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高二物理竞赛(7)磁场和电磁感应


高二物理竞赛(7)
班级:_____________

磁场和电磁感应
座号:_____________

姓名:_________________

一、位于竖直平面内的矩形平面导线框 abcd,ab 长为 l1, 是水平的,bc 长为 l2,线框的质量为 m,电阻为 R。其下方 有一匀强磁场区域,

该区域的上、 下边界 PP ? 和 QQ? 均与 ab 平行,两边界间的距离为 H,H>l2,磁场的磁感应强度为 B, 方向与线框平面垂直,如图所示。令线框的 dc 边从离磁场 区域上边界 PP ? 的距离为 h 处自由下落,已知在线框的 dc 边进入磁场后, ab 边到达边界 PP ? 之前的某一时刻线框的速 度已达到这一阶段的最大值。问从线框开始下落到 dc 边刚 刚到达磁场区域下边界 QQ? 的过程中, 磁场作用于线框的安 培力做的总功为多少?

二、如图 1 所示,在正方形导线回路所围的区域 A1A2A3A4 内 分布有方向垂直于回路平面向里的匀强磁场,磁感应强度 B 随时间以恒定的变化率增大,回路中的感应电流为 I=1.0mA。 已知 A1A2、 A3A4 两边的电阻皆为零; A4A1 边的电阻 R1=3.0kΩ, A2A3 边的电阻 R2=7.0kΩ。 (1)试求 A1A2 两点间的电压 U12、A2A3 两点间的电压 U23、 图1 A3A4 两点间的电压 U34、A4A1 两点间的电压 U41; (2)若一内阻可视为无限大的电压表 V 位于正方形导线回路所在的平面内,其正负端与连 线位置分别如图 2、图 3 和图 4 所示,求三种情况下电压表的读数 V1、V2、V3。

图2

图3

图4

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三、如图所示,在半径为 a 的圆柱空间中(图中圆为其横截面)充满磁感应强度大小为 B 的均匀磁场, 其方向平行于轴线远离读者。 在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材 料制成的边长为 L=1.6a 的刚性等边三角形框架△ DEF,其中心 O 位于圆柱的轴线上。DE 边 上 S 点( DS ?

1 L )处有一发射带电粒子的源,发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于 4

DE 边向下。发射粒子的电量皆为 q(>0) ,质量皆为 m,但速度 v 有各种不同的数值。若这 些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞, 并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的 边,试问: (1)带电粒子速度 v 的大小取哪些数值时可使 S 点发出的粒子最终又回到 S 点? (2)这些粒子中,回到 S 点所用的最短时间是多少?

四、一个长为 L1,宽为 L2,质量为 m 的矩形导电线框,由质量均匀分布的刚性杆构成,静 止放置在不导电的水平桌面上,可绕与线框的一条边重合的光滑固定轴 ab 转动,在此边中 串接一能输出可变电流的电流源(图中未画出) 。线框处在匀强磁场中,磁场的磁感应强度 B 沿水平方向且与转轴垂直,俯视图如图所示。现让电流从零逐渐增大,当电流大于某一最 小值 Imin 时,线框将改变静止状态。 (1)求电流值 Imin; (2)当线框改变静止状态后,设该电流源具有始终保持恒 定电流值 I0 不变(I0>Imin)的功能。已知在线框运动过程中 存在空气阻力。试分析线框的运动状况。

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五、从 z 轴上的 O 点发射一束电量为 q(>0) 、质量为 m 的带电粒子,它们速度统方向分布 在以 O 点为顶点、z 轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内(如图所示) ,速度的大小都等于 v。试设计一种匀强磁场,能使这束带电粒子会聚于 z 轴上的另一点 M,M 点离开 O 点的经 离为 d。要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值。不计粒子间的相互作用和重 力的作用。

六、如图所示,两条平行的长直金属细导轨 KL、PQ 固定于同一水平面内,它们之间的距 离为 l,电阻可忽略不计;ab 和 cd 是两根质量皆为 m 的金属细杆,杆与导轨垂直,且与导 轨良好接触,并可沿导轨无摩擦地滑动.两杆的电阻皆为 R。杆 cd 的中点系一轻绳,绳的 另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为 M 的物体,滑轮与转轴之间的摩擦不计,滑轮与杆 cd 之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行。 导轨和金属细杆都处于匀强磁场中, 磁场方向 垂直于导轨所在平面向上,磁感应强度的大小为 B。现两杆及悬物都从静止开始运动,当 ab 杆及 cd 杆的速度分别达到 v1 和 v2 时,两杆加速度的大小各为多少? K a B c B L

P

b

d

Q

M

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七、如图所示,水平放置的金属细圆环半径为 a,竖直放置的金属细圆柱(其半径比 a 小得 多) 的端面与金属圆环的上表面在同一平面内, 圆柱的细轴通过圆环的中心 O。 一质量为 m, 电阻为 R 的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑。棒的一端有一小孔套在细轴 O 上,另 一端 A 可绕轴线沿圆环作圆周运动。棒与圆环的摩擦系数为 μ。圆环处于磁感应强度大小为 B=Kr、方向竖直向上的恒定磁场中,式中 K 为大于零的常量,r 为场点到轴线的距离。金属 细圆柱与圆环用导线 ed 连接。不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦,也不计细圆柱、圆环及 导线的电阻和感应电流产生的磁场。问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的 A 端才能使棒以角速度 ω 匀速转动。 注:(x+Δx)3=x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3。

八、如图所示,两个金属轮 A1、A2,可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细 轴 O1 和 O2 转动, O1 和 O2 相互平行,水平放置, 每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成, A1 轮的辐条长为 a1、电阻为 R1,A2 轮的辐条长为 a2、电阻为 R2,连接辐条的金属环的宽度 与电阻都可以忽略。半径为 a0 的绝缘圆盘 D 与 A1 同轴且固连在一起,一轻细绳的一端固定 在 D 边缘上的某点,绳在 D 上绕足够匝数后,悬挂一质量为 m 的重物 P,当 P 下落时,通 过细绳带动 D 和 A1 绕 O1 轴转动,转动过程中,A1、A2 保持接触,无相对滑动;两轮与各 自细轴之间保持良好的电接触;两细轴通过导线与一阻值为 R 的电阻相连,除 R 和 A1、A2 两轮中辐条的电阻外,所有金属的电阻都不计,整个装置处在磁感应强度为 B 的匀强磁场 中,磁场方向与转轴平行,现将 P 释放,试求 P 匀速下落时的速度。

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九、图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面,其半径为 R,圆筒的轴线在 O 处, 圆筒为有匀强磁场,磁场方向与圆筒的轴线平行,磁感应强度为 B,筒壁的 H 处开有小孔, 整个装置处在真空中。现有一质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子 P 以某一初速度沿筒的半 径方向从小孔射入圆筒,经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设:筒壁是光滑的,P 与筒壁 碰撞是弹性的,P 与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。若要使 P 与筒壁碰撞的次数最少,问: (1)P 的速率应为多少? (2)P 从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少?

十、如图所示,MlM2 和 M3M4 都是由无限多根无限长的外表面绝缘的细直导线紧密排列成 的导线排横截面,两导线排相交成 120° ,OO? 为其角平分线。每根细导线中都通有电流 I, 两导线排中电流的方向相反,其中 MlM2 中电流的方向垂直纸面向里。导线排中单位长度上 细导线的根数为 λ。图中的矩形 abcd 是用 N 型半导体材料做成的长直半导体片的横截面, ( ab ? bc ) ,长直半导体片与导线排中的细导线平行,并在片中通有均匀电流 I0,电流方 向垂直纸面向外。已知 ab 边与 OO? 垂直, bc ? l ,该半导体材料内载流子密度为 n,每个 载流子所带电荷量的大小为 q。求此半导体片的左右两个侧面之间的电势差。已知当细的无 限长的直导线中通有电流 I 时,电流产生的磁场离直导线的距离为 r 处的磁感应强度的大小 为B ?k

I ,式中 k 为已知常量。 r

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十一、如图所示,ACD 是由均匀细导线制成的边长为 d 的等边三角形线框,它以 AD 为转 轴,在磁感应强度为 B 的恒定的匀强磁场中以恒定的角速度田转动(俯视为逆时针旋转) , 磁场方向与 AD 垂直。已知三角形每条边的电阻都等于 R。取图示线框平面转至与磁场平行 的时刻为 t=0。 (1)求任意时刻 t 线框中的电流; (2)规定 A 点的电势为 0,求 t=0 时,三角形线框的 AC 边上任 一点 P(到 A 点的距离用 x 表示)的电势 Up,并画出 Up 与 x 之间 关系的图线。

十二、设空间存在三个相互垂直的已知场:电场强度为 E 的匀强电场,磁感应强度为 B 的 匀强磁场和重力加速度为 g 的重力场。 一质量为 m、 电荷量为 q 的带正电的质点在此空间运 动,已知在运动过程中,质点速度的大小恒定不变。 (1)试通过论证,说明此质点作何种运动(不必求出运动的轨迹方程) ; (2)若在某一时刻,电场和磁场突然全部消失,已知此后该质点在运动过程中的最小动能 为其初始动能(即电场和磁场刚要消失时的动能)的一半,试求在电场、磁场刚要消失时刻 该质点的速度在三个场方向的分量。

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十三、 近代的材料生长和微加工技术, 可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一个平面 内(二维)的微结构器件,且可做到电子在器件中像子弹一样飞行,不受杂质原子射散的影 响。这种特点可望有新的应用价值。图 1 所示为四端十字形二维电子气半导体,当电流从 1 端进入时,通过控制磁场的作用,可使电流从 2,3,或 4 端流出。 对下面摸拟结构的研究,有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动。在图 2 中, a、b、c、d 为四根半径都为 R 的圆柱体的横截面,彼此靠得很近,形成四个宽度极窄的狭 缝 1、2、3、4,在这此狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空)存在匀强磁场,磁场方 向垂直于纸面指向纸里。以 B 表示磁感应强度的大小。一个质量为 m、电荷量为 q 的带正 电的粒子,在纸面内以速度 v0 沿与 a、b 都相切的方向由缝 1 射入磁场内,设粒子与圆柱表 面只发生一次碰撞,碰撞是弹性的,碰撞时间极短,且碰撞不改变粒子的电荷量,也不受磨 擦力作用。试求 B 为何值时,该粒子能从缝 2 处且沿与 b、c 都相切的方向射出。 a 4 1 2 3 b v0 1 3 2 c

4

d

图1

图2

十四、如图所示,M1N1N2M2 是位于光滑水平桌面上的刚性 U 型金属导轨,导轨中接有阻值 为 R 的电阻,它们的质量为 m0。导轨的两条轨道间的距离为 l。PQ 是质量为 m 的金属杆, 可在轨道上滑动,滑动时保持与轨道垂直,杆与轨道的接触是粗糙的,杆与导轨的电阻均不 计。初始时,杆 PQ 位于图中的虚线处,虚线的右侧为一匀强磁场区域,磁场方向垂直于桌 面,磁感应强度的大小为 B。现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力 F 作用于 PQ 上, 使之从静止开始的轨道上向右作加速运动。已知经过时间 t,PQ 离开虚线的距离为 x,此时 通过电阻的电流为 I0,导轨向右移动的距离为 x0(导轨的 N1N2 部分尚未进入磁场区域) 。求 在此过程中电阻所消耗的能量。不考虑回路的自感。 N1 R P F M2 Q M1

N2

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十五、在如图所示的装置中,离子源 A 可提供速度很小的正离子(其速度可视为 0) ,经加 速电压加速后从 S 点进入匀强磁场, 磁场方向垂直纸面指向纸外, 虚线框为磁场区域的边界 线。在磁场作用下,离子沿半个圆周运动后射出磁场,射出点 P 到 S 的距离用 x 表示。 (1)当离子源提供的是单一种类的第一种离子时,P 到 S 的距离为 x1;当离子源提供的是 单一种类的第二种离子时,P 到 S 的距离为 x2,已知

x1 ? ? 。试求这两种离子在磁场中运 x2

动时间 t1 和 t2 的比值 t1/t2; (2)若离子源 A 提供是由 H+、D+、4He+和 H2+混合而成的多种离子,又通过速度选择器使 各种离子的速率都为 v,当这些离子从 S 点进入匀强磁场后,从磁场射出时可分离出哪几种 离子束?若 v=2.0× 106m/s,B=0.50T,基本电量 e=1.60× 10-19C,质子质量 mP=1.68× 10-27kg, 试求各种离子的射出点 P 到 S 的距离。

十六、电荷量为 q 的正电荷,均匀分布在由绝缘材料制成的质量为 m 半径为 R 的均匀细圆 环上,现设法加外力使圆环从静止开始,绕通过环心垂直于环面的轴线匀加速转动。试求从 开始转动到环的角速度达到某一值 ω0 的整个过程中外力所做的功。已知转动带电圆环的等 效电流为 I 时,等效电流产生的磁场对整个以圆环为周界的圆面的磁通量 Ф=kI,k 为一已知 常量。不计电荷作加速运动所产生的辐射效应。

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十七、图中坐标原点 O(0,0)处有一带电粒子源,向 y≥0 一侧沿 Oxy 平面内的各个不同 方向发射带正电的粒子,粒子的速率都是 v,质量均为 m,电荷量均为 q。有人设计了一方 向垂直于 Oxy 平面,磁感应强度的大小为 B 的均匀磁场区域,使上述所有带电粒子从该磁 场区域的边界射出时,均能沿 x 轴正方向运动。试求出此边界线的方程,并画出此边界线的 示意图。

十八、图中 L 是一根通电长直导线,导线中的电流为 I。一电阻为 R、每边长为 2a 的导线方 框,其中两条边与 L 平行,可绕过其中心并与长直导线平行的轴线 OO? 转动,轴线与长直 导线相距 b,b>a,初始时刻,导线框与直导线共面。现使线框以恒定的角速度 ω 转动,求 线框中的感应电流的大小。不计导线框的自感。已知电流 I 的长直导线在距导线 r 处的磁感 应强度大小为 k

I ,其中 k 为常量。 r

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十九、一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环,其内、外半径分别为 a1、a2,厚度可以忽略。两 个表面都带有电荷,电荷面密度 σ 随离开环心距离 r 变化的规律均为 ? ( r ) ? ,σ0 为已知 r2 常量。薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度 β 减速转动,t=0 时刻的角速 度为 ω0。 将一半径为 a0 (a0<<a1) 、 电阻为 R 并与薄圆环共面的导线圆环与薄圆环同心放置。 试求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力 F 与时间 t 的关系。 提示: 半径为 r、 通有电流 I 的圆线圈 (环形电流) , 在圆心处产生的磁感应强度为 B ? k (k 为已知常量) 。 a2 a0 a1

?0

I r

二十、 磁悬浮列车是一种高速运载工具。 它具有两个重要系统。 一是悬浮系统, 利用磁力 (可 由超导电磁铁提供)使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统,在沿轨道 上安装的三相绕组(线圈)中,通上三相交流电,产生随时间、空间作周期性变化的磁场, 磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用,使车体获得牵引力。 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由,我们求解下面的问题。 设有一与轨道平面垂直的磁场,磁感应强度 B 随时间 t 和空间位置 x 变化规律为

B( x, t ) ? B0 cos(? t ? kx)
式中 B0、ω、k 均为已知常量,坐标轴 x 与轨道平行。在任一时刻 t,轨道平面上磁场沿 x 方向的分布是不均匀的,如图所示。图中 Oxy 平面代表轨道平面, “×”表示磁场的方向垂 直 Oxy 平面指向纸里, “· ”表示磁场的方向垂直 Oxy 平面指向纸外。规定指向纸外时 B 取正值。 “×”和“· ”的疏密程度表示沿着 x 轴 B 的大小分布。一与轨道平面平行的具 有一定质量的金属矩形框 MNPQ 处在该磁场中,已知与轨道垂直的金属框边 MN 的长度为 l,与轨道平行的金属框边 MQ 的长度为 d,金属框的电阻为 R,不计金属框的电感。 (1)试求在时刻 t,当金属框的 MN 边位于 x 处时磁场作用于金属框的安培力,设此时刻金 属框沿 x 轴正方向移动的速度为 v; (2)试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。

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二十一、图中 Oxy 是位于水平光滑桌面上的直角坐标系,在 x>0 的一侧,存在匀强磁场, 磁场方向垂直于 Oxy 平面向里,磁感应强度的大小为 B。在 x<0 的一侧,一边长分别为 l1 和 l2 的刚性矩形超导线框位于桌面上,框内无电流,框的一对边与 x 轴平行。线框的质量为 m,自感为 L。现让超导线框沿 x 轴方向以初速度 v0 进入磁场区域,试定量地讨论线框以后 可能发生的运动情况及与初速度 v0 大小的关系。 (假定线框在运动过程中始终保持超导状态)

二十二、地球赤道表面附近处的重力加速度为 g0=9.8m/s2 ,磁场的磁感应强度的大小 B0=3.0× 10-5T,方向沿经线向北。赤道上空的磁感应强度的大小与 r3 成反比(r 为考察点到 地心的距离) ,方向与赤道附近的磁场方向平行。假设在赤道上空离地心的距离 r=5Re(Re 为地球半径)处,存在厚度为 10km 的由等数量的质子和电子的等离子层(层内磁场可视为 匀强磁场) ,每种粒子的数密度非常低,带电粒子的相互作用可以忽略不计。已知电子的质 量 me=9.1× 10-31kg ,质子的质量 mp=1.7× 10-27kg ,电子电荷量为 -1.6× 10-19C ,地球的半径 6 Re=6.4× 10 m。 (1)所考察的等离子层中的电子和质子一方面作无规则运动,另一方面因受地球引力和磁 场的共同作用会形成位于赤道平面内的绕地心的环行电流,试求此环行电流的电流密度; (2)现设想等离子层中所有电子和质子,它们初速度的方向都指向地心,电子初速度的大 小 ue=1.4× 104m/s,质子初速度的大小 up=3.4× 102m/s。试通过计算说明这些电子和质子都不 可能到到达地球表面。

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二十三、如图所示,一质量为 m、电荷量为 q(q>0)的粒子做角速度为 ω、半径为 R 的匀 速圆周运动。一长直细导线位于圆周所在的平面内,离圆心的距离为 d(d>R) ,在导线上通 有随时间变化的电流 i。i=0 时刻,粒子速度的方向与导线平行,离导线的距离为 d+R。若粒 子做圆周运动的向心力等于电流 i 的磁场对粒子的作用力, 试求出电流 i 随时间的变化规律。 不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响。 长直导线电流产生的磁场的磁感应强度表 示式中的比例系数 k 已知。

二十四、空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,在此区域建立直角坐标系 O-xyz,如图所示, 匀强电场沿 x 方向,电场强度 E1 ? E0 i ,匀强磁场沿 z 方向,磁感应强度 B ? B0 k ,E0、 B0 分别为已知常量, i 、 k 分别为 x 方向和 z 方向的单位矢量。 (1)有一束带电量都为+q、质量都为 m 的粒子,同时从 Oyz 平面内的某点射出,它们的初 速度均在 Oyz 平面内,速度的大小和方向各不相同,问经过多少时间这些粒子又能同时回 到 Oyz 平面内; (2)现在该区域内再增加一个沿 x 方向随时间变化的匀强电场,电场强度

Ez ? (E0 cos ?t )k ,式中 ? ?

qB0 ,若有一电荷量为+q、质量为 m 的粒子,在 t=0 时刻从 m

坐标原点 O 射出,初速度 v0 在 Oyz 平面内,试求以后此粒子的坐标随时间变化的规律。不 计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用,也不考虑变化的电场产生的磁场。

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二十五、如图所示,两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆 环固定在水平的桌面上,大圆环半径为 R1,小圆环表面绝缘半径 为 R2(R2<<R1) ,两圆环导线每单位长度电阻均为 r0,它们处于匀 强磁场中,磁感应强度大小为 B,方向竖直向下,一每单位长度 电阻为 r1 的长直金属细杆放在大圆环平面上,并从距圆环中心左 侧为 R1/100(>R2)的 ab 位置,以速度 v 匀速向右沿水平面滑动 到相对于大圆环中心与 ab 对称的位置 cd, 滑动过程中金属杆始终 与大圆环保持密接。假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生 的磁场均可视为匀强磁场,试求在上述滑动过程中通过小圆环导 线横截面的电荷量。 提示:当半径为 R、长度为 l 的一段圆弧导线通有电流 I 时,圆弧电流在圆心处产生的 磁感应强度大小为 B ? k m

Il , 方向垂直于圆弧所在平面且在圆弧电流的方向满足右手螺旋 R2

法则;无限长直导线通有电流 I 时,电流在距直导线距离为 r 处产生的磁感应强度 B 的大小 为 B ? km

2I ,其中 km 是已知常量。 r

d 的平面 2 内,电容器起初未被充电。整个装置处于均匀磁场中, 磁感应强度大小为 B,方向沿 x 轴负方向,如图所示。 (1)在电容器参考系 S 中只存在磁场;而在以沿 y 轴 正方向的恒定速度(0,v,0)(这里(0,v,0)表示为沿 x、y、 z 轴正方向的速度分量分别为 0、v、0,以下类似)相 对 于 电 容 器 运 动 的 参 考 系 S?中 , 可 能 既 有 电 场
二十六、平行板电容器两极板分别位 z ? ?

? , Ey ? , Ez ? ) 又有磁场 ( Bx ? , By ? , Bz ? ) 。试在非相对论情形下,从伽利略速度变换,求出在参考系 ( Ex ? , Ey ? , Ez ? ) 和磁场 ( Bx ? , By ? , Bz ? ) 的表达式。已知电荷量和作用在物体上的合力在伽 S? 中电场 ( Ex
利略变换下不变; (2)现在让介电常数为 ? 的电中性液体(绝缘体)在平行板电容器两极板之间匀速流动, 流速大小为 v,方向沿 y 轴正方向。在相对液体静止的参考系(即相对于电容器运动的参考

? , Ey ? , Ez ? ) 中,其正负电荷会因电场力作用而 系)S? 中,由于液体处在第 1 问所述的电场 ( Ex
发生相对移动(即所谓极化效应) ,使得液体中出现附加的静电感应电场,因而液体中总电

? , Ey ? , Ez ? ) ,而是 场强度不再是 ( Ex

?0 ( E? , E? , E? ) ,这里 ? 0 是真空的介电常数。这将导致在电 ? x y z

容器参考系 S 中电场不再为零。 试求电容器参考系 S 中电场的强度以及电容器上、 下极板之 间的电势差。 (结果用 ? 0、? 、v、B、d 表出)

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二十七、 如图所示, K 为一带电粒子发生器, 从中可以不断地射出各种不同速率的带电粒子, 它们都带正电,电量为 q,质量为 m,速度的方向都沿图中的虚线。D1、D2 为两块挡板,可 定时开启和关闭。C1、C2 为两扇“门” ,C1 紧靠 Dl,两门之间的距离为 L,两个门上都加上 交变电压 u=U0sin(2πt/T),T 为交变电压的周期。已知只有当门上电压的值为零附近的无限 短的时问内,粒子才能通过该门。C 为能量增减器,它紧靠挡板 D2,到门 C2 的距离为 L/2。 当带电粒子在 t 时刻通过 G 时,粒子可获得一定的能量 ΔE1=E0sin(2πt/T+π/4),但速度的方 向不变,式中 E0 ?

2mL2 。通过 G 的粒子从 O 点进入 G 右侧的匀强磁场区域,磁场的磁 4T 2

感应强度大小为 B,方向垂直纸面向里(整个装置都放在真空中) 。在磁场区建立以 O 作为 原点的如图所示的直角坐标系 Oxy,MN 为磁场区域的边界,它平行于 x 轴。现在 t=0 的时 刻,同时打开 D1 与 D2,让粒子进入 C1,在 t=3T/4 时刻,关闭挡板 D1,使粒子无法进入 C1; 在 t=10T/4 时刻,再关闭挡板 D2,使粒子无法进入 G。已知从 O 进入磁场中速度最大的粒 子经过坐标为(3cm,3cm)的 Q 点。问:假如要使从 O 进入磁场中速度最小的粒子能经过 Q 点,则应将磁场边界 MN 在 Oxy 平面内平移到什么位置。

二十八、如图所示,OO′为一固定不动的半径为 a1 的圆柱形金属轴,其电阻可忽略。一个内 半径为 a1、外半径为 a2、厚度为 h(<<a1)的匀质环形导体圆盘套在 OO′上,与 OO′接触良 好,并可绕 OO′转动。盘上距盘心 r 处的电阻率与 r 成正比,即 ρ=ρ0r,ρ0 为常量。整个环 形圆盘处在与环面垂直的恒定匀强磁场中,磁感应强度的大小为 B。图中的电源 S 是一个不 论负载如何变化,均能提供恒定不变的电流 I 的电源(称为恒流源) ,R0 是跨接在电源两端 的固定电阻的阻值。电源的一端接在固定金属轴上端面的中心 x 处,另一端与环形电刷 Y 相连。环形电刷包围在圆盘的外缘,当圆盘绕金属轴转动时与盘保持良好接触。此装置可看 作一“圆盘电动机” 。当电源接通后,若它不带任何负载,称为空载状态,空载达到稳定时 圆盘的转动角速度用 ω0 表示;带有负载(图中未画出)时,圆盘转动达到稳定时的角速度 用 ω 表示,不计一切摩擦,问: (1)当电动机输出机械功率 P 最大时,ω 与 ω0 之比等于多少? (2)在(l)的情况下,圆盘的发热功率为多少?

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二十九、如图所示,坐标系 Oxyz 的 x 轴和 z 轴都位于纸面内,y 轴垂直纸面向里。两无限大 金属极板 P 和 Q 分别位于 x=-d 和 x=d 处。磁感应强度大小为 B 的匀强磁场的方向平行于 Oxz 坐标平面,与 z 轴的夹角为 α。在坐标原点 O 处,有一电荷为 q(>0) 、质量为 m 的带 电粒子,以沿 y 轴正方向的初速度 v0 开始运动。不计重力作用。 (1)若两极板间未加电场,欲使该粒子在空间上恰好能到达极板(但与板不接触) ,则初速 度 v0 应为多大?所需最短时间 t0 是多少? (2)若在两极板间沿 x 轴正方向加上一场强为 E 的匀强电场,使该粒子能在第(1)问中 π 所求得的时间 t0 到达极板,则该粒子的初速度 v0 应为多大?若 α= ,求粒子到达极板时粒 4 子的坐标。 P α O x z B Q

2d

三十、 磁场会影响电子的运动, 从而使存在磁场时的电流与电压之间的关系偏离我们熟悉的 欧姆定律,本题研究的问题即为一例。 设 xoy 平面内有密度(单位体积内的电子数)为 n 的二维电子气。平面内沿 x 轴方向存 在均匀电场 E ? Ei ( i 为轴正方向的单位矢量) ,垂直于平面的 z 轴方向存在匀强磁场,磁 感应强度为 B ? Bk ( k 为 z 轴正方向的单位矢量) 。 已知平面内的电子运动受到的散射阻力 与速度 v 成正比,可等效地用一时间参量 τ 描述为 ?

mv

?

,m 为电子质量,试求在稳态沿 x

和 y 方向的电流密度(大小为垂直于电流方向单位长度的电流)jx 和 jy,将结果用电子电荷 量绝对值 e、n、m、E、τ 及 ω 表示出, ? ?

eB 。 m

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三十一、如图(a)所示,十二根均匀的导线杆联成一边长为 l 的刚性正方体,每根导线杆的电 阻均为 R。该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与 abcd 面垂直的转动轴作匀速转动,角 速度为 ω,已知磁感应强度大小为 B,方向与转动轴垂直。忽略电路的自感。当正方体转动 到如图(b)所示位置(对角 bd 与磁场方向夹角为 θ)时,求: (1)通过导线 ba、ad、bc 和 cd 的电流强度; (2)为维持正方体作匀速转动所需的外力矩。

三十二、如图所示,一半径为 R 的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置,可绕过圆盘中心的竖直 固定轴无摩擦地自由转动。一半径为 a 的轻质小圆线圈(a<<R)固定在盘面上,圆线圈与 圆盘共轴。在盘边缘处等间隔地固定 4 个质量均为 m 的带正电的金属小球,每个小球所带 电荷量均为 q。此装置处在一磁感应强度大小为 B0、方向竖直向上的均匀强磁场中。初始时 圆盘静止,圆线圈中通有恒定电流 I,方向沿顺时针方向(从上往下看) 。若切断圆线圈中 的电流,则圆盘将发生转动。求薄圆盘稳定转动后,圆盘在水平方向对每个金属球小的作用 力的大小。 假设金属小球可视为质点, 不计小圆线圈的自感和带电金属小球因运动所产生的 磁场。 已知固定在圆盘面上的半径为 a、通有电流 I 的圆线圈在圆盘面内、距线圈圆心的距离

2? a 2 I 为 r 处(r>>a)产生的磁场的磁感应强度的大小为 B ? km ,式中 km 为已知常量,当 r3
线圈中的电流沿顺时针方向时,磁场方向垂直于圆盘平面且竖直向上。静电力常量为 ke。

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