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A 巩固练习


【巩固练习】
一、选择题: 1.在△ABC 中,已知 a=5 2,c=10,A=30° ,则 B=( A.105° C.15° A.2 5 C.2 5或 5 B.60° D.105° 或 15° ) B. 5 D.以上都不对 ) )

2.在△ABC 中,a= 5,b= 15,A=30° ,则 c 等于(

3.以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( A.在△ABC 中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC 中,若 sin 2A=sin 2B,则 a=b

C.在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A>B;若 A>B,则 sin A>sin B 都成立 D.在△ABC 中, b+c a = sin A sin B+sin C )

sin A cos B cos C 4.若 = = ,则△ABC 是( a b c A.等边三角形 B.直角三角形,且有一个角是 30° C.等腰直角三角形 D.等腰三角形,且有一个角是 30° 5.判断下列说法,其中正确的是( A.a=7,b=14,A=30° 有两解 B.a=30,b=25,A=150° 只有一解 C.a=6,b=9,A=45° 有两解 D.b=9,c=10,B=60° 无解 二、填空题: )

6.在△ABC 中,已知 a=5,B=105° ,C=15° ,则此三角形的最大边的长为________. 7. 在△ABC 中,a=x,b=2,B=45° ,若△ABC 只有一解,则 x 的取值集合为________. 8. 在△ABC 中,a:b:c=3:3:5,则

2sin A ? sin B 的值是 sin C

. .

9.在 ?ABC 中,已知 3b ? 2 3a sin B , cos B ? cos C ,则 ?ABC 的形状是 三、解答题
? ? 10、在 ?ABC 中,已知 A ? 30 , C ? 45 a ? 20 ,解此三角形。

11.在△ABC 中,已知 a ?

3 , b ? 2 ,B=45?.求 A、C 及 c.
0

12.在 ?ABC 中,若 B ? 45 , c ? 2 2 , b ?

4 3 ,求 A . 3

13. 在 ?ABC 中, a ? 2 3,b ? 6, A ? 30o , 求 B 及 C. 14.在△ABC 中,a=4,A=45° ,B=60° ,求边 b 的值.

cos A b 4 15.在△ABC 中,若 = = ,试判断三角形的形状 cos B a 3

【答案与解析】
1. 答案 D 解析: 由正弦定理,得 csin A 10sin 30° 2 sin C= = = . a 2 5 2 ∵a<c,∴A<C,∴C=45° 或 C=135° . ∴B=180° -(A+C),∴B=105° 或 15° .故选 D. 2. 答案: C bsin A 3 解析: 由于 sin B= = ,故 B=60° 或 120° . a 2 当 B=60° 时,C=90° 时,c=30° .c= a2+b2=2 5; 当 B=120° 时,C=30° ,c=a= 5. 3. 答案: B 解析: 由正弦定理知 A、C、D 正确, 而 sin 2A=sin 2B,可得 A=B 或 2A+2B=π, ∴a=b 或 a2+b2=c2,故 B 错误. 4. 答案: C 解析: 在△ABC 中,由正弦定理: a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, sin A cos B cos C 代入 = = 得: a b c sin A cos B cos C = = , 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C sin B sin C ∴ = =1. cos B cos C ∴tan B=tan C=1,∴B=C=45° . ∴△ABC 是等腰直角三角形. 5. 答案: B 1 14× 2 bsin A 解析: A 中,由正弦定理得 sin B= = =1,所以 B=90° ,故只有一解,A 错误;B 中, a 7 1 25× 2 bsin A bsin A 由正弦定理得 sin B= = <1, 又 A 为钝角, 故只有一解, B 正确; C 中, 由正弦定理得 sin B= a 30 a 9× = 6 2 2 csin B >1,所以 B 不存在,故无解,C 错误;D 中,由正弦定理得 sin C= = b 15 2+5 6 6 10× 9 3 2

<1,因为 b<c,

B=60° ,且 0° <C<180° ,所以 C 有两解,D 错误.故选 B. 6. 答案:

解析: 在△ABC 中,大角对大边,故 b 为最大边长,A=180° -(B+C)=180° -(105° +15° )=60° . asin B 5sin 105° 15 2+5 6 据正弦定理 b= = = . sin A sin 60° 6

7. 答案: {x|0<x≤2 或 x=2 2} 2 x· 2 a· sin B 2 解析: sin A= = = x, b 2 4 当 x=2 2时,sin A=1,△ABC 有一解; 又当 a≤b 时,即 x≤2 时,A 为锐角,△ABC 只有一解. 8. 答案:

3 5 6k ? 3k 3 ? 5k 5

解析: a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 3 : 3 : 5 ,? 原式= 9. 答案: ?ABC 为等腰三角形 解 析 : 由 3b ? 2 3a sin B 可 得

b a 3 ? ? ? , 所 以 s i nA ? , 即 A ? 60 或 120 , 又 由 s i nB 2 3 2

c o sB ? c o sC 及 B, C ? ?0, ? ? 可知 B ? C ,所以 ?ABC 为等腰三角形。
10. 解析:由正弦定理

a c 20 c ? ? ,即 ,解得 c ? 20 2 , 1 sin A sin C 2 2 2
? ?

由 A ? 30 , C ? 45 ,及 A ? B ? C ? 180 可得 B ? 75 ,
? ?

又由正弦定理

a b 20 ? ? ,即 1 sin A sin B 2

b 6? 2 4

,解得 b ? 10 6 ? 2

?

?

11.解析: 解法 1:由正弦定理得: sin A ? ∴∠A=60?或 120? 当∠A=60?时,∠C=75? , c ?

a sin B 3 sin 45? 3 ? ? b 2 2

b sin C 2 sin 75? 6? 2 ? ? ; ? sin B 2 sin 45 b sin C 2 sin 15? 6? 2 ? ? . ? sin B 2 sin 45

当∠A=120?时,∠C=15?, c ?

解法 2:设 c=x,由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

将已知条件代入,整理: x ? 6 x ? 1 ? 0
2

解之: x ?

6? 2 2
2?( 6? 2 2 ) ?3 1? 3 ? 2 ? ? 6? 2 2( 3 ? 1) 2 2? 2 ? 2

b2 ? c2 ? a2 6? 2 ? 当c ? 时, cos A ? 2bc 2
从而∠A=60? ,∠C=75?; 当c ? 12.∵

6? 2 时,同理可求得:∠A=120? ,∠C=15?. 2
b c ? , sin B sin C

∴ sin C ?

c sin B 2 2 ? sin 45 3 ? ? , 4 b 2 3 3

∵ 0 ? C ? 180 ,∴ C ? 60 或 C ? 120 ∴当 C ? 60 时, A ? 75 ; 当 C ? 120 时, A ? 15 , ; 所以 A ? 75 或 A ? 15 . 13. 解析:由正弦定理得 sin B ? ∵ a ? b, 且 b sin A ? 6 ?

b sin A 6sin 300 3 ? ? a 2 2 3

1 ?3? 2 3 ? a 2

∴B 有两解,得 B ? 600 或 B ? 1200 ∴ C ? 900 或 C ? 300 a b asin B 4sin 60° 14. 解析: 由正弦定理 = 得 b= = sin A sin B sin A sin 45° =2 6. cos A sin B 4 15.解析: 由正弦定理知 = = , cos B sin A 3 ∴sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B,

π ∴2A=2B 或 2A+2B=π,∴A=B 或 A+B= . 2 b 又∵ >1,∴B>A,∴△ABC 为直角三角形. a


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