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更高更妙的物理:专题22


专题 22 电磁感应面面观 奥斯特发现电流的磁效应现象吸引了众多科学家的眼球, 当时正致力于化学研究的青年 学者法拉弟也将研究的热情转到了电磁学领域, 法拉弟在重复奥斯特实验的同时, 产生了一 个日后导致极大地改变世界的想法: 既然电流能够产生磁场, 能否利用磁场来产生电流呢? 从 1824 年起,法拉弟历经反复,上下求索,终于在 1831 年 11 月向英国皇家学会报告了他 的

发现: “把一根长度为 203 英尺(约 62m )的铜丝绕在一个大圆木块上,再把另一根同样长 的铜丝嵌绕在同一个圆木块上,两线圈之间用绝缘线隔开,不让它们有接触。其中一匝线圈 与一只电流计连成闭合回路,另一匝线圈则通过开关与一组电池组相连 ?????? 实验中发现, 当开关突然接通时, 与另一线圈相连的电流计会发生突然而极其微小的摆动; 当开关突然断 开时,电流计也会发生同样的微弱效应。不过当开关一直接通,电流不断通过第一只螺线管 时,在另一只螺线管上并没有什么类似的效应,与它连接的电流计也没有什么表现 ?????? 重 新做这个实验 ?????? 我们查明了一个事实:开关突然接通时电流计指针的微小偏转常循着一 个方向;开关突然断开时,电流计指针的偏转则循着另一个方向。 ” 法拉弟公布的关于 “极其微小的摆动” 的发现, 据说被一位贵夫人不解为 “这有什么用?” 法拉弟以他坚定的信念作了绝妙的回答: “那么,一个新生的婴儿又有什么用呢?”今天, 我们看到,法拉弟的“电磁感应婴儿”已长成地球与现代人类社会最不可或缺的“超人” 。 法拉弟从做过的几十种类似的实验—改变电流、改变磁场、导体在磁场中运动、通有稳 恒电流的导线的运动、 磁铁的运动等等—总结出电磁感应的发生是与某种变化相关联的, 现 在学过高中物理的人都知道,这种变化就是磁通量的变化。 诚然, 电磁感应的发生总可归结为由于磁通量随时间发生了变化, 但根据引起感应电动 势的非静电力—我们知道, 非静电力移送电荷才会产生电动势, 而电动势的大小也是用非静 电力移动单位电量所做的功 ? ?

W 来量度的—不同,可将感应电动势分为动生电动势与感 q

生电动势。 由于导体在磁场中运动而产生的电动势称为动生电动势。如图所 示,导体棒在匀强磁场中匀速向右做“切割磁感线”运动,导体棒中 自由电子因受洛伦兹力 Fm ? evB 作用, 而向图中棒的下端运动, 这样, 在棒的上、 下两端就会积累起正电荷 (失去电子的离子) 与负电荷 (洛 伦兹力移送的电子) , 两端之间形成一电场, 当这个电场施予电子的电 场力与洛伦兹力平衡 qE ? qvB 、棒上非静电场强度 E ? vB 时,两端 建立起一个稳定的电动势 ? ? El ? Blv 。 动生电动势发生的微观机理是由于洛伦兹力移送电荷所致。 产生动生电动势的条件是导体做 切割磁感线的运动即 v 与 B 垂直。 如图所示是法拉弟做成的世界上第一个发电机模型的原理图。把 一个圆钢盘放在匀强磁场 B 中,使磁感线垂直通过铜盘,转动铜盘就 可以获得动生电动势。这是因为整个铜盘可视为由很多根从中心到边 缘的辐条组成,当铜盘转动时,每根辐条都同样地切割磁感线而引起 动生电动势,相当于一节电池,整个铜盘就是一个并联电池组,其电 动势与一根辐条上的电动势是相同的。现在,我们来计算一根长 l , 以角速度 ? 绕其一端 O 匀速转动的导体棒 OA 上的电动势,如图所 示:首先注意,棒上各点的切割速度 vi 是不同的,我们将 OA 均匀细 分 n 段,第 i 个元段的切割速度 vi ? ? ? i

l ,每段上的元电动势 n

?i ? ? ? i ? ? B ,
则 OA 间的电动势为

l l n n

n l l 1 1 2 ? OA ? lim ? ? ? i ? ? B ? ? Bl lim ? i ? 2 ? ? Bl 2 。 n ?? n ?? n n n 2 i ?1 i ?1 【例 1】 如图所示, 一长直导线中通有电流 I ? 10 A , 有一长 l ? 0.2m 的 金属棒 AB ,以 v ? 2m / s 的速度平行于长直导线做匀速运动,若棒的 近导线的一端与导线距离 a ? 0.1m ,求金属棒 AB 中的动生电动势。 【分析与解】这个问题里,棒 AB 上各点的切割速度是相同的,但所处 磁场的磁感应强度 B 是变化的, 所以求整根棒上的动生电动势须用微元

n

法。 在上一个专题中,我们用毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律推导过无限长直线电流周围磁 感应强度的分布规律是 B ?

?0 I ,式中 r 是点到直线电流的距离。取 AB 上第 i 元段 2? r ?I ?li ? ri ? ri?1 ,认为元段上磁感应强度均为 Bi ? 0 ,设 AB 间总电动势为 ? AB ,该段上元 2? ri

电动势

?i ?
整理后有

? AB
n

? v ? ?li ? Bi ? v(ri ? ri ?1 )

ri ?1 2?? AB ,两边取 n 次方的极限 ? 1? ri nv?0 I

?0 I , 2? ri

AB ? ri ?1 n a 2?? AB n v ?0 I , ?e lim( ) ? lim(1 ? ) ,得 n ?? r x ?? a?l nv?0 I i v ?0 I a ? l 于是有 ? AB ? ,代入题给数据得 ln 2? a 0.1 ? 0.2 ? AB ? 2 ? 2.0 ?10?7 ?10 ? ln V ? 4.4 ?10?6V 。 0.1 【例 2】如图所示是单极发电机示意图,金属圆盘半径为 r ,

2??

可以无摩擦地在一个长直螺线圈中绕一根沿螺线圈对称轴放 置的导电杆转动, 线圈导线的一端连接到圆盘的边缘, 另一端 连接到杆上,线圈的电阻为 R ,单位长度有 n 匝,它被恰当 地放置而使它的对称轴和地球磁场矢量 B0 平行,若圆盘以角 速度 ? 转动,那么流过图中电流表的电流为多少? 【分析与解】法拉弟圆盘转动产生动生电动势,使线圈中有感应电流 I 通过,这电流又在螺 线圈中引起平行于螺线圈对称轴的均匀磁场 B ? ?0 nI ,该磁场因圆盘转动方向不同、动生 电动势方向不同而取与地磁场同向或反向。现在我们先设 ? 方向如图所示,则感应电流的 磁场方向与 B0 相同,螺线圈内合磁场大小 B0 ? ?0 nI ,圆盘上动生电动势方向从中心指向 边缘,大小为

? ? ( B0 ? ?0 nI )? r 2
对由圆盘(电源) 、导线、电流表、导电杆构成的电路,由全电路欧姆定律,通过电流 表的电流

1 2

? r 2 B0 ( B0 ? ?0 nI )? r 2 I? ? ,即 I ? ; ① 2 R ? ?0 n? r 2 R 2R

?

? r 2 B0 同理可知,若圆盘转动方向与图所示相反,则通过电流表的电流 I ? 2 R ? ?0 n? r 2



我们对电流与圆盘转动角速度间关系作一统观: 在①式表述的情况中, 感生电流磁场对

2R 时,电流将趋向无穷,当 ?0 nr 2 B 2R ?? ? ? 时,由①式分析,电流要反向,且逼近于 I max ? ? 0 ,这种奇异的行为 2 ?0 n ?0 nr 2R 在实际上不可能出现,因为角频率在达到 之前电流已过大而使导线烧断; ?0 nr 2
地磁场作正反馈,随着 ? 的增大,电流增大,当 ? ? 通过电流表的电流在②式表述的情况中,感生电流磁场对地磁 场作负反馈,随着 ? 的增大反向电流增大,当 B0 ? ?0 nI ? 0 时, 反向电流趋向最大为 I max ?

B0 。单极发电机提供的电流随圆盘角 ?0 n

速度变化的上述分析可用图象表述。 导体不动, 由于磁通量的变化而引起的电动势称为感生电动势。 感生电动势是怎么引起的呢?如图所示,若图示方向的磁场正在变 化,那么,这变化的磁场将会激发出一种电场,叫做“感生电场” ,这 种电场的电场线如图中带箭头细实线所示,是一圈一圈的闭合线,不 同于静电场(有源场)而类似于磁场,所以由变化的磁场激发的感生 电场是涡旋场,设图所示方向磁场正均匀增大,则感生电场的方向由 楞次定律确定如图所示,设想在该磁场中置一圆导线,导线中的自由 电子将在感生电场力作用下发生移动,设感生电场强度为 E ,那么由 电动势定义,感生电场力移送电子通过 l 距离引起的电动势应为

eE ? l ? El ,若圆导线长为 L ,则圆导线上感生电动势为 ? ? El ,而法拉弟电磁感应定 e ?? 律告诉我们,线圈上感生电动势 ? ? ? kS , k 为磁感应强度变化率, S 为线圈包围的 ?t k ?S 磁场面积,那么 El ? kS ,可知圆导线所处位置感生电场强度大小 E ? 。感生电动势 L

??

发生的微观机理为感生电场力移送电荷所致。 产生感生电动势的条件是由磁场变化而引发感 生电场。 【例 3】一个“扭转”的环状带子(称为莫比乌斯带)是由长度为 L , 宽度为 d 的纸条制成。一根导线沿纸带的边缘绕了一圈,并连接到一 个电压表上,如图所示。当把绕在纸带上的导线圈放入一个均匀的垂 直于纸带环所在面的磁场中,且磁场随时间均匀变化,即 B(t ) ? kt , 电压表记录的数据为多少? 【分析与解】电压表记录的数据就是长 2 L 的导线上总共产生的感生电动势,对此,我们可 用两种方法求解。其一,根据感生电动势成因。在导线所处的磁场中,由变化的磁场引起一 感生电场,其大小为

k ( L2 / 4? ) kL ? , L 4? 感生电场是一涡旋场,则在 2 L 长的导线上电动势 kL kL2 ?? ? 2L ? ; 4? 2? E?
其二,根据法拉弟电磁感应定律.将原“合”起的两匝线圈展开 成图所示,由法拉弟电磁感应定律,每个线圈上电动势是

??

?? L kL2 ? k? ( ) 2 ? , ?t 2? 4?

而根据楞次定律可确定两线圈上电动势方向 (电势升的方向)) 相同而叠加的, 故有 ? ?

kL2 。 2?

【例 4】一个长圆柱形螺线管包括了另一个同轴的螺线管,它的半径只是 外面螺线管半径的一半,两螺线管单位长度具有相同的圈数,且初时都没 有电流。在同一瞬时,电流开始在两个螺线管中线性地增大,任意时刻, 通过里边螺线管的电流为外边螺线管中电流的两倍且方向相同, 由于增大 的电流, 一个处于两个螺线管之间初始静止的带电粒子开始沿一条同心圆 轨道运动。如图所示,求该圆轨道半径 r 。 【分析与解】由于螺线管中的电流变化,在管内磁场变化,因而引起感生电场,感生电场力 使带电粒子获得速度,继而受到洛伦兹力,在适当的轨道,磁场、感生电场提供给带电粒子 的向心力与其速度相适配,粒子将在该轨道做匀速圆周运动。 先 表 示 半 径 为 r 的 感 生 电 场 场 强 Er 。 外 螺 线 管 中 的 B1 ? ?0 nI , 内 螺 线 管 中 的

B2 ? 2?0 nI ,在粒子运动一周时间 ?T 过程中,构磁场变化率为
电场为

?0 nI
?T



2?0 nI ,则感生 ?T

2? nI R 2 ?0 nI r 2 ? 2 R 2 ? ? 0 ? ? ? , ① ?T 2 ?T 2r ?T 2r 时间 ?T 内。感生电场力使带电粒子获得速度 v ,则有 qE ? ?T ? mv , ② Er ?
而此时磁场施予的洛伦兹力表达为

?0 nI r

Fm ? qvB ? qv?0 nI ,
由粒子的动力学方程 qv?0 nI ? 将①、②两式关系代入得

mv 2 mv 得r ? , q?0 nI r
? ? ?T r 2 ? 2R2 , r ? 2R 。 ? 2r

r?

q?

?0 nI r 2 ? 2 R 2
?T 2r q?0 nI

这里,我们看到利用感生电场加速带电粒子的一种可能。在核物理 实验中需要的高能粒子,也可通过感应加速器来加速射入高频变化的磁 场的带电粒子而获得。如图所示环形真空室,当磁场增大时,令电子沿 切线方向射入,而当磁场达到最大时,即将加速后的电子导出,由于磁 场高频变化,感生电场较强,而入射电子速度一般已很大,在很短的时 间内可绕行几十万圈,感生电场力在几十万圈路径上做的功可使电子动 能加大到几十兆电子伏特。 为了使电子在环形真空室中按一定轨道 R 运 动,磁场设计应满足一定的要求。若轨道内磁场区域的平均磁感应强度为 B ,则电子轨道 处感生电场强度

?B ? R 2 ?B R ? ? ? , ?t 2? R ?t 2 电子速度的增加 eE ? ?t ? m?v ,当电子速度达到 v 时,其所受洛伦兹力 v2 Fm ? evB0 ? m , R mv 式中 B0 为电子轨道处的磁感应强度 B0 ? ,则 eR R ?B0 m?v E k ? 2 k ?B ? ? ? ? ? , ?t eR?t R R 2 2?t E?

可知高频变化的磁场中,被加速的电子“约束”在这样的轨道上:轨道所在处的磁场磁感应

B ,例 4 中的磁场就是这样设计的,不 2 妨验证一下:粒子轨道半径 r ? 2 R ,此处磁场 B1 ? ?0 nI ;轨道内磁场总磁通量
强度为轨道内磁场平均磁感应强度的一半。即 B0 ?

? ? ?0 nI? ( 2R)2 ? 2?0 nI? R2 ,
平均磁感应强度

B?
可见

4?0 nI ? R 2 ? ? ? 2?0 nI , 2? R 2 ? ( 2 R) 2

B1 ?

1 B。 2

磁场变化引起涡旋电场,当涡旋电场中有导线构成的闭合回路时,就形成感应电流,而 有大块金属体存在时,则会形成涡电流,由于大块导体电阻很小,涡电流可以达到很大的数 值,产生大量的焦耳热,此称感应加热。读者可通过小试身手 13 题,体验涡电流的一种实 际应用。 由于回路中电流引起的磁场的变化,又会在回路自身激起感生电动势与感生电流,即 自感现象在螺线圈中最为明显。由法拉弟电磁感应定律: ?自 ? N 通量由电流引起,故 ? ? LI , L 称为自感系数,则 ?自 ? L

?I 。自感系数与线圈的面积、 ?t

?? ,由于螺线圈中的磁 ?t

单位长度的匝数、 总匝数及有无铁芯等因素均有关。 对一个具有电感的电路来说, 在电路中,

?I ,这个过程是电源电动势克服自感电动势做功将电能转变为电 ?t I I 路周围的磁场能,设某元过程 ?t 时间,电流增至 i ,电源移送电量 i ? ?t ,其元功量为 n n I Wi ? i ? ?t ? ?自 , n 电流由零增大到稳定值 I 的过程总功为 n n I I I /n 1 2 W ? lim ? i ? ?t ? ?自 ? lim ? i ? ?t ? L ? LI 。 n ?? n ?? ?t 2 i ?1 n i ?1 n 1 2 则通有电流 I 的线圈周围磁场的能量 Em ? LI 。 2 【例 5】有一个 N 匝的螺旋状弹簧如图所示,线圈半径为 R 、弹簧自然 R) 长度为 x0 ( x0 ,劲度系数为 k ,当电流 I 0 通过弹簧时,求弹簧
会产生自感电动势 ? ? L 的长度改变了多少? 【分析与解】电流通过螺线圈时,一方面各匝线圈间存在电流相互吸引的安培力作用,同时 由于长度缩短而受到弹力的作用,达到稳定时,弹簧将缩短,长度变化了的弹簧其自感系数 亦改变,使电流周围磁场的一部分能量转化为弹簧的弹性势能。 先计算 N 匝细长螺线圈的自感系数。当有电流 I 通过螺线圈时,螺线管中磁感应强度 B ? ?0 nI ,每匝线圈的磁通量

? ? B? R2 ? ?0 nI? R2 ,
当电流 I 变化时,螺线管中产生自感电动势

?自 ? N

2 。 L ? N?0 n ? R

? n? R 2 ?I ?? ?I ?N 0 ? N ?0 n? R 2 , ?t ?t ?t

设螺线弹簧缩短后的长度为 xt , 螺线管中磁感应强度 B ? ?0 nI , 由于螺线管长度缩短,

n 变大,磁通量 ? ? B? R2 ? ?0 nI? R2 变化,故螺线管中发生自感现象而使电流从 I 0 变小, 电流达到稳定时,通过该螺线管的电流减为 I t ,而磁通量不变,故有 N N ?0 I 0? R 2 ? ?0 I t? R 2 , x0 xt x 则稳定时的电流 I t ? t I 0 。该螺线管原来的自感系数 x0

?0
L0 ?
缩短后的自感系数 Lt ?

N2 I 0? R 2 x0 ?0 N 2? R 2 , ? I0 x0

?0 N 2? R 2
xt

,线圈磁场的能量对应地有

2 1 1 ?0 N 2? R 2 2 ?0 N 2? R 2 I 0 2 E0 ? L0 I 0 ? ? I0 ? x0 , 2 2 2 x0 2 x0 2 1 2 1 ?0 N 2? R 2 xt2 2 ?0 N 2? R 2 I 0 Et ? Lt I t ? ? ? 2 I0 ? xt ; 2 2 2 xt x0 2 x0 那么.在缩短 ( x0 ? xt ) 过程中由能量守恒

?0 N 2? R 2 I 02
2x
可得
2 0

? ( x0 ? xt ) ?

1 k ( x0 ? xt )2 , 2

( x0 ? xt ) ?

?0? I 02 R 2 N 2
2 kx0



电磁感应的直接结果是产生电动势,如果有闭合回路存在,则可形成感应电流,所以感 应电流只是回路中存在感应电动势的外在表现之一, 是电磁感应的间接效果, 感应电动势只 取决于产生它的原因一磁通量的变化, 感应电流的情况还与电路条件有关。 各种感应电流电 路的分析与计算是一个经常的课题。 【例 6】在半径为 a 的细长螺线管中,均匀磁场的磁感应强度随时间均匀 增大,即 B ? B0 ? bt 。一均匀导线弯成等腰梯形闭合回路 ABCDA ,上 底长为 a ,下底长为 2a ,总电阻为 R ,放置如图所示:试求:⑴梯形各 边上的感生电动势,及整个回路中的感生电动势;⑵ B 、 C 两点间的电 势差。 【分析与解】梯形回路处于感生电场中,梯形回路中的电动势为感生电动势,注意到涡旋电 场线为一系列的圆心为 O 的同心圆,则“等势线”沿径向,故可知 ? AB ? 0 , ? CD ? 0 ,为 了求 AD 边上的电动势,可取回路 ?OAD ,这个回路中的电动势就是 AD 上的电动势,因 为 OA 、OD 均沿涡旋电场的等势线, 不产生电动势, 由法拉弟电磁感应定律知回路 ?OAD 中的电动势

? DA ? bS?OAD ? b ? a ? a sin 600 ?

1 2

3 2 a b, 4

相似地,回路 ?OBC 中的电动势即 BC 边上的电动势 ? CB ? bS扇 ? b ?

? a2
6

。对梯形回路

? 3 2 )a b 。 ABCD , 上述两电动势反向, 故回路总电动势为 ? ? ( ? 6 4 分析由两个电动势与四段电阻构成的电路。总电阻为 R ,则梯

形 ABCD 。各边电阻依次为 R / 5 、 2 R / 5 、 R / 5 、 R / 5 ,等效电路如图所示,由欧姆定 律,回路中的电流

I?
对一段含源电路 BC 有

?
R

?

(2? ? 3 3)a 2b , 12 R

2 (2? ? 3 3)a 2b 2 ? a2 3 ?? 2 U BC ? I ? R ? ? CB ? ? R ?b? ?? a b。 5 12 R 5 6 10 【例 7】两个同样的金属环半径为 R ,质量为 m ,放在均匀磁 场中,磁感应强度为 B0 ,其方向垂直于环面,如图所示。两环
接触点 A 和 C 有良好的电接触,角 ? ?

?
3

。若突然撤去磁场,

求每个环具有的速度。 构成环的这段导线的电阻为 r , 环的电感 不计,在磁场消失时环的移动忽略不计,没有摩擦。 【分析与解】在极短时间内磁场消失,这就会在两环中引起感生电动势,根据电路结构,环 上各段有一定大小方向的感应电流,载流导线在磁场中受安培力冲量导致金属环获得动量。 等效电路如图所示,先由基尔霍夫定律求环中感应电流。两 环情况具有对称性,取左环回路研究,设磁场方向垂直于环面向 下,环中电动势 ?1 ?

B? R 2 ,方向如图示,优弧段电阻为劣弧段 ?t B? R 2 5r r ? I1 ? I 2 , ① ?t 6 6

的 5 倍,优弧段及劣弧段电流方向设定如图,有

取 A 、 C 间两劣弧构成的回路,该回路中电动势

?2 ?
B ? 2(
2

B ? 2(

? R2
6
2

?

?t

3R 2 ) 4 ,

?R
6

2

?

?t

3R ) r r 4 ? I2 ? I2 , ② 6 6

由②式解得 I 2 ?

BR ? (2? ? 3 3) ,代入①式中得 2?t ? r BR 2 ? (10? ? 3 3) , I1 ? 10?t ? r
1 B ,则左环所受 2

电流方向与所设相符。 现在来求整个左环所受安培力,优弧与劣弧的等效受力长度均为 AC 弦长 R ,但由左 手定则知力的方向相反。注意到磁场消失的 ?t 时间内 B 在减小,取 B ? 合力大小为

F ? BR( I1 ? I 2 ) ?

9 3B 2 R 3 。 10r ? ?t

方向向左。由动量定理

9 3B 2 R 3 ? ?t ? mv , 10r ? ?t 9 3B 2 R 3 求出环获得的速度大小为 v ? ,方向向左;对称地,右环以同样速率向右运动。 10mr

【例 8】一个磁感应强度为 B 的均匀磁场,垂直于一轨距为 l 的 导轨平面,轨道平面与水平面有 ? 的倾角。一根无摩擦的导体 棒,质量为 m ,横跨在两根金属导轨上,如图所示。若开关依 次接通 1 、2 、3 ,使阻值为 R (其余电阻均不计) 、电容为 C 或 电感为 L 的元件与棒构成电路,当从静止放开导体棒后,求棒 的稳定运动状态。 【分析与解】本题设置了这样一种问题情景:提供动生电动势 的导体受一恒定外力作用,这样的“电源”与电阻或电容器或 电感线圈构成电路,在不同的电路条件下会产生不同的效应。 显见, 放在导轨上的棒总受到一个沿导轨向下的重力的分力 F ? mg sin ? 。 当开关接 1 , 导体棒与电阻 R 构成回路,初时棒的加速度为 g sin ? ,随着速度增大,棒上电动势( Blv ) 增大,通过回路的电流增大,这使棒受到的与 F 力反向的安培力 Fm 也增大,从而使合力减 小,棒在开始时是做加速度减小的加速运动,当 Fm ? mg sin ? 时加速度减为零、棒达到收 尾速度 v , 此时电阻回路的感应电流达到一个恒定值。 由上分析可知, 棒与电阻构成回路时, 电路中电流最终达到稳恒,棒的运动状态是做匀速直线运动,由 B ? 匀速运动时的速度

vlB l ? mg sin ? ,可得 R

v?

当开关接 2 ,导体棒与电容器构成回路,棒开始以加速度 g sin ? 运动,并产生动生电 动势而对电容器充电,随着棒速度增大,棒上电动势增大,维持充电电流 i ? 使棒上总受到与 F 力反向的安培力 Fm ,棒的动力学方程

mgR sin ? 。 B 2l 2

C ? ?? ,因而 ?t

C ? lB?v ? ma ,即 mg sin ? ? l 2 B2C ? a ? ma , ?t 2 2 可见棒以加速度 mg sin ? ? l B C ? a ? ma 做匀加速运动。 当开关接 3 ,导体棒与电感线圈构成回路,棒以加速度 g sin ? 开始运动后,随着速度 mg sin ? ? lB ?
增大,产生的动生电动势增大,增大的电流通过电感线圈,使线圈两端的电压随动生电动势

Blvi ?t Bl ?I , 即 ?I ? 因初始时 I ? 0 ,x ? 0 , ? ?x , ?t L L Bl 可知棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比,即 I ? x ,棒的运动方程为 L l2B 2 Bl x, mg sin ? ? lB ? x ? ma ,即 ma ? mg sin ? ? L L mgL sin ? 若将 x 坐标原点取在棒的平衡位置,即棒下滑 x0 ? ,则 l 2 B2 l 2 B 2 mgL sin ? l 2 B2 ma ? ? F ? mg sin ? ? ( 2 2 ? x) ? ? x。 L l B L
而增大, 电压与电流有关系 Blvi ? L 这说明棒所受合力为与棒对平衡位置的位移成正比而方向相反的线性力,棒做简谐运 动,运动周期 T ? 2?

Lm mgL sin ? ,振幅 A ? ,振动方程 2 2 l B l 2 B2
x?

mgL sin ? l 2 B2 cos( t ??) 。 l 2 B2 Lm 【例 9】如图所示,在与匀强磁场区域 B 垂直的水平面上有两根足够长 的平行导轨,在它们上面放着两根平行导体棒,每根长度均为 l 、质量

均为 m 、电阻均为 R ,其余部分电阻不计。导体棒可在导轨上无摩擦地滑动,开始时左棒 静止,右棒获得向右的初速度 v0 。试求 ⑴右导体棒运动速度 v1 随时间 t 的变化; ⑵通过两棒的电量; ⑶两棒间距离增量的上限。 【分析与解】本题中,两棒通过导轨构成回路,两棒产生的动生电动势互为反电动势,右棒

?1 ? Blv1 ,左棒 ? 2 ? Blv2 ,电路中电流 I ?
mv0 ? mv1 ? mv2 ,当 v1 ? v2 ?

lB(v1 ? v2 ) ,右棒受安培力作用而减速运动, 2R

左棒则受安培力作用从静止开始加速,由于系统不受外力,总动量守恒,故两棒速度有

v0 时,两棒均做匀速运动。现取右棒速度从 v0 变为 v1 的时 2 lB(vi1 ? vi 2 ) ?v t 间 t 内的第 i 个 元过程,右棒的动力学方程为 lB ? m i ,即 n 2R ?t 2 2 2 2 vi ? vi ?1 l B ?t (2vi ? v0 ) ? (2vi ?1 ? v0 ) l B t ? ? , , (2vi ? v0 ) 2 Rm (2vi ? v0 ) Rmn
于是有

(2vi ?1 ? v0 ) l 2 B 2t ? 1? , (2vi ? v0 ) Rmn 2vi ?1 ? v0 n l 2 B 2t n lim( ) ? lim(1 ? ) Rmn n ?? 2vi ? v0 n ??

取两边 n 次方的极限

可得

l B ? 2v1 ? v0 ? e Rm , v0

2

2

于是得右棒速度公式

l B ? t v0 v1 ? (1 ? e Rm ) ; 2
l B ? t v0 v2 ? (1 ? e Rm ) 。 2
2 2

2

2

由两棒速度关系易得左棒速度随时间变化关系

两棒电阻串联,通过每棒的感应电流电量相等,任取其中一棒例如左棒,由动量定理

v mv q lB t ? m 0 , q ? 0 ; t 2 2lB Blx 若设两棒间距离的最大增量为 x ,则由 q ? It ? ? t ,得 2 Rt 2 Rq Rmv0 x? ? 2 2 。 lB l B
1、在磁感应强度为 B ,水平方向的匀强磁场内,有一个细金属丝环以速度 v 做无滑滚动, 如图所示。环上有长度为 l 的很小的缺口,磁场方向垂直于环面。求当 ?AOC 为 ? 时,环 上产生的感应电动势。

2、如图所示,在电流为 I 的无限长直导线外有与它共面的直角三角形线圈 ABC ,其中 AB 边与电流平行, AC 边长 l , ?BCA ? ? ,线圈以速度 v 向右做匀速运动,求当线圈与直线 电流相距 d 时,线圈中的动生电动势。

3、在半径为 R 的圆柱形体积内充满磁感应强度为 B 的匀强磁场。有一长为 l 的金属棒放在 磁场中,如图所示,设磁场在增强,其变化率为 k 。⑴求棒中的感生电动势,并指出哪端电 势高;⑵如棒的一半在磁场外,其结果又如何?

4 、一个很长的直螺线管半径为 R ,因线圈通过交流电而在线圈内引起均匀的交变磁场 B ? B0 sin? t ,求螺线管内、外感生电场 E 的分布规律。

5、一无限长圆柱,偏轴平行地挖出一个圆柱空间,两圆柱轴间距离 OO? ? d ,图所示为垂 直于轴的截面。设两圆柱间存在均匀磁场,磁感应强度 B 随时间 t 线性增长,即 B ? kt 。现 在空腔中放一与 OO? 成 60 角、长为 L 的金属杆 AO?B ,求杆中的感生电动势。
0

6、 如图所示, 由均匀金属丝折成边长为 l 的等边三角形, 总电阻为 R , 在磁感应强度为 B 的 匀强磁场中,以恒定角速度 ? 绕三角形的高 ac 轴转动,求线圈平面与 B 平行时,金属框的 总电动势及 ab 、 ac 的电势差 U ab 、 U ac 。

7、在轻的导电杆的一端固定一个金属小球,球保持与半径为 R ? 1.0m 的导电球面接触。杆 的另一端固定在球心处,并且杆可以无摩擦地沿任何方向转动。整个装置放在均匀磁场中, 磁场方向竖直向上,磁感应强度 B ? 1.0T 。球面与杆的固定端通过导线、开关与电源相连, 如图所示。 试描述当开关闭合后, 杆如何运动?如果杆与竖直线之间的夹角稳定在 ? ? 60 , 求电源的电动势。
0

8、如图所示,无限长密绕螺线管半径为 r ,其中通有电流,在螺线管内产生一匀强磁场 B 。 在螺线管外同轴套一粗细均匀的金属圆环,金属环由两个半环组成, a 、 b 为其分界面,半 环的电阻分别为 R1 和 R2 ,且 R1 ? R2 ,当螺线管中电流按 I ? I 0 ? ? t 均匀增大时, 求 a 、b 两处的电势差 U ab 。

9、 由绝缘均匀导线做成的闭合回路如图所示弯成 ? 字形, 交叉处 M 点在 N 点之上, 回路 1 的半径为 r1 , 回路 2 的半径为 r2 , 当磁感应强度按 B ? B0t 规律穿入回路时, 确定 M 与 N 两 点间电压,若将回路 2 向左翻折在回路 1 上, M 与 N 间电压又是多少?

10、环形金属丝箍围在很长的直螺线管的中部,箍的轴与螺线管的轴重合,如图所示。箍由 两部分组成,每部分的电阻 R1 、 R2 不同且未知。三个有内阻的电压表接到两部分接头处 A 点和 B 点,并且导体 A ? V3 ? B 严格地沿箍的直径放置,而导体 A ? V1 ? B 和 A ? V2 ? B 沿 螺线管任意两个不同方位放置,交变电流通过螺线管,发现这时电压表 V3 的读数 u0 ? 5V , 电压表 V1 的读数 u1 ? 10V 。问电压表 V2 的读数是多少?螺线管外的磁场以及回路电感不 计。

11、半径为 R 的金属丝圆环,有一个沿直径方向放置的金属跨接线,左、右两半圆上分别 接上电容器 C1 和 C2 ,如图所示。将环放置在磁感应强度随时间而线性增大的磁场中,

B(t ) ?

B0t ,磁场方向垂直于环面。某一时刻撤去跨接线,接着磁场停止变化,求每个电容 T

器上带的电量。

12、 如图所示电路, 直流电源的电动势为 E , 内阻不计, 两个电阻值为 R , 一个电阻值为 r , 电感的自感系数为 L , 直流电阻值为 r 。 闭合开关 S , 待电路电流稳定后, 再打开开关 S(电 流计 G 内阻不计) ⑴打开开关时,电阻值为 r 的电阻两端电压为多少? ⑵打开开关后有多少电量通过电流计? ⑶闭合开关到电流稳定时,有多少电量通过电流计?

13、电磁涡流制动器由一电阻为 ? 、厚度为 r 的金属圆盘为主要部件,如图所示。圆盘水平 放置,能绕过中心 O 的竖直轴转动,在距中心 O 为 r 处,一边长为 a 的正方形区域内有垂 直于圆盘平面的匀强磁场,磁感应强度为 B ,若 r a ,试写出圆盘所受的磁制动力矩与 圆盘转动角速度之间的关系式。

14、如图,在竖直面内两平行导轨相距 l ? 1m ,且与一纯电感线圈 L 、直流电源 E (?,r ) 、 水平金属棒 AB 联为一闭合回路,开始时,金属棒静止,尔后无摩擦地自由下滑(不脱离轨 道) 。设轨道足够长,其电阻可忽略,空间中磁场 B 的大小为 0.4T ,其方向垂直于轨道平 面, 已知电源电动势为 ? ? 9V , 内电阻 r ? 0.5? , 金属棒质量 m ? 1kg , 其电阻 R ? 1.1? , 线圈自感系数 L ? 12H ,试求金属棒下落可达到的最大速度。

x2 y 2 ,在中心处有一圆形区域, ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2 圆心在 O 点,半径为 r , r ? b 。圆形区域中有一匀强磁场 B1 ,方向垂直纸面向里, B1 以变 化率 k 均匀增大,在圆形区域外另有一匀强磁场 B2 ,方向与 B1 相同。在初始时, A 点有一 带正电 q 、 质量为 m 的粒子,粒子只能在轨道上运动, 把粒子由静止释放, 若要其通过 C 点 时对轨道无作用力,求 B2 的大小。
15、如图所示一椭圆形轨道,其方程为

16、一根永久性圆磁棒,在它的磁极附近套上一环形线圈,摆动线圈,使线圈沿轴 OO? 做 简谐运动,如图所示,振幅 A ? 1mm(这比磁铁和线圈的尺寸小得多) ,频率 f ? 1000Hz 。 于是,在线圈里产生感应电动势,其最大值 ? m ? 5V ,如果线圈不动,线圈通以电流

I ? 200mA ,求磁场对线圈的作用力。

17、如图,半径为 R 的无限长圆柱形匀强磁场区域的磁感应强度为 B ,方向竖直向上,半 径为 R 的绝缘光滑细环水平放置, 正好套住磁场区。 在细环上串有一质量为 m 、 电量为 q 的 带正电小珠。t ? 0 时,磁场 B ? 0 ;0 ? t ? T 时,B 随时间 t 均匀增大;t ? T 时,B ? B0 ; 此后保持 B0 不变。试定量讨论 t ? T 时小珠的运动状态及小珠对圆环的径向正压力。 (小珠 所受重力与圆环支持力平衡)

18、如图所示为一“电磁枪” ,它有一轨距为 l 、电阻可以忽略的水平导轨,导轨另一端与 一个电容为 C 、所充电压为 U 0 的电容器相连接,该装置的电感可以忽略,整个装置放入均 匀的竖直的磁感应强度为 B 的磁场中,一根无摩擦的质量为 m 、电阻为 R 的导体棒垂直于 轨道放在导轨上,将开关翻转到 b ,求导体棒获得的最大速度 vmax 及这个“电磁枪”的最大 效率。

19、一个细的超导圆环质量 m 、半径 r 、电感 L ,放在竖直的圆柱形磁棒上面,如图所示。 圆环与棒有同一对称轴。在圆环周围的圆柱形磁棒的磁场在以圆环中心为坐标原点的 x ? O ? y 坐标中可近似地表示为 By ? B0 (1 ? ? y) 和 Bx ? B0 ? x ,其中 B0 、? 、? 为常量。 初始时,圆环中没有电流,当它被放开后开始向下运动且保持它的轴仍为竖直,试确定圆环 的运动并求圆环中的电流。

20、如图( a )所示,在水平地面上有足够长的两条平行金属导轨,导轨上放着两根可无摩 擦地滑行的平行导体棒,每根棒中串接电容为 C 的相同固体介质电容器,构成矩形回路。 整个回路处在匀强磁场中,磁场方向与回路平面垂直。已知两棒长均为 l ,质量均为 m ,电 阻均为 R ,其余电阻不计。开始时左棒静止,右棒以初速 v0 平行导轨运动,则在运动过程 中可给两电容器充电。 ⑴两棒的最终速度是否相同? ⑵就电容器 C 充电过程而言,回路可等效为图( b )所示无外磁场的静态回路,试求 图( b )中 ? ? 和 C ? 值。


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