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含参数的二次函数在限区间上最值问题


有限区间上含参数的二次函数的最值问题
教学目标: 知识与技能:

1.掌握定义在变化区间上的一元二次函数最值的求解方法; 2.掌握系数含参数的一元二次函数在定区间上最值的求解方法; 过程与方法: 3.加深学生运用分类讨论和数形结合数学思想方法的体验; 情感、态度与价值观:4.通过学生自己的探索解决问题,增强其学习数学的兴趣和信心; 5.培养学生严密的

分析和解决问题的能力。 教学重点:含参数的一元二次函数的最值问题的求解。 教学难点:分类讨论与数形结合数学思想方法的运用。 教学过程: 教学内容 一.复习一元二次函数最值的求 法。 1. 没有限定区间的情况。 2. 有限定区间的情况。 教师活动 提问一: 我们已学习了哪些一元 二次函数求最值问题?请同学 指出类型和求解方法。 学生活动 回答一: 两种情况, 分别为没有 限定区间的情况和有限定区间 的情况。 前者用配方法即可,后者先配 方, 再借助图像来观察函数在给 定区间上的单调性, 从而得出函 数的最值。

二.研究定义在变化区间上的一 元二次函数最值问题的求 解。 例 1 已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 2 ,

给出例 1。 借助(1) (2) (3)复习,请同 (1)若 x ? R ,求函数的最值; 学口头回答解法。 (2) x ? ?1, 3 ? , 若 求函数的最值; (3)若 x ? [? 2 ,3 ] ,求函数的最 值; (4)若 x ? ?a , a ? 2 ?, a ? R , 求函数的最小值; (5) x ? ?a , a ? 2 ?, a ? R ,求 函数的最大值。
y min ?a 2 ? 2 a ? 2, a ? ? 1; ? ? ?1, ? 3 ? a ? ? 1; ? 2 a ? 6 a ? 10 , a ? ?3. ?
2

读题后思考(1) (3)题, (2) 口头回答解法。

? ? a ? 6 a ? 10 , a ? ? 2 ; y max ? ? ?a 2 ? 2 a ? 2, a ? ?2. ?

提问二: (4)题与(1) (3) 回答二: (2) 都是一元二次函数求最 题有什么联系和区别? 值的问题,但(4)题中函数的 定义域(区间)是变化的。 提示后请同学们完成(4)题。 区间变化,函数的最值相应变 允许讨论。 化。故要进行分类讨论。 其中请两位同学在黑板上分别 完成(4) (5)题。 先独立思考, 有困难再讨论, 最 后完成解答。 教师巡视,若多数同学感到困 难, 则再提示要不要通过图像来 解答。 回答三: 学生完成后讲评。 最小值: 对此区间是否有函数的 对称轴穿过进行讨论; 提问三: 请同学指出分类讨论的 最大值对此区间的两个端点离 依据,并对问题类型归纳。 对称轴的远近讨论。 教师活动 学生活动

教学内容

三.研究系数中含有参数的二次 函数在定区间上最值问题的 求解。 例2 已知 k ? R ,求函数
y ? ? x ? 2 kx ? 3
2

给出例 2 和例 3。 提示同学们注意这两道题和例 1 的联系与区别。 请同学们探索解答。 请两位同学在黑板上分别完成 例 2 和例 3 解答。 教师巡视指导。 学生完成后,教师利用课件讲 评。 提问四: 请同学指出分类讨论的划分依 据;请同学思考分类讨论的层 次; 请同学对问题类型作出归纳。 请同学体会函数图像在解题过 程中的作用。

思考题目的特点和上题的区别 独自探索与小组讨论相结合完 成例题解答。

在区间 ?? 1, 2 ? 上的最大值。
? ? 2 k ? 2 , k ? ? 1; ? 2 ? ? k ? 3, ? 1 ? k ? 2 ; ? 4 k ? 1, k ? 2 . ?

y max

例3

已知 k ? R ,求二次函数
2

y ? kx

? 2 kx ? 1, x ? ?? 3 , 2 ? 的

最值。 由题意,可知 k ? 0 当 k ? 0 , y min ? 8 k ? 1 ,
y max ? 1 ? k 。

当 k ?0



y min ? 1 ? k



y max ? 8 k ? 1 ;

回答四: 参数取值导致函数类型不同。 对称轴与区间位置关系的不同 导致函数的单调性及最值情况 的不同。 系数中含有参数。 数形结合

四.总结。 本堂课主要研究了两类一元二次 函数求最值问题。 数学思想方法: 五.教后记。 思考题: 1. 求函数 y ? a sin
2

提问五: 请同学们总结, 我们本 堂课研究了哪些问题的求解? 用到了哪些数学思想方法?

回答五: 一是在变化区间上的一 元二次函数最值问题, 二是系数 中含有参数的一元二次函数最 值问题。 有分类讨论和数形结合 的方法

x ? 2 a sin x ? 1? a ? 0 ? 的最小值。
2

2. 求函数 f ? x ? ? ? 3 x 2 ? 3 x ?
1 3

1 4

? b , x ? ?? b , b ??b ? 0 ? 的最值。
2

3. 已知

? a ? 1, 若函数 f ? x ? ? ax

2

? 2 x ? 1 在 ?1, 3 ? 上的最大值为 M ? a ? , 最小值为

m ? a ? ,又已知函数 g ? a ? ? M ? a ? ? m ? a ? , (1)求 g ? a ? 的表达式; (2)指出 g ? a ? 的

单调区间,并求出 g ? a ? 的最大值和最小值。


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