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2015年高考文科数学函数专题训练(附答案)


2015 年高考文科数学复习试题——函数
一、选择题。 (每小题 5 分,共 50 分) 1. 下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e
-x

)

B.y=x3

C.y=ln x D.y=|x| )

2. 下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的

是( A.f(x)= 1 B.f(x)=x2+1 x2 )
2

C.f(x)=x3 D.f(x)=2

-x

3. 下列函数为偶函数的是(

A.f(x)=x-1 B.f(x)=x +x

C.f(x)=2x-2

-x

D.f(x)=2x+2

-x

4. 奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=( A.-2 B.-1 C.0 D.1

)

5. 设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的 是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 )

6. 设 a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则( A.b<a<c B.c<a<b

C.c<b<a D.a<c<b )

7. 若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图 11 所示,则下列函数图像正确的是(

图 12 A B

C 图 11

D

8. 在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图像可能是(
1

)

A

B

C 图 12

D

9. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-3x,则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零 点的集合为( A.{1,3} C.{2- 7,1,3} ) B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3}

10. 已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图像如图 13 所示,则下列结论 成立的是( )

图 13

A.a>1,x>1 C.0<a<1,c>1

B.a>1,0<c<1 D.0<a<1,0<c<1

二、填空题。 (每小题 5 分,共 30 分) 11. 偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(-1)=________. 12. 设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,
2 ? ?-4x +2,-1≤x<0, f(x)= ? 则f ?x, 0≤x<1, ?

?3?=________. ?2?

2

e ,x<1, ? ? 13. 设函数 f(x)=? 1 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是________. x ,x≥1, ? ?3 14. 已知 4a=2,lg x=a,则 x=________. 15. 函数 f(x)=lg x2 的单调递减区间是________.
?x2-2,x≤0, ? 16. 函数 f(x)=? 的零点个数是________. ?2x-6+ln x,x>0 ?

x-1

三、知识点记忆。 (每空 1 分,共 25 分) 17. 在公共定义域内: 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是________; 减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是________; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是________; 减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是________
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wxckt@126.com

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18.偶函数的图象关于________对称,奇函数的图象关于________对称. 19.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象的对称轴方程是________,顶点坐标是__________
2
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20.二次函数的解析式的三种形式:一般式___________________,顶点式________________ 零点式_____________________
x
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21. y ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质 a>1

王新敞
奎屯

新疆

0<a<1

图 象

(1)定义域: 性 质 (2)值域: (3)过点( , ) ,即 x= 时,y= (4)在 R 上是减函数

(4)在 R 上是增函数

3

22.对数函数的性质: a>1 0<a<1

图 象

定义域: 值域: 过点( , ) ,即当 x= 时,y=

性 质

x ? (0,1) 时 y ? 0

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新疆

x ? (0,1) 时
王新敞
奎屯 新疆

y?0
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1,??) 时 y ? 0

x ? (1,??) 时 y ? 0

在(0,+∞)上是增函数 四、解答题。 (共 45 分)

王新敞
奎屯

新疆

在(0,+∞)上是减函数

王新敞
奎屯

新疆

23.(10 分) 设 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x) 24. (10 分)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) 25. (12 分) 设 f ( x) 为偶函数,g ( x) 为奇函数, 又 f ( x) ? g ( x) ? 的解析式 26.(13 分)已知函数 f(x)=ex+e x,其中 e 是自然对数的底数.


1 , 试求 f ( x)和g ( x) x ?1

(1)证明:f(x)是 R 上的偶函数. (6 分) (2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e 分)
-x

+m-1 在(0, +∞)上恒成立, 求实数 m 的取值范围. (7

4

高考文科数学——函数答案
一、选择题 1. B 2. A 3. D [解析] 由定义域为 R,排除选项 C,由函数单调递增,排除选项 A,D. [解析] 由偶函数的定义,可以排除 C,D,又根据单调性,可得 B 不对. [解析] A 中,f(-x)=-x-1,f(x)为非奇非偶函数;B 中,f(-x)=(-x)2-x=
- -

x2-x,f(x)为非奇非偶函数;C 中,f(-x)=2 x-2x=-(2x-2 x)=-f(x),f(x)为奇函数;D 中,f(-x)=2 x+2x=f(x),f(x)为偶函数.故选 D.


4. D

[解析] 因为 f(x+2)为偶函数,所以其对称轴为直线 x=0,所以函数 f(x)的图像

的对称轴为直线 x=2.又因为函数 f(x)是奇函数, 其定义域为 R, 所以 f(0)=0, 所以 f(8)=f(- 4)=-f(4)=-f(0)=0,故 f(8)+f(9)=0+f(-5)=-f(5)=-f(-1)=f(1)=1. 5. C [解析] 因为 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 于是 f(-x)· g(-x)=-f(x)g(x),即 f(x)g(x)为奇函数,A 错; |f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)为偶函数,B 错; f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即 f(x)|g(x)|为奇函数,C 正确; |f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,即 f(x)g(x)为偶函数,所以 D 也错. 6. B [解析] 因为 2>a=log37>1,b=21.1>2,c=0.83.1<1,所以 c<a<b.

7. B [解析] 由函数 y=logax 的图像过点(3,1),得 a=3. 1?x 3 选项 A 中的函数为 y=? ?3? ,其函数图像不正确;选项 B 中的函数为 y=x ,其函数图 像正确;选项 C 中的函数为 y=(-x)3,其函数图像不正确;选项 D 中的函数为 y=log3(- x),其函数图像不正确,故选 B. 8. D [解析] 只有选项 D 符合,此时 0<a<1,幂函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且

当 x∈(0,1)时,f(x)的图像在直线 y=x 的上方,对数函数 g(x)在(0,+∞)上为减函数.故选 D. 9. D [解析] 设 x<0,则-x>0,所以 f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-3(-x)]=-x2-3x .

求函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点等价于求方程 f(x)=-3+x 的解. 当 x≥0 时,x2-3x=-3+x,解得 x1=3,x2=1; 当 x<0 时,-x2-3x=-3+x,解得 x3=-2- 7.故选 D. 10. D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限,得该函数是减函数,∴0<a<

5

1.∵图像与 x 轴的交点在区间(0,1)之间,∴该函数的图像是由函数 y=logax 的图像向左平 移不到 1 个单位后得到的,∴0<c<1.

二、填空题 11. 3 [解析] 因为函数图像关于直线 x=2 对称,所以 f(3)=f(1),又函数为偶函数,所 以 f(-1)=f(1),故 f(-1)=3. 3? ? 1? ? 1? 1 2 2- f - =-4?- ? +2=1. 12. 1 [解析] 由题意可知,f? = f ?2? ? 2? ? 2? ? 2? 1 - 13. (-∞,8] [解析] 当 x<1 时,由 ex 1≤2,得 x<1;当 x≥1 时,由 x ≤2,解得 1≤x≤8, 3 综合可知 x 的取值范围为 x≤8. 14. 10 1 1 1 [解析] 4a=2,即 22a=2,可得 a= ,所以 lg x= ,所以 x=10 = 10. 2 2 2

15. (-∞,0) [解析] 函数 f(x)=lg x2 的单调递减区间需满足 x2>0 且 y=x2 单调递减, 故 x∈(-∞,0). 16. 2 [解析] 当 x≤0 时,f(x)=x2-2, 令 x2-2=0,得 x= 2(舍)或 x=- 2, 即在区间(-∞,0)上,函数只有一个零点. 当 x>0 时,f(x)=2x-6+ln x, 令 2x-6+ln x=0,得 ln x=6-2x. 作出函数 y=ln x 与 y=6-2x 在区间(0,+∞)上的图像, 则两函数图像只有一个交点,即函数 f(x)=2x-6+ln x(x>0)只有一个零点. 综上可知,函数 f(x)的零点的个数是 2.

三、知识点记忆: 答案略。 四、解答题。 23. 解:设 f ( x) ? ax ? b

(a ? 0) ,则

f [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? a(ax ? b) ? b ? a 2 x ? ab ? b

? a2 ? 4 ?? ?ab ? b ? 3

?a ? 2 ?a ? ?2 ??  或   ? ? b?3 ?b ? 1
6

? f ( x) ? 2x ? 1  或   f ( x) ? ?2x ? 3
24. 解:令 t ?

x ? 1 ,则 t ? 1 , x ? (t ? 1) 2

? f ( x ? 1) ? x ? 2 x
? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1,
? f ( x) ? x 2 ? 1 ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? x 2 ? 2x ( x ? 0)

25. 解 ? f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,

? f (? x) ? f ( x), g (? x) ? ? g ( x)
又 f ( x) ? g ( x) ?

1 ① , x ?1

用 ? x 替换 x 得: f (? x) ? g (? x) ? ? 即 f ( x) ? g ( x) ? ?

1 x ?1

1 ② x ?1
1 x ?x
2
- -

解① ②联立的方程组,得

f ( x) ?

1 , x ?1
2

g ( x) ?

26. 解: (1)证明:因为对任意 x∈R,都有 f(-x)=e x+e -(-x)=e x+ex=f(x), 所以 f(x)是 R 上的偶函数. (2)由条件知 m(ex+e x-1)≤e x-1 在(0,+∞)上恒成立.
- -

t-1 令 t=ex(x>0),则 t>1,所以 m≤- 2 = t -t+1 - 1 对任意 t>1 成立. 1 t-1+ + 1 t-1 1 (t-1)· +1=3, 所以 - t - 1 1 1 ≥- , 1 3 t-1+ + 1 t-1

1 因为 t-1+ + 1≥2 t-1

当且仅当 t=2, 即 x = ln 2 时等号成立. 1? 因此实数 m 的取值范围是? ?-∞,-3?.

7

8


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