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“激光原理及应用”思考练习题答案


激光原理及应用-思考练习题答案

思考练习题 1
1. 试计算连续功率均为 1W 的两光源,分别发射 ? =0.5000?m,? =3000MHz 的光,每秒 从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少? 答:粒子数分别为: n 1 ?
q h? ? 1 6 . 63 ? 10
? 34

?

c

?

0 . 5 ? 10 6 . 63 ? 10
? 34

?6 8

? 3 ? 10

? 2 . 5138 ? 10

18

?
? 5 . 0277 ? 10
23

n2 ?

q h?

?

1 6 . 63 ? 10
? 34

? 3 ? 10

9

2.热平衡时,原子能级 E2 的数密度为 n2,下能级 E1 的数密度为 n1,设 g 1 ? g 2 ,求:(1) 当原子跃迁时相应频率为? =3000MHz,T=300K 时 n2/n1 为若干。(2)若原子跃迁时发光波 长 ? =1?,n2/n1=0.1 时,则温度 T 为多高? 答: (1)
nm / g m nn / g n
n2 n1 ? e
? h? kT

?e

?

( E m ? E n) kT

则有:

n2 n1

? e

?

h? kT

? exp[ ?

6 . 63 ? 10

? 34

? 3 ? 10 ? 300

9

1 . 38 ? 10

? 23

]?1

(2)

? exp[ ?

6 . 63 ? 10 1 . 38 ? 10
? 23

? 34

? 3 ? 10
?6

8

? 1 ? 10

?T

] ? 0 . 1 ? T ? 6 . 26 ? 10 K
3

3.已知氢原子第一激发态(E2)与基态(E1)之间能量差为 1.64×l0 18J,设火焰(T=2700K)中 含有 1020 个氢原子。设原子按玻尔兹曼分布,且 4g1=g2。求:(1)能级 E2 上的原子数 n2 为 多少?(2)设火焰中每秒发射的光子数为 l08 n2,求光的功率为多少瓦? 答: (1)
n2 ? g1 n1 ? g 2 ? e
? h? kT



?

n2 n1

? 4 ? exp[ ?

1 . 64 ? 10 1 . 38 ? 10
? 23

? 18

? 2700

] ? 3 . 11 ? 10

? 19

且 n 1 ? n 2 ? 10 可求出 n 2 ? 31

20

(2)功率= 10 ? 31 ? 1 . 64 ? 10
8

? 18

? 5 . 084 ? 10

?9

W

4.(1)普通光源发射 ? =0.6000?m 波长时,如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比
q激 q自 = 1 2000

, 求 此 时 单 色 能 量 密 度 ? ? 为 若 干 ? (2) 在 He — Ne 激 光 器 中 若

? ? ? 5 . 0 ? 10

?4

J ? s / m , ? 为 0.6328?m,设 ? =1,求
3

q激 q自

为若干?

17-1

激光原理及应用-思考练习题答案

答: (1)
q激 q自 = c
3 3

8? h ? q激 q自

?? ?

?

3

8? h

?? ?
?

1 2000
3

?

( 0 . 6 ? 10

?6

)

3 ? 34

8 ? ? 6 . 63 ? 10
?6

? ? ? ? ? ? 3 . 857 ? 10

? 17

J ?s/m

3

(2)



c

3 3

8? h ?

?? ?

8? h

?? ?

( 0 . 6328 ? 10

)

3

8 ? ? 6 . 63 ? 10

? 34

? 5 ? 10

?4

? 7 . 6 ? 10

9

5. 在红宝石 Q 调制激光器中, 有可能将全部 Cr3 (铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。 - 设红宝石直径 0.8cm,长 8cm,铬离子浓度为 2×1018cm 3,巨脉冲宽度为 10ns。求:(1) - 输出 0.6943?m 激光的最大能量和脉冲平均功率;(2)如上能级的寿命 ? =10 2s,问自发辐 射功率为多少瓦? 答: (1)最大能量
W ? N ? h? ? ?r ? d ? ? ? h ?
2



c

?
? 10
6

? ? ? 0 . 004

2

? 0 . 08 ? 2 ? 10

18

? 6 . 63 ? 10

? 34

?

3 ? 10

8 ?6

0 . 6943 ? 10

? 2 .3 J

脉冲平均功率=

W t

?

2 . 3 ? 10 10 ? 10
? A 21 t

?6 ?9

? 2 . 30 ? 10 瓦
8

N自 ?

?

?

0

n 20 e

(2)

1? ? dt ? n 20 ? ? 1 ? ? e? ?

1? ? P自 ? N 自 h ? ? ? 2 . 3 ? ? 1 ? ? ? 145 瓦 e? ?

6.试证单色能量密度公式,用波长 ? 来表示应为 ? ? ? 证明:
?? ?
dw dVd ? ? dw dVd ? ? c ? ?? ? c ? 8? h ? e 1
h ? kT

8? h c

1
hc

?

5

e ? kT ? 1

?

2

?

2

?

3

?1 ?

?

c
2

?

8 ? hc

?

5

? e
?1

1
h? kT

?1
?1

7. 试证明,黑体辐射能量密度 ? (? ) 为极大值的频率? m 由关系? m T 求出辐射能量密度为极大值的波长 ? m 与? m 的关系。 答: (1)由 ? ? ?
??? ?? 8? h c
3

? 2 .8 2 kh

给出,并

8? h? c
3

3

1
hv

可得:
?1
3 h? h?

e

kT

?

(

3?
h?

2

??

? ?1

? e kT ?
2

h kT

) ? 0

e kT ? 1

( e kT ? 1)

17-2

激光原理及应用-思考练习题答案

令x ?

h? kT

,则上式可简化为: 3 ( e ? 1) ? xe
x

x

解上面的方程可得: x ? 2 . 82 即:
h? kT
m

? 2 . 82 ? ? m T

?1

? 2 . 82 kh

?1

(2)辐射能量密度为极大值的波长 ? m 与? m 的关系仍为
?
m

? c

?m
1

8.由归一化条化证明(1-65a)式中的比例常数 A ? 证明: f N (? ) ?
A 4 ? (? ? ? 0 ) ? (1 / 2? )
2 2 2

?

,由归一化条件且? 0 是极大的正数可得:

?

? 2

A 4 ? (? ? ? 0 ) ? (1 / 2? )
2 2

0

d? ? 1 ? 2?

? 2

A 4 ? (? ? ? 0 ) ? (1 / 2? )
2 2

?0

d? ? 1 ?

A 2?
2

?

? 2

1
2 ? ? ? (1 4 ?? )

d? ? ? 1 ?

0

A 2?
2

? 4 ?? ? arctg [ 4 ??? ' ]

? 0

?1? A ?

1

?

9.试证明:自发辐射的平均寿命 ? ?

1 A 21

, A2 1 为自发辐射系数。

证明:自发辐射时在上能级上的粒子数按(1-26)式变化:
n 2 ( t )= n 20 e
? A 21 t

自发辐射的平均寿命可定义为
? ?
1 n 20

?

?

0

n 2 ?t ?dt

式中 n 2 ?t ?dt 为 t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔 dt 产生的总时间,因此上述广 义积分为所有原子在激发态能级停留总时间, 再按照激发态能级上原子总数平均, 就得到自 发辐射的平均寿命。将(1-26)式代入积分即可得出
? ?

?

?

e

? A 21 t

dt ?

1 A 21

0

17-3

激光原理及应用-思考练习题答案

10.光的多普勒效应中,若光源相对接收器的速度为 ? ?? c ,证明接收器接收到的频率
? ?
1?? /c 1?? /c

? 0 ,在一级近似下为:? ? ? 0 (1 ?
1?? c 1?? c

?
c

)

证明:? ? 即证

? ? 0 ? (1 ?

?
c

)( 1 ?

?
c

2 2

?

1 2

)

?? 0

1 ? ? ? (1 ? )( 1 ? ? 2 ) ? ? 0 ? (1 ? ) ? ? 0 c 2 c c
2

?

11.静止氖原子的 3S2?2P4 谱线的中心波长为 0.6328?m,设氖原子分别以?0.1c,?0.5c 的
速度向着接收器运动,问接收到的频率各为多少? 答:? ? 0 . 1 c ? ? 0
1?? c 1?? c ? 1 .1 0 .9
14

?

c

?

?

1 .1 0 .9

?

3 ? 10

8 ?6

0 . 6328 ? 10

? 5 . 241 ? 10

14

Hz

同理可求:? ? 0 .1 c ? 4 . 288 ? 10
? ? 0 .5 c ? 8 . 211 ? 10

Hz ; ? 2 . 737 ? 10
14

14

Hz ;?

? 0 .5 c

Hz

12.设氖原子静止时发出 0.6328?m 红光的中心频率为 4.74×1014Hz,室温下氖原子的平均 速率设为 560m/s。求此时接收器接收频率与中心频率相差若干?
? 560 ? ? ? 0 (1 ? ) ? ? 0 (1 ? ) ? (1 ? 1 . 8667 ? 10 8 答: c 3 ? 10
? ? ? 1 . 8667 ? 10
?6 ?6

)?

0

?

? 4 . 74 ? 10

14

? 8 . 848 ? 10 Hz
8

13.(1) 一质地均匀的材料对光的吸收为 0.01mm-1、光通过 10cm 长的该材料后,出射光强 为入射光强的百分之几? (2) —光束通过长度为 1m 的均匀激活的工作物质, 如果出射光强是 入射光强的两倍,试求该物质的增益系数。 答; (1) I ( z ) ? I ( 0 ) e
? Az

?

I (z) I (0)

? e

? 0 . 01 ?100

?

1 e

? 0 . 368

(2) I ( z ) ? I ( 0 ) e

Gz

?

I (z) I (0 )

? e

G ?1

? 2 ? G ? ln 2 ? 0 . 693 m

?1

17-4

激光原理及应用-思考练习题答案

思考练习题 2
1. 利用下列数据,估算红宝石的光增益系数 n2-n1=5?1018cm 3,1/f(?)=2×1011 s 1, t自 发 =A 答:
G (? ) ? ? nB 21 A 21 B 21 ? h ? f (? ) ? 3 c c ? ? G (? ) ? ? n ? A 21 ? 3 3 3 8?? h ? 8?? h ? ? ? 3 ? c ?
18
?1
21

-

-

? 3?10 s,λ=0.6943?m, ? =l.5,g1=g2。

-3

?

3

?

?
c

h ? f (? ) ? ? n ? A 21

?

2 2

8??

? f (? )

G (? ) ? 5 ? 10

?

1 3 ? 10
?3

?

( 0 . 6943 ? 10 8? ? 1 . 5
2

?4

)

2

1 2 ? 10
11

? 0 . 71 cm
-

?1

2. He-Ne 激光器中, 原子数密度 n0=n1+n2=l012 cm 3, Ne 1/f(?)=15×109 s 1, λ=0.6328?m,
t自 发 = A
?1
21

-

? 10

-17

s,g3=3,g2=5, ? 1 ? 1 ,又知 E2、E1 能级数密度之比为 4,求此介质

的增益系数 G 值。 答:
n 0 ? n 1 ? n 2 ? 10
12

cm

?3

E 2 和 E 1能级数密度之比为

11 ? ? g2 14 ? n 1 ? 2 ? 10 11 ? ? ? ?n ? n2 ? n1 ? ? 10 ? 11 g1 3 ? n 2 ? 8 ? 10 4比 1 ? ?

A 21 B 21

?

8 ?? h ?
3

3

c

3

?

8? h ? c
3

3

? B 21 ?

A 21 c 8? h ?

3 3

G (? ) ? ? nB 21

?
c

h ? f (? ) ? ? n

A 21 ? 8?

2

f (? ) ?

14 3

? 10

11

?

10

17

? ( 0 . 6328 ? 10 8?

?6

)

2

1 1 . 5 ? 10
9

? 0 . 72 cm

?1

3. (a)要制作一个腔长 L=60cm 的对称稳定腔,反射镜的曲率半径取值范围如何?(b)稳定 腔的一块反射镜的曲率半径 R1=4L,求另一面镜的曲率半径取值范围。 答: (a) R 1 ? R 2 ? R ; 0 ? (1 ? (b) 0 ? (1 ?
L R1 )( 1 ? L R2

L R

)( 1 ?

L R
3 4

) ? 1 ? R ? 30 cm
L R2

) ?1? 0 ?

? (1 ?

) ? 1 ? R2 ? L或 R2 ? ?3L

4. 稳定谐振腔的两块反射镜,其曲率半径分别为 R1=40cm,R2=100cm,求腔长 L 的取值 范围。 答:
0 ? (1 ? L R1 )( 1 ? L R2 ) ? 1 ? 0 ? (1 ? L 40 )( 1 ? L 100 ) ? 1 ? 0 ? L ? 40 cm 或 100 ? L ? 140 cm

17-5

激光原理及应用-思考练习题答案

5. 试证非均匀增宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式(2-28)。
G D (? ) ? ? n B 21
0 0

?
c

h ? f D (? ) ? G D (? 0 ) ? ? n B 21
0 0

?

证明: f D (? 0 ) ?
0

2 ??
D 0

(

ln 2

?

)

1 2

? h ? 0 f D (? 0 ) ? c ? ?? ? ? ?

G D (? 0 ) ? ? n B 21

2? c? ?
D

h? 0 (

ln2

?

)

1 2

即证。 6. 推导均匀增宽型介质,在光强 I,频率为?的光波作用下,增益系数的表达式(2-19)。
G (? )
0

证明: G (? ) ?
1?

[(? ? ? 0 ) ? (
2

?? 2

) ]G (? )
2 0

I

f (? )

?
2

I s f (? 0 )

(? ? ? 0 ) ? (1 ?

I Is

)(

?? 2

)

2

而:
G (? ) ? ? n B 21
0 0 0 0

?
c c

h ? 0 f (? ) h? 0

G (? 0 ) ? ? n B 21 f (? 0 ) ? 2

?

?? ?

? ? ?? 1 ? 2 2 2 ? (? ? ? 0 ) ? ( ? ? 2 ) f (? ) ? 0 0 0 f (? 0 ) ? ? G (? ) ? G (? 0 ) ? G (? 0 ) f ?? 0 ? 2 (? ? ? ) ? ? ? ?

(

?? 2
2

依据上面两式可得: G (? ) ?

) G (? 0 )
2 0

(? ? ? 0 ) ? (1 ?

I Is

)(

?? 2

;即证。
)
2

7. 设均匀增宽型介质的小讯号增益曲线的宽度为 ? ? ,求证,I=IS 时的稳定工作时讯号增 益曲线的线宽为 2 ? ? ,并说明其物理意义。 证明: (1)
G (? )
0

G (? ) ? 1?

[(? ? ? 0 ) ? (
2

?? 2

) ]G (? )
2 0

( ?

?? 2
2

) G (? 0 )
2 0

I

f (? )

?
2

I s f (? 0 )

(? ? ? 0 ) ? (1 ?

I Is

)(

?? 2

)

2

(? ? ? 0 ) ? (1 ?

I Is

)(

?? 2

)

2

当 I I s ? 1 时,增益系数的最大值为: G (? 0 ) ?

G (? 0 )
0



2

当增益系数的最大值为增益系数的最大值的一半时,即

17-6

激光原理及应用-思考练习题答案

G (? ) ?

G (? )
0

( ?

?? 2

) G (? 0 )
2 0 2

1?

f (? ) f (? 0 )
?? 2

(? ? ? 0 ) ? 2 ? (

?? 2

? )
2

G (? 0 )
0

时,对应有两个频率为:

4

?1 ??0 ?
?

2(

)以及 ?

2

? ? 0-

2(

?? 2

)

? ? ?= ? 1- ? 2= 2 ? ?

(2)物理意义:当光强 I ? I s 时,介质只在 2 ? ? 范围内对光波有增益作用,在此范围外 增益可忽略不计,而光波也只在这个线宽范围内对介质有增益饱和作用。
? 8. 研究激光介质增益时, 常用到 “受激发射截面” e (? ) (cm2)概念, 它与增益系数 G (? ) (cm
-1

)的关系是 ? e (? ) ?

G (? ) ?n

, ? n 为反转粒子数密度,试证明:具有上能级寿命为 ? ,线
c f (? )
2

型函数为 f (? ) 的介质的受激发射截面为 ? e (? ) ?
? h ? f (? ) ? c ? 3 3 A 21 8 ?? h ? ? ? ?? 3 B 21 c ? 证明: ? G (? ) ? e (? ) ? ? ?n ? G (? ) ? ? nB 21

8? ? ? ?
2 2



?

? e (? ) ? A 21

c

3 3

8 ?? h ?
3

?

?
c

h ? f (? ) ?

1

c

2 2 2

? 8 ?? ?

? f (? ) ?

c f (? )
2

8 ??

2

? ?
2

9. 饱和光强 I s (? ) 是激光介质的一个重要参数。证明均匀增宽介质在中心频率? 0 处的饱和 光强 I s (? 0 ) ?
h? 0

? e (? 0 )?


,并计算均匀增宽介质染料若丹明 6G 在 ? 0 =0.5950?m 处的饱和光

强。(已知?=5.5×l 0 9s, ? ? =4.66×1013Hz, ? =1.36)
? ? ? ? 2 ? B 21? h ? 0 f (? 0 ) ? ? ?c? ? c I s (? 0 ) ? h? 0 ? G (? ) ? 2 ?? ? e (? 0 ) ? ? I s (? 0 ) ? 答:(1) ? e (? ) ? ?? ?n ? e (? 0 )? ? ? 2 ? ? ? f (? 0 ) ? G (? ) ? ? nB 21 h ? f (? ) ? ??? ? c ? I s (? 0 ) ?

?c? ?

17-7

激光原理及应用-思考练习题答案

? ? e (? 0 )? ? ? ?? 2 c f (? 0 ) ? (2) ? e (? 0 ) ? 2 2 8 ?? 0 ? ? ? ? I s (? 0 ) ? I s (? 0 ) ? h? 0

h? 0

? e (? 0 )?

?

4 ? hc ? ? ?
2 2

?

3

? 3 . 213 ? 10 W / cm
5

2

10. 实验测得 He-Ne 激光器以波长 ? =0.6328?工作时的小讯号增益系数为 G0=3?10 -1 4 /d(cm ),d 为腔内毛细管内径(cm)。以非均匀增宽计算腔内光强 I=50W/cm2 的增益 系数 G(设饱和光强 Is=30W/cm2 时,d=1mm),并问这时为保持振荡稳定,两反射镜 的反射率(设 r1=r2, 腔长 0.1m)最小为多少(除透射损耗外, 腔内其它损耗的损耗率 a 内 = 9?10 4cm )?又设光斑面积 A=0.11mm2,透射系数 ? =0.008,镜面一端输出,求这时输 出功率为多少毫瓦。
- -1



答: (1) G D (? ) ?

D D (? )
0

(1 ?

I Is

?

3 ? 10 (1 ?

?4

10 )
1 2

?1

)

1 2

50 30
2

? 1 . 837 ? 10

?3

cm

?1

(2) K ? r1 r2 exp( G ? a 内 ) 2 L ? 1 ? r exp( 1 . 837 ? 10 (3) P0 ? ? ? A ? I ? 0 . 008 ? 0 . 11 ? 10
?2

?3

? 9 ? 10

?4

) ? 20 ? 1 ? r ? 0 . 99

? 50 ? 10

3

? 0 . 44 mW

11. 求 He-Ne 激光的阈值反转粒子数密度。已知 ? =6328?,1/f(?) ? ? ? =109Hz, ? =1, 设总损耗率为 a 总 ,相当于每一反射镜的等效反射率 R=l-L a 总 =98.33%,? =10 7s,


腔长 L=0.1m。
8 ??
2 2

答: ? n 阈 =

? ?a 总
2

8 ?? ?
2

1? R ?

8 ? ? 10

?7

?

0 . 0167 0 .1
?6

c f (? )

?

L ? f (? )
2

( 0 . 6328 ? 10

)

2

? 10

9

? 1 . 048 ? 10

15

/m

3

12. 红宝石激光器是一个三能级系统,设 Cr3 的 n0=1019/cm3,?21=3?10 s,今以波长 λ= 0.5100?m 的光泵激励。试估算单位体积的阈值抽运功率。 答: P阈 3=
h ? n 0V 2? 21 ? hcn 2 ??
0 21



-3

?

6 . 63 ? 10

? 34

? 3 ? 10
?4

10

? 10
?3

19

2 ? 0 . 51 ? 10

? 3 ? 10

? 650 W / cm

3

13. YAG 激光器为四能级系统。 已知 ? n阈 =1.8×1016cm 3,?32=2.3?10 s。 如以波长 0.75?m 的光泵激励。求单位体积的阈值功率并与上题比较红宝石的阈值功率是它的几倍。



-4

17-8

激光原理及应用-思考练习题答案

答:(1) P阈 4= ? n 阈 h ? 14 V / ? 32 ? (2)倍数=65/2.1=31

? n 阈 hc

??

?

1 . 8 ? 10

16

? 3 ? 10
?4

10

? 6 . 63 ? 10
?4

? 34

32

0 . 75 ? 10

? 2 . 3 ? 10

? 21 W / cm

3

17-9

激光原理及应用-思考练习题答案

思考练习题 3

1. 腔长为 0.5m 的氩离子激光器, 发射中心频率? 0 =5.85?l014Hz, 荧光线宽 ? ? =6?l08 Hz, 问它可能存在几个纵模?相应的 q 值为多少? 答: ? ? q ?
?? ??
q

(设 ? =1)

c 2 ?L

?

3 ? 10

8

2 ? 1 ? 0 .5

? 3 ? 10 Hz ,
8

n ?

?

6 ? 10 3 ? 10

8 8

? 2 ,则可能存在的纵模数有三个,它们对应的 q 值分别为:

? ?

qc 2 ?L

? q ?

2 ?L c

?? ?

5 . 85 ? 10 3 ? 10
8

14

? 1 . 95 ? 10 ,q+1=1950001,q-1=1949999
6

2. He—Ne 激光器的中心频率? 0 =4.74×1014Hz, 荧光线宽 ? ? =1.5?l09Hz。 今腔长 L=lm, 问可能输出的纵模数为若干?为获得单纵模输出,腔长最长为多少? 答: ? ? q ?
c 2 ?L ? 3 ? 10
8

2 ?1?1

? 1 . 5 ? 10 Hz , n ?
8

?? ??
q

?

1 . 5 ? 10 1 . 5 ? 10

9 8

? 10

即可能输出的纵模数为 10 个,要想获得单纵模输出,则:
?? ? 2?? ? c ?L ? c ? 3 ? 10
8 9

q

?L

???

1 . 5 ? 10

? 0 .2 m

故腔长最长不得大于 0 . 2 m 。

3. (1)试求出方形镜对称共焦腔镜面上 T E M 30 模的节线位置的表达式(腔长 L、光波波长?、 方形镜边长 a)(2)这些节线是否等间距?
F3 X )= H 3 ( X ) e (
? X 2 3 3
2

? 0 e
?X
2

答: (1) H 3 ( X ) ? ( ? 1) e
3

X

d dX

? 8X

3

X ? x

2?

?L

? ? ? ? ? 12 X ? ? x 1 ? 0 , x 2 ? ? ? ? ? ?

3? L 4?

(2)这些节距是等间距的 4.连续工作的 CO2 激光器输出功率为 50W,聚焦后的基模有效截面直径 2 w =50?m,计算 (1)每平方厘米平均功率(50W 为有效截面内的功率) (2)试与氩弧焊设备(104W/cm2)及氧 乙炔焰(103W/cm2)比较,分别为它们的多少倍?
17-10

激光原理及应用-思考练习题答案

答: (1)每平方厘米的平均功率为:

50 W

??

2

?

50

? ( 25 ? 10

?4

)

2

? 2 . 546 ? 10 W / cm
6

2

(2)

2 . 546 ? 10 10
4

6

? 254 . 6 ;是氩弧焊的 254 . 6 倍。

2 . 546 ? 10 10
8

6

? 2 . 546 ? 10 ;是氧乙炔焰的 2546 倍。
3

5.(a)计算腔长为 1m 的共焦腔基横模的远场发散角,设 λ=6328?,10km 处的光斑面积多 大。(b)有一普通探照灯,设发散角为 2?,则 1km 远处的光斑面积多大? 答: (1)基横模的远场发散角 2? ? 2
2? ? 2 2 ? 6328 ? 10
? 10

?L

?
6328 ? 10 2?
2

? 1 . 269 ? 10

?3

rad

(2) 10km 处的光斑尺寸 ? z ? 10 ? 10km 处的光斑面积 S ? ??
2

?L
2?

[1 ? (

2z L

? 10

) ] ?
2

[1 ? 4 ? 10 ] ? 6 . 347 m
8

? ? ? 6 . 347
o

2

? 126 . 5572 m

(3)1km 处的光斑尺寸 r ? 1000 ? tg 1 ? 17 . 455 m 1km 处的光斑面积 S ? ? ? r
2

? ? ? 17 . 455

2

? 957 . 1711 m

2

6.激光的远场发散角 ? (半角)还受到衍射效应的限制。它不能小于激光通过输出孔时的衍 射极限角 ? 衍 (半角)=1.22λ/d。在实际应用中远场发散角常用爱里斑衍射极限角来近似。 试计算腔长为 30cm 的氦氖激光器,所发波长 λ=6328? 的远场发散角和以放电管直径 d= 2mm 为输出孔的衍射极限角。 答: (1)远场发散角 ? ?
2? ? 2 ? 6328 ? 10
? 10

?L

? ? 30 ? 10

?2

? 1 . 1588 ? 10

?3

rad

(2)衍射极限角 ? ?

1 . 22 ? d

?

1 . 22 ? 6328 ? 10 2 ? 10
?3

? 10

? 3 . 86 ? 10

?4

rad

7.一共焦腔(对称)L=0.40m,λ=0.6328?m,束腰半径 w 0 ? 0 . 2 mm ,求离腰 56cm 处的光 束有效截面半径。 答: ? z ? 0 . 56 ? ? 0 1 ? (
?z ??
2 0

)

2

? 0 . 2 ? 10

?3

1? (

6328 ? 10

? 10

? 0 . 56
?4

? ? ( 2 ? 10

)

2

)

2

? 0 . 6 mm

17-11

激光原理及应用-思考练习题答案

8.试讨论非共焦腔谐振频率的简并性、纵模间隔及横模间隔,并与共焦腔进行比较。 答:非共焦腔的谐振频率表达式为:?
? 1 ? ? ? ? q ? ? m ? n ? 1 cos 2 ?L ? c
?1

mnq

? g1g 2 ? ?

! 简并性:对于纵模来说非共焦腔的谐振频率一般不具有简并性,除非 )
cos
?1

g1g 2 ?

?
k

( k 为整数 ) 时才出现纵模的简并;如果纵模序数一定,不同的横模可以

存在一定的简并,只要 m+n 不变,谐振频率就相同。 2)纵模间隔: ? ? 纵 =
c 2?L

,与共焦腔是一致的;

3)横模间隔: ? ? 横 =

c ? cos

-1

g1g 2

2 ?? L

,不仅与腔长有关还与介质的折射率、镜面的曲率

半径有关,这与共焦腔是不同的。 9.考虑一用于氩离子激光器的稳定球面腔,波长 λ=0.5145?m,腔长 L=1m,腔镜曲率半 径 R1=1.5m,R2=4m。试计算光腰尺寸和位置,两镜面上的光斑尺寸,并画出等效共焦腔的 位置。 答: (1)束腰半径
? 0 ? [( ? ?
)
2

L ( R 1 ? L )( R 2 ? L )( R 1 ? R 2 ? L ) ( R1 ? R 2 ? 2 L )
2

1

] 4 ? [(

0 . 5145 ? 10

?6

?

)

2

1 .5 ? 4 .5 3 .5
2

1

] 4 ? 0 . 348666 mm

(2)束腰位置 z 1 ?

L(R2 ? L) ( R1 ? R 2 ? 2 L )

?

3 3 .5

?

6 7

m; z 2 ? L ? z 1 ? 1 ?

6 7

?

1 7

m

(3)两镜面上的光斑尺寸分别为:
? s1 ? ?L ?
?L ?
[ R1 ( R 2 ? L )
2 1

L ( R 1 ? L )( R 1 ? R 2 ? L ) R 2 ( R1 ? L )
2

]

4

?

0 . 5145 ? 10

?6

?
0 . 5145 ? 10
?6

?[

2 . 25 ? 3 0 .5 ? 4 .5 16 ? 0 . 5 3 ? 4 .5 2 .6 3 .5

1

] 4 ? 0 . 532596 mm

1

1

? s2 ?

[

L ( R 2 ? L )( R 1 ? R 2 ? L )

]4 ?

?

?[

] 4 ? 0 . 355064 mm

(4) f ?

L ( R 1 ? L )( R 2 ? L )( R 1 ? R 2 ? L ) R1 ? R 2 ? 2 L

?

0 .5 ? 3 ? 4 .5 3 .5

?

?

5 .2 7

m

10.欲设计一对称光学谐振腔,波长 λ=10.6?m,两反射镜间距 L=2m,如选择凹面镜曲 率半径 R=L,试求镜面上光斑尺寸。若保持 L 不变,选择 R ?? L ,并使镜面上的光斑尺寸
w s =0.3cm,问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大?

答: (1)镜面光斑尺寸(此时可把它看作对称共焦腔) :

17-12

激光原理及应用-思考练习题答案

? s1 ? ? s 2 ?

?L ?

?

10 . 6 ? 10

?6

?2

?

? 2 . 5977 mm

(2)此时不能当作对称共焦腔,但是仍然是对称光学谐振腔,只是 R 1 ? R 2 ? R ?? L ,根 据(3-50)式可得镜面光斑尺寸为(舍去一个与 L 近似相等的解) :
?s ?
?

?L ?

?4 R ?R ? L ? ? ? ? ? L ? R ? L ?( 2 R ? L ) ?
2

1

?L ?

[

R

2

1

L (2 R ? L )

] 4 ? 2 . 5977 ? [

R

2

1

2 ? (2 R ? 2)

] 4 ? 3 ? R ? 5 . 91 m
1 1

? ? ? ? 2 L ? R ? L ?? R ? L ?? R ? R ? L ? ? 4 ? ? ? ? 2 L ?2 R ? L ? ? 4 1 2 1 2 w 0 ? ?? ? ? ? ?? ? ? 4 ? R1 ? R 2 ? 2 L ?2 ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? (3) ? [( 10 . 6 ? 10
?6

?

)

2

2 ? ( 2 ? 5 . 911 ? 2 ) 4

1

] 4 ? 2 . 734 mm

11.试从(3-81)式出发,证明非均匀增宽激光器最佳输出功率若用最佳透射率表示有:
Pm ? A I s tm (a ? tm )
2



? ? 2 L G 0 (? ) ? 2 ? D 证明:由(3-82)有: P (? ) ? A t1 I s ? ? ? ? 1? 2 ? ? a 1 ? t1 ? ? ? ? 1
?P ?t ? 1 2 AI s [( 2 LG a?t ) ? 1] ?
2

1 2

AtI s [ 2 ?

2 LG a?t

? [?

2 LG (a ? t )
2

]] ? 0

整理上式可得: 4 L G ( a ? t ) ? ( a ? t ) ? ( 2 LG ) ?
2 2 3 2

(a ? t ) a?t

3

,式中 t 即为最佳透射率 tm
3

Pm ?

1 2

At m I s [( tm
2

2 LG a ? tm

) ? 1] ?
2

1 2

At m I s [

(a ? t m )

(a ? t m )
2

则最佳输出功率
? AI
s

(a ? t m )

? 1]

a ? tm

12.考虑如图(3-18)所示的 He-Ne 激光器,设谐振腔的腔镜为圆形镜。试求 TEM00 和 TEM10 模之间的频率差。假定 TEM00q 模的单程衍射损耗δ 器振荡的最小增益系数为多大?
00<0.1%,试问:维持该激光

17-13

激光原理及应用-思考练习题答案

? ???
?

激活长度

??
?

?? ? ?

??? ? ? ?
激活长度
? ? ??

???? ? ? ?

图(3-18) 习题三 第 12 题

答:1)因为 (1 ?

L R1

)( 1 ?

L R2

) ? (1 ?

0 . 75 3

)( 1 ?

0 . 75 ?

) ? 0 . 75 ? 1 ,因此此谐振腔为稳定腔;

圆形镜一般稳定球面腔的谐振频率为:?

mnq

?

1 ? ? ? ? q ? ? m ? n ? 1 cos 2 ?L ? c

?1

? g1g 2 ? ?

所以 TEM00 与 TEM10 之间的频率差为:
?? ? c ? 1 ? cos
?1

2 ?L ?

g1g 2 ?

3 ? 10

8

2 ? 0 . 75 ?

?

1

? cos

?1

0 . 75 ? 4 . 6 ? 10

7

2)考虑激光器的内部损耗完全由单程衍射损耗造成,由(2-36)式有:
G ? a内 ? 1 2L ln ? r1 r2 ?

2 ? LG ? La 内 ? ? ? ln ? r1 r2 ?

即:

?G ?

2 La 内 ? ln ? r1 r2 ? 2L

?

2 ? 0 . 001 ? ln 0 . 95 2 ? 0 .5

? 0 . 0533 m

?1

17-14

激光原理及应用-思考练习题答案

思考练习题 4
1.腔长 30 cm 的氦氖激光器荧光线宽为 1500MHz,可能出现三个纵横。用三反射镜法选取 单纵横,问短耦合腔腔长( L 2 ? L 3 )应为若干。 答: ? ? 短 =
c 2 ? ( L2 ? L3 ) ? 3 ? 10 2? L
8



1 . 5 ? 10 ?? 短

9

? 2 ? L ? L 2 ? L 3 ? 0 .2 m

2.He-Ne 激光器辐射 6328? 光波,其方形镜对称共焦腔,腔长 L=0.2m。腔内同时存在
T E M 00 , T E M 1 1 , T E M 22 横模。若在腔内接近镜面处加小孔光阑选取横模,试问:

(1)如只使 T E M 00 模振荡,光阑孔径应多大? (2)如同时使 T E M 00 , T E M 1 1 模振荡而抑制 T E M 22 振荡,光阑孔径应多大? 答:(1)TEM00 模在镜面处的光斑半径为 ? s ? 所以光阑孔径应该为 0.2mm (2)TEM11 模在镜面处的光斑半径为 ? s? ? 所以光阑孔径为 0.35mm 3.一高斯光束束腰半径 w 0 =0.2mm, ? =0.6328?,今用一焦距 f 为 3cm 的短焦距透镜聚 焦,已知腰粗 w 0 离透镜的距离为 60cm,在几何光学近似下求聚焦后光束腰粗。
? 答: ? 0 ? f s

?L ?

?

0 . 6328 ? 10

?6

? 0 .2

?

? 0 . 20 mm

2 m ? 1? s ?

3 ? 0 . 2 ? 0 . 35 mm

?0 ?

3 60

? 0 . 2 ? 0 . 01 mm

4.已知波长 ? =0.6328?的两高斯光束的束腰半径 w1 0 , w 2 0 分别为 0.2mm,50?,试问此 二光束的远场发散角分别为多少?后者是前者的几倍? 答: 2? 1=
2? = 2 ? 0 . 6328 ? 2 . 0 ? 10
?3

??
2?

0

? ? 0 . 2 ? 10

3

rad

2 ? 2=

??



2 ? 0 . 6328

0

? ? 50

? 8 . 0 ? 10

?3

r a d;

2? 1 2? 2

?

1 4

17-15

激光原理及应用-思考练习题答案

5.用如图(4-33)所示的倒置望远镜系统改善由对称共焦腔输出的光束方向性。已知二透 镜的焦距分别为 f1=2.5cm,f2=20cm, w 0 =0.28mm, l 1 ?? f 1 (Ll 紧靠腔的输出镜面), 求该望远镜系统光束发散角的压缩比。

L1 w 0'

L2 w 0 ''

w0

l2

f

1

f

2

图(4-33) 第 5 题

答: M ? ?

f2 ? f1 ? 0

?

20 2 .5

?

2 ? 11 . 31

7.设一声光偏转器,声光材料为碘酸铅晶体,声频可调制度为 ? ? =300MHz。声波在介质 中的速度 ? s =3×103m/s,而入射光束直径 D=1mm,求可分辨光斑数。 答:当声频改变 ? ? 时,衍射光偏转的角度为: ? ? ?
? ??
s

??



而高斯光束的远场发散角为: ? ?

? ???
0



可分辨光斑数为: n ?

??

?

?

?? ?? ?? 0

?

?

300 ? 10

6

? ? ? 0 . 5 ? 10
3

?3

s

3 ? 10

? 157

8.有一多纵模激光器纵模数是 1000 个,腔长为 1.5m,输出的平均功率为 1W,认为各纵 模振幅相等。 (1)试求在锁模情况下,光脉冲的周期、宽度和峰值功率各是多少? (2)采用声光损耗调制元件锁模时,调制器上加电压 u ? V 0 co s 2? ft 。试问电压的频 8 率 f 为多大? 答: (1)周期 T ?
2L c ? 2 ? 1 .5 3 ? 10
8

? 10

?8

s ;宽度 ? ?

T 2N ? 1

?

10

?8

2 ? 1000 ? 1

? 5 . 0 ? 10

? 12

s

17-16

激光原理及应用-思考练习题答案

峰值功率 I ? ( 2 N ? 1) I 0 ? 2001
2

2

? 1 ? 4 . 0 ? 10 w
6

(2)频率 f ?

c 2L

?

3 ? 10

8

2 ? 1 .5

? 10 Hz
8

9.钕玻璃激光器的荧光线宽 ? ? F =7.5×1012Hz,折射率为 1.52,棒长 l=20cm,腔长 L =30cm,如果处于荧光线宽内的纵模都能振荡,试求锁模后激光脉冲功率是自由振荡时功 率的多少倍。 答: ? ? ?
c 2 ?L ? 3 ? 10
8

2 (1 . 52 ? 0 . 2 ? 0 . 1)

? 3 . 7 ? 10 Hz ; N ?
8

??

F

??

? 2 . 0 ? 10

4

倍数=N=20000 倍

17-17


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