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第60讲 直线与圆锥曲线的位置关系 1.(改编)对任意的实数 m,直线 y=mx-3 与椭圆 x2 +y2=16 恒有公共点,则直线与椭圆( A ) A.相交 C.相切 B.相离 D.无法确定 解析:对任意的实数 m,直线 y=mx-3 恒过点(0,- 3),而该点在椭圆内,故选 A. x2 y2 2.过原点的直线 l 与双曲线 - =1 交于两点,则直 4 3 线 l 的斜率 k 的取值范围是( A ) 3 3 A.(- , ) 2 2 3 3 B.(-∞,- )∪( ,+∞) 2 2 3 3 C.[- , ] 2 2 3 3 D.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 2 3 解析:由已知可知双曲线的渐近线为 y=± x,依题设 2 3 3 可得- <k< ,故选 A. 2 2 3.若 a≠b 且 ab≠0,则直线 ax-y+b=0 和二次曲线 bx2+ay2=ab 的位置关系可能是( C ) 解析:由已知,直线方程可化为 y=ax+b,其中 a 为斜 x2 y2 率,b 为纵截距,二次曲线方程可化为 + =1,应用淘汰 a b 法可知 A、B、D 均自相矛盾.故选 C. 4.(原创)过抛物线 y2=5x 上一点 P(5,-5)与抛物线 仅有一个公共点的直线有( B ) A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.1 条或 3 条 解析:因为点 P 在抛物线上,故直线与抛物线相切或与 对称轴平行时各有 1 条,共 2 条,故选 B. 一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例 1】(2012· 安徽卷)如图,点 F1(-c,0),F2(c,0)分别 x2 y2 是椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 作 x 轴 a b 的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的 a2 垂线交直线 x= 于点 Q. c 一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例 1】(2012· 安徽卷)如图,点 F1(-c,0),F2(c,0)分别 x2 y2 是椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 作 x 轴 a b 的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的 a2 垂线交直线 x= 于点 Q. c (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. b2 解析:(1)(方法一)由条件知,P(-c, ), a b2 -0 a b2 故直线 PF2 的斜率为 kPF2= =- , 2ac -c-c 因为 PF2⊥F2Q, 2ac 2ac2 所以直线 F2Q 的方程为 y= 2 x- 2 , b b a2 故 Q( ,2a). c ?a2 ?a=2 ? =4 由题设知,? c ,解得? , ?2a=4 ?c=1 ? x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 a2 (方法二)设直线 x= 与 x 轴交于点 M, c b2 由条件知,P(-c, ), a 因为△PF1F2∽△F2MQ, |PF1| |F1F2| 所以 = , |F2M| |MQ| b2 a 2c 即 2 = ,解得|MQ|=2a, a |MQ| -c c ?a2 2 2 ?a=2 ? =4 x y 所以? c ,解得? ,故椭圆方程为 + =1. 4 3 ?2a=4 ?c=1 ? a2 x- y-2a c (2)证明:直线 PQ 的方程为 2 = , b a2 -2a -c- a c c 即 y= x+a,


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