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2012年广西高二数学竞赛初赛题(正稿)参考答案及评分标准


2012 年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
1. 设集合 A ? { x || x ? a |? 1, x ? R }, B ? { x | 6 x ? 5 ? x 2 , x ? R } , A ? B ? ? , 若 则实数 a 的取值范围是 ( (A) { a | 0 ? a ? 6} (B) { a

| a ? 2 或 a ? 4} (C) { a | a ? 0 或 a ? 6} (D) { a | 2 ? a ? 4} )

答案:C。解析:由 A ? { x || x ? a |? 1, x ? R } , B ? { x | 6 x ? 5 ? x 2 , x ? R } 得 A ? { x | a ? 1 ? x ? a ? 1, x ? R } ,
B ? { x | 1 ? x ? 5 , x ? R } ,又 A ? B ? ? ,所以有 a ? 1 ? 1 或 a ? 1 ? 5 ,即 { a | a ? 0 或 a ? 6} 。

2.若三点 A (1,1), B ( 2 , ? 4 ), C ( x , ? 9 ) 共线,则 x ? ( (A)2 (B)-2 (C)-3 (D)3



答案:D。解析:由 AB ? ? BC ,得 (1, ? 5 ) ? ? ( x ? 2 , ? 5 ) ,解得 ? ? 1, x ? 3 。

3.不等式

2 | x ?1| | x ? 1 | ?2

? 1 的解集为(

) (D) ( 2 , 4 )

(A) (? 1,3 )

(B) ( ? 2 , 2 )
2 | x ?1| | x ? 1 | ?2

(C) ( ? 3 ,1)

答案:A。解析:由

? 1 得 | x ? 1 | ? 2 ? 2 | x ? 1 |? | x ? 1 |? 2 ? ? 1 ? x ? 3 。

4.已知函数 f ( x ) ? lg x 和 g ( x ) ? cos x ,则满足 f ( x ) ? g ( x) 的实数 x 的个数为( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4



答案:C。解析:作出函数 f ( x ) ? lg x 和 g ( x ) ? cos x 可以看出有 3 个交点。 5.等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 Sn,且 6 S 5 ? 5 S 3 ? 5 ,则 a 4 =( (A)1 (B)2 (C)
1 3



(D)

1 2

答:C。 解析: 6 S 5 ? 5 S 3 ? 5( a 4 ? a 5 ) ?

5( a 1 ? a 5 ) 2 1 3
3

? 5, 2 a 4 ? 3 a 5 ? a 1 ? 2 ,

2 a 4 ? 3( a 4 ? d ) ? a 4 ? 3 d ? 2, 6 a 4 ? 2, a 4 =
2


2

6.设 x1 , x 2 是方程 x ? x ? 4 ? 0 的两实数根,则 x1 ? 5 x 2 ? 1 0 ? ( ) (A) ? 29 (B) ? 19
2

(C) ? 15

(D) ? 9

解:B. 由 x1 , x 2 是方程 x ? x ? 4 ? 0 的两实数根得,
x1 ? x1 ? x1 ? x1 (4 ? x1 ) ? 4 x1 ? x1 ? 4 x1 ? x1 ? 4 ? 5 x1 ? 4,
3 2 2

? 5 x 2 ? ? 5(4 ? x 2 ) ? ? 20 ? 5 x 2 ,
2

则 x1 ? 5 x 2 ? 1 0 ? 5( x1 ? x 2 ) ? 1 0 ? 2 4 ? ? 5 ? 1 0 ? 2 4 ? ? 1 9 .
3 2

1

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
1、 f ( x ) ? lo g a ( x ? b ) ( a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2, , 设 1) 它的反函数的图象经过点 (2, , a ? b 等 8) 则
于________.

解:由题设知 ?

? lo g a ( 2 ? b ) ? 1, ? lo g a (8 ? b ) ? 2,

化简得 ?

? ( 2 ? b ) ? a, ? (8 ? b ) ? a .
2

解之得 ?

? a 1 ? 3, ? b1 ? 1;

? a 2 ? ? 2, (舍去),故 a ? b ? ? b2 ? ? 4 .

等于 4.


* 2.在数列 { a n } 中,设 a1 ? 2013 , a 2 ? 2012 , a n ? 2 ? a n ?1 ? a n , n ? N ,则 a 2013 ?

答案:-1。解析:由条件得数列 { a n } 是以周期为 6 的数列,故 a 2013 ? a 3 ? ? 1 。
2 3.设函数 g ( x ) ? x ? 2( x ? R ) , f ( x ) ? ?

? g (x) ? x ? 4 , x ? g ( x) ? g (x) ? x , x ? g ( x)

,则 f ( x ) 的值域为



答案: ? ?
?

?

9

? x ? x ? 2 , x ? ? 1, x ? 2 ? 2 , , 0 ? ? ( 2, ? ? ) 。解析:由 x ? x ? 2 解得 x ? ? 1, x ? 2 ,即有 f ( x ) ? ? 2 4 ? ? x ? x ? 2 ,? 1 ? x ? 2
2

作出图象可得。 4.若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围为 答案: (5,7) 。解析:由|3x-b|<4 得
b?4 3 ? x? b?4 3
b?4 ? ?0 ? 3 ? 1 ,由 ? 解得 b ? ( 5 , 7 ) 。 b?4 ?3 ? ? 4 3 ?

.

5 .若 S ? A B C ?

1 4

b tan B , 其 中 b 是 ? B的 对 边 , 则
2

co t B co tA ? co t C

?

.

.解

1 2

.由 S ? A B C ?

1 4

b tan B ?
2

1 2

a b sin C ?

1 4

b tan B co t B co tA ? co t C
1 3

2

? 2 co t B ?

sin ( A ? C ) sin A ? sin C
1 n ?1 ? 1 n?2

? co t A ? co t C ?
1 2n ? 1

?

1 2

.

6 使不等式 ______. 解:令 a n ?

?? ?

? a ? 2012

对一切正整数 n 都成立的最小正整数 a 的值是

1

n ?1 n ? 2 2n ? 1 1 a 1 ? a ? 2 0 1 2 ,求得最小正整数 a =2014. 3

?

1

?? ?

1

,则数列 { a n } 是递减的,所以所求最小正整数 a 应满足:

2

三、 (20 分)解方程组: ?

? 2 xy ? 5 ?x ? y
2 2

xy ? 1 ? 10 ? 34

(1) (2)

解一:由(1)变形得: 2 ( xy ? 1) ? 5 xy ? 1 ? 12 ? 0 解得: xy ? 1 ? 4 ,即 xy ? 15 ? ( 15 ) 2 ,即 x , 15 , y 成等比数列。
15 q

………………5 分 ………………10 分

所以可设 x ? 15 q , y ?
15 3

,代入<2>整理得: 15 q 4 ? 34 q 2 ? 15 ? 0 ,

即q ? ? 所以 ?

或q ? ?

15 5

………………15 分

? x1 ? 5 ? x 2 ? 3 ? x 3 ? ? 3 ? x 4 ? ? 5 ,? ,? ,? , ? y1 ? 3 ? y 2 ? 5 ? y 3 ? ? 5 ? y 4 ? ? 3

经检验,上述四个解都是原方程组的解。 解二:由(1)变形得: 4 ? xy ? ? 6 5 xy ? 7 5 ? 0
2

………………20 分 ………………5 分
2 2

解得: xy ? 15 或者 xy ?
2 2
2

5 4

(因为 2 xy ? 1 0 , 舍去),于是 x y ? 2 2 5 。

………………10 分

所以 x , y 是方程: r ? 34 r ? 225 ? 0 的两个根。 解得 r ? 2 5 或 r ? 9 所以 ?
? x1 ? 5 ? x 2 ? 3 ? x 3 ? ? 3 ? x 4 ? ? 5 ,? ,? ,? , ? y1 ? 3 ? y 2 ? 5 ? y 3 ? ? 5 ? y 4 ? ? 3

………………15 分

经检验,上述四个解都是原方程组的解。

………………20 分

四、 (20 分)设Δ ABC 三边 BC、AC、AB 的中点分别为 D、E、F,边 BC 上的高为 AH,求证:∠EDF =∠EHF。 证明:由已知有 ED//AB,FD//AC,即 AFDE 是平行四边形, ∴ ∠EDF=∠BAC, ………………5 分 因 E 是直角三角形 AHC 斜边的中点, 故 EH=EA,∴ ∠1=∠2, ………………10 分 同理 ∠3=∠4, ………………15 分 ∴ ∠EHF=∠1+∠3=∠2+∠4=∠BAC, 所以 ∠EDF=∠EHF。
F A
4 2

E

3

1

………………20 分

B

D

H

C

五、 (20 分)
已知数列 ? a n ? 的通项公式 a n ? lo g 2 然数 n 的最小值.
3

n ?1 n?2

( n ? N ), 设 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,求使 S n ? ? 5 成立的自
?

解:
S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? lo g 2 2 3 ? lo g 2 3 4 ? ? ? lo g 2 n ?1 n?2 ? lo g 2 2 n?2

,………………5 分

故 lo g 2

2 n?2

? ?5 ,
6

………………10 分 ………………15 分 ………………20 分

所以 n ? 2 ? 2 ? n ? 62 , 又? n ? N ? n 有最小值 63.
?

4


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