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黑龙江省哈尔滨市第一零九中学2013年高考物理二轮专题复习 机械振动和机械波教案


黑龙江省哈尔滨市第一零九中学 2013 年高考物理二轮专题复习 机 械振动和机械波教案
一、简谐运动的基本概念 1.定义 物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比, 并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振 动,叫简谐运动。表达式为:F= -kx。这是简谐运动的充要条件。 ⑴简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。 也就是说, 在研究简谐运动时所说的 位移,其起点都默认是在

平衡位置处。 ⑵回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向上所受的合力。 ⑶“平衡位置”不等于“平衡状态” 。平衡位置是指回复力为零的位置,物体在该位置 所受的合外力不一定为零。 (如单摆摆到最低点时,沿振动方向的合力为零,但在指向悬点 方向的合力却不等于零,所以并不处于平衡状态) ⑷F=-kx 中的 k 是回复力系数,即简谐运动的判定式 F= -kx 中的比例系数,对于弹簧振 子 k 恰好就是弹簧的劲度,对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了 。 2.简谐运动过程中几个重要的物理量间的关 系 要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻(或某一位置)的位移 x、回复力 F、加速度 a、速度 v 这四个矢量的相互关系。 (这四个量都是变量) ⑴由定义知:F∝x,方向相反; ⑵由牛顿第二定律知:F∝a,方向相同; ⑶由以上两条可知:a∝x,方向相反; ⑷当振子向平衡位置移动时 v 增大,而 x、F、a 均减小;这时 v 与 a、F 同向,而与 x 反向;当振子远离平衡位置移动时 v 减小,而 x、F、a 均增大;这时 v 与 a、F 反向,而与 x 同向。 3.从总体上描述简谐运动的物理量 振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的范围, 用振幅 A 来描述;在时间上则用周期 T 来描述完成一次全振动所须的时间。 ⑴振幅 A 是描述振动强弱的物理量。 (一定要将振幅跟位移相区别,在简谐运动的振动 过程中,振幅是不变的,而位移是改变的)对同一个振动系统而言,振幅大就是振动强。 简谐运动中振动系统的动能和势能在相互转化过程中,总机械能是守恒的。 ⑵周期 T 是描述振动快慢的物理量。 (频率 f=1/T 也是描述振动快慢的物理量)周期由 振动系统本身的因素决定, 叫固有周期。 任何简谐振动都有共同的周期公式: (其 m T ? 2? k 中 m 是振动物体的质量,k 是回复力系数,即简谐运动的判定式 F=-kx 中的比例系数。 二、典型的简谐运动 1.弹簧振子 ⑴周期
T ? 2? m k

,与振幅无关,只由振子质量和弹簧的劲度决定。回复力是弹簧的弹

力。

1

⑵可以证明,竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动,周期公式也是
T ? 2?

m k

。回

复力是弹簧弹力和重力的合力,方向指向平衡位置(不在弹簧原长处) 。 例 1.如图所示,质量为 m 的小球放在劲度为 k 的轻弹簧上,使小球上下振动而又始终 未脱离弹簧。⑴最大振幅 A 是多大?⑵在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力 Fm 是多大? 解:该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向,合力 为零;在平衡位置以下,弹力大于重力,F- mg=ma,越往下弹力越大;在平衡位置以上,弹 力小于重力,mg-F=ma,越往上弹力越小。平衡位置 和振动的振幅大小无关。因此振幅越大, 在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧,弹力为零, 合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。 ⑴最大振幅应满足 kA=mg,

A= mg

k
⑵小球在最高点和最低点所受回复力大小相同,所以有:Fm-mg=mg,Fm=2mg 2.单摆。 ⑴单摆振动的回复力是重力的切向分力, 不能说成是重力和拉力的合力。 在平衡位置振 子所受回复力是零,但合力是向心力,指向悬点,不为零。 ⑵当单摆的摆角很小时( 一般要求小于 5?)时,单摆的周期

l T ? 2? g

,与摆球质量

m、振幅 A 都无关。其中 l 为摆长,表示从悬点到摆球质心的距离,要注意区分摆长和摆线
长。周期 2s 的摆叫“秒摆” ,秒摆的摆长约为 1m。 ⑶小球在光滑圆弧上的往复滚动,和单摆完全等同。只要摆角足够小,这个振动 就是简谐运动。这时周期公式中的 l 应该是小球球心到圆弧圆心的距离,即圆弧半径 R 和小球半径 r 的差。 例 2.已知单摆摆长为 L,悬点正下方 3L/4 处有一个钉子。让摆球做小角度摆 动,其周期将是多大? 解:该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动,周期分别为
l T1 ? 2? g



l T2 ? ? g

,因此该摆的周期为 :
T?

T1 T2 3? ? ? 2 2 2

l g

例 3.如图所示,固定在竖直面内的光滑圆弧轨道 BC 所含度数小于 10?,其中点 O 是 圆弧的最低点。D 是 OC 的中点。在 OC 间和 OD 间分别固定两个光滑斜面。现将三个小球(都 可视为质点)同时从 B、C、D 由静止释放,分别沿 BO、CO 斜面和 DO 斜面滑动,它们到达 O 点经历的时间依次是 tB 、tC 、tD ,它们的关系是 B A.tB >tC >tD B .tC >tD> tB C.tC > tB > tD D.tC =tD> tB 解:由单摆振动的等时性,沿 BO 运动的小球经历的时间是

C D

T ? ? 4 2

R g

,沿 CO、DO 斜面

O

滑动的小球经历的时间都是

R 2 g

,因此选 D。

例 4.将一个力电传感器接到计算机上,可以测量快速变化的力。用这种方法测得的某

2

单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。 由此图线提供的信息做出下 列判断:①t=0.2s 时刻摆球正经过最低点;②t=1.1s 时摆球正处于最高点;③摆球摆动 过程中机械能时而增大时而减小; ④摆球摆动的周期约是 T=0.6s。 F/N 上述判断中正确的是 2.1 A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 2.0 解:注意这是悬线上的 拉力图象,而不是振动图象。当摆球到 1.9 达最高点时,悬线上的拉力最小;当摆球到达最低点时,悬线上的 1.8 拉力最大。因此①②正确。从图象中看出摆球到达最低点时的拉力 1.7 一次比一次小,说明速率一次比一次小,反映出振动过程摆球一定 1.6 受到阻力作用,因此机械能应该一直减小。在一个周期内,摆球应 1.5 t/s 该经过两次最高点,两次最低点,因此周期应该约是 T=1.2s。因 1.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 此答案③④错误。本题应选 C。 2.4 三、受迫振动与共振 1.受迫振动 物体在驱动力(即周期性外力)作用下的振动叫受迫振动。 ⑴物体做受迫振动时, 振动稳定后的频率等于驱动力的频率, 跟物体的固有频率没有关系。 ⑵物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定: 两者越接近, 受迫 振动的振幅越大,两者相差越大受迫振动的振幅越小。 2.共振 当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时,受迫振动的振幅最大,这种现象叫共振。 要求会用共振解释现象,知道什么情况下要利用共振,什么情况下要防止共振。 ⑴利用共振的有:共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千?? ⑵防止共振的有:机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢?? 例 5.把一个筛子用四根弹簧支起来,筛子上装一个电动偏心轮,它每转一周,给筛子 一个驱动力,这就做成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时,完成 20 次全振 动用 15s;在某电压下,电动偏心轮的转速是 88r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使 其转速提高,而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大,以下 做法正确的是 A.降低输入电压 B.提高输入电压 C.增加筛子质量 D.减小筛子质量 解:筛子的固有频率为 f 固=4/3Hz=80/60Hz,而当时的驱动力频率为 f 驱= 88/60Hz,即 f 固< f 驱。为了达到振幅增大,应该减小这两个频率差,所以应该增大固有频率或减小驱动力 频率。本题应选 AD。 例 6.大海中航行的轮船,受到大风大浪冲击时,为了防止倾覆,应当改变航行方向和 _______,使风浪冲击力的频率_______轮船摇摆的固有频率。 解:为防止发生共振,要适当改变航行方向和速度,使冲击力频率远离船的固有频率。 四、机械波 机械振动在介质中的传播形成机械波。 1.分类 机械波可分为 横波和纵波两种。 ⑴质点振动方向和波的传播方向垂直的叫横波,如:绳上波、水面波等。横波可以有不 同的振动方向,因此会发生偏振。 ⑵质点振动方向和波的传播方向平行的叫纵波,如:弹簧上的疏密波、声波等。纵波只 有一种方向,因此不会发生偏振。

3

2.机械波的传播 ⑴在同一种均匀介质中机械波的传播是匀速的。波速、波长和频率之间满足公式:v=λ ?f。由 于波是匀速传播的,因此波的传播路程 s 和 t 之间满足 s=vt 的关系。 ⑵介质质点的运动是在各自的平衡位置附近的简谐运动,x=Asinω t,是变加速运动, 介质质点并不随波迁移。 ⑶机械波转播的是振动形式 (每个介质质点开始振动的方向及振动周期都跟波源相同) 、 能量和信息。 ⑷机械波的频率由波源决定(与介质无关) ,而传播速度由介质决定(与频率无关) 。 3.机械波的反射、折射、干涉、衍射 一切波都能发生反射、折射、干涉、衍射。其中干涉、衍射是波特有的性质。 ⑴干涉。产生干涉的必要条件是:两个波源的频率相同。 以上是发生干涉的必要条件, 而不是充分条件。 要发生干涉还要求两列波的振动方向相 同(要上下振动就都是上下振动,要左右振动就都是左右振动) ,并要求相差恒定。我们经 常列举的干涉都是相差为零的,也就是同向的。如果两个波源是振动是反向的,那么在干涉 区域内振动加强和减弱的位置就正好颠倒过来了。 干涉区域内某点是振动加强点(指最强点)还是振动减弱点(指最弱点)的充要条件: ①加强:该点到两个波源的路程之差是波长的整 数倍,即δ =nλ ②减弱:该点到两个波源的路程之差是半波长的奇数倍,即

? ?

?
2

?2n ? 1?

根据以上分析,在稳定的干涉区域内,振动加强点始终加强;振动减弱点始终减弱。 “波峰和波峰叠加得到振动加强点” , “波谷和波谷叠加也得到振动加强点” , “波峰和波 谷叠加得到振动减弱点”这些都只是充分条件,不是必要条件。 例 7.如图所示,S1、S2 是两个相干波源,它们振动同步且振幅相同。实线和虚线分别 表示在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷。关于图中所标的 a、b、c、 b d 四点,下列说法中正确的有 A.该时刻 a 质点振动最弱,b、c 质点振动最强,d 质点振动既不是最 a d c 强也不是最弱 B.该时刻 a 质点振动最弱,b、c、d 质点振动都最强 S1 C.a、 b、c、d 各质点的振动都是时而强时而弱 D.再过 T/4 后的时刻 a、b、c 三个质点都将处于各自的平衡位置,因此振动最弱 解:该时刻 a 质点振动最弱,b、c 质点振动最强,这不难理解。但是 d 既不是波峰和 波峰叠加,又不是波谷和波谷叠加,如何判定其振动强弱?这就要用到充要条件: “到两波 源的路程之差是波长的整数倍”时振动最强,从图中可以看出,d 是 S1、S2 连线的中垂线上 的一点,到 S1、S2 的距离相等,所以必然为振动最强点。 描述振动强弱的物理量是振幅, 振幅不是位移。 每个质点在振动过程中的位移是在不断 改变的,但振幅是不变的,所以振动最强的点无论处于波峰还是波谷,振动始终是最强的。 本题答案应选 B。 ⑵衍射。发生明显衍射的条件是:障碍物或孔的尺寸和波长 A 可以相比或比波长小。 例 8.如图所示,S 是平静水面上的波源,M、N 是水面上的两 M S 块挡板,其中 M 板固定,N 可以左右移动,两板之间有一狭缝。当 波源 S 沿垂直于水面的方向持续振动时,水面上的 A 质元没有发 生明显的振动。为了使 A 质元能够明显地振动起来,可采用以下哪些方法:①适当减小波源 S

S2

N

4

的振动频率;②适当增大波源 S 的振动频率;③将挡板 N 向左移动适当的距离;④将挡板 N 向右移动适当的距离。 A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 解:波长越长、障碍物尺寸越小,越容易发生明显衍射。由于波速恒定,减小频率可以 增大波长。选 A。 ⑶波的独立传播原理和叠加原理。 独立传播原理:几列波相遇时,能够保持各自的运动状态继续传播,不互相影响。 叠 加原理:介质 质点的位移、速度、加速度都等于几列波单独转播时引起的位移、速 度、加速度的矢量和。 波的独立传播原理和叠加原理并不矛盾。 前者是描述波的性质: 同时在同一介质中传播 的几列波都是独立的。 比如一个乐队中各种乐器发出的声波可以在空气中同时向外传播, 我 们仍然能分清其中各种乐器发出的不同声波。 后者是描述介质质点的运动情况: 每个介质质 点的运动是各列波在该点引起的运动的矢量和。 例 9.右图中实线和虚线分别所示振幅、周期、起振方向都相同 的两列正弦波(各只有一个完整波形)沿同一条直线分别向右、向左 传播。 试分析两列波相遇后 T/2 时刻, 叠加区域内各质点的振动情况。 解:相遇后 T/2 时刻,图中 a、b、c、d、e 各质点的位移都是零, 但速度各不相同,其中 a、c、e 三质点速度最大,方向如图所示,而 b、d 两质点速度为零。 这说明在叠加区域内,a、c、e 三质点的振动是最强的,b、d 两质点振 动是最弱的。 a b c d 五、振动图象和波的图象 1.振动图象和波的图象 振动图象和波的图象从图形上看好象没有什么区别,但实际上它们有本质的区别。 ⑴物理意义不同: 振动图象表示同一质点在不同时刻的位移; 波的图象表示介质中的各 个质点在同一时刻的位移(横波的波形图可认为就是波的图象) 。 ⑵图象的横坐标的单位不同: 振动图象的横坐标表示时间; 波的图象的横坐标表示 距离。 ⑶从振动图象上可以读出振幅和周期;从波的图象上可以读出振幅和波长。 ⑷振动图象上某时刻质点的运动方向用“向右看齐”判定(横轴是时间轴,右方表示下 一时刻) 。波的图象上某质点的运动方向用“上坡下,下坡上”判定(沿着波的传播方向看 去,处于波形上坡的质点速度方向向下;处于波形下坡的质点速度方向向上) ,无论哪种图 象,位移最大或最小点对应的速度都是零。 2.波的图象的画法 波的图象中,波的图形、波的传播方向、某一介质质点的瞬时速度方向,这三者中已知 任意两者,可以判定另一个。 (以下三个图中,实线表示两个已知,虚线表示另一个。 )

e

3.有关波的图 象的计算 ⑴在一个周期内,波形匀速向前推进一个波长。x 个周期波形向前推进 x 个波长(x 可 以是任意正数) 。因此在计算中既可以使用 v=λ ?f,也可以使用 v=s/t,后者往往更方便。 整数个周期后波的图象是相同的, 半周期奇数倍的图象是反相的, 要注意讨论所有可能的解。 ⑵介质质点的运动是简谐运动(变加速运动) 。任何一个介质质点在一个周期内经过的 路程都是 4A,在半个周期内经过的路程都是 2A,但在四分之一个周期内经过的路程就不一 定是 A 了。
5

⑶起振方向。介质中每个质点开始振动的方向都和振源开始振动的方向相同。 ⑷同相质点。同一列简谐波中位移(包括大小、方向)总是相等的两个质点,是同相质 点。同相质点的判定方法还有:速度总是相等的两个质点是同相质点;某一时刻位移、速度 都相同的两个质点是同相质点;平衡位置间的距离等于波长整数倍的质点是同相质点。 同一列简谐波中位移(包括大小、方向)总是相反的两个质点,叫反相质点。反相质点 的判定方法还有:速度总是等大反向的两个质点是反相质点;某一时刻位移、速度都等大反 向的两个质点是反相质点;平衡位置间的距离等于半波长奇数倍的质点是反相质点。 ⑸有关波的图象的问题,在波长λ 、周期 T、波速 v 三者中,从已知条件中总可以找到 两个,另一个总是可求的。在做题时,应该先把这三者写在图象边上待用。 例 10.已知在 t1 时刻简谐横波的波形如图中实线所示;在时刻 t2 该波的波形如图中虚 线所示。t2-t1 = 0.02s 求:⑴该波可能的传播速度。⑵若 x/cm 已知 T< t2-t1<2T,且图中 P 质点在 t1 时刻的瞬时速度方 P 向向上,求可能的波速。⑶若 0.01 s<T<0.02s,且从 t1 时 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 刻起,图中 Q 质点比 R 质点先回到平衡位置,求可能的波 Q R 速。 解:⑴如果这列简谐横波是向右传播的,在 t2-t1 内波形向右匀速传播了 ? 1 ? ,所 ? n ? ?? 3? ? 以波速

s/m

1? ? v ? ? n ? ?? ? ?t 2 ? t1 ? 3? ?

=100(3n+1)m/s (n=0,1,2,?);同理可得若该波是向左传

播的,可能的波速 v=100(3n+2)m/s (n=0,1,2,?) ⑵P 质点速度向上,说明波向左传播,T<t2-t1<2T,说明这段时间内波只可能是向左传 播了 5/3 个波长,所以速度是唯一的:v=500m/s。 ⑶“Q 比 R 先回到平衡位置” ,说明波只能是向右传播的,而 0.01s<T<0.02s,也就是 T<0.02s<2T,所以这段时间内波只可能向右传播了 4/3 个波长,解也是唯一的:v=400m/s。 例11.如 图 所 示 是 一 列 简 谐 横 波 在 t =0时 刻 的 波 形 图 ,已 知 这 列 波 沿 x 轴 正 方 向 传 播 , 波 速 为 20m/s。 P 是 离 原 点 为 2m的 一 个 介 质 质 点 , 则 在 t =0.17s时 刻 , 质 点 P 的 : ① 速 度 和 加 速 度 都 沿 -y方 向 ; ② 速 度 沿 +y方 向 , 加 速 度 沿 -y方 向 ; ③ 速 度 和 加速度都正在增大;④速度正在增大,加速度正在减小。 y/cm 以上四种判断中正确的是 5 A.只有① B.只有④ P O 4 2 C.只有①④ D.只有②③ -5 解:由已知,该波的波长λ =4m,波速v=20m/s,因 此 周 期 为 T =λ /v=0.2s;因为波向 右传播,所以t =0时 刻 P 质 点 振 动 方 向 向 下 ; 0.75 T <0.17s< T , 所 以 P 质 点 在 其 平 衡 位 置上方,正在向平衡位置运动,位移为正,正在减小;速度为负,正在增大;加 速 度 为 负 , 正 在 减 小 。 ① ④ 正 确 , 选 C。 例 12.一列简谐横波沿 x 轴负方向传播,图 1 是 t =1s 时的波形图,图 2 是波中某振动质元位移随 O 1 2 3 4 5 6 x/m O 1 2 3 4 5 6 时间变化的振动图线(两图用同一时间起点) ,则图 2 可能是图 1 中哪个质元的振动图线? 图1 图2 A . x=0 处 的 质 元 B . x =1m 处 的 质 元 C.x=2m 处的质元 D.x=3m 处的质元 解:由图象分别求出此波的波长为 4m,周期为 4s,再根据波沿 x 轴负方向传播,判定 在 t =0s 时刻的波形(.x = 0 质元在波峰)。符合图 2 振动图象的只有 x = 0 处的质元。选 A。
6 y/m y/m

x/m

t/s

本题也可以先看振动图象:t =1s 时刻该质点处于平衡位置且正在向下振动,因此四个 选项中只有 A 符合要求。 六、多普勒效应 当波源与观察者之间有相对运动时,观察者感到的频率发生了变化,这种现象叫 多普勒效应。波源与观察者相互接近时,观察者接收到的频率比波源频率高;波源与观 察者相互远离时,观察者接收到的频率比波源频率低。 多普勒效应是所有波共有的特征。 例 13.如图所示,小球 P 一边贴着水面每秒振动 5 次,一边 沿 x 轴正方向匀速移动,O 点是它的初始位置。图示为恰经 10 个 周期时观察到的水面波。则此水面波的传播速度大小和小球 P 匀 P x/cm 速移动的速度大小分别是 -40 -20 0 20 40 A.0.05m/s,0.025m/s B.0.15m/s,0.125m/s C.0.2m/s,0.1m/s D.0.1m/s,0.05m/s 解:10 个周期经历时间 2s。从 O 点发出的第一个波,在 2s 末到达±40cm,水面波的传播速度是 v=s/t=0.2m/s;2s 末小球 P 到达 20cm 处,移动速度是 v?=0.1m/s。选 C。 多普勒效应在生产、生活和高科技领域都有广泛的应用:例如根据“哈博红移”提出宇 宙大爆炸学说;利用多普勒效应进行激光制冷。 七、声波 1.声波是纵波。 2.声波的传播需要介质。 (声波不能在真空中传播) 3.空气中的声速可认为是 340m/s,水中的声速是 1450m/s,铁中的声速是 4900m/s。 4.人耳可以听到的声波的频率范围是 20Hz-20000Hz。 5.人耳只能区分开相差 0.1s 以上的两个声音。

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