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2015-2016学年浙江省名校协作体高二下学期期初联考数学理试题


2015 学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。) 1. 下 列 说 法 正 确 的 是 ( ) A. 一条直线和 x 轴的正方向所成的角叫该直线的倾斜角 B. 直线的倾斜角 α 的取值范围 是:0°≤α≤180° C. 任何一条直线都有斜率 D. 任何一条直线都有倾斜角 2.“ m ? 1 ”

是 “ 直 线 mx ? (m ? 1) y ? 1 ? 0 和 直 线 2 x ? my ? 1 ? 0 垂 直 ” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 件 3 . ( 命 题 )
2 2 2 2





x2 ? y2 ? 0





x ? 0且y ? 0
2 2













A.若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0且y ? 0

B.若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0或y ? 0
2 2

C.若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0或y ? 0 D.若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0且y ? 0 4.若 m , n 是互不相同的直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题正确的是 ( A. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ? B. ? ? ? , m ? ? , n ? ? ? m ? n C. ? ? ? , m // ? , n // ? ? m ? n D. ? // ? , m // ? , n // ? ? m // n 5.如图,正三角形 ABC 的边长为 1,它是水平放置的一个平面图形的直观图, 则原图形的面积是 ( ) A.



y

C B

3 2

B. 3

C.

6 2

D.

6 4

O A

x

6.已知直线 l1: 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 和直线 l2: y ? ? 和直线 l2 的距离之和的最小值是 ( )

1 2 ,抛物线 x ? y 上一动点 P 到直线 l1 4 11 A. 1 B. 2 C. 5

D. 3 7.已知点 P 是正四面体 ABCD 内的动点, E 是棱 CD 的中点,且点 P 到棱 AB 和棱 CD 的 距 离 相 等 , 则 P 点 的 轨 迹 被 平 面 ABE 所 截 得 的 图 形 为 ( ) A.线段 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 8.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为线段 B1C 的中点, F 是棱 C1 D1 上的D1 动点,若点 P 为线段 BD1 上的动点,则 PE ? PF 的最小值为 ( ) A1 P D A , 1 2 1 3 1
正视图

F B1 E

C1

1? 2 A. 2
2 2

3 2 B. 2

6 C. 2

5 2 D. 6

二.填空题(其中 9、10、11、12 每小题 6 分,13、14、15 每小题 4 分,共 36 分)

x y ? ? 1 的渐近线方程为 ;离心率为 .. 16 9 10.已知直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0, l 2 : 2 x ? (a ? 1) y ? 2 ? 0 ,若 l1 // l 2 ,则 a ? l1 与 l 2 的距离为 .
9. 双曲线 11.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的侧视图的 面积为 ,体积为 .

C

(第 8 题) B

2 1
侧视图

1

2
俯视图

2 (第 11 题)

12.若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M 到准线及对称轴的距离分别为 5 和 4,若点 M 在 焦点 F 的右侧,则此时 M 点的横坐标为 ,抛物线方程为 .

x2 y2 ? ? 1 的左,右焦点, P , Q 为双曲线 C 右支上的两点, a2 b2 若 PF2 ? 2 F2 Q ,且 F1Q ? PQ ? 0 ,则该双曲线的离心率是 . 14.如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 (底面是正三角形,侧棱垂直底面)的各条棱长均相等, ,且满足 BM ? C1 N . D 为 AA1 的中点. M 、 N 分别是 BB1 、 CC1 上的动点(含端点) 当 M、N 运动时,下列结论中正确的是 (填上所有正确命题的序号). ①平面 DMN ? 平面 BCC1 B1 ;②三棱锥 A1 ? DMN 的体积为定值; ? ③ ?DMN 可能为直角三角形;④平面 DMN 与平面 ABC 所成的锐二面角范围为 (0, ] . 4
13.设 F1 , F2 为双曲线 C : A1 B1 D M C1 N

A

C

B (第 14 题图)

15.已知 F 为抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点, M 点的坐标为(4,0),过点 F 作斜率为 k1 的
2

直线与抛物线交于 A、B 两点,延长 AM、BM 交抛物线于 C、D 两点,设直线 CD 的斜率 为 k 2 ,且 k1 ?

2k2 .则 a =
2 2

.

三.解答题(本大题含 5 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知圆 O:x +y =4 和点 M 1, 2 , AB 为过点 M 的弦. (Ⅰ)若 | AB |? 2 3 ,求直线 AB 的方程;(Ⅱ)求弦 AB 的中点的轨迹方程.

?

?

17.如图,在三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? AD ? BC ? CD ? 4 , BD ? 4 2 , E , F 分别为 AC , CD 的中点, G 为线段 BD 上一点. (Ⅰ)求直线 BE 和 AF 所成角的余弦值; (Ⅱ)当直线 BE // 平面 AGF 时,求四棱锥 A ? BCFG 的体积.

A

E B G F
(第 17 题)

D

C

18.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 过定点 A(1,1) , B, C 是抛物线上异于 A 的两个动点,
2

且 AB ? AC .(Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)求证:直线 BC 恒过定点,并求出该定点的 坐标.

19. 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , BC // AD , PA ? AD , 平 面 PAB ? 平 面 ABCD ,

?BAD ? 120 ? ,且 PA ? AB ? BC ?

1 (Ⅱ) AD ? 2 .(Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; 2

求直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 B ? PC ? D 的余弦值. P

A B

D C
(第 19 题图)

20.已知 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点, A, B 分别为椭圆的上,下 a2 b2 顶点.过椭圆的右焦点 F2 的直线在 y 轴右侧 交椭圆于 C , D 两点. ?F1CD 的周长为 8, ..

且直线 AC , BC 的斜率之积为 ?

1 . 4

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设四边形 ABCD 的面积为 S ,求 S 的取值范围.

y
A D F1
O

F2 C

x

B

(第 20 题图)

2015 学年第二学期浙江省名校协作体高二年级数学参考 答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

题号 答案

1 D
3 x 4

2 A
5 4

3 B

4 B

5 C

6 A

7 D

8 D

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 9. y ? ? 13.

10. 2 , 14.①②④

3 5 11. 2 3, 5

2 3 , 12.

4

y2 ? 4x

17 3

15. 8 2

三.解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (1)当斜率不存在在时,x=1………….2 分 当 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 AB 为 : y ? kx ? 2 ? k , 由 题 意 得 :

| 2 ?k | k 2 ?1

?1

?k ?

2 ……………6 分 4 2 3 2 AB: x ? 1或y ? …………………8 分 x? 4 4
(2)设 AB 中点为 P ( x, y ) ,则 OP ? PM , 10 分

?

OP ? MP ? 0 ,
14 分

?

( x, y ) ? ( x ? 1, y ? 2 ) ? 0 ,即 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0

17. 解: (Ⅰ)取 CF 的中点为 H,连 EH,BH,EH//AF ? ?BEH (或其补角) 即为 BE 与 AF 所成角 由已知得 AB ? AD, BC ? CD , CH ? 1 ,? BH ? 17 , EH ?

3 , BE ? 2 3
7

? cos ?BEH ? ?


1 6

直线 BE 和 AF 所成角的余弦值为

1 6

A

(Ⅱ)取 BD 的中点为 O,连 AO,CO,则 AO ? CO ? 2 2 , ? AO ? OC , AO ? BD ,从而 AO ? 平面 BCD

E
11 分

? V A? BCD ?

1 1 16 2 ? ? 4? 4? 2 2 ? 3 2 3

B

G F

D

DM 2 ? ME 1 (第 17 题) C DG 2 ? BE // 平面 AGF , ? BE//GM, ? GB 1 32 2 1 2 . 15 分 ? V A? FDG ? V A? BCD , V A? BCFG ? V A? BCD = 9 3 3 1 2 2 18 . 解 : ( Ⅰ ) 由 题 意 得 1 ? 2 p ?1 , ? p ? , ? 所 求 抛 物 线 的 方 程 为 y ? x . 2
连 DE 交 AF 于 M,则 M 为 ?ACD 的重心,且

5分 (Ⅱ)设 B ( x1 , y1 ) , C ( x 2 , y 2 ) , BC : x ? my ? t 由?

? x ? my ? t
2

?y ? x y1 ? y 2 ? m, y1 y 2 ? ?t

得: y ? my ? t ? 0 , ? ? 0
2

8分

由AB ? AC ? k AB ? k AC ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 1 1 ? ? ? ? ?1 x1 ? 1 x 2 ? 1 y1 ? 1 y 2 ? 1
12 分 14 分 15 分 P

? y1 y 2 ? y1 ? y 2 ? 1 ? ?1 ? ?t ? m ? ?2 ? t ? m ? 2 ? BC : x ? m( y ? 1) ? 2 所以直线 BC 恒过定点 (2,?1) .

19.解: (Ⅰ)证明: 作 CE ? AB 于 E ? ?BAD ? 120 ? ,? CE 与 AD 必相交, 又? 平面 PAB ? 平面 ABCD , ? CE ? 平面 PAB, ? CE ? PA 又 PA ? AD , ? PA ? 平面 ABCD . 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知平面 PAD ? 平面 ABCD , 故作 BF ? DA 的延长线于 F,连 PF, 则 BF ? 平面 PAD ,所以 ?BPF 为直线 PB 与平面 PAD 所成角.

A B

D C
(第 19 题图)

? PA=AB=2, ?BAD ? 120 ? , ? BF ? 3 , BP ? 2 2

BF 3 6 10 分 ? ? BP 2 2 4 (Ⅲ)连 AC,由已知得 AC=2, ?CAD ? 60 ? ,从而 CD ? 2 3 ,? CD ? AC 又 PA ? CD ,? CD ? 平面 PAC ,从而平面 PCD ? 平面 PAC 作 BG ? AC 于 G , GH ? PC 于 H ,连 BH ,设 则所求的二面角为 90 ? ? ?BHG 2 14 BG ? 3 , CG ? 1 , GH ? ,所以 BH ? 2 2 42 15 分 ? cos(90 ? ? ?BHG ) ? ? sin ?BHG ? ? 7
? sin ?BPF ?
注:其他解法相应给分. 20 解: (Ⅰ)设 C ( x1 , y1 ), D( x 2 , y 2 ) ,由题意得 A(0, b), B (0,?b) ,

4a ? 8, a ? 2

2分
2 1 2 2

由 k AC ? k BC ? 得 b2 ?

y1 ? b y1 ? b y ? b b 1 ? ? ?? 2 ?? , 2 x1 x1 4 x1 a
5分 6分

1 2 a ?1 4 x2 ? y2 ? 1 ? 椭圆的方程为 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, F2 ( 3 ,0) ,故设直线 CD : x ? my ? 3 ,

y
A D

F1

O

F2 C

x

B

(第 20 题图)

x2 ? y 2 ? 1 得 (m 2 ? 4) y 2 ? 2 3my ? 1 ? 0 , 4 ? 2 3m ?1 则 y1 ? y 2 ? 7分 , y1 y 2 ? 2 2 m ?4 m ?4 4 m2 ? 1 y1 ? y2 ? ,由 x1 ? 0, x 2 ? 0, 得 0 ? m 2 ? 3 m2 ? 4 8 3 10 分 x1 ? x 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? 2 3 ? 2 m ?4 4 m 2 ? 1 2 3 ( m 2 ? 1 ? 2) 1 8 3 1 = 12 分 ? 面积 S ? S ?AOD ? S ?BOC ? S ?OCD ? ? 2 ? ? 3 ? 2 m ?4 2 m2 ? 4 m2 ? 4 2 3t 2 3 2 ? 令 t ? m ? 1 ? 2, t ? [3,4) ,则 S ? 在 t ? [3,4) 上递减 2 7 (t ? 2) ? 3 t? ?4 t 8 3 3 3 所以 S ? ( 15 分 , ]. 7 2
代入


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