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2015年汕头市普通高考第一次模拟考试试题文数


文数参考答案 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 D 6 C 7 B 8 B 9 D 10 B

二. 填空题(本大题共做 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 2;12. -5;13. [2,10] ;14. 4 3 ;15. 2 3

三. 解答题:本大题共 6 题,满分 80 分. 16. 解: (1) f ( ) ? 3sin ? ? 2?
12 ?

?

?
12

?

??

? 3 3 …………………4 分 ? ? 3sin ? 6? 3 2
2

4 ?? 3 ?4? 2 (2)? sin ? ? , ? ? ? ? 0, ?,? cos? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? …6 分 5 5 ? 2? ?5?

? ? 5? ? 5? ? ? ?? f? ? ? ? ? 3 sin ?2? ? ? ? ? ? ? 3 sin ?? ? 2? ? ? 3sin2θ ? 12 ? ? 6? ? ? 12 4 3 72 ? 6 sin ? cos? ? 6 ? ? ? 5 5 25

………………12 分 17. 解: (1)1-0. 01×10×3-0. 02×10×2=0. 3………………………1 分

………………………3 分 (2) 20 ? 0.1 ? 30 ? 0.2 ? 40 ? 0.3 ? 50 ? 0.2 ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.1 ? 43 (百元)…………5 分

即这 50 人的平均月收入估计为 4300 元。………………………………6 分 (3)[65,75]的人数为 5 人,其中 2 人赞成,3 人不赞成。……………7 分 记赞成的人为 a , b ,不赞成的人为 x, y, z ……………8 分 任取 2 人的情况分别是:ab, ax, ay, az, bx, by, bz, xy, xz, yz, 共 10 种情况。…………9 分 其中 2 人都不赞成的是: xy , xz , yz , 共 3 种情况。…………11 分
? 2 人都不赞成的概率是: p ?
3 …………12 分 10 18. (1)证明:? 四边形 ABCD 为菱形

F

? BD ? AC ,………………1



E H D G A
第 18 题 图

又? 面 ACFE ? 面 ABCD = AC
? BD ? 平面ABCD ………………2 分

面 ABCD ? 面 ACFE C………………3 分
? BD ? 面ACFE ,………………4 分 ? CH ? 面ACFE ………………5 分
? BD ? CH ………………………………6

C

B



(2)在 ?FCG 中, CG ? CF ? 3, CH ? 所以 ?GCF ? 120 ? ,………………6 分
GF ? 3 ………………8 分

3 , CH ? GF 2

? BD ? 面ACFE , GF ? 面ACFE
? BD ? GF

,………………9 分

S ?BDF ?

1 1 BD ? GF ? ? 2 ? 3 ? 3 …………………………………. 10 分 2 2

又? CH ? BD , CH ? GF ,? BD ? GF ? G ,
? BD, GF ? 平面BDF
?CH ? 平面BDF .

. . . . . . . . . . . . 12 分

1 1 3 3 VF ? BDC ? VC ? BDF ? ? S ?BDF ? CH ? ? 3 ? ? ……………………………14 分 3 3 2 2

注:另两种求体积方法 19.
? an ? Sn ? 2n ? 1
得2a1 ? 3,
a1 ? 3 , 2

令n ? 1, (1)

………………………1 分

? an ? Sn ? 2n ? 1

? an?1 ? Sn?1 ? 2?n ? 1? ? 1, ?n ? 2, n ? N ??

两式相减,得 2an ? an?1 ? 2 ,整理 an ? an?1 ? 1 ………………………………3 分
1 (an?1 ? 2), ?n ? 2? ………………………………………………………5 分 2 1 1 ?数列?an ? 2? 是首项为 a1 ? 2 ? ? ,公比为 的等比数列………………6 分 2 2 an ? 2 ?

1 2

1 ?1? ? an ? 2 ? ?? ? ,? an ? 2 ? n ………………………………………………… 7 分 2 ?2?

n

(2)?

1 ? n 2 an an?1

1 2 n?1 1 1 ? ? n?1 ? n? 2 . . 10 分 n ?1 n? 2 n?1 n? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 n 2 2 ? ? n?1 2n 2

?

??

?

1 1 1 ? 2 ??? n 2a1a2 2 a2 a3 2 an an?1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ?? 2 ? 3 ? 4 ? n? 2 ??? 3 ? ? ? ? ? n?1 ? …………… 12 分 ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? 1 1 1 ? ? n? 2 ? 3 2 ?1 3

…………………………………………………………………… 14 分 20. 解: (1)设 F1 ?? c,0?, F2 ?c,0?
? c 2 ? ? 则? ,解得 a ? 2, c ? 1 ………………………………3 分 a 2 ? 2a ? 2c ? 2 2 ? 1 ?

?

?

∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1,
x2 ∴椭圆 E: ? y 2 ? 1…………………………………………………………4 分 2

(2)由

x2 + y 2 =1 2
y ? kx ? m

? (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2(m2 ?1) ? 0 ………………………………………………6 分

设直线 l 与椭圆 E 相切于点 P ( x0 , y0 ) 则 ? ? 0, 化简? 2k 2 ? 1 ? m2 ………………………………………………………7 分 焦点 F1 , F2 到直线 l 的距离 d1 , d 2 分别为
d1 ? ?k ? m k 2 ?1

, d2 ?

k ?m k 2 ?1

,………………………………………………………8 分

则 d1 d2 ?

m2 ? k 2 k 2 ? 1 ? ? 1 ………………………………………………………9 分 k 2 ?1 k 2 ?1
2km 2k ?? 2 1 ? 2k m

(3) x0 ? ?

2k 1 2k m 2 ? 2k 2 1 ? ,∴ P ( ? , ) ……………………10 分 ∴ y0 ? kx0 ? m =- ? m ? m m m m m

又联立 y ? kx ? m 与 x ? 2 ,得到 N (2, 2k ? m) …………………11 分
? 2k 1 ? PF2 ? ?1 ? ,? ? , F2 N ? ?1,2k ? m? m m? ?
1? ? 2k ?F2 ? F2 ? ? ?1 ? , ? ? ? ?1, 2k ? m ? m m? ? 2k 1 ? 1? ? ? 2k ? m ? m m 2k 2k ? 1? ? ?1 ? 0 m m

……………………………………………………………13 分 ∴ PF2 ? F2 N ∴以 PN 为直径的圆恒过点 F2 ………………………………………14 分 注:用椭圆切线容易计算 21. 解: (1)f′(x)= ax2 ? 4?a ? 1? (*)………………………………1 分 当 a≥1 时,f′(x)>0,此时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.…3 分

当 0<a<1 时,由 f′(x)=0 得 x1=2 1-a? ? x2=-2 a ? ?
? 1-a ? 舍去?…………………………………4 分 a ?

当 x∈(0,x1)时,f′(x)<0; 当 x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在区间(0,x1)上单调递减, 在区间(x1,+∞)上单调递增. ……………………………………5 分 综上所述, 当 a≥1 时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; 当 0<a<1 时,f(x)在区间(0, 2
a
(1 ? a)a a

)上单调递减,

在区间( 2 (1 ? a)a ,+ ? )上单调递增. ………………………………6 分 (2)由(*)式知,当 a≥1 时,f′(x)≥0,此时 f(x)不存在极值点, 因而要使得 f(x)有两个极值点,必有 0<a<1. …………………………7 分 又 f(x)的极值点只可能是 x1=2 1-a 和 x2=-2 a 1-a , a

1 且由 f(x)的定义可知,x>- 且 x≠-2, a 所以-2 1-a 1 >- ,-2 a a 1-a 1 1 ≠-2 ?a? (0, ) ( ,1)…………8 分 a 2 2

此时,由(*)式易知,x1,x2 分别是 f(x)的极小值点和极大值点. 2x1 2x2 而 g(x1)+g(x2)=ln(1+ax1)- +ln(1+ax2)- x1+2 x2+2 4x1x2+4(x1+x2) =ln[1+a(x1+x2)+a2x1x2]- x1x2+2(x1+x2)+4 4(a-1) =ln(2a-1)2- 2a-1 2 =ln(2a-1)2+ -2. …………9 分 2a-1

1 令 2a-1=x. 由 0<a<1 且 a≠ 知, 2 1 1 当 0<a< 时,-1<x<0;当 <a<1 时,0<x<1. ………………10 分 2 2 2 记 h(x)=lnx2+ -2. x 2 (1)当-1<x<0 时,h(x)=2ln(-x)+ -2, x
设t ? ? x ? ?0,1?, h? x ? ? ? ?t ? ? 2 ln t ? 2 2 ? ? 0,? ? ?t ?单调递增 t t2 ? ?t ? ? ? ?1? ? ?4 ? 0 2 ? 2, t

? ??t ? ?

从而 h(x)<-4<0. 1 故当 0<a< 时,g(x1)+g(x2)<0. 2 不合题意,舍去………………………………………………12 分 2 (2)当 0<x<1 时,h(x)=2lnx+ -2, x 2 2 2x-2 所以 h′(x)= - 2= 2 <0, x x x 因此,h(x)在区间(0,1)上单调递减, 1 从而 h(x)>g(1)=0. 故当 <a<1 时,g(x1)+g(x2)>0.………13 分 2
?1 ? 综上所述,满足条件的 a 的取值范围为? ,1?. …………………14 分 ?2 ?


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