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浙江省绍兴一中2015届高三下学期回头考试卷数学(理)试题 Word版含答案


绍兴一中

2014 学年 回头考试卷 第二学期

高三数学(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A ? {x | ( ) ? 1} ,集合 B ? {x | lg x ? 0} ,则 A
x

>1 2

B?

( D. ? (



A. {x | x ? 0}

B. {x | x ? 1}

C. {x | x ? 1} {x | x ? 0}

2. 在 △ ABC 中, A ?

π π , BC ? 2 ,则“ AC ? 3 ”是“ B ? ”的 4 3
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ②若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? ; ④若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ; ) C.3 个 D.4 个 C. c ? a ? b



A.充分不必要条件 C.充要条件

3. 已知 m、n 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,有下列命题: ①若 m ? ? , n // ? ,则 m // n ; ③若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? ; 其中真命题的个数是 ( A.1 个 B.2 个 A. a ? b ? c B. c ? b ? a

4. 已知函数 f ( x) ? 2x ? x, g ( x) ? log2 x ? x, h( x) ? log2 x ? 2 的零点依次为 a, b, c , 则 ( ) D. b ? a ? c

5. 将函数 y=sin(2x-? )的图像 F 向右平移 是( ? , 0 ),则 ? 的一个可能值是 A. ?

? 个单位长度得到图像 F’, 若 F’的一个对称中心 6
) D.

3 8

( C. ?

11 ? 12

B.

11 ? 12

5 ? 12

5 ? 12

6. 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且满足 S15>0,S16<0,则 项为( A. ) B.

S1 S2 , , a1 a2

,

S15 中最大的 a15

s6 a6

s7 a7

C.

s8 a8

D.

s9 a9

7. 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 作双曲线 C 的一条 a 2 b2
( )

渐近线的垂线,垂足为 H,若 F2 H 的中点 M 在双曲线 C 上,则双曲线的离心率为 A.

2

B.

3

C.2

D.3

8. 在棱长为 5 的正四面体 P-ABC 的三条侧棱 PA ,PB ,PC 上分别取点 D,E,F , 使△DEF 三边

-1-

长分别为 DE=2,FD=FE=3,则不同的取法有 A.1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种




1 1

二、填空题(本大题共七小题,9~14 每个空格 3 分,15 题 4 分,共 37 分) 9. 把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 形成三棱锥 C-ABD, 它的正视图与 俯视图如右图所示,则三棱锥 C-ABD 的体积为 ,表面积为 . 10. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f ( ? x ) ? f ( x ? ) , f(2015)=3, 则 f(1)= 11. 正实数 x,y 满足 xy+x+2y=6 ,则 xy 的最大值为 为 .

正视图 正视图

3 2

.

1

1

, x+y 的最小值

俯视图 俯视图

? x ? y ≥ 2, ? 12. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 2,则目标函数 y+2x 的最小值为 ?0 ≤ y ≤ 3, ?
若目标函数 z ? y ? ax 仅在点 ?5, 3? 处取得最小值, 则实数 a 的取值范围为



.

13. 已 知 向 量 a, b 满 足 a ? 3, b ? 2 3 , ( i ) 若 | a ? b |? 3 3 , 则 向 量 a, b 夹 角 余 弦 值 为 , .

(ii)若 a ? (a ? b) ,则 b 在 a 方向上的投影为

[?1.2] ? ?2 , 14. 用[x]表示不大于 x 的最大整数, 如: [1.3]=1, [3]=3, 则方程 x 2 ? 2[ x] ? 3 ? 0
的解的个数有 15. 已知函数 y ? 个,所有解的和是 . .

2a(sin ? ? cos ? ) a 2 ? 2a cos ? ? 2

(a, ? ? R, a ? 0) 对任意的 a,θ ,函数的最大值

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 73 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 16. (本小题满分 14 分)

?? ? 设函数 f ?x ? ? sin? 2 x ? ? ? cos 2 x ? 3 sin x cos x . 6? ?
(1) 若 x ?

?
4

,求函数 f ?x ? 的值域;

5 3 ? A? 5 (2) 设 A, B, C 为 ?ABC 的三个内角,若 f ? ? ? , cos ? A ? C ? ? ? ,求 cos C 的值. 14 ?2? 2

-2-

17. (本小题满分 14 分) 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 6 ,点 E , F 分别在边 AB, AD 上, AE ? AF ? 4 ,现将 △ AEF 沿线段 EF 折起到△ A ' EF 位置,使得 A ' C ? 2 6 . (1)求五棱锥 A '? BCDFE 的体积; (2)求平面 A ' EF 与平面 A ' BC 的夹角.

A?
D F A E B

C

18. (本小题满分 15 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , 且满足 2Sn?1 ? 4Sn ? 1(n ? N ? ) . 2 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)当1 ? i ? n ,1 ? j ? n ( i, j , n 均为正整数)时,求 ai 和 a j 的所有可能的乘积 ai a j 之和.

-3-

19. (本小题满分 15 分)

x2 y2 ? ? 1 (m ? 0) ,如图, ?ABC 的三个顶点的坐标分别为 已知椭圆 C 的方程为 4m 2 m 2 A(2,0), B(0,1), C(2,1) .
(Ⅰ) 求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ) 若椭圆 C 与 ?ABC 无公共点,求 m 的取值范围; (Ⅲ) 若椭圆 C 与 ?ABC 相交于不同的两个点分别为 M , N .若 ?OMN 的面积为 坐标原点),求椭圆 C 的方程.

2 (O 为 4

20. (本小题满分 15 分) 已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的最小值;

1 ? x2 1 ? x2 . ? a 1 ? x2 1 ? x2

(2)当 a ? 1 时,判断 f ( x ) 的单调性,并说明理由; (3)求实数 a 的范围,使得对于区间 ? ? 以 f (r )、f ( s)、f (t ) 为边长的三角形.

? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存在 5 ? ? 5

-4-

模块卷 题 03 (1)在 (1 ? x)(1 ? x)4 的展开式中,含 x 项的系数是 b ,若 (2 ? bx)7 ? a0 ? a1 x ?
2

? a7 x7 ,

则 a1 ? a2 ?

? a7 ?

.

(2)某公交站每天 6:30~7:30 开往某学校的三辆班车票价相同,但车的舒适程度不同.学 生小杰先观察后上车,当第一辆车开来时,他不上车,而是仔细观察车的舒适状况,若 第二辆车的状况比第一辆车好,他就上第二辆车;若第二辆车不如第一辆车,他就上第 三辆车.若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等,则小杰坐上优等车的概率是

题 04 已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? a ( a ? R). 3

(1) 当 a ? ?3 时,求函数 f ?x ? 的极值; (2)若函数 f ?x ? 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围.

-5-

高三回头考 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A ? {x | ( ) ? 1} ,集合 B ? {x | lg x ? 0} ,则 A
x

1 2

B?

( A ) D. ?

A. {x | x ? 0}

B. {x | x ? 1}

C. {x | x ? 1} {x | x ? 0}

2. 在 △ ABC 中, A ?

π π , BC ? 2 ,则“ AC ? 3 ”是“ B ? ”的 4 3
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

( B )

A.充分不必要条件 C.充要条件

3. 已知 m、n 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,有下列命题: ①若 m ? ? , n // ? ,则 m // n ; ②若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? ; ③若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? ; ④若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ; 其中真命题的个数是 ( A ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4. 已知函数 f ( x) ? 2x ? x, g ( x) ? log2 x ? x, h( x) ? log2 x ? 2 的零点依次为 a, b, c ,则 (A) A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c 5. 将函数 y=sin(2x-? )的图像 F 向右平移 是( ? , 0 ),则 ? 的一个可能值是 A. ?

? 个单位长度得到图像 F’, 若 F’的一个对称中心 6

3 8

( D ) C. ?

11 ? 12

B.

11 ? 12

5 ? 12

D.

5 ? 12

6. 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且满足 S15>0,S16<0,则 项为( C ) A.

S1 S2 , , a1 a2

,

S15 中最大的 a15

s6 a6

B.

s7 a7

C.

s8 a8

D.

s9 a9

7. 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 作双曲线 C 的一条 a 2 b2
( A )

渐近线的垂线, 垂足为 H, 若 F2 H 的中点 M 在双曲线 C 上, 则双曲线的离心率为 A.

2

B.

3

C.2

D.3

-6-

8. 在棱长为 5 的正四面体 P-ABC 的三条侧棱 PA ,PB ,PC 上分别取点 D,E,F , 使△DEF 三边 长分别为 DE=2,FD=FE=3,则不同的取法有 ( C ) A.1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种 二、填空题(本大题共七小题,9~14 每个空格 3 分,15 题 4 分,共 37 分) 9. 把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 形成三棱锥 C-ABD, 它的正视图与 俯视图如右图所示,则三棱锥 C-ABD 的体积为

1

1

2 12

.表面积为 1 ?

3 2
1

正视图 正视图

10. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f(x) 满 足 f ( ? x ) ? f ( x ? -3 . 11. 正实数 x,y 满足 xy+x+2y=6,则 xy 的最大值为

3 ), f(2015)=3 , 则 f(1)= 2
2 , x+y 的最小值为

1

俯视图 俯视图

4 2 -3

.

? x ? y ≥ 2, ? 12. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 2,则目标函数 y+2x 的最小值为 ?0 ≤ y ≤ 3, ?

1



若 目 标 函 数 z ? y ? ax 仅 在 点 ?5, 3? 处 取 得 最 小 值 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为

?1,

? ??

.

13. 已知向量 a, b 满足 a ? 3, b ? 2 3 , ( i )若 | a ? b |? 3 3 ,则向量 a, b 夹角余弦值为

3 6



(ii)若 a ? (a ? b) ,则 b 在 a 方向上的投影为

-3

.
2

[?1.2] ? ?2 , 14. 用[x]表示不大于 x 的最大整数, 如: [1.3]=1, [3]=3, 则方程 x ? 2[ x] ? 3 ? 0
的解的个数有 3 15. 已 知 函 数 y ? 个,所有解的和是

2? 7

.

2a ( s i ? n ? c? os ) ( a,? ? R, a ? 0) 对 任 意 的 a, θ , 函 数 的 最 大 值 2 a ? 2a c o ? s? 2

1? 3

.

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 73 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 16. (本小题满分 14 分)

-7-

?? ? 设函数 f ?x ? ? sin? 2 x ? ? ? cos 2 x ? 3 sin x cos x . 6? ?
(1) 若 x ?

?
4

,求函数 f ?x ? 的值域;

5 3 ? A? 5 (2) 设 A, B, C 为 ?ABC 的三个内角,若 f ? ? ? , cos ? A ? C ? ? ? ,求 cos C 的值; 14 ?2? 2

解: (1) f ?x ? ?

3 1 1 ? cos 2 x 3 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2 2 1 ?? 1 ? = 3 sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 sin? 2 x ? ? ? …………4 分 2 6? 2 ?

?x ?

?
4

??

?
3

? 2x ?

?
6

?

3 ?? 2? ? ?? ? sin? 2 x ? ? ? 1 …………6 分 2 6? 3 ?

5? 1 5 ?1 ? ? 3 ? f ?x? ? , 即 f ?x ? 的值域为 ? ? 3 , ? ;…………7 分 2? 2 2 ?2 ?? ? ? A? 5 ? (2)由 f ? ? ? , 得 sin? A ? ? ? 1 ,又 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? ,……9 分 2 2 6 3 ? ? ? ?

又因为在 ? ABC 中,

cos? A ? C ? ? ?

5 3 , 14

所以 sin? A ? C ? ?

11 ……10 分 14
……

?? 1 3 3 3 ? sin? A ? C ? ? 所以 cos C ? cos? A ? C ? ? ? cos? A ? C ? ? …………14 分 3 2 2 14 ? ?

17. (本小题满分 14 分)

如图,已知正方形 ABCD 的边长为 6 ,点 E , F 分别在边 AB, AD 上, AE ? AF ? 4 ,现将 △ AEF 沿线段 EF 折起到△ A ' EF 位置,使得 A ' C ? 2 6 . (1)求五棱锥 A '? BCDFE 的体积; (2)求平面 A ' EF 与平面 A ' BC 的夹角.

A?
D F A E B

C

.解(1)连接 AC ,设 AC ? EF ? H ,由 ABCD 是正方形, AE ? AF ? 4 , 得 H 是 EF 的中点,且 EF ? AH , EF ? CH ,从而有 A ' H ? EF , CH ? EF , 所以 EF ? 平面 A ' HC ,从而平面 A ' HC ? 平面 ABCD ,……………2 分 过点 A ' 作 A ' O 垂直 HC 且与 HC 相交于点 O , 则 A ' O ? 平面 ABCD ………………………………4 分 因为正方形 ABCD 的边长为 6 , AE ? AF ? 4 , 得到: A ' H ? 2 2, CH ? 4 2 ,

A?
D F A
H

C
O
E B

-8-

所以 cos ?A ' HC ?

8 ? 32 ? 24 1 ? , 2? 2 2 ? 4 2 2

所以 HO ? A ' H ? cos ?A ' HC ? 2, A ' O ? 6 所以五棱锥 A '? BCDFE 的体积 v ?

1 1 28 6 ;……………7 分 ? (62 ? ? 4 ? 4) ? 6 ? 3 2 3

(2)由(1)知道 A ' O ? 平面 ABCD ,且 CO ? 3 2 ,即点 O 是 AC , BD 的交点, 如图以点 O 为原点, OA, OB, OA ' 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 则 A '(0,0, 6), B(0,3 2,0), C(?3 2,0,0), D(0, ?3 2,0) ,

E( 2, 2 2,0), F ( 2, ?2 2,0) ………………………7 分
设平面 A ' EF 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则

A?
D F A
H

z
C

m ? FE ? 0 ? ( x, y, z) ? (0, 4 2,0) ? 0 ? y ? 0 ,
m ? A ' E ? 0 ? ( x, y, z) ? ( 2, 2 2, ? 6) ? 0 ? x ? 3z , x 令 z ? 1 ,则 m ? ( 3,0,1) ,………………………9 分

O
E

B y

设平面 A ' BC 的法向量 n ? ( x ', y ', z ') ,则 m ? CB ? 0 ? ( x ', y ', z ') ? (3 2,3 2,0) ? 0 ? y ' ? ?x ' ,

n ? A ' B ? 0 ? ( x ', y ', z ') ? (0,3 2, ? 6) ? 0 ? z ' ? 3 y ' ,
令 y ' ? 1 ,则 x ' ? ?1, z ' ? 3 ,即 n ? (?1,1, 3) , ………………………………12 分 所以 cos ? m, n ?? 0 ,即平面 A ' EF 与平面 A ' BC 夹角

? .………………………14 分 2

18. (本小题满分 15 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , 且满足 2Sn?1 ? 4Sn ? 1(n ? N ? ) . 2 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)当1 ? i ? n ,1 ? j ? n ( i, j , n 均为正整数)时,求 ai 和 a j 的所有可能的乘积 ai a j 之和.

解: (Ⅰ)∵ 2Sn?1 ? 4Sn ? 1 (n ? N ? ),?2Sn ? 4Sn?1 ? 1 (n ? 2, n ? N ? ) , a 两式相减得 an?1 ? 2an ,? n?1 ? 2(n ? 2, n ? N ? ) , an

a 1 由 2S2 ? 4S1 ? 1得 2(a1 ? a2 ) ? 4a1 ? 1,又 a1 ? ,? a2 ? 1, 2 ? 2 2 a1 1 ∴ 数列 ?an ? 是首项为 ,公比为 2 的等比数列, ∴ an ? 2n?2 2 (Ⅱ)由 a i 和 a j 的所有可能乘积 ai ? a j ? 2i ? j ?4 ( 1 ? i ? n , 1 ? j ? n )

7分

-9-

? 21? 1? 4, 2 1 ? 22? 1? 4, 2 2

2 ? 4

, 2 ?1 ,2 ,2

? 3

,4 n , 2? 1 ? , 4 ,n 2 ? 2 ? , 4 ,n 2 ? 3 ? , ,n 2n?

4 4 4

2 ? 4 2 ? 4

? 2 ? 3 ? 3 ? 3

可构成下表

? 23? 1? 4, 2 3

设 上 表 第 一 行 的 和 为 T1 , 则
? 4

n ?2 ?4 n 2n ?1 ? 4 , 2 ,2

?3 ? 4

1 n ( 1? 2 ) 1 n 4 T1 ? ? (2 ?1 ) 1? 2 4
1 n 1 n 1 ? 2n (2 ? 1) 2 ? 于是 Tn ? T1 (1 ? 2 ? 2 ? …+ 2 ) = (2 ? 1) 4 4 1? 2
2
n ?1

15 分

19. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 (m ? 0) ,如图, ?ABC 的三个顶点的坐标分别为 4m 2 m 2

A(2,0), B(0,1), C(2,1) .
(Ⅰ) 求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ) 若椭圆 C 与 ?ABC 无公共点,求 m 的取值范围; (Ⅲ) 若椭圆 C 与 ?ABC 相交于不同的两个点分别为 M , N .若 ?OMN 的面积为 坐标原点),求椭圆 C 的方程.

2 (O 为 4

2 2 2 2 解 (Ⅰ) 由已知可得, a ? 4m , b ? m

c c2 a 2 ? b2 3m2 3 , 即椭圆 C ? ? ? ? 2 2 2 a 2 a a 4m 3 的离心率为 --------------------5 分 2 (Ⅱ) 由图可知当椭圆 C 在直线 AB 的左下方或 ?ABC 在椭圆内时,两者便无公共点(5 分) ① 当椭圆 C 在直线 AB 的左下方时 x2 y2 AB ? ?1 将 : x ? 2 y ? 2 ? 0 即 x ? 2 ? 2 y 代入方程 4m 2 m 2 2 2 整理得 8 y ? 8 y ? 4 ? 4m ? 0 , ?e ?

- 10 -

由 ? ? 0 即 64 ? 32(4 ? 4m2 ) <0 解得 0 ? m ? ?0 ∴由椭圆的几何性质可知当 0 ? m ?

2 2

2 时, 椭圆 C 在直线 AB 的左下方 2 ② 当 ?ABC 在椭圆内时,当且仅当点 C (2,1) 在椭圆内 4 1 ? 2 ? 1 ,又因为 m ? 0 , ∴ m ? 2 ∴可得 2 4m m 2 综上所述,当 0 ? m ? 或 m ? 2 时,椭圆 C 与 ?ABC 无公共点--------------------10 分 2 2 (Ⅲ) 由(Ⅱ)知当 ? m ? 2 时, 椭圆 C 与 ?ABC 相交于不同的两个点 M ﹑ N 2 2 ∴① 当 ? m ? 1 时, M ﹑ N 在线段 AB 上,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 2

| MN |? 5 2m2 ?1
9 4 x 2 16 y 2 ? ?1 ,此时椭圆 C 的方程为 16 9 9 ② 当 1 ? m ? 2 时 , 点 M ﹑ N 分 别 在 线 段 BC , AC 上 ,
?OMN 的面积 s ? 2m2 ?1 ,得 m 2 ?

易 得

1, , N (2, 1 ) m2 ? 1) , ∴ S = S矩形OACB ? S OBM ? S 1 ? 2 ? m2 ? 1 ? m2 ? 1 ? (2 ? 2 m2 ? 1)(1 ? m2 ? 1) 2 M ( 2 m2 ?
? 2 ? 2 m2 ? 1 ? (1 ? m2 ? 1) 2 ? 2 ? m2

OAN

?S

MNC

2 x2 4 y2 ,此时椭圆 C 的方程为 ? ?1 4 8? 2 8? 2 4 x 2 16 y 2 x2 4 y2 ? ? 1或 综上,椭圆 C 的方程为 ? ? 1 --------------------15 分 9 9 8? 2 8? 2
得m ? 2?
2

20. (本小题满分 15 分) 已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的最小值;

1 ? x2 1 ? x2 . ? a 1 ? x2 1 ? x2

(2)当 a ? 1 时,判断 f ( x ) 的单调性,并说明理由; (3)求实数 a 的范围,使得对于区间 ? ? 以 f (r )、f ( s)、f (t ) 为边长的三角形. 解:易知 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) ,且 f ( x ) 为偶函数.

? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存在 5 5 ? ?

- 11 -

(1) a ? 1 时, f ? x ? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4
1 ? x2 1 ? x2 最小值为 2. ? 1 ? x2 1 ? x2
----------------------------------4 分

x ? 0 时 f ? x? ?
(2) a ? 1 时, f ? x ? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4

x ??0,1? 时,

f ? x ? 递增;

x ? ? ?1,0? 时, f ? x ? 递减;

f ( x) 为偶函数.所以只对 x ??0,1? 时,说明 f ? x ? 递增.
设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 0 ,得
4 4

1 1 ? x14

?

1
4 1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

1 1 ? x14

?

1
4 1 ? x2

? 0 所以 x ??0,1? 时, f ? x ? 递增; ------------9 分

(3) t ?

? 2 5 2 5? a 1 1 1 ? x2 , , x ? ?? ? ,? t ? [ ,1] ,? y ? t ? ( ? t ? 1) 2 t 3 5 ? 3 1? x ? 5
1 3

从而原问题等价于求实数 a 的范围,使得在区间 [ ,1] 上,恒有 2 ymin ? ymax ---10 分

1 a 1 时, y ? t ? 在 [ ,1] 上单调递增, 9 t 3 1 1 1 1 ? ymin ? 3a ? , ymax ? a ? 1, 由 2 ymin ? ymax 得 a ? ,从而 ? a ? ; 3 15 15 9 1 1 a 1 ②当 ? a ? 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 9 3 t 3 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? a ? 1 , 3 1 1 由 2 ymin ? ymax 得 7 ? 4 3 ? a ? 7 ? 4 3 ,从而 ? a ? ; 9 3 1 a 1 ③当 ? a ? 1 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 3 t 3 1 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? 3a ? , 3 3
①当 0 ? a ? 由 2 ymin ? ymax 得 ④当 a ? 1 时, y ? t ?

1 7?4 3 7?4 3 ?a? ,从而 ? a ? 1 ; 3 9 9

a 1 1 在 [ ,1] 上单调递减, ? ymin ? a ? 1, ymax ? 3a ? , t 3 3

- 12 -

由 2 ymin ? ymax 得 a ? 综上,

5 5 ,从而 1 ? a ? ; 3 3

1 5 ? a ? . ---------------------------------------15 分 15 3

模块卷 题 03
2 ( 1 ) 在 (1 ? x)(1 ? x)4 的 展 开 式 中 , 含 x 项 的 系 数 是 b , 若

(2 ? bx)7 ? a0 ? a1x ?
则 a1 ? a2 ?

? a7 x7 ,
.

? a7 ?

(2)某公交站每天 6:30~7:30 开往某学校的三辆班车票价相同,但车的舒适程度不同.学 生小杰先观察后上车,当第一辆车开来时,他不上车,而是仔细观察车的舒适状况,若 第二辆车的状况比第一辆车好,他就上第二辆车;若第二辆车不如第一辆车,他就上第 三辆车 . 若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等,则小杰坐上优等车的概率是

1 2
题 04 已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? a ( a ? R). 3

(1) 当 a ? ?3 时,求函数 f ?x ? 的极值; (2)若函数 f ?x ? 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围.

解: (1)当 a ? ?3 时, f ? x ? ?
2

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 3 , 3

∴ f ?? x ? ? x ? 2 x ? 3 ? ?x ? 3??x ? 1? .

- 13 -

令 f ?? x ? =0, 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 . 当 x ? ?1 时, f ' ?x? ? 0 , 则 f ?x ? 在 ?? ?,?1? 上单调递增; 当 ? 1 ? x ? 3 时, f ' ?x? ? 0 , 则 f ?x ? 在 ?? 1, 3? 上单调递减; 当 x ? 3 时, f ' ?x? ? 0 , f ?x ? 在 ?3,??? 上单调递增. ∴ 当 x ? ?1 时, f ?x ? 取得极大值为 f ?? 1? ? ? 当 x ? 3 时, f ?x ? 取得极小值为 f ?3? ? (2) ∵ f ?? x ? = x ? 2 x ? a ,
2

1 14 ?1? 3 ? 3 ? ; 3 3
…… 5 分

1 ? 27 ? 9 ? 9 ? 3 ? ?6 . 3

∴△= 4 ? 4a = 4?1 ? a ? . ① 若 a≥1,则△≤0, ∴ f ?? x ? ≥0 在 R 上恒成立, ∴ f(x)在 R 上单调递增 . ∵f(0) ? ? a ? 0 , f ?3? ? 2a ? 0 , ∴当 a≥1 时,函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. ② 若 a<1,则△>0, ∴ f ?? x ? = 0 有两个不相等的实数根,不妨设为 x1,x2, (x1<x2) . ∴x1+x2 = 2,x1x2 = a. 当 x 变化时, f x
'

?x?, f ?x?的取值情况如下表:
x1 0 极大值 (x1,x2) - x2 0 极小值 ↘ ↗

?? ?, x1 ?
+

?x2 ,???
+

f ?? x ?
f(x)



∵ x1 ? 2 x1 ? a ? 0 ,
2

∴ a ? ? x1 ? 2 x1 .
2

- 14 -

1 3 x1 ? x12 ? ax1 ? a 3 1 ? x13 ? x12 ? ax1 ? x12 ? 2 x1 3 1 ? x13 ? ?a ? 2 ?x1 3 1 ? x1 x12 ? 3?a ? 2 ? . 3 1 2 同理 f ?x2 ? ? x 2 x 2 ? 3?a ? 2? . 3 1 2 2 ∴ f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x1 x 2 x1 ? 3?a ? 2 ? ? x 2 ? 3?a ? 2 ? 9 1 2 2 2 ? ?x1 x 2 ??x1 x 2 ? ? 3?a ? 2? x12 ? x 2 ? 9?a ? 2? 9 1 2 2 ? a a 2 ? 3?a ? 2??x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2 ? 9?a ? 2? 9 4 ? a a 2 ? 3a ? 3 . 9 令 f(x1)· f(x2)>0, 解得 a> 0 .
∴ f ? x1 ? ?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?
?

?
?

?

?

?

而当 0 ? a ? 1 时, f ?0? ? ?a ? 0, f ?3? ? 2a ? 0 , 故当 0 ? a ? 1 时, 函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. 综上所述,a 的取值范围是 ?0,??? . 10 分 ……

- 15 -


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