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变换角度构建图形妙解高考题


中学 生 数 学 ? 2 0 0 9 年 8 月上 ? 第 3 7 5 期( 高中)  

变换 角 度 构 建 画形 妙 解 高考 题 
山东省嘉 祥 县第 二 中学 ( 2 7 2 4 0 4 )   任 完伟  贺 宝 生  
题目   ( 2 0 0 8年 宁 夏 、 海 南 高考 1 2 ) : 某 几 
7 ( s i

n 。  + s i n   0 ) 一 6,  

高  

考  

何 体 的 一 条 棱 长 为√ 7 , 在 该 几 何 体 的 正 视 图  中, 这 条棱 的投 影 是 长 为√ 6 的线 段 , 在 该 几 何 
体的侧视 图与俯视 图中 , 这 条棱 的投 影分别是 长  为 n和 b的线段 , 则口 +b的最 大值为 (  
( A) 2   ( B)2   ( c)4

则  7 ( c o s 。   +C O S  ) 一8 .   于是 ( 口 +6 ) 。一7 ( c o s 2 0 +C O S 2 9 +2 c o s O c o s 9 )  
≤ 2?7 ( c o s   0 - 4 - C O S  )  
一 1 6.  

围  地 

) .  

( D)2  

则 口 +6 ≤4 , 即n +6的最大 值 为 4 .  
角度 2 ( 以常见 的长 方 体 为媒 介 构建 图形 )  

分析

本 题 是 一 道 以 空 间 几 何 体 中 的 三 

视图为 背景 的最 值 求 解 综合 问题 , 由 于题 意所 

根 据题 意联 想 熟悉 的几 何 体 ( 比如 长 方体 ) ,   借 助该几 何 体 以及 题 意 条 件 容 易 得 到 相 应 的  等量 关 系 , 然 后根 据 所 求 适 当选 取 求最 值 的方 
法求 解 即可.  
解法 2   如图 2 ,  

给的是 不确定 的空 间 几何 体 , 鉴 于 许 多考 生 的 
空间想 象能力 比较 薄 弱 , 不 能 熟 练 找到 相 应 的  几 何 图形 , 从 而产生解题障碍 , 导 致解 题 时 无  从 下手 . 事实 上 , 求 解 本题 的路 子 很 宽 , 只要 根 

据 题意 恰 当构 建 空 间 图形 , 便 可 轻松 得 到解 决 
问题 的办法 . 下 面就 以下 几 个 角 度 构建 图形 进  行求 解 , 以飨 读者 :   角度 1 ( 以 相互 垂 直 的 平 面 为 依 托 构 建 图  形)   构 建两 两垂 直 相 交 的三 个 平 面得 到相 应  空 间几 何 图 形 , 凭 借 线 面 所 成 的角 , 借 助 题 意 

设 该 几 何 体 的 一 条 棱  为线 段 AC   , 以 AC   为  对 角 线 构 造 长 方 体 
A B CD — A  B  C  D  ,   A A 一 m , A B — n, A D 

— k, 贝 ⅡAB   、 AC、 BC 

图2  

条件 建立 等式 关 系 , 灵 活运 用 三 角公 式 变 形 与  均值 不 等式求 解最值 即可得 到所 求.  
解法 l   如图 1 ,   两两 互 相 垂 直 的 三 个  平面 a 、   、 y , 设 该 几 何 

是线 段错 误 !链 接 无 效 . 正 视 图投 影 、 俯 视 图  投影 和 侧 视 图 投 影 , l AC   I —


m - 4 -   。 +k 。 一 

l   AB  I 一 

:   , n= = :I   B C   I 一 

 ̄ /   。 - 4 - k 。 , 6 一I ACI 一 ̄ /   。 +  ,   则  一1 , ^ / / 1 +是 。 一n ,^ / / 1 +m  一6 ,  
. . .   ( 口 。 一1 ) + ( 6   一1 ) 一6 ,  

体 的 一 条 棱 为 线 段 
AB, 且 满 足 AB 与 底 




图 1  


n 。 +b   一8 .  
( 口 +6 )  一 n 0 - 4 - 2 a b +b 0 —8 +2 a b  

面 a所 成 的角 为 , 与  侧 面  所 成 的 角 为 9,  


. 

≤8 +口   +6   一1 6,  

其 中 AB一√ 7 , AO=√ 6 ,  

则口 +6 ≤4 , 当且仅 当 口 一6 —2时取 等号 .   即口 +6的最 大值 为 4 .   角度 3 ( 建立 恰 当的直 角 坐标 系构件 图形 )  

则 a = dc o s e ,b =v  ̄ - c o s 9 ,  
a- b b =, , / f - ( c o s 0 +c o s 9 ) .  

而C O—A E = = = 4  ̄ - s i n O ,A C — v  ̄ - s ! n 9 ,  
由 AC   - 4 - C 02 一A0 2可 得 

根据 题 意建立 恰 当 的空 间 直 角 坐标 系 , 借 助 
点 的坐 标体 现一 些 等 量 关 系 , 然 后 利 用点 的坐 

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标 中的元 素表示 出所 求 , 凭借 这 些 等 量 关 系 恰  当选 取合适 的解 题 办法 求解 即可 .   、  
解法 3 如图 3 , 设 

解法 4

如图 4 , 设 

该 几何 体 的 一 条 棱 为 线 
段 AB, 构 建 一 个 四棱 锥 
D 

高  
毫  围   泡 

该 几 何 体 的 一 条 棱 为 
线 段 AB, 以 点 A 为 坐  标原点, 建 立 如 图 所 示 

B— AE DC, 满足 B Dj _  
底 面  AEDC, 底 面  图4  
f  

AE DC 为 矩 形 , 则 B C、   “   B E、 AD 分 别 是 线 段 AB  

空间直角坐标 系, 设 点 
B (, 3 2 , Y, 2 2 ) , 则 

的正视 图 投 影 、 侧 视 图 投 影 和俯 视 图 投 影 , 且 

 ̄ / z   +Y   4 -   一√ 7 ,  

图3  

  l AB   l 一√ 7 ,   J BC} 一√ 6 , 则I   ACl 一1 .  
设  I AEl —z, 5 / 7 ∈E o , √ 7 ) ,  
则 6 一J   AD} 一 ̄ / 1 +   ,   a —l   B EI 一 ̄ / 7 一l z   ,  

过 点 B分 别作 B B   、 B B   、 B B 。 垂 直 于平 面 
x O y、 平面 y O z 、 平面 z O x, 垂 足分 别 是 B   、 B   、  
B3 .  

则 AB   、 AB   、 AB 。 分 别 是 棱 AB 的 正 视 图 

投影、 俯 视 图投影 和侧 视 图投影 , 其 中B   ( z,  ,  
0)、 B2 ( 0, Y, z)、 B3 (  , 0,  ) .  

于是

Ⅱ +6 =, / 7 一 。 + ̄ / 1 +  ≥ O ,  

( 口 +6 ) 。一8 +2、 / / ( 7 一z   ) ( 1 +  )  




  l AB   l 一   雨

一  , 、  

8 +2、 / / 一( I z   一3 )   +1 6 ≤1 6 .  

n —l   AB 3   l 一 ̄ /   +z   ,  
6 一l AB 2   l 一 ̄ / z   +  , Y 。 - 4 - z   一6 .  
由  


则a +6 ≤4 , 当且 仅 当  一√ 3 时等 号成 立 .  
故 a +b的最大 值为 4 .  

一   , 及1 AB   I 一   珥 

对 于上述 求 解 中的 函数 最 值 , 读 者也 可 以  从均值 不 等式 、 导数法、 三 角 换元 法 、 向量 数量  积性 质等 几个 方 面人手 , 去探 求解 题办 法.  
( 责窜   张 思明 )  
’ 、 

√ 6 可得  一1 ,  



a 一 ̄ / 1 +  。 , 6 一 ̄ / 1 +  ,  

a +6 一 ̄ / 1 +z   + ̄ / 1 +   。 .  
由( 口 +6 ) 。 一2 +  +  +2 ̄ T- + W?  ̄ / 1 + 
? 

无 字 让  尢  证 匪  I  
2 ) 夏新轿 

≤2 +  + ( 1 + 。 ) +( 1 +2   )  
一4 +2 ( Y   十 。 ) 一1 6 .  

当且 仅 当 √1 +z 。 一 ̄ / 1 + 。 , Y   +  一6 ,  
即当 Y   一   一3 , a—b 一 2时 等 号 成 立 , 可 

式 

得 a +b的最 大值 为 4 .  
角度 4 ( 密 切联 系生 活构 建 图形 )   生 活 中 

的墙角是 解决 空 间几何 问题 常用 的具 体 事 例 ,  
联 想一 细 杆 斜 放 时 的情 形 , 构 建 空 间 几 何 图 

:  


S i n O  
\  c U o U s  ̄ O ( 7   \  
s i nO  
  ,

形—— 四棱 锥 , 恰 当 设 量  凭 借 题 意 条 件 建 立 

所求 的 函 数 关 系 , 借 助 函 数 求 最 值 即 可 得 到 

◇ 
静 

所求 .  

.  
、  一  

=2 s i nO c os O  
/ 

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