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高二文科数学下学期期末考试


高二下学期文科数学期末复习 3
一、选择题 1.如果复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数,则

2b ? 3i 的值为( 1 ? bi
C. 5



A. 2 2. m =3”是“椭圆

B. 5

D. 15 )

x2 y2

? ? 1 的离心率 e ? 10 ”的( 5 m 5

A.充分但不必要条件 C.充要条件 3.已知函数 y ? A. y ?
/

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

x ? 1 ,则它的导函数是 (
B. y / ?

1 x ?1 2

x ?1 2( x ? 1) x ?1 2( x ? 1)

2 2

C. y ?
/

2 x ?1 x ?1
2

D. y / ? ?

4.已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,-4),C (0,4),则顶点 A 的轨迹方程是(

y y x x ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) B. 36 20 20 36 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) C. D. 6 20 20 6 5.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 相切,则 p 的值为(
A. A.

2



1 2

B.1

C.2

D.4

6. 过函数 y ? sin x ? 1 图象上的点 M (
2

? 3

, ) 作该函数图象的切线,则这条切线方程是 4 2
B. y ?

(

) .

A. y ? 2 ( x ?

?
4

)?

3 2

1 ? 3 (x ? ) ? 2 4 2 3 ? ? 2 4
) D.5,15

C. y ? 2 x ?

3 ? 2 2

D. y ? x ?

7.函数 y ? 2x3 ? 3x2 ? 12x ? 5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是( A.5,-15 B.5,-14 C.5,-16

8.设 F1、F2 分别是椭圆

的两焦点,点 P 是该椭圆上一个动点,则

的取

值范围是( ) A.[一 2,1) C.(一 2,1]

B.(—2,1) D.[—2,1]

9.设椭圆 的两个实根分别为 A. 必在圆 C. 必在圆 ,则点 内 外

的离心率

,右焦点为 ( )

,方程

B. 必在圆 D



以上三种情况都有可能

10.若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C 2 的一个交点, F1 、 F1 分别是它们的左右焦点.设 椭圆离心率为 e1 ,双曲线离心率为 e 2 ,若 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则

1 e1
2

?

1 e2
2

?(



A.1 B. 2 C.3 D.4 二、填空题: 2 11.已知 F 是抛物线 y =4x 的焦点,M 是这条抛物线上的一个动点,P(3,1)是一个定点, 则|MP|+|MF|的最小值是 . 2 12.若直线 y=k(x+1)(k>0)与抛物线 y =4x 相交于 A,B 两点,且 A,B 两点在抛物线的 准线上的射影分别是 M,N,若|BN|=2|AM|,则 k 的值是 .

13.函数 g(x)=ax +2(1-a)x -3ax (a<0) 在区间(-∞, 围是 .

3

2

)内单调递减,则 a 的取值范

2 14.已知曲线 C 的方程是 x ? 2 y ,则曲线 C 上的点到直线 y ? x ? 2 距离的最小值为

15.若存在实常数 k 和 b ,使得函数 F ( x) 和 G ( x ) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足:

F ( x) ? kx ? b 和 G( x) ? kx ? b 恒成立,则称此直线 y ? kx ? b 为 F ( x) 和 G ( x) 的“隔离直
线”.已知函数 h( x) ? x , m( x) ? 2e ln x (e 为自然对数的底数), ? ( x) ? x ? 2 ,
2

d ( x) ? ?1 .有下列命题:① f ( x) ? h( x) ? m( x) 在 x ? 0, e 递减;② h( x) 和 d ( x) 存在
唯一的“隔离直线”;③ h( x) 和 ? ( x) 存在“隔离直线” y ? kx ? b ,且 b 的最大值为 ? ④函数 h( x) 和 m( x) 存在唯一的隔离直线 y ? 2 ex ? e . 其中真命题的是 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知函数. f ( x) ? 8ln x ?

?

?

1 ; 4

x2 ? 6x 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)求函数 f ? x ? 的极值。

(3)若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围.

17.已知定点 F ? 0,1? 和定直线 l : y ? ?1 ,过定点 F 与定直线 l 相切的动圆的圆心为点 C (1)求动圆的圆心 C 的轨迹 W 的方程; (2)设点 P 是 W 上的一动点,求 PF 的中点 M 的轨迹方程。

18.如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD. (I)证明: PA ? BD ; (II)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高

0 19. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 , ?ADC ? 45 ,

AD ? AC ? 1 , O 为 AC 中点, PO ? 平面 ABCD , PO ? 2 , M 为 PD 中点. (Ⅰ )证明: PB //平面 ACM ; (Ⅱ )证明: AD ? 平面 PAC ;

P

M

D O A

C

B

2 2 20. 直 线 l 与 椭 圆 y 2 ? x2 ? 1(a ? b ? 0) 交 于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两 点 , 已 知 a b

m ? (ax1 , by1 ) , n ? (ax2 , by2 ) ,若 m ? n 且椭圆的离心率 e ?

3 ,又椭圆过点 2

(

3 ,1) ,O 为原点. 2

(1)求椭圆的方程; (2)若直线 l 过椭圆的焦点 F (0, c) (c 为半焦距) ,求直线 l 的斜率 k 的值; (3)试问: ?AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

21、已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ) 若 a ?

a( x ? 1) ,a ? R . x ?1

3 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, 0 ? 处的切线方程; 2 (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围; 2( m ? n) (Ⅲ)设 m, n 为正实数,且 m ? n ,求证: ln m ? ln n ? m?n

(注意:本页不交,答案写到答题纸上) 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1. C 7. A 2. B 8. A 3. B 9. D 4. A 10. B 5. D 11. C 6. C 12. A

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 5 14.

13 3

15. ?

63 8

16.①③

三、解答题(共 6 小题,共 56 分) 17.解: (1)当 a ? 1 时,原不等式可变为 | x ? 3 | ? | x ? 7 |? 10 ,

可得其解集为 {x | x ? ?3, 或x ? 7}.

??????4 分

(2)因 | x ? 3| ? | x ? 7 |? |x ? 3 ? ( x ? 7) |? 10 对任意 x ? R 都成立. ∴ lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) ? lg10 ? 1 对任何 x ? R 都成立. ∵ lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) ? a 解集为 R .∴ a ? 1 ??????????8 分 18.解: (1) f (1) ? 1, f (2) ?

1 17 , f (3) ? ? 2 27 1 n (2)猜想: n ? 3, f (n) ? (1 ? ) ? n ? 0 n 17 ? 0 成立 证明:①当 n ? 3 时, f (3) ? ? 27
*

??????3 分 ??????4 分 ??????5 分
k

? 1? ②假设当 n ? k (n ? 3, n ? N ) 时猜想正确,即 f ?k ? ? ?1 ? ? ? k ? 0 ? k?
? 1? ∴ ?1 ? ? ? k ? k?
由于 ?1 ?
k

? ?

1 ? ? k ? 1?

k ?1

? (1 ?

1 k 1 1 1 ) (1 ? ) ? (1 ? ) k (1 ? ) k ?1 k ?1 k k ?1
??????8 分
k ?1

? k (1 ?

1 k )?k? ? k ?1 k ?1 k ?1

1 k ?1 1 ? ? ) ? k ? 1 ,即 f ?k ? 1? ? ?1 ? ∴ (1 ? ? k ?1 ? k ? 1?
由①②可知,对 n ? 3, f (n) ? (1 ?

? (k ? 1) ? 0 成立
??????10 分

1 n ) ? n ? 0 成立 n ? t cos? ? ? x ? ?3 3 19.解: (1) l 的参数方程 ? ( t 为参数) . y ? ? ? t sin ? ? 2 ?
2 2

????1 分

曲线 C 化为: x ? y ? 25 ,将直线参数方程的 x, y 代入,得

t 2 ? 3(2 cos ? ? sin ? )t ?
2

55 ?0 4
??????3 分

∵ ? ? 9(2 cos? ? sin ? ) ? 55 ? 0 恒成立,

∴方程必有相异两实根 t1 , t 2 ,且 t1 ? t 2 ? 3(2 cos? ? sin ? ) , t1t 2 ? ? ∴ BC ? t1 ? t 2 ?

55 . 4

(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 9(2 cos ? ? sin ? ) 2 ? 55

∴当 ? ?

?
6

时, BC ?

1 337 ? 36 3 . 2

??????5 分

(2)由 A 为 BC 中点,可知 t1 ? t 2 ? 3(2 cos? ? sin ? ) ? 0 , ∴ tan ? ? ?2 , 故直线 BC 的方程为 4 x ? 2 y ? 15 ? 0 . (3)∵ BC ? 8 ,得 BC ?
2

??????7 分

9(2 cos ? ? sin ? ) 2 ? 55 ? 8

∴ 4 sin ? cos? ? 3 cos ? ? 0 , ∴ cos ? ? 0 或 tan ? ? ?

3 4
??????9 分

故直线 BC 的方程为 x ? 3 或 3x ? 4 y ? 15 ? 0 (4)∵ BC 中点对应参数 t ?

t1 ? t 2 3 ? (2 cos ? ? sin ? ) 2 2

3 ? ? x ? ?3 ? 2 (2 cos? ? sin ? ) cos? ∴? ( 参数 ? ? ?0, ? ? ) ,消去 ? ,得 3 3 ? y ? ? ? (2 cos? ? sin ? ) sin ? 2 2 ? 3 2 3 2 45 弦 BC 的中点的轨迹方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? ; 2 4 16
轨迹是以 ( ?

3 3 3 5 ,? ) 为圆心, 为半径的圆. 2 4 4

??????10 分

20.解: (1) x, y 的可能取值都为 1,2,3.

x ? 2 ? 1, y ? x ? 2 ,∴ ? ? 3 ,
∴当 x ? 1, y ? 3 或 x ? 3, y ? 1 时, ? 取最大值 3 . ??????3 分

(2)有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数 n ? 3 ? 3 ? 9 , ∴ P (? ? 3) ?

2 9

???????????4 分

(3) ? 的所有取值为 0,1,2,3, 当 ? ? 0 时,只有 x ? 2, y ? 2 这 1 种情况,∴ P (? ? 0) ?

1 ; 9

当 ? ? 1 时,只有 x ? 1, y ? 1 或 x ? 2, y ? 1 或 x ? 2, y ? 3 或 x ? 3, y ? 3 , 共 4 种情况,∴ P (? ? 1) ?

4 ; 9

当 ? ? 2 时,只有 x ? 1, y ? 2或x ? 3, y ? 2 这 2 种情况,∴ P (? ? 2) ? 当 ? ? 3 时, P (? ? 3) ? ∴ 随机变量 ? 的分布列为:

2 ; 9

2 ; 9

??????7 分

?

0

1

2

3

1 2 4 2 9 9 9 9 1 2 4 2 14 ∴ 数学期望 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 9 9 9 9 9 1 14 2 2 14 2 4 14 2 2 14 2 8 方差 D? ? (0 ? ) ? (1 ? ) ? (2 ? ) ? (3 ? ) ? ???9 分 9 9 9 9 9 9 9 9 9

P

21.解: (1)证明:过点 P 作两圆公切线 PN 交 AB 于 N ,由切线长定理得

NP ? NA ? NB ,∴ ?PAB为直角三角形
(2) AC ? EC 证明:∵ AB ? AC ? AP ? AE , ∴

??????3 分

AB AE ? ,又 ?PAB ? ?EAC , AP AC

∴ ?PAB∽ ?CAE
0 ∴ ?ECA ? ?APB ? 90 , 即 AC ? EC .

?????6 分

(3)由切割线定理, AB ? AP ? AD ,
2

∴ AB ? 5, PB ? 3, PB : PA ? 3 : 4 ? EC : AC ∴

EC 3 ? . AC 4

??????9 分

22.解: (1) f / ( x) ? x 3 (4a ln x ? a ? 4b) , f ?(1) ? 0 , ∴

a ? 4b ? 0 ,又 f (1) ? ?3 ? c ,
??????5 分

∴ a ? 12, b ? ?3 ; (2)

f / ( x) ? 48x 3 ln x ( x ? 0)

/ ∴由 f ( x) ? 0 得 x ? 1 , / 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减;

当 x ? 1 时, f / ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; ∴ f ( x ) 单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1,??) (3)由(2)可知, x ? 1 时, f ( x ) 取极小值也是最小值 f (1) ? ?3 ? c ,
2 依题意,只需 ? 3 ? c ? 2c ? 0 ,解得 c ?

??9 分

3 或 c ? ?1 2

??????10 分


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