当前位置:首页 >> 数学 >>

4章三角函数2课时


第2课时

同角三角函数的基本关系及诱导公式

基础知识梳理

1.同角三角函数基本关系式 平方关系: sin2α+cos2α=1 ;商 sinα 数关系:tanα= . cosα

基础知识梳理
2.诱导公式
组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 二 三 四 2kπ+ α(k

∈ π+α -α π-α Z) sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα -cosα -cosα -tanα tanα tanα -tanα 函数名不变 符号看象限 五 -α cosα sinα 六 +α cosα -sinα

函数名改变 符号看象限

基础知识梳理
有人说sin(kπ-α)=sin(π-α)= sinα(k∈Z),你认为正确吗? 【思考· 提示】 不正确.当k= 2n(n∈Z)时,sin(kπ-α)=sin(2nπ-α) =sin(-α)=-sinα; 当k=2n+1(n∈Z)时,sin(kπ-α) =sin[(2n+1)π-α] =sin(2nπ+π-α)=sin(π-α)= sinα.

三基能力强化
3 1. (教材习题改编)已知 sinα=- , 2 且 α 为第三象限角,则 tanα 等于( )
A.- 3 C. 3 B.± 3 1 D.- 2

1 解析: 选 C.由已知得 cosα=- ,所 2 以 tanα= 3.

三基能力强化
2.(2009年高考全国卷Ⅰ改编)cos585° 的值为( )
2 2 A.- B. 2 2 3 3 C.- D. 2 2 解析:选 A.cos585° = cos225° 2 =- cos45° =- . 2

三基能力强化
3 3.已知 sin(π+α)= ,且 α 是第 5 四 象 限 角 , 那 么 cos(α - 2π) 的 值 是 ( )
4 A. 5 4 C. ± 5 4 B.- 5 3 D. 5

三基能力强化
3 解析: 选 A.由 sin(π+ α)= , 得 sinα 5 3 =- . 5 又 α 为第四象限角, 所以 cos(α- 2π)= cos(2π- α)= cosα 32 4 2 = 1- sin α = 1- (- ) = . 5 5

三基能力强化
1 4.如果 cosα= ,且 α 是第四象限的 5 π 角,那么 cos(α+ )=________. 2 解析:α 是第四象限的角且 1 cosα= , 5 ∴sinα = - 1- cos2α = - 2 6 , 5 π 2 6 于是 cos(α+ )=- sinα= . 2 5 2 6 答案: 5

三基能力强化
5.tan300°+sin450°= ________.
解析:tan300° + sin450° = tan(360° - 60° )+ sin(360° + 90° )=- tan60° + sin90° =- 3+1.
答案:- 3+1

课堂互动讲练
考点一 诱导公式的应用

此类问题是给角求值,主要是利 用诱导公式把任意角的三角函数转化 为锐角的三角函数求解.如果是负 角,一般先将负角的三角函数化为正 角的三角函数,要记住一些特殊角的 三角函数值.

课堂互动讲练
例1

求值:sin690°· sin150°+ cos930°· cos(-870°)+ tan120°· tan1050°.

课堂互动讲练
【 思 路 点 任意负角的三角函数 → 任意正角的三角函数 → 0° ~ 360° 的角的三角函数 → 锐角的三角函数 拨 】

课堂互动讲练
【 解 】 原 式 = sin(720° - 30° )sin(180° - 30° ) + cos(1080° - 150° )cos(720° + 150° ) + tan(180° - 60° )· tan(1080° -30° ) = - sin30° sin30°+ cos150° cos150° + tan60° tan30° 1 3 3 =- + + 1= . 4 4 2

课堂互动讲练
【名师点评】 熟记三角函数的 诱导公式,利用诱导公式,把求任意 角的三角函数,转化为求锐角的三角 函数,一般都是特殊角.

课堂互动讲练
考点二 同角三角函数基本关系的应用

运用基本关系式可以求解两类问

题:
(1)已知某角的一个三角函数值, 求该角的其他三角函数值; (2)运用它对三角函数式进行化简 求值或证明.

课堂互动讲练
该部分高考命题难度不大,对公 式的应用要求准确、灵活,尤其是在 利用平方关系sin2α+cos2α=1及其变 形形式sin2α=1-cos2α或cos2α=1- sin2α进行开方运算时,要特别注意对 符号的判断.

课堂互动讲练
例2
已知 tanα=2,求: 4sinα-2cosα (1) 的值; 5sinα+3cosα (2)3sin2α+ 3sin αcosα- 2cos2α 的值.

课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)用条件将待求 式弦化切,分子分母同除以cosα.或将 式中的正弦用余弦代换,分子分母相 抵消,达到求值的目的. (2)为达到利用条件tanα=2的目 的,将分母1变为sin2α+cos2α,创造 分母以达到利用(1)的解法一的方法求 值.

课堂互动讲练
【解】 ∴cosα≠0, (1) 法 一 : ∵tanα = 2 ,

4sinα 2cosα - 4sinα- 2cosα cosα cosα ∴ = 5sinα+ 3cosα 5sinα 3cosα + cosα cosα 4tanα-2 4×2-2 6 = = = . 5tanα+3 5×2+3 13

课堂互动讲练
法二:由 tanα= 2 得,sinα= 2cosα 代 入结论,得 4sinα- 2cosα 4×2cosα- 2cosα = = 5sinα+ 3cosα 5×2cosα+ 3cosα 6cosα 6 = . 13cosα 13

课堂互动讲练
(2)3sin2α+ 3sinαcosα- 2cos2α 3sin2α+ 3sinαcosα- 2cos2α = sin2α+ cos2α 3tan2α+3tanα- 2 2 tan α+ 1 3×22+3×2-2 16 = = . 2 5 2 +1



课堂互动讲练
【思维总结】 由已知式可知 tanα=2,通过同角三角函数关系式求 得sinα、cosα进而求解.但因角α所在 角限不确定,要分类讨论,比较麻 烦,故不可取.

课堂互动讲练
互动探究
例 2 条件不变,求 sin(α- 2π)sin(α- π) 5π 3π - sin( + α)· sin( - α)的值. 2 2

课堂互动讲练
解:∵tanα=2, 5π ∴sin(α - 2π)sin(α - π) - sin( + 2 3π α)sin( - α) 2 =- sin2α+ cos2α cos2α- sin2α 1- tan2α 1- 4 = 2 =- 2 = 2 = cos α+ sin α 1+ tan α 1+ 4 3 . 5

课堂互动讲练
考点三
应用三角函数公式求值

1.六个诱导公式和同角三角函 数间的关系是求值的基础. 2.已知一个角的三角函数值, 求其他角的三角函数值时,要注意对 角的化简,一般是把已知和所求同时 化简,化为同一个角的三角函数,然 后求值.

课堂互动讲练
例3 已知在△ ABC 中, sinA+cosA 1 = , 5 (1)求 sinA cosA; (2)判断△ ABC 是锐角三角形 还是钝角三角形; (3)求 tanA 的值.

课堂互动讲练
【思路点拨】 可先把 sinA+ cosA 1 = 两边平方得出 sinA· cosA,然后借助 5 于 A∈(0, π)及三角函数符号法则可判 断 sinA 与 cosA 的符号,从而进一步构 造 sinA- cosA 的方程,最后联立求解.

课堂互动讲练
1 【解】(1)∵sinA+ cosA= 5 ① 1 ∴两边平方得 1+2sinAcosA= , 25 12 ∴sinAcosA=- . 25 12 (2)由 (1)sinAcosA=- <0,且 0<A 25 < π, 可知 cosA<0,∴A 为钝角, ∴△ABC 是钝角三角形.

课堂互动讲练
(3)∵(sinA - cosA)2 = 1- 2sinAcosA = 1 24 49 + = , 25 25 又 sinA> 0, cosA< 0, ∴sinA- cosA>0, 7 ∴sinA- cosA= . ② 5 ∴由①,②可得 4 3 sinA= , cosA=- , 5 5 4 sinA 5 4 ∴tanA= = =- . 3 3 cosA - 5

课堂互动讲练
【名师点评】 sinθcosθ< 0, θ∈(0 , π)的作用在于分析出 sinθ >0, cosθ< 0, 从而 sinθ- cosθ> 0, 避免出现不考虑上述原因,直接得 7 出 sinθ- cosθ= ± 从而增解. 5

课堂互动讲练
例4 (解题示范)(本题满分 12 分) π π 是否存在 α∈ (- , ), β∈ (0, 2 2 π π), 使等式 sin(3π-α)= 2cos( - 2 β), 3cos(-α)=- 2cos(π+β)同 时成立?若存在, 求出 α,β 的值; 若不存在,请说明理由.

课堂互动讲练
【思路点拨】 要想求出α、β的 值,必须知道α、β的某一个三角函数 值,因此,解决本题的关键是由两个 等式,消去α或β得出关于β或α的同名 三角函数值.

课堂互动讲练

课堂互动讲练
sin α+ 3cos α= 2, 1 2 ∴cos α= . 2 π π π 又∵α∈(- , ),∴α= 或 α=- 2 2 4 π . 4 5分 π 3 将 α = 代 入 ④ 得 cosβ = . 又 4 2 β∈(0, π), π ∴β= ,代入③可知符合. 8分 6
2 2

课堂互动讲练
π 3 将 α=- 代入④得 cosβ= .又 β∈(0, π), 4 2 11 分 π ∴β= ,代入③可知不符合. 6 π π 综上可知,存在 α= ,β= 满足条件 . 12 分 4 6

课堂互动讲练
π 【名师点评】 本题易得出 α= ,β 4 π π π = 或 α=- ,β= 的错误结论,原因是 6 4 6 没有注意 α、 β 所满足的等式.

课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分 12 分 )在△ ABC 中,若 sin(2π- A)=- 2 sin(π- B), 3cosA = - 2cos(π-B),求△ ABC 的三内角.

课堂互动讲练
解: 由已知得 sinA= 2sinB, 3cosA = 2cosB, 两式平方相加得 2cos2A= 1, cosA= 2 ± , 4分 2 2 3 若 cosA=- ,则 cosB=- , 2 2

课堂互动讲练
此时,A, B 均为钝角,不可能. 2 ∴cosA= , 8分 2 π 3 3 故 A= ,cosB= cosA= ?B= 4 2 2 π , 6 7π C= π- (A+ B)= . 12 12 分

规律方法总结
1.对于同角三角函数的基本关系, 关键是灵活运用三角公式,要充分领会 sinα、cosα、tanα 它们之间的联系,注意 公式的顺用、逆用及变形用,如 1=sin2α 2 2 sin α tan α 2 2 +cos α,sin α= 2 , 2 = 2 sin α+cos α tan α+1 2 cos α 1 2 cos α= 2 等.同时, 2 = 2 sin α+cos α tan α+1 对于平方关系, 要注意角的范围和三角函 数正、负号的选取.

规律方法总结
2.应用诱导公式,重点是“函数 名称”与“正负号”的正确判断.求任 意角的三角函数值问题,都可以通过 诱导公式化为锐角三角函数的求值问 题,具体步骤为“负角化正角”→“正 角化锐角”→求值.

规律方法总结
(1)诱导公式起着变名、变号、变 角等作用,在三角有关问题(特别是化 简、求值、证明)中常使用. (2)使用诱导公式时一定要注意三 角函数值在各象限的符号,特别是在 具体题目中出现类似kπ±α(k∈Z)的形 式时,需要对k的取值进行分类讨 论,从而确定出三角函数值的正负.


相关文章:
...高考数学一轮复习必备34课时:第四章 三角函数的性质...
【阳光学习网精选】高考数学一轮复习必备34课时:第四章 三角函数的性质(二)_数学_高中教育_教育专区。四.教学过程: (一)主要知识:三角函数的奇偶性和单调性具体...
第4章三角函数教材分析
4 课时 约 3 课时 约 1 课时 王新敞奎屯 新疆 ①三角函数化简时,在题设...2 页) 必修 4 第 3 章 三角恒等变换教材分析 王新敞 ①不附加条件的三角...
4章三角函数、解三角形
4章三角函数、解三角形_数学_高中教育_教育专区。4章三角函数、解三角形 第1 讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲 1.了解任意角的概念;2.了解弧度制...
第2课时 三角函数第二课
第3课时 三角函数第三课 第4课时 三角函数综合测试 第5课时 解三角形 第6课时...2 ? ? y = A sin (ωx + ? ) (A、 ω>0) R 定义域 值域 周期性...
第四章 三角函数、解三角形 第二节
四章 三角函数、解三角形 第二节_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档第四章 三角函数、解三角形 第二节_数学_高中教育_教育专区。...
第40课时 三角函数的应用2
第40课时 三角函数的应用2_数学_高中教育_教育专区。江苏省宿迁中学 2016 届...4.在半径为 R 的圆内作一个内接矩形,则矩形面积的最大值是___. 5. 如图...
第2课时同角三角函数关系
2课时同角三角函数关系_数学_高中教育_教育专区。第 02 课时班级 一.填空题..., cos? 是方程 4 x 2 ? 2mx ? m ? 0 的两根,则 m 的值为___. ...
必修4 第一章三角函数复习课时作业(2课时)
高中一年级必修总复习三角函数部分,2课时2个作业高中一年级必修总复习三角函数部分,2课时2个作业隐藏>> 2011-2012 高一期末复习专题《三角函数》课时作业(1)一...
人教版高中数学教案:第4章:三角函数,教案,课时第 (21)
人教版高中数学教案:第4章:三角函数,教案,课时第 (21)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。人教版,高中数学,数学教案,三角函数第二十一教时教材:二倍角的正弦、...
第4章第3课时 三角函数的图象和性质
4 章第 3 课时 三角函数的图象和性质 一、选择题 1.函数 y=|sinx|-2sinx 的值域是( A.[-3,-1] C.[0,3] ) B.[-1,3] D.[-3,0] 解析:...
更多相关标签:
三角函数章知识点总结 | 三角函数章节测试 | 必修四第一章三角函数 | 28章锐角三角函数试题 | 第一章 三角函数 | 必修4三角函数 | 数学必修4三角函数 | 必修4三角函数知识点 |