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电力系统潮流计算高斯


一、高斯——塞德尔法潮流计算 高斯——塞德尔法潮流计算 —— 以导纳矩阵为基础的潮流计算。 以导纳矩阵为基础的潮流计算。 个节点, (m+1)个 设系统中有 n 个节点,其中有 m 个 PQ 点、n-(m+1)个 PV 节点和一 个平衡节点。平衡节点不参加迭代。 个平衡节点。平衡节点不参加迭代。 从方程式可以解出: 从方程式可以解出:
n ? 1 P ? jQi ? Y

V ] 。 Vi = [ i ∑ ij ?j ? Yii Vi i =1 j ≠1

(12-14) 12-14)

将上式改写成高斯——塞德尔法德迭代格式, 将上式改写成高斯——塞德尔法德迭代格式, ——塞德尔法德迭代格式
n 1 P ? jQi i ?1 ? k +1 ? ? Vi ( k +1) = [ i ? ∑ YijV j ? ∑ YijV j( h ) ] 。 ? Yii Vi j =1 j =i +1

(12-15) 12-15)

在用这个迭代公式时, 节点的功率是给定的, 在用这个迭代公式时,PQ 节点的功率是给定的,因此只要给出节
? 可以进行迭代计算 进行迭代计算。 点电压的初值 Vi (0) ,可以进行迭代计算。 ? 是给定的。 节点, 对于 PV 节点,节点有功功率 Pi 和电压幅值 Vi 是给定的。但是节点

的无功功率只在迭代开始时给出初值 Qi (0) , 此后的迭代值必须在迭代过 程中依次的算出。因此,在每一次迭代中, 节点, 程中依次的算出。因此,在每一次迭代中,对于 PV 节点,必须作以下 几项计算。 几项计算。 1、 修正节点电压 在迭代计算中,由公式(12-15)求得的节点电压, 在迭代计算中,由公式(12-15)求得的节点电压,其幅值不一定 为满足这个条件, 等于给定的电压幅值 Vis 。为满足这个条件,我们只保留节点电压 的相位 δ i( k ) ,而把其幅值直接取为给定值 Vis ,即令
? Vi ( k ) = Vis ∠δ ( k )



(12-16) 12-16)

2、 计算节点无功功率 其计算公式为: 其计算公式为:

Q

(k ) i

? ? ? ? ? ? ? = Im[Vi ( k ) I i( k ) ] = Im[Vi ( k ) (∑ YijV j( k +1) + ∑ YijV j( k +1) )]
j =1 j =i

i ?1

n

(12-17) 12-17)

3、 无功功率越线检查 由上式算出的无功功率须按以下的不等式进行检验: 由上式算出的无功功率须按以下的不等式进行检验:
Qi min < Qi( k ) < Qi max



(12-18) 12-18)

如果 Qi( k ) > Qi max ,则令 Qi( k ) = Qi max ;如果 Qi( k ) < Qi min ,则令 Qi( k ) = Qi min 。 做完上述三项计算后, 才应用公式 12-15) (12-15) 计算节点电压的新值。 做完上述三项计算后, 计算节点电压的新值。 平衡节点的电压幅值和相位都是给定的,不必进行迭代。 平衡节点的电压幅值和相位都是给定的,不必进行迭代。 迭代收敛的判据是: 迭代收敛的判据是:
? ? max{| Vi ( k +1) ? Vi ( k ) |} < ε

。(12-19) 。(12-19) 12

迭代结束后,还要算出平衡节点的功率和网络中的功率分布 功率分布。 迭代结束后,还要算出平衡节点的功率和网络中的功率分布。输 电线路功率的计算公式如下:( :(见图 12电线路功率的计算公式如下:(见图 12-2)
? Pij + jQij = Vi I ij = Vi 2 y i 0 + Vi (V i ? V j ) y ij
* * * * *

(12-20) 12-20)

Sij

? Vi y ij (Vi ? V j ) y ij

*

*

*

i

j

yi 0

Vi 2 y i 0

*

12图 12-2 支路功率计算 12- 是高斯-塞德尔法潮流计算的流程框图。 图 12-3 是高斯-塞德尔法潮流计算的流程框图。

Vis ∠δ i( k )

? Vi ( k )

Qi( k )

Qi( k ) ≤ Qi max ?

Qi( k ) ≥ Qi min ?

Qi max

Qi( k )

Qi min

Qi( k )

Vis ∠δ i( k )

? Vi ( k )

? Vi ( k +1)

? ? ?Vi ( k +1) =| Vi ( k +1) ? Vi ( k ) |

?Vi ( k +1) > ?Vmax ?

?Vmax = ?Vi ( k +1)

i +1 → i

i ≤ n?
k +1 → k

?Vmax ≤ ε ?

12- 高斯图 12-3 高斯-塞德尔法潮流计算的流程框图 二、牛顿拉夫逊法潮流计算 把牛顿法用于潮流计算。为此,先应将潮流方程(12把牛顿法用于潮流计算。为此,先应将潮流方程(12-4)的右端
? ? ? (i 展开, 并且分开实部和虚部。 方程 12-4) i + jQi = Vi ∑ YijV j   = 1, 2,? , n) 】 【 (12- P 展开, 并且分开实部和虚部。
j =1 n

采用直角坐标,节点电压表示为: 采用直角坐标,节点电压表示为:
? Vi = ei + jf i

导纳矩阵元数则表示为: 导纳矩阵元数则表示为:
? Vi = ei + jf i

将上述表示式代入(12将上述表示式代入(12-4)式的右端,展开并分出实部和虚部, 式的右端,展开并分出实部和虚部, 便得: 便得:
n n ? P =e ∑ ij e j -Bij fj)+fi ∑ (G ij f j + Bij e j ), ? (G i i j=1 j =1 ? ? n n ? Qi = fi ∑ ij e j -Bij fj)-ei ∑ (G ij fj + Bij e j )。 (G ? j=1 j =1 ?

(12-39) 12-39)

按照节点的分类, 节点的有功功率和无功功率是给定的, 按照节点的分类,PQ 节点的有功功率和无功功率是给定的,第 i 个节点的给定功率设为Pis 和 Qis 。假定系统中的第 1,2,…,m 号节点 , 节点,对其中每一个节点可列写方程: 为 PQ 节点,对其中每一个节点可列写方程:
? ? j=1 j =1 ? ? n n ?Qi = Qis ? Qi = Qis -fi ∑ ij e j -Bij fj)+ei ∑ (G ij fj + Bij e j ) = 0, ? (G ? j=1 j =1 ? ?P =Pis -Pi =Pis -e ∑ ij e j -Bij fj)-fi ∑ (G ij fj + Bij e j ) = 0, (G i i

n

(12-40) 12-40)

(i=1,2, …,m). ) 节点的有功功率和节点电压幅值是给定的。 PV 节点的有功功率和节点电压幅值是给定的 。假设系统中的第 节点, m+1,m+2, …n-1 号节点为 PV 节点,则对其中每一个节点可以列写方 程:
n n ? ?P =Pis -Pi =Pis -e ∑ ij e j -Bij fj)-fi ∑ (G ij fj + Bij e j ) = 0, ? (G i i j=1 j =1 ? 2 2 2 2 2 2 ? ?Vi = Vis ? Vi = Vis ? (ei + f i ) = 0, ?

(12-41) 12-41)

(i = m + 1, m + 2,…, n ? 1)。

? 号节点为平衡节点, 时给定的, 第 n 号节点为平衡节点,其电压 Vn = en + jf n 时给定的,故不参加迭

代。 40) 12-41) 个方程, 式(12-40)和(12-41)总共包含了 2(n-1)个方程,带待求变 我们还看到,方程(12-40) 量有 e1 , f1 , e2 , f 2 ,…en?1 , f n ?1 也是 2(n-1)个。我们还看到,方程(12-40) 和(12-41)已经具备了方程组(12-8)的形式。因此,不难写出如下 12-41)已经具备了方程组(12- 的形式。因此, 的修正方程式: 的修正方程式: ?W = ? J ?V , 式中, 式中,
? ?P ? 1 ? ?Q ? ? 1 ? ?? ? ? ? ? ?Pm ? ? ?Q ? m ? ?W = ? ? ?Pm +1 ? ? 2 ? ? ?Vm +1 ? ?? ? ? ? ? ?Pn ?1 ? ? ?V 2 ? ? n ?1 ? ? ?e1 ? ? ?f ? ? 1 ? ?? ? ? ? ? ?em ? ? ?f ? m ?; ?V = ? ? ?em +1 ? ? 2 ? ? ?f m +1 ? ?? ? ? ? ? ?en ?1 ? ? ?f 2 ? ? n ?1 ?



为雅可比矩阵的各元素,可以对(12-40) 12-41) J 为雅可比矩阵的各元素,可以对(12-40)和(12-41)式求偏 导数获得。 导数获得。 当 i ≠ j 时,
? ??Pi ??Qi =? = ?(Gij ei + Bij fi ), ? ?e j ?f j ? ? ??Pi ??Qi ? = = Bij ei ? Gij f i , ? ?f j ?e j ? ? 2 2 ??Vi ??Vi ? = = 0。 ?e j ?f j ? ?

(12-43) 12-43)

当 j = i 时,

n ??Pi ? = ?∑ (Gij e j ? Bij f j ) ? Gij ei ? Bii f i , ? ?ei j =1 ? n ? ??Pi = ?∑ (Gij f j ? Bij e j ) + Bii ei ? Gii f i , ? ?fi j =1 ? n ? ??Qi = ?∑ (Gij f j ? Bij e j ) + Bii ei ? Gii f i , ? ?ei j =1 ? ? n ??Qi = ?∑ (Gij e j ? Bij f j ) ? Gij ei ? Bii fi , ? ? ?f i j =1 ? ??Vi 2 ? = ?2ei , ? ?ei ? 2 ? ??Vi = ?2 fi。 ? ?fi ?

(12-44) 12-44)

修正方程式(12-42)还可以编写成分块矩阵的形式: 修正方程式(12-42)还可以编写成分块矩阵的形式:
? J11 J12 … J1, n ?1 ? ? ?V1 ? ? ?W1 ? ? ? ? ?W ? J  J 22 … J 2,n ?1 ? ? ?V2 ? ? 2 ? = ? ? 21 ? ?, ?  ? ?? ?? ? ? ?     ?     ? ? ?? ? ? ? ? J n ?1,1 J n ?1,2 … J n ?1,n ?1 ? ? ?Vn ?1 ? ? ?Wn ?1 ? ? ?

(12-45) 12-45)

式中, 都是二维列向量; 阶方阵。 式中, ?Wi 和 ?Vi 都是二维列向量; J ij 是 2 × 2 阶方阵。
? ?ei ? ?Vi = ? ? 。 ? ?f i ?

(12-46) 12-46)

节点, 对于 PQ 节点,
? ?Pi ? ?Wi = ? ? ? ?Qi ?



(12-47) 12-47)

? ??Pi ??Pi ? ? ?e   f ? ?j j ?。 J ij = ? ? ??Qi ??Qi ?   ? ? ? ?ej ?fj ?

(12-48) 12-48)

节点, 对于 PV 节点,
? ?Pi ? ?Wi = ? 2 ? ? ?Vi ?



(12-49) 12-49)

? ??Pi ??Pi ? ? ?e   f ?j ? ? j ? J ij = ? ??V 2 ??V 2 ? i   i ? ? ? ?ej ?fj ? ? ?

(12-50) 12-50)

12-5.首先要 用牛顿 — —拉夫逊法计算潮流的流程框图示与图 12-5. 首先要 输入网络的原始数据以及各节点的给定值并形成节点导纳矩阵。 输入网络的原始数据以及各节点的给定值并形成节点导纳矩阵。输入 k=0。 节点电压初值 ei(0) 和 fi (0) ,置迭代计数 k=0。然后开始进入牛顿法的迭代 过程。 次迭代时,其计算步骤如下: 过程。在进行第 k+1 次迭代时,其计算步骤如下: (1 ) 按上一次迭代算出的节点电压值 e( k ) 和 f ( k ) (当 k=0 时即 为给定的初值),利用式(12-40) ),利用式 12-41) 为给定的初值),利用式(12-40)和(12-41)计算各 类节点的不平衡量 ?Pi ( k ) 、 ?Qi( k ) 和 ?Vi 2( k ) 。 (2 ) 按条件(12-37)校验收敛, 按条件(12-37)校验收敛,即
max{| ?Pi ( k ) , ?Qi( k ) |} < ε



如果收敛,迭代到此结束, 如果收敛,迭代到此结束,转入计算各线路潮流和平衡节点的功 并打印输出结果。不收敛则继续计算。 率,并打印输出结果。不收敛则继续计算。 利用式(12-43) 12-44)计算雅可比矩阵各元素。 (3 ) 利用式(12-43)和(12-44)计算雅可比矩阵各元素。 (4 ) (5 ) (6 ) 解修正方程(12-42) 解修正方程(12-42)求节点电压的修正量 ?ei( k ) , ?fi ( k ) 修正各节点的电压, 修正各节点的电压,
ei( k +1) = ei( k ) + ?ei( k ) , f i ( k +1) = f i ( k ) + ?f i ( k )

返回第一步继续迭代过程。 迭代计数加 1,返回第一步继续迭代过程。

ei(0)、fi (0)

k →1
?Pi ( k ),?Qi( k ) , ?Vi 2( k )

max{| ?Pi ( k ) , ?Qi( k ) |} < ε

?ei( k ) , ?fi ( k )
k +1 → k

ei( k +1) = ei( k ) + ?ei( k ) , fi ( k +1) = fi ( k ) + ?fi ( k )

三、牛顿法潮流计算的极坐标形式 当节点电压用极坐标形式表示时, 当节点电压用极坐标形式表示时,
? Vi = Vi exp jδ i = Vi (cos δ i + j sin δ i )



节点功率方程(12节点功率方程(12-4)将写成: 将写成:
Pi = Vi ∑ V (Gij cos δ ij + Bij sin δ ij ),
j =1 n n

(12-53) 12-53)

Qi = Vi ∑ V j (Gij sin δ ij + Bij cos δ ij )
j =1

式中, 两节点电压的相角差。 式中, δ ij = δ i ? δ j ,是 i ,j 两节点电压的相角差。 (12-53) 把节点功率表示为节点电压的幅值和相角的函数。 方程式 12-53) 把节点功率表示为节点电压的幅值和相角的函数。 节点电压的幅值和相角的函数 个节点的系统中, 节点, m+1~n在有 n 个节点的系统中,假定第 1~m 号节点为 PQ 节点,第 m+1~n-1

节点, 号节点为平衡节点。 是给定的,PV ,PV节 号节点为 PV 节点,第 n 号节点为平衡节点。Vn 和 δ n 是给定的,PV节 也是给的。因此,只剩下n- n-1 点的电压幅值 Vm+1 ? Vn +1 也是给的。因此,只剩下n-1个节点的电压相 是未知量。 角 δ1 , δ 2 ,…δ n?1 和m个节点的电压幅值 V1 , V2 ,…Vm 是未知量。 实际上, 对于每一个PQ节点或每一个 PV 节点都可以列写一个有 实际上, 对于每一个PQ节点或每一个 PQ 功功率不平衡量方程式: 功功率不平衡量方程式:
?Pi = Pis ? Pi = Pis ? Vi ∑ Vi (Gij cos δ ij + Bij sin δ ij ) = 0   = 1, 2,? , n ? 1) 。 12-54) (i (12 (12-54)
j =1 n

而对于每一个PQ节点还可以再列写一个无功功率不平衡量方程式: 而对于每一个PQ节点还可以再列写一个无功功率不平衡量方程式: PQ节点还可以再列写一个无功功率不平衡量方程式
?Qi = Qis ? Qi = Qis ? Vi ∑ V j (Gij sin δ ij + Bij cos δ ij ) = 0  = 1, 2,? ,m) 。 (i
j =1 n

(12-55) 12-55)

个方程式, 式(12-54)和式(12-55)一共包含了 n-1+m 个方程式,正好同未知 12-54)和式(12-55) 量的数目相等, 量的数目相等,而比直角坐标形式的方程式少了一个 n-1-m 个。 对于方程式(12-54) 12-55)可以写出修正方程式如下: 对于方程式(12-54)和(12-55)可以写出修正方程式如下:
? ? ?P? ?H N? ?  ?δ =? ? ? -1 ? ? ?Q? ? ? ? ?K L? ?V 2  ?V? ? D ?

式中, 式中,
? ?P ? ? ?Q ? ? ?δ1 ? 1 1 ? ?P ? ? ?Q ? ? ? ? 2 ? ;    ?Q= ? 2 ? ;  ?δ= ? ?δ2 ? ; ?P = ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Pn ?1 ? ? ?Qm ? ? ?δn-1? ? ?V ? ?V ? 1 1 ? ?V ? ?  V ? 2 ? 2 ? ;  V = ? ?; ?V= D 2 ?? ? ?     ? ? ? ? ? ? ? ?Vm ? ?    Vm ?

(12-57) 12-57)

(n-1) (n-1) 其元素为Hij = H是 (n-1 × (n-1 方阵, 方阵, 阶矩阵, 其元素为 Nij = V j 阶矩阵,
??Pi ?V j

??Pi ?δ j

N是 ; 是 (n ? 1) × m N
??Qi ?δ j

K是 阶矩阵, ; 是 m × (n ? 1) 阶矩阵, K 其元素为 Kij =



阶方阵, L是 m × m 阶方阵,其元素 Lij = V j

??Qi ?V j



在这里把节点不平衡功率对节点电压幅值的偏导数都乘以该节点 电压,相应的把节点电压的修正量都除以该节点的电压幅值,这样, 电压,相应的把节点电压的修正量都除以该节点的电压幅值,这样, 雅可比矩阵元素的表达式就具有比较整齐的形式。 雅可比矩阵元素的表达式就具有比较整齐的形式。 对式(12-54)和式(12- 求偏导数, 对式(12-54)和式(12-55)求偏导数,可以得到雅 可比矩阵元素的表达式如下: 可比矩阵元素的表达式如下: 当 i ≠ j 时,
Hij = ?VV j (Gij sin δ ij ? Bij cos δ ij ), ? i ? N ij = ?VV j (Gij cos δ ij + Bij sin δ ij ), i ? ? K ij = VV j (Gij cos δ ij + Bij sin δ ij ),? i ? Lij = ?VV j (Gij sin δ ij ? Bij cos δ ij )。 i ?

(12-58) 12-58)

当 i = j 时,
Hii = Vi 2 Bii + Qi , ? ? N ii = ?Vi 2Gii ? Pi , ? ? K ii = Vi 2Gii ? Pi , ? Lii = Vi 2 Bii ? Qi . ? ?

(12-59) 12-59)

计算的步骤和程序框图与直角坐标形式的相似。 计算的步骤和程序框图与直角坐标形式的相似。


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