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创新设计2016


章末检测卷(三)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.i 是虚数单位,若集合 S={-1,0,1},则( A.i∈S C.i ∈S 答案 B 2.z1=(m +m+1)+(m +m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 因为 z1=z2,所以? 解得 m=1 或 m=-2, 所以 m=1 是 z1=z2 的充分不必要条件. 3+i 3.i 是虚数单位,复数 等于( 1-i A.1+2i C.-1-2i 答案 A 解析 3+i ?3+i??1+i? 2+4i = = =1+2i.故选 A. 1-i ?1-i??1+i? 2 ) ) B.2+4i D.2-i
? ?m +m+1=3 ? ?m +m-4=-2
2 2 2 2 3

)

B.i ∈S 2 D. ∈S i

2

)

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件



a-i 4.已知 a 是实数, 是纯虚数,则 a 等于( 1+i
A.1 C. 2 答案 A 解析 B.-1 D.- 2

a-i ?a-i??1-i? ?a-1?-?a+1?i
= = 1+i ?1+i??1-i? 2

是纯虚数,

则 a-1=0,a+1≠0,解得 a=1. 5.若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数 x+yi 等于( A.-2+i C.1-2i 答案 B 解析 ∵(x-i)i=y+2i,xi-i =y+2i,
-12

)

B.2+i D.1+2i

∴y=1,x=2,∴x+yi=2+i. → → → → 6.在复平面内,O 是原点,OA,OC,AB对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么BC对应 的复数为( A.4+7i C.4-4i 答案 C → → → 解析 因为OA,OC,AB对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i, → → → → → → BC=OC-OB=OC-(OA+AB), → 所以BC对应的复数为 3+2i-[(-2+i)+(1+5i)]=4-4i. 7.若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( 4 A.-4 B.- C.4 5 答案 D 解析 设 z=a+bi,故(3-4i)(a+bi)=3a+3bi-4ai+4b=|4+3i|,
?3b-4a=0 ? 所以? ?3a+4b=5 ?

) B.1+3i D.-1+6i

)

4 D. 5

4 ;解得 b= . 5 )

1+7i 8.i 是虚数单位,若 =a+bi(a,b∈R),则 ab 的值是( 2-i A.-15 答案 C 解析 1+7i ?1+7i??2+i? = =-1+3i, 2-i 5 B.3 C.-3 D.15

∴a=-1,b=3,ab=-3. 9.若 z1=(x-2)+yi 与 z2=3x+i(x,y∈R)互为共轭复数,则 z1 对应的点在( A.第一象限 C.第三象限 答案 C 解析 由 z1,z2 互为共轭复数,得?
? ?x=-1 ?y=-1 ? ? ?x-2=3x ?y=-1 ?

)

B.第二象限 D.第四象限



解得?

,所以 z1=(x-2)+yi=-3-i.

由复数的几何意义知 z1 对应的点在第三象限. 10.已知 f(n)=i -i (n∈N ),则集合{f(n)}的元素个数是(
n
-n *

)

-2-

A.2 B.3 C.4 D.无数个 答案 B 解析 f(n)有三个值 0,2i,-2i. 3+i 11.已知复数 z= , z 是 z 的共轭复数,则 z· z 等于( 2 ?1- 3i? A. 1 1 B. 4 2 C.1 D.2 )

答案 A 12.设 f(z)=z,z1=3+4i,z2=-2-i,则 f(z1-z2)=( A.1-3i C.i-2 答案 D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.复平面内,若 z=m (1+i)-m(4+i)-6i 所对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范围 是________. 答案 (3,4) 解析 ∵z=m -4m+(m -m-6)i 所对应的点在第二象限,
? ?m -4m<0 ∴? 2 ?m -m-6>0 ?
2 2 2 2

)

B.11i-2 D.5+5i

,解得 3<m<4.

14.给出下面四个命题: ①0 比-i 大;②两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数;③x+yi=1+i 的充要条件 为 x=y=1;④如果让实数 a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应.其中真命题的个 数是________. 答案 0 15.已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则|z|的取值范围是______. 答案 (1, 5) 解析 由题意得 z=a+i,根据复数模的定义可知|z|= a +1.因为 0<a<2,所以 1<a +1<5, 故 1< a +1< 5. 16.下列说法中正确的序号是________.
? ?2x-1=y ①若(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x∈R,y∈?CR,则必有? ?1=-?3-y? ?
2 2 2



②2+i>1+i; ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数; ④若一个数是实数,则其虚部不存在;
-3-

1 3 ⑤若 z= ,则 z +1 对应的点在复平面内的第一象限. i 答案 ⑤
? ?2x-1=y 解析 由 y∈?CR,知 y 是虚数,则? ?1=-?3-y? ?

不成立,故①错误;两个不全为实数的复

数不能比较大小,故②错误;原点也在虚轴上,表示实数 0,故③错误;实数的虚部为 0,故 1 3 ④错误;⑤中 z +1= 3+1=i+1,对应点在第一象限,故⑤正确. i 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)设复数 z=lg(m -2m-2)+(m +3m+2)i,当 m 为何值时, (1)z 是实数?(2)z 是纯虚数? 解
? ?m -2m-2>0 (1)要使复数 z 为实数,需满足? 2 ?m +3m+2=0 ?
2 2 2

,解得 m=-2 或-1.即当 m=-2 或-1

时,z 是实数. (2)要使复数 z 为纯虚数,需满足? 解得 m=3. 即当 m=3 时,z 是纯虚数. 18.(12 分)已知复数 z1=1-i,z1·z2+ z 1=2+2i,求复数 z2. 解 因为 z1=1-i,所以 z 1=1+i, 所以 z1·z2=2+2i- z 1=2+2i-(1+i)=1+i. 设 z2=a+bi(a,b∈R),由 z1·z2=1+i, 得(1-i)(a+bi)=1+i, 所以(a+b)+(b-a)i=1+i, 所以?
? ?a+b=1 ?b-a=1 ? ?m -2m-2=1 ? ? ?m +3m+2≠0
2 2



,解得 a=0,b=1,所以 z2=i.
4

?2+2i? 19.(12 分)计算:(1) ; 5 ?1- 3i? (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. 解 (1)原式= 4 ?1- 3i? ?1- 3i? = 16?2i?
2 2

16?1+i?

4

?-2-2 3i? ?1- 3i?

-4-

= =

-16 = 4?1+ 3i? ?1- 3i? ?1+ 3i?×4
2

-64

-4 1+ 3i

=-1+ 3i.

(2)原式=(3+11i)(3-4i)+2i =53+21i+2i=53+23i. 20.(12 分)实数 m 为何值时,复数 z=(m +5m+6)+(m -2m-15)i 对应的点在: (1)x 轴上方; (2)直线 x+y+5=0 上. 解 (1)若 z 对应的点在 x 轴上方, 则 m -2m-15>0,解得 m<-3 或 m>5. (2)复数 z 对应的点为(m +5m+6,m -2m-15), ∵z 对应的点在直线 x+y+5=0 上, ∴(m +5m+6)+(m -2m-15)+5=0, 整理得 2m +3m-4=0, -3± 41 解得 m= . 4 21.(12 分)已知复数 z 满足|z|= 2,z 的虚部是 2. (1)求复数 z; (2)设 z,z ,z-z 在复平面上的对应点分别为 A,B,C,求△ABC 的面积. 解 (1)设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a -b +2abi,由题意得 a +b =2 且 2ab=2, 解得 a=b=1 或 a=b=-1, 所以 z=1+i 或 z=-1-i. (2)当 z=1+i 时,z =2i,z-z =1-i, 所以 A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以 S△ABC=1. 当 z=-1-i 时,z =2i,z-z =-1-3i, 所以 A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以 S△ABC=1. 1 22.(12 分)设 z1 是虚数,z2=z1+ 是实数,且-1≤z2≤1.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

z1

(1)求|z1|的值以及 z1 的实部的取值范围; 1-z1 (2)若 ω = ,求证:ω 为纯虚数. 1+z1 1 1 a (1)解 设 z1=a+bi(a,b∈R 且 b≠0),则 z2=z1+ =a+bi+ =(a+ 2 2)+(b- z1 a+bi a +b

b )i. a2+b2
-5-

因为 z2 是实数,b≠0,于是有 a +b =1,即|z1|=1,还可得 z2=2a. 1 1 1 1 由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得- ≤a≤ ,即 z1 的实部的取值范围是[- , ]. 2 2 2 2 1-z1 1-a-bi (2)证明 ω = = 1+z1 1+a+bi 1-a -b -2bi b = =- i. 2 2 ?1+a? +b a+1 1 1 因为 a∈[- , ],b≠0,所以 ω 为纯虚数. 2 2
2 2

2

2

-6-


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