C,D 的极坐标分别为 (2, ), (2,

?

3

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ). 6 3 6

所以点 A,B,C,D 的直角坐标分别为 (1, 3) 、 (? 3,1) 、 (?1, ? 3) 、 ( 3, ?1) . (Ⅱ) 设 P ? 2cos?,3sin ? ? ,则 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 ? (1 ? 2cos ?)2 ? ( 3 ? 3sin ?)2

?(? 3 ? 2cos?)2 ? (1 ? 3sin ?)2 ? (?1 ? 2cos ?)2 ? (? 3 ? 3sin ?)2 ? ( 3 ? 2cos ?)2 ? (?1 ? 3sin ? )2

? 16cos2 ? ? 36sin2 ? ?16 ? 32 ? 20sin 2 ? ??32,52? .
所以 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 的取值范围为 ?32,52? .
· 36 ·

?x ? 2 ? 2 cos ? x y 5.解析: (I)设 P(x, y),则由条件知 M ( , ) . 由于 M 点在 C1 上,所以 ? , ? 2 2 y ? ? 2 ? 2 sin ? ? ?2
即?

? x ? 4cos ? ? x ? 4cos ? ,从而 C2 的参数方程为 ? ( ? 为参数). ? y ? 4 ? 4sin ? ? y ? 4 ? 4sin ?

(Ⅱ) 曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? , 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? . 射线 ? ? 与 C1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 所以 | AB |?| ?2 ? ?1 |? 2 3 .

?
3

?
3

,射线 ? ?

?
3

与 C2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
3

.

§15. 不等式选讲
1.解析:(Ⅰ)因为 ( a ? b )2 ? a ? b ? 2 ab ,( c ? d )2 ? c ? d ? 2 cd ,由题设

a ? b ? c ? d , ab ? cd 得 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 ,因此 a ? b ? c ? d .
(Ⅱ)(i)若 | a ? b |?| c ? d | ,则 (a ? b) ? (c ? d ) ,即 (a ? b) ? 4ab ? (c ? d ) ? 4cd ,
2 2 2 2

因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,由(Ⅰ)得 a ? b ? c ? d . (ii)若 a ? b ? c ? d ,则 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 ,即 a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd , 因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,于是 (a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd ? (c ? d )2 , 因此 | a ? b |?| c ? d | ,综上, a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件.
2.解析: (Ⅰ)∵ f ( x) ?| x ? ∴ f ( x) ?

1 1 1 | ? | x ? a |?| ( x ? ) ? ( x ? a) |?| ? a | ,∵ a ? 0 , a a a

1 ? a ? 2 ,当且仅当 a ? 1 时,取“ ? ”号. 故 f ( x) ? 2 . a 1 1 (Ⅱ)∵ f (3) ? 5 , a ? 0 ,∴ f (3) ?| 3 ? | ? | 3 ? a |? 3 ? ? | a ? 3 |? 5 , a a

?a ? 3 ?0 ? a ? 3 1 ? ? 即: ? 3? | a ? 3 |? 5 ,∴ ? 1 或 ?1 , a ?3? a ?3 ? 5 ? ?3?3? a ? 5 ? ?a ?a
解得:

?1 ? 5 5 ? 21 ?1 ? 5 5 ? 21 . 故 a 的取值范围是 ( ?a? , ). 2 2 2 2

3.解析: (Ⅰ)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a +b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤

1 . 3

· 37 ·

(Ⅱ)因为 +c),即

a2 b2 c2 a 2 b2 c2 ? b ? 2a , ? c ? 2b , ? a ? 2c ,故 ? ? ? (a ? b ? c) ≥2(a+b b b c a c a

a 2 b2 c 2 a 2 b2 c 2 ? ? ≥a+b+c. 所以 ? ? ≥1. b c a b c a
? ?x ? 2 或 ? ? ? ? x ? 3? ? ? x ? 2 ? ? 3

4 .解析: (Ⅰ) 当 a ? ?3 时,不等式 f ( x) ? 3 ? | x ? 3| ? | x ? 2 |? 3 ? ?

? ? ?2 ? x ? 3 ?x ? 3 或? ? 或 x ? 4 . 所 以 当 a ? ?3 时 , 不 等 式 ? ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

f ( x) ? 3 的解集为 ? x x ? 1 或 x ? 4? .
(Ⅱ) f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含 [1,2] ,即 | x ? a | ? | x ? 2 |?| x ? 4 | 对 x ??1, 2? 恒成立, 即 | x ? a |? 2 对 x ??1, 2? 恒成立, 即 ?2 ? a ? x ? 2 ? a 对 x ??1, 2? 恒成立, 所以 ? 即 ?3 ? a ? 0 . 故 a 的取值范围为 ? ?3,0? . 5.解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 . 由此可得 x ? 3 或 x ? ?1 . 故不等式

??2 ? a ? 1 , ?2 ? a ? 2

f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} .
( Ⅱ ) 由 f ( x )? 0 得 | x ? a | ?3x ? 0 , 此 不 等 式 化 为 不 等 式 组 ?

?x ? a 或 x ? a ? 3 x ? 0 ?

?x ? a ?x ? a ?x ? a a ? ? , 即 因为 a ? 0 , 所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? ? ? a 或? a, 2 x? a?? ?a ? x ? 3 x ? 0 ? ? ? 4 ? 2 a 由题设可得 ? ? ?1 ,故 a ? 2 . 2

?,

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