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平面向量 完全复习 与经典例题


精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 授课 类型 授课日 期时段 年 级:高 一 辅导科目:数 学 课 时 数:3 课时 学科教师:

C (专题方法主题)------平面向量
2014 年 5 月 11 日 教学内容

【知识梳理】
一、平面向量的概念 1.
2. 向量的概念:我们把具有

大小和方向的量称为向量. 向量的表示: ①几何表示法:用有向线段表示向量,有向线段的方向表示向量的方向,线段的长度表示 向量的长度. ②字母表示法: AB ,注意起点在前,终点在后. 3. 4. 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量,或相等向量. 向量共线或平行:通过有向线段 AB 的直线,叫做向量 AB 的基线. 如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或平行.向量 a 平 行于向量 b ,记作 a ∥ b . 说明:共线向量的方向相同或相反, 注意:这里说向量平行,包含向量基线重合的情形,与两条直线平行的概念有点不同. 5. 零向量:长度等于零的向量,叫做零向量.记作: 0 . 零向量的方向不确定,零向量与任意向量平行. 6. 单位向量: 给定一个非零向量 a , 与 a 同方向且长度等于 1 的向量, 叫做向量 a 的单位向量.
A B

如果 a 的单位向量记作 a0 ,由数乘向量的定义可知 a ? a a0 或 a0 ? 7.

a a



用向量表示点的位置:任给一定点 O 和向量 a ,过点 O 作有向线段 OA ? a ,则点 A 相对于 点 O 位置被向量 a 所唯一确定,这时向量 OA 又常叫做点 A 相对于点 O 的位置向量.

二、向量的线性运算
1. 向量的加法:
D a a+b a b B C

b a+b a
C c

b
b

b A

a

a

a+b+c O a+b a

b+c

B A b

(1)向量加法的三角形法则: 已知向量 a, b ,在平面上任取一点 A ,作 AB ? a , BC ? b ,再作向量 AC ,则向量 AC 叫做
a 和 b 的和(或和向量) ,记作 a ? b ,即 a ? b ? AB ? BC ? AC .

(2)向量求和的平行四边形法则: ① 已知两个不共线的向量 a , b ,作 AB ? a , AD ? b ,则 A , B , D 三点不共线,以 AB ,
AD 为邻边作平行四边形 ABCD ,则对角线上的向量 AC ? a ? b ,这个法则叫做向量求和

的平行四边 形法则. ② 向量的运算性质: 向量加法的交换律: a ? b ? b ? a 向量加法的结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 关于 0 : a ? 0 ? 0 ? a ? a (3)向量求和的多边形法则: 已知 n 个向量,依次把这 n 个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第 n 个向量的终点 为终点的向量叫做这 n 个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.

2. 向量的减法:
d

d c
B a-b b O a A

a

b

c

a+b+c+d a

b

(1)相反向量:与向量 a 方向相反且等长的向量叫做 a 的相反向量,记作 ?a . 零向量的相反向量仍是零向量. (2)差向量定义:如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始 点,被减向量的终点为终点的向量. 推论: 一个向量 BA 等于它的终点相对于点 O 的位置向量 OA 减去它的始点相对于点 O 的位置 向量 OB ,或简记“终点向量减始点向量”. (3)一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量 3. 向量的数乘 数乘向量:实数 ? 和向量 a 的乘积是一个向量,记作 ? a ,且 ? a 的长 ? a ? ? a 4. 向量共线的条件: 如果 a ? ? b ,则 a ∥ b ;反之, 如果 a ∥ b ,且 b ? 0 ,则一定存在唯一的一个实数 ? ,使 a ? ? b .

二 、平面向量的基本定理
(1)平面向量基本定理:如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一 向量 a ,存在唯一的一对实数 a1 , a 2 ,使 a ? a1 e1 ? a2 e2 . ( 2 )基底:我们把不共线向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记作

?e , e ? . a e ? a e
1 2
1 1

2 2

叫做向量 a 关于基底 e1 , e2 的分解式.

? ?

注:①定理中 e1 , e2 是两个不共线向量; ② a 是平面内的任一向量,且实数对 a1 , a 2 是惟一的; ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底. (3)证明 A , B , P 三点共线或点在线上的方法:

已知 A 、 B 是直线 l 上的任意两点, O 是 l 外一点,则对直线 l 上任意一点 P ,存在实数 t , 使 OP 关于基底 OA, OB 的分解式为 OP ? (1 ? t )OA ? tOB 一定在 l 上. 证明:设点 P 在直线 l 上,则由平行向量定理知,存在实数
l

?

?

……①,并且满足①式的点 P

t ,使 AP ? t AB ? t (OB ? OA) ,
∴ OP ? OA ? AP ? OA ? tOB ? tOA ? (1 ? t )OA ? tOB 设点 P 满足等式 OP ? (1 ? t )OA ? tOB ,则 AP ? t AB ,即 P 在 l 上.

P

B M A O

其中①式可称为直线 l 的向量参数方程式

1 (4)向量 AB 的中点的向量表达式:点 M 是 AB 的中点,则 OM ? (OA ? OB) . 2 1 可推广到 ?OAB 中,若 M 为边 AB 中点,则有 OM ? (OA ? OB) 存在. 2

三、向量的正交分解与向量的直角坐标运算:
(1)向量的直角坐标:如果基底的两个基向量 e1 , e2 互相垂直,则称这个基底为正交基底.在 正交基底下分解向量,叫做正交分解. (2)向量的坐标表示:在直角坐标系中,一点 A 的位置被点 A 的位置向量 OA 所唯一确定.设 点 A 的坐标为 ( x, y ) ,由平面向量基本定理,有 OA ? xe1 ? ye2 ? ( x , y) ,即点 A 的位置向量
OA 的坐标 ( x , y ) ,也就是点 A 的坐标;反之,点 A 的坐标也是点 A 相对于坐标原点的位置

向量 OA 的坐标.
y a
a y

e2 O e 1

a x

e2 O e1 x

(3)向量的直角坐标运算: 设 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,则 ① a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) ;② a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) ;③ ? a ? ? (a1 , a2 ) ? (? a1 , ? a2 ) 注:① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差; ② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.

(4)若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则向量 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ;即:一个向量的坐标等于向 量的终点的坐标减去始点的坐标. (5)用平面向量坐标表示向量共线条件: 设 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,则 a1b2 ? a2b1 ? 0 就是两个向量平行的条件. 若向量 b 不平行于坐标轴,即 b1 ? 0 , b2 ? 0 ,则两个向量平行的条件是,相应坐标成比例.

三、平面向量的数量积和应用
1. 两个向量的夹角:已知两个非零向量 a , b ,作 OA ? a , OB ? b ,则 ?AOB 称作向量 a 和 向量 b 的夹角,记作 ? a , b ? , 并 规 定 0 ≤ ? a , b ? ≤? , 在 这个 规 定下, 两 个 向量 的夹 角 被唯一 确 定 了, 并且 有

? a , b ??? b , a ? .
当 ? a , b ?? 2.

π 时,我们说向量 a 和向量 b 互相垂直,记作 a ? b . 2

向量的数量积(内积)定义 ,记作 a ? b ,即 a ? b ? a b cos ? a , b ? a b cos ? a, b ? 叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积)

3.

向量内积的性质 ① e 是单位向量,则 a ? e ? e ? a ? a cos ? a , e ? ; ② a ⊥ b ? a ? b ? 0 ,且 a ? b ? 0 ? a ⊥ b ; ③ a ? a ? a ,即 a ? a ? a ; ④ cos ? a , b ??
2

a?b a b



⑤ a?b ≤ a b . 4. 向量数量积的运算律 ①交换律: a ? b ? b ? a ; ? (a ? b) ? (? a) ? b ? a ? (?b) . ②分配律: (a ? b)c ? a ? c ? b ? c 5. 向量数量积的坐标运算与度量公式 ①向量内积的坐标运算: 建立正交基: e1 , e2 , 已知 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) , a ? b ? a1b1 ? a2b2 ②用向量的坐标表示两个向量垂直的条件: a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? 0

?

?

③向量的长度公式: 已知 a ? (a1 , a2 ) ,则 a ? a12 ? a2 2 ,即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根. ④两点间的距离公式: 如果 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 . ⑤两个向量夹角余弦的坐标表达式: cos ? a ? b ??
a1b1 ? a2b2 a ? a2 2 b12 ? b2 2
2 1

【典例解析】
1. 向量及与向量相关的基本概念
【例1】 判断下列命题是否正确,并说明理由: (1)共线向量一定在同一条直线上. (2)所有的单位向量都相等. (3)向量 a 与b 共线, b 与c 共线,则 a 与c 共线. (4)向量 a 与b 共线,则 a / / b
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

(5)向量 AB/ / CD ,则 AB / / CD .

(6)平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量. (

【例2】 设 a0 为单位向量, ①若 a 为平面内的某个向量, 则 a ? a ? a0 ; ②若 a 与 a0 平行, 则 a ? a ? a0 ; ③若 a 与 a0 平行且 a ? 1 ,则 a ? a0 .上述命题中,假命题个数是( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 )

【例3】 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上; ②单位向量都相等; ③任一向量与它的相反向量不相等;

④四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 AB ? DC ⑤模为 0 是一个向量方向不确定的充要条件; ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.

【例4】 平面向量 a , b 共线的充要条件是( A. a , b 方向相同 C. ? ? ? R , b ? ? a



B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 D.存在不全为零的实数 ?1 , ? 2 , ?1 a ? ?2 b ? 0

2.

向量的加、减法

【例5】 若 3m ? 2n ? a , m ? 3n ? b ,其中 a , b 是已知向量,求 m , n .

【例6】 设 P 是 △ ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0 C. PB ? PC ? 0 B. PC ? PA ? 0 D. PA ? PB ? PC ? 0



【例7】 已知 O ,A ,B 是平面上的三个点, 直线 AB 上有一点 C , 满足 2 AC ? CB ? 0 , 则 OC ? ( A. 2OA ? OB B. ?OA ? 2OB

)

2 1 C. OA ? OB 3 3

1 2 D. ? OA ? OB 3 3

【例8】 设 D , E , F ,分别是 ?ABC 的三边 BC 、 CA 、 AB 上的点,且
DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC (



A.反向平行 C.互相垂直

B.同向平行 D.既不平行也不垂直

3.

向量数乘运算及其几何意义

【例9】 设 a , b , c 为非零向量,其中任意两个向量不共线,已知 a ? b 与 c 共线,且 b ? c 与 a 共 线,则 b ? a ? c ? .

【例10】 已知 a, b 是不共线的向量, AB ? 2a ? 5b , BC ? ?a ? 8b , CD ? 3(a ? b) ,则 A、B、C、D 四 点中共线的三点是___________

【例11】 设 a, b 是不共线的两个向量,已知 AB ? 2ka ? (k 2 ? 2)b , BC ? a ? b , CD ? a ? 2b ,若
A、 B、 D 三点共线,求 k 的值.

【例12】 已知 A、B、C、P 为平面内四点,求证:A、B、C 三点在一条直线上的充要条件是存在一 对实数 m 、 n ,使 PC ? mPA ? nPB ,且 m ? n ? 1 .

【例13】 已知: AB ? 3(e1 ? e2 ), A.A,B,C 三点共线 C.C,A,D 三点共线

BC ? e1 ? e2 ,

CD ? 2e1 ? e2 ,则下列关系一定成立的是(
B.A,B,D 三点共线 D.B,C,D 三点共线



【例14】 如图,在 ? ABC 中, AD 、 BE 、 CF 分别是 BC 、 CA 、 AB 上的中线,它们交于点 G ,

则下列各等式中不正确的是(


A F G E C

B

D

A. BG ?

2 BE 3

B. CG ? 2GF

C. DG ?

1 AG 2

1 2 1 D. DA ? FC ? BC 3 3 2

4.

平面向量的基本定理
)

【例1】 若已知 e1 、 e2 是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( A. e1 与 ?e2 B.3 e1 与 2 e2 C. e1 + e2 与 e1 — e2 D. e1 与 2 e1

【例2】 在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? (



2 1 A. b ? c 3 3

5 2 B. c ? b 3 3
A

2 1 C. b ? c 3 3

1 2 D. b ? c 3 3

B

D

C

【例3】 如图,平行四边形 ABCD 中, E、 F 分别是 BC、DC 的中点, G 为 DE、BF 的交点 , 若
AB = a , AD = b ,试以 a , b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG .
D F C G E B

A

【例4】 已知向量 a , b 不共线, c ? ka ? b ? k ? R ? , d ? a ? b ,如果 c ∥ d ,那么(



A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向

B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向

【例5】 已知向量 a , b 不共线, m, n 为实数,则当 ma ? nb ? 0 时,有 m ? n ?



【例6】 在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点. 若 AC ? ? AE ? ? AF , 其中 ? ,

? ? R ,则 ? ? ? ?


A E B F C D

【例7】 如图,在 △ ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB , AC 于不同的两 点 M,N ,若 AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m ? n 的值为
A



N B O C

M

5.

平面向量的坐标表示与运算


【例8】 设向量 AB ? (2 , 3) ,且点 A 的坐标为 (1 , 2) ,则点 B 的坐标为

【例9】 若 a ? (2 , 1) , b ? (?3 , 4) 则 3a ? 4b 的坐标为_________.

【例10】 已知 a ? ( x ? 2 , 3) , b ? (1, y ? 2) ,若 a ? b ,则 x ? 【例11】 若 M ? 3 , ? 2? , N ? ?5 , ? 1? 且 MP ?

,y?



1 MN , 求 P 点的坐标; 2

【例12】 已知两个向量 a ? ?1, 2? , b ? ? x, 1? ,若 a ∥ b ,则 x 的值等于(



A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?2

D. 2


【例13】 已知向量 a ? ?1, 0 ? , b ? ? 0 , 1? , c ? ka ? b ? k ? R ? , d ? a ? b ,如果 c // d 那么( A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向

【例14】 已知向量 a ? ?1, 1? , b ? ? 2,x ? 若 a ? b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是( A. ?2 B.0 C .1 D.2



【例15】 在平面直角坐标系 xoy 中,四边形 ABCD 的边 AB ∥ DC , AD ∥ BC , 已知点 A ? ?2 , 0 ? ,
B ? 6 , 8? , C ?8 , 6? ,则 D 点的坐标为___________.

【例16】 已知向量 a ? ? 3 , 1? , b ? ?1, 3? , c ? ? k , 7? ,若 a ? c ∥ b ,则 k =

?

?



【例17】 在直角坐标系 xOy 中,已知 A(?3, ?13) , B(0, 2) , C (2,12) ,求证: A 、 B 、 C 三点共线.

【例18】 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3 , 2) ,当实数 k 取何值时, k a +2 b 与 2 a -4 b 平行?

【例19】 点 A(2 , 3) 、 B(5 , 4) 、 C (7 , 10) ,若 AP ? AB ? ? AC (? ? R) ,试求 ? 为何值时,点 P 在一、

三象限角平分线上.

【例20】 如图,已知 A(?3, ?3) , B(1,5) ,求线段 AB 的其中一个四等分点 P 的坐标.
y B

P A

O

x

6.

数量积的运算

【例21】 已知向量 a ? (1 , 1) , b ? (2 , n) ,若 | a ? b |? a ? b ,则 n ? ( ) A. ? 3 B. ? 1 C. 1 D. 3

【例22】 已知 a ? 7 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ,求 (a ? 3b)(a ? 5b) ;

【例23】 已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 4 ,那么 b ? (2a ? b) 的值为



【例24】 若 a 、 b 、 c 为任意向量, m ? R ,则下列等式不一定 成立的是( ... A. (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) C. m(a ? b) ? ma ? mb B. (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c D. (a ? b) ? c ? (b ? c)a



【例25】 设 a , b, c 是单位向量,且 a ? b ? 0 ,则 (a ? c ) ? (b ? c ) 的最小值为( A. ?2 B. 2 2 ? 2 C. ?1 D. 1 ? 2



【例26】 设 a , b , c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:

①(a ? b)c ? (c ? a)b ? 0 ③(b ? c)a ? (c ? a)b 不与 c 垂直 真命题是( A.① ② ) B.② ③

②a ? b ? a ? b ④(3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 a ? 4 b 中, C.③ ④ D.② ④
) D.2
2 2

【例27】 若向量 a , b 满足 a ? b ? 1, a 与 b 的夹角为 60? ,则 a ? a ? a ? b ? ( A.

1 2

B.

3 2

C. 1 ?

3 2

2) 、 B(3 , 7) ,若 E、 F 为线段 BC 的三等分点,则 ? 2) 、 C (9 , 【例28】 直角坐标平面上三点 A(1 ,

AE ? AF ?



7.

向量求模

【例29】 已知 a ? 4 , b ? 3 ,且 a ? b ? 6 . ⑴ 求 a, b 的值;⑵求 a ? b 的值.

【例30】 在 ?ABC 中,已知 AB ? 3 , BC ? 4 , ?ABC ? 60 ,求 AC .

【例31】 已知向量 a ? (1 ,n), b ? (?1,n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ?



【例32】 已知 a ? 2, b ? 1, a 与 b 的夹角为 A.2 B. 2 3

π ,那么 a ? 4b 等于( 3
C.6 D.12



【例33】 设 ?ABC 是边长为 1 的正三角形, 则 CA ? CB =

.

8.

向量夹角和向量垂直


【例34】 a ? 1 , b ? 2 , c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为( A. 30? B. 60? C. 120? D. 150?

【例35】 设非零向量 a = ?x, 2 x ? , b = ?? 3x, 2? ,且 a , b 的夹角为钝角,求 x 的取值范围

【例36】 已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围

?

?

?

?



【例37】 给出命题: ⑴在平行四边形 ABCD 中, AB ? AD ? AC . ⑵在 ?ABC 中,若 AB ? AC ? 0 ,则 ?ABC 是钝角三角形. ⑶ a ? b ? a ? b ,则 a ? b ? 0 以上命题中,正确的命题序号是 .

2) 和 B(4 , ? 1) ,试推断能否在 y 轴上找到一点 C ,使 ?ACB ? 90? ?若能,求 【例38】 已知点 A(1 ,

点 C 的坐标;若不能,说明理由.

9.

向量的应用

【例39】 已知 P ? ?a | a ? (1, 0) ? m(0 , 1) , m ? R? , Q ? b | b ? (1, 1) ? n(?1, 1) , n ? R 是两个向量集 合,则 P A. ?(1, 1)?
Q?(

?

?

) B. ?(?1, 1)? C. ?(1, 0)? D. ?(0 , 1)? )

【例40】 已知向量 a ? (2cos? , 2sin ? ) , ? ? ( , ? ), b ? (0, ?1) ,则向量 a 与 b 的夹角为( 2

?

3? ? ? B. ? ? C. ? ? D. ? ?? 2 2 2 【例41】 已知点 A ? 2 , 0? , B ? 0 , 2? , C ? cos? , sin ? ? ,且 0 ? ? ? π .
A. ⑴若 OA ? OC ? 7 ,求 OB 与 OC 的夹角; ⑵若 AC ? BC ,求 tan? 的值.

【例15】 已知向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1,且 | a ? kb |? 3 | ka ? b | ,其中 k ? 0 .

(1)试用 k 表示 a ? b ,并求出 a ? b 的最大值及此时 a 与 b 的夹角 ? 的值; (2)当 a ? b 取得最大值时,求实数 ? ,使 | a ? ?b | 的值最小,并对这一结果作出几何解 释.

3x 3x ? x x? ? ? ?π ? 【例16】 已知向量 a ? ? cos ,sin ? , b ? ? cos , ? sin ? ,且 x ? ? , π ? . 2 2 2 2 ? ? ? ? ?2 ?

⑴ 求a ?b及 a ? b ; ⑵ 求函数 f ( x) ? a ? b ? a ? b 的最大值,并求使函数取得最大值时 x 的值.

【例17】 已知 O 为坐标原点, OA ? (2cos2 x, 1) , OB ? (1 ,3sin 2 x ? a) ( x ? R , a ? R , a 为常

数),若 y ? OA OB , (1)求 y 关于 x 的函数解析式 f ( x) ; (2)若 x ? ? 0, ? 时, f ( x) 的最大值为 2,求 a 的值,并指出函数 f ( x)( x ? R) 的单调区 间.
? π? ? 2?

? 3? 【例18】 已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、 B(0,3) 、 C (cos ? ,sin ? ),? ? ( , ). 2 2
(1)若 | AC |?| BC | ,求角 ? 的值; (2)若 AC ? BC ? ?1 ,求
2sin 2 ? ? sin 2? 的值。 1 ? tan ?


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