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公式汇

card ( A B) ? cardA ? cardB ? card ( A B)
集合 {a1 , a2 ,
n

, an } 的子 集个数

共有 2 个; n 真子集有 2 –1 个; 非空子集有 2 –1 个; n 非空的真子集有 2 –2 个.
n

/> 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值
2

真值表 p q 非p 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 真 .常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x , 成立 对任何 x , 不成立

p或q 真 真 真 假 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x , 不成立 存在某 x , 成立

p且q 真 假 假 假 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个

p 或q p 且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式

CU ( A B) ? CU A CU B; CU ( A B) ? CU A CU B .
3.包含关系

A B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A

? A CU B ? ? ? CU A B ? R

充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.

(1)定义法:

?p ? q ① p 是 q 的充分不必要条件 ? ? ? q ?p ? ?p ? ? q ② p 是 q 的必要不充分条件 ? ? ?p ? q ?p ? q ③ p 是 q 的充要条件 ? ? ?q ? p ?p ? ? q ④ p 是 q 的既不充分也不必要条件 ? ? ? q ?p ?

(2)集合法: 设 A={ x | x 满足条件 p }, B={ x | x 满足条件 q } ①若 A B, 则 p 是 q 的充分不必要条件, q 是 p 的必要不充分条件; ②若 A= B ,则 p 是 q 的充要条件( q 也是 p 的充要条件) ; ③若 A B 且 B A ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

(3)逆否命题法: ① ?q 是 ?p 的充分不必要条件 ? p 是 q 的充分不必要条件; ② ?q 是 ?p 的必要不充分条件 ? p 是 q 的必要不充分条件; ③ ?q 是 ?p 的充要条件 ? p 是 q 的充要条件; ④ ?q 是 ?p 的既不充分也不必要条件 ? p 是 q 的既不充分也不必要条件.

命题的否定与否命题 *1.命题 p ? q 的否定与它的否命题的区别: 命题 p ? q 的否定是 p ? ?q ,否命题是 ?p ? ?q . 命题“ p 或 q ”的否定是“ ?p 且 ?q ”,“ p 且 q ”的否定是“ ?p 或 ?q ”. *2.常考模式: 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ;全称命题 p 的否定 ? p : ?x ? M , ?p( x) . 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ;特称命题 p 的否定 ? p : ?x ? M , ?p( x) .

常见初等函数的图象及性质 1.一次函数 y ? ax ? b(a ? 0) ; 2.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;

k cx ? d 3.反比例函数 y ? (k ? 0) ; y ? x ax ? b
4.指数函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) ; 5.对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) ; 6.幂函数 y ? x? ;

常见初等函数的图象及性质 7.三角函数 y ? sin x,cos x, tan x; y ? Asin(? x ? ? ) ? B

b 8.“双勾函数” y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) : x

b b b b ],[ , ??) ,减区间为 [? ,0),(0, ] . 增区间 (??, ? a a a a

cx ? d y? ax ? b
b y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) x

函数 y ? f ( x) 的图象的对称性: ①函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称

? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x)

a?b ②函数 y ? f ( x) 的图象关于直 x ? 对称 2

? f (a ? x) ? f (b ? x) ? f (a ? b ? x) ? f ( x) .
③函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, 0) 对称 ? ④函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称 ?

f ( x) ? ? f (2a ? x) f ( x) ? 2b ? f (2a ? x)

常见的图象变换:
1.平移变换: 左加右减,上加下减 ①函数 y ? f ?x ? a ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的; ③函数 y ? f ?x ?+ a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的; ④函数 y ? f ?x ?+ a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 图象沿 y 轴向下平移 a 个单位得到的. ②函数 y ? f ?x ? a ?( (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 图象沿 x 轴向右平移 a 个单位得到的;

f ? x, y ? ? 0 ? f ? x ? a, y ? ? 0
f ? x, y ? ? 0 ? f ? x, y ? b ? ? 0

分数指数幂 (1) a (2) a
m n

?
?

1
n

?

m n

am 1
m n

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

根式的性质

a

(1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, a ? a ;
n n

?a, a ? 0 当 n 为偶数时, a ?| a |? ? . ??a, a ? 0
n n

有理指数幂的运算性质 r s r ?s (1) a ? a ? a (a ? 0, r, s ? Q) . (2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q) .
r s r rs

(3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
r r

loga N ? b ? a ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log a N ? log m a n n 推论 log am b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 , 且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m
b

对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; (2) log a N n (3) loga M ? n loga M (n ? R) .

1、线性函数型抽象函数

抽象函数的模型构造

f ( x) ? kx(k ? 0) -------f (x±y)=f(x)±f(y)
2、指数函数型的抽象函数 ; f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) ----- f( x+y)=f(x)f(y)

f ( x) f(x-y)= f ( y)

3、对数函数型的抽象函数 f(x)=loga x(a>0 且 a≠1)-----f(x·y)=f(x)+f(y) ;

x f( )= f(x )-f(y) y

4、幂函数型的抽象函数

x f ( x) ; f ( x) ? x ------- - f ( xy) ? f ( x) f ( y) , f ( ) ? y f ( y)
2

5. 正切函数型的抽象函数

f ( x) ? f ( y ) f ( x) ? tan x ------- f ( x ? y ) ? 1 ? f ( x) f ( y )
6. 复合函数型的抽象函数

x? y 1? x ) ------- f ( x) ? f ( y ) ? f ( h( x) ? loga 1 ? xy 1? x

2.函数 y= f(x)在点 x0 处的导数 f′ (x0 )的几何意义是曲线在 该点的切线斜率, 相应地, 曲线 y= f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线方程为 y- f(x0 ) = f′(x0 )· (x- x0). 3.常见基本初等函数的导数公式: (1)若 f(x)= c(c 为常数),则 f′(x)= ______; α * (2)若 f(x)= x (α∈ Q ),则 f′(x)= __________; (3)若 f(x)=sin x,则 f′ (x)= ________; (4)若 f(x)= cos x,则 f′(x)= ________; x (5)若 f(x)= a ,则 f′ (x)= __________; x (6)若 f(x)=e ,则 f′ (x)= ________; (7)若 f(x)= loga x,则 f′ (x)= ________; (8)若 f(x)= ln x,则 f′(x)= ________.

4.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′= __________; (2)[cf(x)]′= __________ (c 为常数 ); (3)[f(x)· g(x)]′= ______________; ?f? x? ? (4)? ? ′= ____________ (g(x)≠ 0). ?g? x? ?

复合函数 y=f(g(x))的导数

yx′= y′ u· ux ′

1.设函数 y ? f ( x) 在某个区间 (a, b) 内可导 . ( 1)若在区间 (a, b) 恒有 f '( x) ? 0 , 则 f ( x) 在区间 (a, b) 上是增函数; ( 2)若在区间 (a, b) 恒有 f '( x) ? 0 , 则 f ( x) 在区间 (a, b) 上是减函数.

2.若 f ( x) 在区间 (a, b) 上是增函数,则在区间 (a, b) 上有 f '( x) ? 0 , 且使得 f '( x) ? 0 的 x 值是孤立的; 若 f ( x) 在区间 (a, b) 上是减函数,则在区间 (a, b) 上有 f '( x) ? 0 , 且使得 f '( x) ? 0 的 x 值是孤立的.

Pn

T

一般地,曲线 y=f(x) 上一点 P(x0 , y0) 的切线 的斜率的计算公式:

k ? f ?( x0 )
y ? y0 ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) .

区间上不等式的常用类型及解决办法

不等式类型 ? x∈D, f(x)≥ M ? x∈D, f(x)≤ M ? x∈D, f(x)≥ g(x) ? x∈D, f(x)≤ g(x) ? x∈D, f(x)≥ M

解决方法 f(x)min≥ M f(x)max≤ M [f(x)- g(x)]min≥ 0 [f(x)- g(x)]max≤ 0 f(x)max≥ M

区间上不等式的常用类型及解决办法

不等式类型 ? x∈D, f(x)≤ M ? x∈D, f(x)≥ g(x) ? x∈D, f(x)≤ g(x) ? x1∈D1,? x2∈ D2, f(x1)≥ g(x2) ? x1∈D1,? x2∈ D2, f(x1)≥ g(x2) ? x1∈D1,? x2∈ D2, f(x1)≤ g(x2) ? x1∈D1,? x2∈ D2, f(x1)≥ g(x2)

解决方法 f(x)min≤ M [f(x)- g(x)]max≥ 0 [f(x)- g(x)]min≤ 0 f(x)min≥ g(x)max f(x)min≥ g(x)min f(x)max≤ g(x)max f(x)max≥ g(x)min

①奇偶性: ⅰ.定义判断奇偶性的步骤: ⑴ 定义域 D 是否关于原点对称; ⑵ 对于任意 x ? D ,判断 f (? x) 与 f ( x ) 的关系: 若 f (? x) ? f ( x) ,也即 f (? x) ? f ( x) ? 0

? y ? f ( x), x ? D 为偶函数
若 f (? x) ? ? f ( x) ,也即 f (? x) ? f ( x) ? 0

? y ? f ( x), x ? D 为奇函数

①奇偶性: ⅱ.图象判断奇偶性:函数图象关于原点对称 ? 奇函数; 函数图象关于 y 轴对称 ? 偶函数; ⅲ.判断函数的奇偶性时,注意到定义域关于原点对称了吗? ⅳ.如果奇函数 y ? f ( x) 在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 。 ⅴ.一个函数既是奇函数又是偶函数,则该函数必为:

f ( x) ? 0, x ? D (其中定义域 D 关于原点对称 )
ⅵ.如果两个函数都是非零函数(定义域相交非空) ,则有: 奇+奇 ?奇;奇+偶 ?非奇非偶;偶+偶 ? 偶;奇 ? 奇 ? 偶; 奇 ? 偶 ?奇; 偶 ? 偶 ? 偶。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 )? ? 0 ? ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 )? ? 0 ? ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2 (2) 设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数.

函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

(1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,

1 或 f ( x ? a) ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 2 或 ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a),( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f ( x) 的周期 T=2a; 2 1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; (3) f ( x) ? 1 ? f ( x ? a)

33.指数式与对数式的互化式

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log a N ? log m a n n 推论 log am b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m
35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M (2) log a ? log a M ? log a N ; N n (3) loga M ? n loga M (n ? R) .

19.若函数 y ? f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 20.对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,

a?b 则函数 f ( x) 的对称轴是函数 x ? ; 2

a?b 两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2
a 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) , 2
则函数 y ? f ( x) 为周期为 2a 的周期函数.

23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)

? f (2a ? x) ? f ( x) .

a?b (2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2 ? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .
24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称.

a?b (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? 对称. 2m ?1 (3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

利用公式)点P(x0,y0)关于直线Ax+By+C=0 2 A? Ax0 ? By0 ? C ? 2 B? Ax0 ? By0 ? C ? ? ? x ? , y ? 的对称点Q的坐标为 ? 0 ? 0 2 2 2 2
? A ?B A ?B ?

? y1 ? y0 ? A ? ? ? ? ? ? ?1?? (1) ? ? x1 ? x0 ? B ? ? ? A x1 ? x0 ? B y1 ? y0 ? C ? 0?? (2) ? 2 2 ?

一般地:
点(x0,y0)关于直线y=x的对称点为(y0,x0) 点(x0,y0)关于直线y=-x的对称点为(-y0,-x0) 点(x0,y0)关于直线y=x+b的对称点为(y0-b,x0+b) 点(x0,y0)关于直线y=-x+b的对称点为(b-y0,-x0+b) 点(x0,y0)关于直线y=0(即x轴)的对称点为( x0,-y0) 点(x0,y0)关于直线x=0(即y轴)的对称点为(-x0,y0) 点(x0,y0)关于直线y=m的对称点为(x0,2m-y0) 点(x0,y0)关于直线x=n的对称点为(2n-x0,y0) 注:当对称轴的斜率为±1或对称轴与坐标轴垂直时可用 上述方法直接求出对称点的坐标。

点关于线的对称:设 P(a, b) 对称轴 对称点 P? 对称轴 对称点 p ?

x轴
y轴 y?x

P?(a, ?b) P?(?a, b)

y ? ?x
x ? m(m ? 0) x ? n(n ? 0)

P?(?b, ?a) P?(2m ? a, b) P?(a, 2n ? b) P?(m ? b, ?a ? m)

P?(b, a)
P?(b ? m, a ? m)

y ? x?m

y ? ?x ? m

求点 P(a, b) 关于直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的一般方法:

( 3)曲线关于点对称:曲线 C : f ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 的对称曲线

C? : f (2x0 ? x,2 y0 ? y) ? 0

3 1 例、对于任意 x ? R ,函数 f ?x ? 表示 ? x ? 3 , x ? , 2 2
x 2 ? 4 x ? 3 中的较大者,则 f ?x ? 的最小值是_____2_____.
例、若关于 x 的方程 2 x ? 1 ? x ? m 有两个不同的实数根, 求实数 m 的范围。

1 解: ? m ? 1 2

知识 结构
数列

通项an

? S1 (n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)

前n项和Sn 定义 等比数列 通项 前n项和

等差数列
性质

等差、等比数列的有关概念和公式
等 差 数 列 定义 等 比 数 列

an+1-an=d(常数) , n∈N* an+1/an=q(常数), n∈N*
通项公式

an= a1+(n-1)d
中项公式

an=a1qn-1(a1,q≠0) 若a,G,b成等比数列, 则G2=ab(a,b≠0)

若a,A,b成等差 数列,则 A=(a+b)/2.
前n项和 公式

n( a1 ? an ) ? na1 Sn ? 2 ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? anq n( n ? 1) ? 1? q ? 1? q ? na1 ? d ? 2

(q ? 1) (q ? 1)

判断(或证明)数列为等差(等比)的方法:

方法一(定义)( a n + 1 -a n = d 或

方法二(等差中项) a n + 1 +a n -1 = 2a n

a n -a n - 1 = d ( n ≥ 2 )
(n≥2)

等差数列与等比数列前n项和

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 1、等差数列: Sn ? 2 2

? na1 ? n S ? 2、等比数列: n ? a1 (1 ? q ) a1 ? anq ? 1? q ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

注意公式的变形应用

如:等差数列的前 n 项和公式:
n(a1 ? a n ) n(a 2 ? a n ?1 ) n(a m ? a n ?m?1 ) Sn ? ? ??? 2 2 2 n(n ? 1)d d 2 d S n ? na1 ? ? n ? (a1 ? )n ? an 2 ? bn 2 2 2
等比数列的前 n 项和公式:
a1 ? am q n?m?1 a1 (1 ? q n ) a1 ? an q a1 ? an?1q 2 (q ? 1) Sn ? ? ? ??? 1? q 1? q 1? q 1? q

a ? a n m (1) an ? am ? ? n ? m? d d? n ? m (2)若 m ? n ? p ? q ? 2k 则 am ? an ? a p ? aq ? 2ak
(3)若数列 {an } 是等差数列,则 也是等差数列

等差数列的重要性质

S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k , S 4 k ? S3k , ?
d ?k d
2 ?

等差数列的重要性质
4)对于等差数列{ an }:
若项数为 2 n 则 S 偶 ? S 奇 ? nd

若项数为 2 n ? 1 则 S 奇 ? S 偶 ? a n (中间项)

S奇 n ? S偶 n ? 1

通项公式:

an ? a1 ? (n ? 1)d . an ? am ? (n ? m)d

an ? am 当 m ? n 时,d ? . n?m
an ? kn ? b (k , b 是常数)

等差数列{an} 的判定方法:

(1) {an } 是等差数列 ? an ? an ?1 ? d (d 是常数, n ? 2)
(2) {an } 是等差数列 ? an ? kn ? b (k , b 是常数) (3) {an } 是等差数列
an ?1 ? an ?1 ? an ? (n ? 2) 2

等差数列性质:若数列{an}是公差为d 的等差数列,则

(1) an ? am ? (n ? m)d .
(2) 若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq .
(3) ak ,ak ? m ,ak ? 2 m , ? 组成的数列仍然是 等差数列,且公差为 md . (4) S k , S 2 k ? S k ,S3k ? S 2 k , ? 组成的数列仍然是
等差数列 . (5) 若数列{an }与{bn}均为等差数列 , 则数列

{man ? kbn }(m,k 为常数)仍为等差数列 .

(2) 若 m 、 n、 p、 q? N 且m ? n ? p? q
*

am ? an ? a p ? aq

(反之不成立)

证明: 由通项公式得: am ? an ? a1 ? (m ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d

a p ? aq ? a1 ? ( p ? 1)d ? a1 ? (q ? 1)d ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d ? m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq

等差数列{an}
n(a1 ? an ) 前n和公式:公式 1:Sn ? 2

n( n ? 1) 公式 2:Sn ? na1 ? d 2
2 d d S n ? n ? (a1 ? )n 2 2 2 则 Sn ? An ? Bn .

当 n ? 2k ?1 (k ? N ) 时,
*

(2k ?1)(a1 ? a2k ?1 ) (2k ?1)(a ? a ) k k ? ( 2 k ? 1 ) a S2k ?1 ? k ? 2 2
当 n ? 2k (k ? N ) 时,
*

2k (a1 ? a2k ) ? k (a ? a ) . S2 k ? k k ?1 2

说明:利用这一特征,可以简化解题,减少运算量.

等差数列{an} 的判定方法: (1) {an } 是等差数列

? an ? an ?1 ? d (d 是常数, n ? 2) (2) {an } 是等差数列 ? an ? kn ? b (k , b 是常数)
(3) {an } 是等差数列 an ?1 ? an ?1 ? an ? (n ? 2) 2 (4) {an } 是等差数列
? S n ? An2 ? Bn ( A , B 是常数)

设 Sn 数列 ?an ?的前 n 项和, 知和求项: 即 S ? a ? a ? a ? ??? ? a n 1 2 3 n

? ? n ? 1? ? S1 则 an ? ? ? ? Sn ? Sn ?1 ? n ? 2 ?

? a1 (1 ? q ) a1 ? an q ? (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q 1? q ? na1 (q ? 1) ?
n

Sn ? Aq ? B( A ? B ? 0, q ? 0, q ? 1)
n

等差数列和等比数列的比较
等差数列
1.通项公式 特 征
an ? a1 ? (n ? 1 )d an ? kn ? b

等比数列

2.前 n 项和

特 征

n 的系数k就是公 差 ( a ? a n )n Sn ? 1 2 n( n ? 1)d S n ? na1 ? 2 Sn ? an2 ? bn

an ? a1q n?1 an ? kan 底数a就是公比 a1 (1 ? q n ) Sn ? ,(q ? 1) 1? q a1 ? anq Sn ? , (q ? 1) 1? q Sn ? ka n ? k
a 的n 次幂的系数与常 数项互为相反 数。

是关于n 的不含常 数项的二次函数

3.性质

等差数列 a ? am d? n n?m
a n ? a m ? ( n ? m )d

等比数列
q n?m ? an am

an ? am q n? m
an am ? ak a p
a p、aq、ar 成等比

m?n? k? p
p、q、r成等差

an ? am ? ak ? a p

a p、aq、ar 成等差
S n、S 2 n ? S n、S 3 n ? S 2 n ?也成等差

S n、S 2 n ? S n、S 3 n ? S 2 n ?也成等比
k ?an ? bn ? 则?kan ? 、 an 、

?kan ?、 ?an ? bn ? 则?an ? k ?、
也是等差数列

?bn ?是等比数列, ?bn ?是等差数列, 若?an ?、 若?an ?、

? ?

也是等比数列

1 1 1 1 1 S n ? 2 ? ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? n n?1 ? (n ? 1) n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Sn ? 2 ? 2 ? 3? 3 ? 4 ? 4 ? n n ? (n ? 1) n?1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? (n ? 1) n?1 2 2 2 2 2 3 1 1 3 n?3 ? ? n ? (n ? 1) n?1 ? ? n?1 2 2 2 2 2 n?3 ? ? Sn ? 3 ? n (n ? N ) 2

1 an ? (n ? 1) n ........S n 2

基本不等式 (2)
一“正” 二“定” 三“相 等”

重要结论:
2 ? ab ? a ? b ? a 2 ? b 2 (a , b ? R? ) 1?1 2 2 a b

调 和 平 均 数

几 何 平 均 数

算 术 平 均 数

平 方 平 均 数

(当且仅当 a ? b 时取“ ?” 号)

知识串

1 “直线定界、特殊点定域”. 2 “同侧同号、异侧异号”.
点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)位于直线 Ax+ By+ C= 0 的两侧 的等价条件是:(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.

3.线性目标函数 z= ax+ by 取最大值时 的最优解与 b 的正负有关:

(1) 若 b>0,最优解是将直线 ax+by=0 向上平移 到端点(最优解 )的位置得到的; (2)若 b< 0,则是向下平移.

等价转化思想
已知二次函数 f(x)= ax2+ bx(a≠ 0)满足 1≤ f(- 1)≤ 2, 2≤ f(1)≤ 4,求 f(- 2)的取值范围 .

?1 ? a ? b ? 2 4a ? 2b ? 2 ? a ? b ? 4 ?

方程 x + ax+ 2b=0 有两个根,一个根在区间(0,1) 内,另一个根在区间(1,2)内,求点(a, b)对应的区域的面 b- 2 积以及 的取值范围. a- 1

2

b>0, ? ? ??a+2b+1<0, ? ?a+b+2>0,

a4 ? a1 ? 3d

2.直线方程:
形 式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 条 件 过点( x0,y0), 斜率为k 在y轴上的截距为b, 斜率为k 过P1(x1, y1), P2(x2, y2) 在y轴上的截距为b, 在x轴上的截距为a 方 程
y ? y0 ? k( x ? x0 )

y ? kx ? b

y?y y ?y
2

1 1

?x x ? x ?x
2

1 1

x y ? ? 1. a b
Ax ? By ? C ? 0

一般式

A、B 不同时为 0

3. 已知两直线 l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2时,

则直线 l1∥l2 ? k1=k2且b1≠b2
直线 l1 ⊥l2 ? k1 · k2= –1

已知两直线 l1: A1x+B1y + C1=0 , l2: A2x+B2y+C2=0 且 A1B1C1≠ 0 , A2B2C2≠ 0 , A1 B1 C1 ? ? . 则直线 l1∥l2 ? A2 B2 C 2 A1 B1 C1 ? ? . ? 直线 l1与l2重合 A2 B2 C 2
A1 B1 ? . l1 ⊥l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 直线 l1与l2相交 ? A2 B2

4. 与直线A x + B y + C = 0平行的直线可设为: A x + B y +λ= 0 (λ≠C) ____________________________________ ; 与直线A x + B y + C = 0垂直的直线可设为: B x - A y +λ = 0 ____________________________________ ;

过两直线l1:A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2: A2 x + B2 y + C2 = 0 交点的直线可设为: A1 x + B1 y + C1+ λ( A2 x + B2 y + C2) = 0 _________________________________________________ .

5.两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)间的距离公式为:
| P1 P2 |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2



点P(x0, y0)到直线l:Ax+B y +C=0的距离公式为: Ax0 ? By0 ? C d? A2 ? B 2 两平行直线l1: Ax+By+C1=0, l2: Ax+By+C2=0间的距离为: C1 ? C 2 d? A2 ? B 2

基础自查
1.圆的定义 在平面内, 到定点的距离等于定长 2.圆的标准方程与一般方程 (1)方程(x-a) +(y-b) =r (r>0)表示圆心为 (a,b) ,半径为 r 的圆的标准方程; (2)特别地,以原点为圆心,半径为 r(r>0)的圆的标准方程为 x2+y2=r2 . D E 1 2 2 2 2 (3)方程 x +y +Dx+Ey+F =0 表示圆心为?- ,- ? ,半径为 D +E -4F的 ? 2 2? 2 圆的一般方程.
2 2 2

的点的集合叫圆.

3.圆的参数方程

? ?x=a+rcos θ 以 C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的参数方程为:? (θ 为参数),特别 ? ?y=b+rsin θ ? ?x=rcos θ 地,以原点为圆心的圆的参数方程为? (θ 为参数). ? ?y=rsin θ

4.P (x0 ,y0 )与圆(x-a)2 +(y-b)2 =r2 的位置关系 (1)若(x0 -a) +(y0 -b)>
2 2 2 2 2

r ,则点 P 在圆外;

2

(2)若(x0 -a) +(y0 -b) =r ,则点 P 在圆上; (3)若(x0 -a)2 +(y0 -b)2 < r2 ,则点 P 在圆内.

1.第一定义:

椭圆: MF 1 ? MF 2 ? 2a(2a ? F 1F 2 ) (当 2a ? F 1F2 时,轨迹是线段 ..F1F2 ; 当 2a ? F1F2 时,轨迹不存在)

双曲线: MF1 ? MF2 ? 2a (2a ? F1F2 ) (当 2a ? F1F2 时,轨迹是两条射线 ; .... 当 2a ? F1F2 时,轨迹不存在) 2.圆锥曲线统一定义:平面上到定点(焦点)的距离与到定直线(相应准线) 的距离之比为常数 e(e ? 0) 的动点的轨迹. 0 ? e ? 1 时,轨迹是椭圆;

e ? 1 时,轨迹是抛物线; e ? 1 时,轨迹是双曲线.

S ?ABC ? b tan
2

?
2

求曲线的轨迹方程

1 待定系数法
已知圆 C 经过 A(5,1), B(1,3)两点,圆心在 x 轴上, 则圆 C 的方程为 ______________.
设圆心坐标为 (a, 0),易知 ? a- 5?2+?- 1?2= ? a- 1?2+?- 3?2, 解得 a= 2, ∴圆心为 (2,0),半径为 10, ∴圆 C 的方程为(x- 2)2+ y2= 10.

2 定义法
长为 2 a 的线段 AB 的两个端点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动, 则线段 AB 的中点 P 的轨迹方程是 .

【解析】设 P( x, y) ,则 A(2 x, 0), B(0, 2 y) ,又 AB 长为 2 a ,
2 2 有 4 x ? 4 y ? 2a ,

即线段 AB 的中点 P 的轨迹方程是 x2 ? y 2 ? a2

.

3 直接法
已知两个定点的距离为 6,点 M 到这两个定点的 距离的平方和为 26,求点 M 的轨迹方程.
解 设已知两个定点分别是 A, B,以 AB 所在直线为 x 轴, AB 中点为坐标原点建立坐标系如图,则 A(-3,0), B(3,0),
2 设动点为 M ? x, y ? ,由题意 MA ? | MB | ? 26 2



?

( x ? 3) ? y
2

2

? ??
2

( x ? 3) ? y
2

2

?

2

? 26

化简得: x 2 ? y 2 ? 4 故所求轨迹方程是 x 2 ? y 2 ? 4 .

4 相关点法
已知点 P 是直线 2x- y+ 3=0 上的一个动点,定点 M(- 1,2), Q 是线段 PM 延长线上的一点,且 |PM|= |MQ|, 则 Q 点的轨迹方程是 A. 2x+ y+ 1= 0 C. 2x- y- 1= 0 B. 2x- y- 5= 0 D. 2x- y+ 5= 0



由题意知, M 为 PQ 中点,设 Q(x, y),则 P 为(- 2- x,4- y),

代入 2x- y+ 3= 0 得 2x- y+ 5= 0.

2 y 2 曲线 x - = 1.求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程; 2

5 点差法

解 设弦的两端点为 P1 (x1, y1), P 2(x2, y2),
2 ?2x2 - y 1 1 = 2, 则? 2 2 两式相减得到 ?2x2- y2 = 2,

2(x1- x2 )(x1+ x2)=(y1- y2 )(y1+ y2 ), 又 x1+ x2= 4, y1+ y2= 2, y1 - y2 所以直线斜率 k= = 4. x1 - x2 故求得直线方程为 4x- y- 7= 0.

6 向量法
在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1), B 点在直线 y ? ?3 上,

uuu r uur uuu r uu u r uuu r uu r M 点满足 MB / /OA , MA ? AB ? MB ? BA , M 点的轨迹为曲线 C,
求曲线 C 的方程.

【解析】设 M ( x, y) ,由已知得 B( x, ?3), A(0, ?1) . 所以 MA ? (? x, ?1 ? y) , MB ? (0, ?3 ? y) , AB ? ( x, ?2) . 再由题意可知 (MA ? MB) ? AB ? 0 , 即 (? x, ?4 ? 2 y) ? ( x, ?2) ? 0 .

1 2 所以曲线 C 的方程为 y ? x ? 2 . 4

x2 y2 过 2 + 2 = 1 (a>b>0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N, a b 则线段 MN 中点的轨迹方程是 ____________.

7 参数法
2

x 4y 答案 2+ 2 =1 a b

2

标准方程

2 y x ? ? 1 ?a ? b ? 0? 2 2 a b 2

y2 x2 ? 2 ? 1?a ? 0,b ? 0? 2 a b

双 曲 线 的 简 单 几 何 性 质

图 象 范 围 对称性 顶 点 焦 点 渐近线 准 线 离心率

| x|?a
(-a,0), (a,0) (-c,0), (c,0) x? y ?0 a b 2 a x?? c

| y|?a
(0,-a) , (0,a) (0,-c) , (0,c) y x ? ?0 a b 2 a y?? c

关于坐标轴对称、关于原点对称.

e ? c ? 1,c 2 ? a 2 ? b2 a

等轴双曲线的离心率e= ?

2

离心率e ? 2的双曲线是等轴双曲线

c e? a

c ? a ?b
2 2

2

y

在a、b、c、e四个参数中,知二可求 二
B2

c 2 ? b2 ? a 2
c b a
A2

几何意义

A1

0
B1

x

焦半径公式:
由双曲线的第二定义, 得

( x0 , y0 )

| MF2 | | MF1 | ? e, ? e , 2 2 a | a | x ? | x0 ? | 0 c c

F1
2 a x?? c

F2
2 a x? c y

化 简 得: | MF1 | ?| a ? ex 0 | ,

| MF2 | ?| a ? ex 0 | .
同理可得焦点在 y 轴上的焦半径公式:

F2 x F1

| MF1 | ?| a ? ey0 | , | MF2 | ?| a ? ey0 | .

抛物线的几何性质 图形 方程
y 2 ? 2 px

范围
x?0

对称性
x轴

顶点
(0 , 0)

离心率
e ?1

? p ? 0?

y 2 ? ?2 px x ? 0 ? p ? 0?
x 2 ? 2 py ? p ? 0?

x轴

(0 , 0)

e ?1

y?0

y轴

(0 , 0)

e ?1

x 2 ? ?2 py y ? 0

? p ? 0?

y轴

(0 , 0)

e ?1

方程
图 形 范围

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F x

x2 = -2py (p>0) y
x l

(p>0) y
l O F

l x

F

O

O

O

F

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2

引例.

y

. . . .

A

O

.. ..
F
B

?

x

想 一 想 ?

.①当直线的斜率存在时,弦长公式:

l ? 1 ? k 2 x1 ? x 2

? (1 ? k ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
2 2

?

?

(其中( x1 , y1 ),( x2 , y2 )是交点坐标)。 ②抛物线 |AB|=

2p x1 ? x 2 ? p ? 2 sin ?

y ? 2 px的焦点弦长公式
2

其中α 为过焦点的直线的倾斜角。

基础自查
1.平面的基本性质

(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的
点都 在这个平面内.

(2)公理2:如果两个平面(不重合的两个平面)有 一个 公共点,那么它们还
有其 他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.
不在同一条直线上

(3)公理3:经过

的三点,有且只有一个平面.

推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

2.空间两条直线 (1)空间两条直线的位置关系有 相交 、 平行 、 异面 . (2)平行直线 ①公理4:平行于同一条直线的两条直线 互相平行 . ②等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那

么这两个角 相等 .
(3)异面直线 ①定义:异面直线是指 不同在任何一个平面内 的两条直线. ②性质:两条异面直线既不相交又不平行.

③判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线
是异面直线. (4)异面直线所成的角 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,由于a′和 b′所成角的大小与点O的选择无关,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做 异面直线a与b所成的角(或夹角). 如果两条异面直线所成的角是 直角 ,就说两条异面直线互相垂直.

3.斜二测画法

(1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy,画直观图时,把它画成对应的轴
O′x′、O′y′使∠x′O′y′=45°或135°,它们确定的平面表示水平 面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴和 y′轴的线段.

(3)在直观图中,已知图形中平行于x轴的线段, 保持原长度不变 ;平行于y轴
的线段, 长度为原来的一半 .

基础自查
1.直线和平面平行
(1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面. (2)判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这

条直线和这个平面平行.
用符号表示为: a?α,b?α,且a∥b?a∥α 面相交,那么这条直线就和交线平行. 用符号表示为:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b. .

(3)性质定理:如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线 的平面和这个平

2.两个平面平行

(1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行.
(2)判定定理:如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面,那么这两 个平面平行.

用符号表示:a?α,b?α,a∩b=M,a∥β,b∥β?α∥β.
(3)性质定理:如果两平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 用符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b .

1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理:一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直,则该直线和 此平面垂直.

③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也
垂直 于这个平面. (2)直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面,则垂直于平面内 任意 直线.
②垂直于同一个平面的两条直线 平行 . ③垂直于同一直线的两平面 平行 .

2.三垂线定理及其逆定理 定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它 也和这条斜线垂直. 逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和 这条斜线的 射影 垂直.

3.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理:一个平面过另一个平面的 一条垂线,则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直,则一个平面内垂直于 交线 的直线垂直于另一个平面.

基础自查
1.棱柱、棱锥的定义









有两个面互相 平行 ,其余各面都

定义

是四边形,并且每相邻两个四边形 的公共边都互相平行,这些面围成 的几何体

有一个面是多边形,其余各面

是 有一个公共顶点 的三角形,由
这些面围成的几何体 多边形

底面

互相平行的面

侧面
侧棱 顶点

其余各面
两个侧面的公共边 侧面与底面的公共顶点 各侧面的公共顶点



两个底面间的距离

顶点到底面的距离

2.棱柱、棱锥的性质

棱 侧 面







平行四边形

三角形





平行且相等
与底面全等的多边形 平行四边形

交于一点
与底面相似的多边形 三角形

平行于底面的截面 纵截面

3. 正棱锥 (1)定义 底面是正多边形,并且顶点在底面上的射影是底面的 中心 ,这样的棱锥叫做正棱 锥. (2)性质 ①侧面是
全等的等腰三角形

,与底面所成二面角均相等;

②侧棱均相等,侧棱与底面所成的角均 相等 ; ③平行于底面的截面也是正多边形.

4.体积与面积 (1)柱体体积公式为 V=Sh,其中 S 为底面面积,h 为高. 1 (2)锥体体积公式为 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高. 3 (3)棱柱的侧面积是各侧面
平行四边形面积之和

,直棱柱的侧面积是底面周长

与侧棱长的积;棱锥的侧面积是各侧面三角形面积之和,正棱锥的侧面积是底 面周长与
斜高乘积的一半.

(4)全面积等于侧面积与底面积之和,即 S 全=S 侧+S 底.

基础自查
1.多面体 (1)多面体的概念 若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多

面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,若干个面的公共顶点叫做多面体
的顶点. 把一个多面体的任何一个面伸展为平面,如果其他各面都在这个平面的同侧,

这样的多面体叫做凸多面体.
一个凸多面体至少有 4个 面,多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、 六面体等. (2)正多面体 每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为端点都有相同数目的棱的 凸多面体叫做正多面体.

2.球及球面 (1)球的定义 半圆以它的 直径 为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球 体,简称球,球面也可看作与定点(球点)的距离等于定长(半径)的点的集合.球可用 表示球心的字母表示,如球 O. (2)球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面.球的截面有如下性质: ①球心与截面圆心的连线 垂直 于截面. ②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆半径 r 有如下关系:r= R2 -d2. 若截面过球心,d=0,r=R,此时球面被截得的圆叫做大圆. 不过球心的截面截得的圆叫做小圆.当 d=R 时,r=0,截面缩成一个点,此时平面 与球面相切,此点称为切点,平面叫做球的切面.

(3 球的表面积与体积
4 3 S=4πR ;V 球= πR . 3
2

1.基本定理 (1)共线向量基本定理 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在实数 λ,使 a=λb. 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线, 那么对任一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,满

→ → 足等式OP=OA+ta,其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量,如图. → 1→ → 线段 AB 的中点公式为(其中 P 是 AB 的中点) OP= (OA+OB). 2

(2)共面向量基本定理 如果两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x,y p=xa+yb. 推论 1:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x,y,

→ → → → → → → 使MP=xMA+yMB,或对空间任一定点 O,有OP=OM+xMA+yMB.①

在平面 MAB 内,点 P 对应的实数对(x,y)是唯一的,①式叫做平面 MAB 的向量表示式 推论 2:对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足向量关系式

→ → → → OP=xOA+yOB+zOC (其中 x+y+z=1)的四点 P、A、B、C 共面(当且仅当 x+y+z=1 时

(3)空间向量基本定理

如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x,y,z, 使 p=xa+yb+zc.

如果三个向量 a、b、c 不共面,那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x、y、 z∈R},这个集合可看作是由向量 a、b、c 生成的,所以我们把{a,b,c}叫做空间的一个基 底,a,b,c 都叫做基向量,(x,y,z)叫做 p 对基底{a,b,c}下的坐标.

推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 x,

→ → → → y,z,使OP=xOA+yOB+zOC.

2.两向量的数量积 (1)空间两个向量夹角

→ → 如图,已知两个非零向量 a、b,在空间任取一点 O,作OA=a,OB=b,
则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作〈a,b〉 . 0≤〈a,b〉≤π,并且〈a,b〉=〈b,a〉 . π (2)若〈a,b〉= ,则称 a 与 b 互相垂直,并记作 a⊥b. 2

(3)已知空间两个向量 a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做向量 a,b 的数量积, 记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos〈a,b〉 .

→ (4)已知向量AB=a 和轴 l,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量(如图).
作点 A 在 l 上的射影 A′,作点 B 在 l 上的射影 B′,则|a|cos〈a,e〉叫做向

→ 量AB在轴 l 上或在 e 方向上的正射影,简称射影, → 可以证明 A′B′=|AB|cos〈a,e〉=a· e.
(5)性质 ①a· e=|a|cos〈a,e〉 . ③|a| =a· a.
2

②a⊥b?a· b=0.

a· b ④cos〈a,b〉= . |a||b|

(6)运算律

①(λa)· b=λ(a· b)

②a· b=b· a(交换律). ③a· (b+c)=a· b+a· c(分配律). 3.空间向量的坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3); a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); λa=(λa1,λa2,λa3); a· b=a1b1+a2b2+a3b3; a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R); a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0.

4.空间两点间的距离公式

→ 2 2 2 设 A=(x1,y1,z1),B=(x2,y2,z2),则|AB|= ?x2-x1? +?y2-y1? +?z2-z1? .
5.平面的法向量 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α,记作 a⊥α,此时向量 a 叫做平 面α的
法向量 .

1.求两异面直线所成的角 cos? ?

AB ? CD AB CD

| PM ? n | 2.求直线和平面所成的角 sin ? ? | PM | ? | n |

n1 ? n2 3.求二面角 cos? ? | n1 | ? | n2 |
4.求的距离 d ?
AB ? m m

? ?? 直线的倾斜角:?0, ? ? ;两直线的夹角: 0, ; ? 2? ? ? ? ?? ? ?? 异面直线所成角: ? 0, ? ;线面角: ?0, ? ; ? 2? ? 2?
二面角: ?0, ? ?;向量夹角: ?0, ? ? ;

特殊的平行投影画法——斜二测画法
1、平面图形的直观图画法
(1)画轴. y y’ o x o’
( 450或1350 )

x’

(2)确定平行线段. 平行x轴的线段平行于x’ 轴
平行y轴的线段平行于y’ 轴 (3)确定线段长度.

确定点位置的画 法: 在斜坐标系 里横坐标保持不 变,纵坐标变为原 来的一半.

平行x轴的线段的长度保持不变. 平行y轴的线段的长度变为原来的一半.

1.直线与平面平行的定义:直线与平面 无 公共点. 2.直线与平面平行的判定定理:

平面外 一条直线与 此平面内 的一条直线平行,则该直线
与此平面平行.用符号表示为a?α,b?α,且a∥b?a∥α .

【知识梳理】

1.直线与平面垂直的判定
语言表述 应 用

类别



如果一条直线和一个平面内的任何一 证直线和平面垂 条直线都垂直, 那么这条直线和这个平 直 面垂直
如果一条直线和一个平面内的两条相 证直线和平面垂 交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这 直 个平面 如果两条平行直线中的一条垂直于一 证直线和平面垂 个平面,那么另一条也垂直于同一个平 直 面



【知识梳理】 2.直线与平面垂直的性质
类别 语言表述 图 示 字母表示 应 用

性 质

如果一条直线和 一个平面垂直, 那么这条直线和 这个平面内的任 何一条直线都垂 直

a

?

b

a?? ? ? ? a?b b ???

证两 条直 线垂 直

如果两条直线同 垂直于一个平面, 那么这两条直线 平行

a b

?

a ?? ? ? ?a??b b?? ?

证两 条直 线平 行

【知识梳理】 2.两个平面平行的判定
类 别

语言表述

图 示

字母表示

应 用

判 如果一个平面内 定 有两条相交直线 都平行于另一个 平面,那么这两 个平面平行. 如果一个平面内 有两条相交直线 分别平行于另一 个平面内的两条 直线,那么这两 个平面平行. 垂直于同一条直 线的两个平面平 行.

? ? ? ?

aP b

a ?? ? ? b?? ? ? a b ? P? ? a // ? ? b // ? ? ?

?????
证 两 平 面 平 行

aP b a' a

b'

a, b ? ? ? a ?, b? ? ? ? ? ? a b ? P? ? a // a ? ? b // b? ? ?

?????

? ?

a ?? ? ? a?? ?

?????

【知识梳理】 3.两个平面平行的性质
类别 语言表述 图 示 字母表示 应 用

性 质

如果两个平面平 行,那么其中一 个平面内的直线 必平行于另一个 平面. 如果两个平行平 面同时和第三个 平面相交,那么 它们的交线平 行.

? ? ?

a

? // ? ?
a ?

???? ? a ??

证直线 和平面 平行

a ?
b ? a

? // ? ? ? ? ? ? ? a? ?a??b ? ? ? ? b? ?
? // ? ?
?a?? a??

证两条 直线平 行

性 质

一条直线垂直于 两个平行平面中 的一个平面,它 也垂直于另一个 平面.

?

?

? ?

证直线 和平面 垂直

面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条 相交 直线分别 平行 于另一个平面,那么这两个平面平行。 a ?? , b?? a?b=P a // ? b // ?
符号语言

线不在多 贵在相交 ?// ?

?

? P

a b

?

图形语言

面面平行

转化

线面平行

转化

线线平行?

面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条 相交 直线分别 平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 a ?? , b?? a?b=P a // ? b // ?
符号语言

线不在多 贵在相交 ?// ?

?

? P

a b

?

图形语言

面面平行

转化

线面平行

转化

线线平行?

判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交

直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

m ??? ? n ?? ? ? m ? n ? B? ? l ? ? ? l?m ? l?n ? ?

l

m
B

n

α α

三垂线定理
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的
一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直
P

O

A

a

?

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果它和这个平面 的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面 内的射影垂直
P

O

A

a

?

作二面角的平面角的常用方法
①点P在棱上 —定义法 ∠APB ②点P在一个半平面上 —三垂线(逆)定理法 ③点P在二面角内 —垂面法
l P

?
B C

?
A

P
B

? ?

?
B P

Q

A

l

l

O

A

?

指出下列各图中的二面角的平面角:
D’

A, B ? l AC ? ? BD ? ?
AC⊥l BD ⊥l

?
C

C’ B’ O

Bl D

A’

?
A

D B

C

A O

二面角?-l-?

A

二面角B—B’C--A

B E
14

O

D C
二面角A--BC--D

随 机 事 件 的 概 率

事件

随机事件 必然事件 不可能事件

0<P<1 P=1 P=0
概率 频率 求法

事件的概率

定义
包含 并 交
互斥 对立

事件的关系

加法公式

古典概型
(1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2) 每个基本事件出现的可能性相等
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模 型,简称古典概型。

P(A)=

A包含的基本事件的个数
基本事件总数

当且仅当所描述的基本事件的出现是等可能性 时才成立

几何概型
(1) 试验总所有可能出现的基本事件有无限个;
(2) 每个基本事件出现的可能性相等

我们将具有这两个特点的概率模型称为几何概 率模型,简称几何概型。
在几何概型中,事件A的概率计算公式如下 :

P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

当且仅当所描述的基本事件的出现是等可能性 时才成立

回忆:绘制频率分布直方图有哪几个步骤呢?
画频率分布直方图的步骤: 第一步: 求极差: (数据组中最大值与最小值的差距) 第二步: 决定组距与组数: (强调取整) 组距:指每个小组的两个端点的距离,组距

组数:将数据分组,当数据在100个以内时,

极差 4.1 按数据多少常分5-12组。 组数= ? ? 8.2 组距 0.5
第三步: 将数据分组 ( 给出组的界限)
第四步: 列频率分布表. (包括分组、频数、频率、频率/组距) 第五步: 画频率分布直方图(在频率分布表的基础上绘制,横

坐标为样本数据尺寸,纵坐标为频率/组距.)

(二). 茎叶图

(一种被用来表示数据的图)

例1某赛季甲乙两篮球运动员每场比赛得分原始记录如下: 甲:13, 51,23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39 乙:49, 24,12,31, 50, 31, 44, 36, 15, 37, 25,36,39 用茎叶图表示两人成绩,说明哪一个成绩好.

8 4 6 3 3 6 8 3 8 9 1 0 1 2 3 4 5



2 5 1 4 0

5 4 6 1 6 7 9 9







方差、标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离。它用来描述样本数据的分散程度。 在实际应用中,标准差常被理解为稳定性。
假设样本数据是 x1 , x2 ,? xn , 平均数是 x 1、方差(标准差的平方)公式为:

1 s ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n
2

2、标准差公式为:

1 s? [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n
在刻画样本数据分散程度上,两者是一致的!

性质归纳:
kan ? b的平均数和方差: 已知a1,a2, ?,an的平均数是 3,方差是 2.

则a1 ? b,a2 ? b, ?,an ? b的 平 均 数 是 3 ? b, 方 差 是2.
2

ka1,ka2, ?,kan的平均数是 3k,方差是 2k .

2、方差(标准差的平方)公式为:

1 2 2 2 s ? [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ( xn ? x) ] n
2

3、标准差公式为:

1 s? [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

方差、标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离。它用来描述样本数据的分散程度。 在实际应用中,标准差常被理解为稳定性。

频率分布直方图如下:
频率 组距

中位数 2.03
0.50
0.40

0.30
0.20 0.10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 月均用水量 /t 4.5

回归方程的斜率与截距的一般公式:

?

b?

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? n x y
i ?1 i i

n

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

i ?1 n

i

i

? x ? nx
i ?1 2 i

2

,

a ? y ? bx

以上公式的推导较复杂,故不作推导,但它 的原理较为简单:即各点到该直线的距离的平 方和最小,这一方法叫最小二乘法。

统计

180 ? ? ? 180 ? ? ? 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18? ? ? ?
2、若? 是第三象限角,那么 (1) 是第几象限角? 2 (2)2? 是第几象限角?

1 ?
?

?

rad ? 0.01745rad

?

同角三角函数的基本关系式:

sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2

sin ? ? tan ? , cos ?
注意: 只有当α的取值使三角函数有意义时,

上面恒等式才成立 .

1 + 2sin α cos α 1.(sin α+cos α) =_______________;
2

(sin α-cos α)2=_______________.

t -1 2.若设 sin α+cos α=t,则 sin αcos α=______ 2 ; 2 1-t 若设 sin α-cos α=t,则 sin αcos α=_______. 2

1-2sin αcos α

2

这三条与单位圆有关的有向线段 MP 、OM 、AT 叫做角? 的正弦线、余弦线、正切线. 当角α的终边在x轴 上时, 正弦线、正切线 分别变成一个点;

当角α的终边在 y 轴上时,余弦线变成一 个点,正切线不存在.

诱导公式
公式一:
sin(α+2kπ) = sinα

公式三: sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(α) = -tanα
公式四:

cos(α+2kπ) = cosα
tan(α+2kπ) = tanα

其中 k∈Z
公式二: sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tan(π+α) = tanα

sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 tan ? tan ?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? (平方正弦公式); 2 2 cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos ? ? sin ? .
2 2

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限 b 点 (a, b) 的象限决定, tan ? ? ). a

二倍角公式

sin 2? ? sin ? cos ? . 2 2 2 2 cos2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ?1 ? 1 ? 2sin ? . 2 tan ? tan 2? ? . 2 1 ? tan ?
函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A, ω , ?

2? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) , ? ? ? x ? k? ? , k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ? . 2 ?

2、弧度制 : (1) 、定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角, 用弧度做单位叫弧度制。 (2) 、度数与弧度数的换算: 180? ? ? 弧度,1 弧度 ? ( (3) 、弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是角的弧度数)

180 ? ) ? 57 ?18 ' ?

y P(x,y) r 0

r ? x2 ? y2 ? 0

?
x

1 1 2 扇形面积: S ? lr ?? | ? | r 2 2
3、三角函数 (1) 、定义: (如图) (2) 、各象限的符号: y

+ _
O

+ _
x

_ _
O

y

+
x

_
O

y

+ _
x

y y sin ? ?     tan? ?     r x x cos? ?   r

+

+
tan?

sin ?

cos?

公式 五
sin(

公式 六
sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? sin?

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? ? sin?

cos(

?
2

cos(

?
2

公式 七
3? sin( ? ? ) ? ? cos ? 2 3? cos( ? ? ) ? ?sin? 2

公式 八
3? sin( ? ? ) ? ? cos ? 2 3? cos( ? ? ) ? ?sin? 2

公式五 ~ 公式八可以实现正弦函数与余弦函数的互化.

y
1

y ? sin x , x ? R
0

? 3?

? 5? 2

? 2?

? 3? 2

??

?? 2

?

2

?

-1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

y
1

y ? cos x , x ? R
0

? 3?

? 5? 2

? 2?

? 3? 2

??

?? 2

?

2

?

-1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

1:定义域: 2:值域: 3:周期性: 4:奇偶性: 5:单调性: 6:对称性:

由y ? sin x的图象变换到 y ? A sin(?x ? ? )的图象的两种策略

先平移变换,再周期变换,最后振幅变换:

y ? sin x

平移

? 个单位

y ? sin(x ? ? )
横坐标变为
原来的

1

y ? A sin(?x ? ? )

纵坐标变为 原来的 A 倍

?



横坐标不变

y ? sin( ?x ? ? )

先周期变换,再平移变换,最后振幅变换:
横坐标变为
原来的 1 倍

y ? sin x

?
纵坐标不变

y ? sin ?x
? 个单位 ?

平移

y ? A sin(?x ? ? )

纵坐标变为 原来的 A 倍 横坐标不变

? ? ? y ? sin?? ( x ? )? ? ? ?

函数y ? A sin(?x ? ? ),x ? [0,??)(其中 A ? 0, ? ? 0)的物理意义: 函数表示一个振动量时: A:这个量振动时离开平衡位置 的最大距离,称为“振幅”. 2? T:T ? 往复振动一次所需的时 间,

称为“周期” . 1 ? f :f ? ? 单位时间内往返振动 T 2? 的次数,称为“频率” .

?

?x ? ? : 称为“相位” . ? : x=0时的相位,称为“初
相”.

知识回顾
A

a b c 正弦定理: ? ? ? 2R sin A sin B sin C

利用正弦定理,可以解决两类问题:

B

C

①已知两角和任一边,求其它两边和一角.
②已知两边和其中一边的对角,求另一边的

对角(进而可求出其它的角和边).

在 ?ABC 中,设 ?A 、 ?B 、 ?C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,则

?sin( B ? C ) ? _____, cos(B ? C ) ? _____, tan(B ? C ) ? _____ ? (1)内角和定理 : A ? B ? C ? ? ? ? B ? C B?C B?C sin( ) ? _____, cos( ) ? _____, tan( ) ? _____ ? ? 2 2 2

1 (2) 面积公式 : S?ABC ? aha ? _____ ? _____ ? _____ ? _____ ? _____ 2
?a ? _____, b ? _____, c ? _____, a b c ? ? ? 2R ? ? (3) sin A sin B sin C ?sin A ? _____, sin B ? _____, sin C ? _____

?a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A, b 2 ? _____, c 2 ? _____ ? cos B ? _____, cos C ? _____ (4)余弦定理 : ?cos A ? _____, ?2 2 2 2 2 2 2 2 2 b ? c ? a ? _____, a ? b ? c ? _____, c ? a ? b ? _____ ?

在 ?ABC 中,设 ?A 、 ?B 、 ?C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,则

?sin( B ? C ) ? sin A, cos( B ? C ) ? ? cos A, tan( B ? C ) ? ? tan A ? (1)内角和定理: A ? B ? C ? ? ? ? B ? C A B?C A B ?C A sin( ) ? cos , cos( ) ? sin , tan( ) ? sin ? ? 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 abc 1 ? ( a ? b ? c )r (2)面积公式: S?ABC ? aha ? bc sin A ? | AB || AC | sin A ? AB ? AC ? tan A ? 2 2 2 2 4R 2
?a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, a b c ? ? ? ? 2R ? ? (3 正弦定理: a b c sin A sin B sin C sin A ? , sin B ? , sin C ? ? ? 2R 2R 2R

?a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A, b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? b2 ? c2 ? a 2 c2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ? , cos B ? , cos C ? (4)余弦定理: ?cos A ? 2bc 2ca 2ab ? ?b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A, a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab cos c, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ca cos B ?

余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. A 即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B b c 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
C

a

B

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2bc c 2 ? a 2 ? b2 cos B ? 2ca

用余弦定理,可解决两类问题:
①已知两边和它们的夹角, 求第三边和其它两个角;
②已知三边,求三个角.

a 2 ? b2 ? c 2 cos C ? 2ab

a b c 正弦定理: ? ? ? 2R sin A sin B sin C

利用正弦定理,可以解决两类问题: ①已知两角和任一边,求其它两边和一角. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 (进而可求出其它的角和边). A
a ? b ? c ? 2bc cos A 余弦定理: b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C
2 2 2

B

C

利用余弦定理,可解决两类问题: ①已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角; ②已知三边,求三个角.

基础要点归纳:
(一)三角形中常见结论

设三角形ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C A b c B 1、A+B+C=π a C A?B C A?B C cos ? sin sin ? cos 2 2 2 2
tan A?B C ? cot 2 2

cot

A?B C ? tan 2 2

A

c B
a

b

C

2、任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 3、面积公式:

S ?ABC

1 1 1 ? bc sin A ? ac sin B ? ab sin C 2 2 2

1 ? 底?高 2

A
4、边角之间的不等关系:

A? B?a?b
cos 2 A ? cos 2 B ? a ? b ???
5、正弦定理: B

c

b

a

C

a b c ? ? ? 2R( R为?ABC 外接圆的半径 ) sin A sin B sin C

6、余弦定理:
c

A b

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

B

a

C

b ? a ? c ? 2accosB
2 2 2

a ?b ?c cos C ? 2ab
2 2

2

平面向量的坐标运算
向量和与差
1.已知a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ),求a+b,a-b. 解:a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =( x1 + x2 )i+( y1+ y2 )j 即 同理可得 a + b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a -b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差

平面向量共线的坐标表示

b ? ( x2 , y2 ), 设 a ? ( x1 , y1 ) , 其中 b ? 0 .


a // b ? a ? ? b ( ? ? R )
( x1 , y1 ) ? ?( x2 , y2 ) ? (?x2 , ?y2 )

这个结论用坐标表示,可写为

? x1 ? ?x2 ? ? 即 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 , ? y1 ? ?y2


? ? ? ? a // b (b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

向量平行(共线)条件的两种形式:

(1)a / /b (b ? 0) ? a ? ?b ; (2)a / /b (b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ),).
(3)a ? x1 e1 ? y1 e2 , b ? x2 e1 ? y2 e2 . a // b (b ? 0) ? ?

(a ? ( x1, y1), b ? ( x2 , y2 ),).

由数量积的定义,可得以下重要性质:
设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的 单位向量,θ是a与e的夹角,则 e = | a | cos? (1)e · a =a · b=0 (2)a⊥b ? a · (3)当a 与b 同向时, a· b = | a | | b |, a· b =-| a | | b |, 当a 与b 反向时, 特别地 a ? a ? | a |2 或 | a |? a ? a (a ? a 可简写成a 2 ) a?b (4)cos? ? | a || b | (5)|a · b| ≤| a | · |b|.

常见的结论如下:

来源 : [ 学|科|网 Z|X |X|K]

① PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心,

3

特别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的重心;

?( AB ? AC), ? ?[0, ??) 是 BC 边上的中线 AD 上的任意向量,过重心;
1 AD ? AB ? AC , 等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线 . 2
② PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心;

?

?

AB AC ?( ? ) ? ?[0, ??) 是△ ABC 边 BC 的高 AD 上的任意向量, 过垂心. | AB | cos B | AC | cos C

③ | AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心; 向量 ? ( AB ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在直线 ).

| AB | | AC |

④ (OA ? OB) ? AB ? (OB ? OC) ? BC ? (OC ? OA) ? CA ? 0

? OA ? OB ? OC ? OA2 ? OB2 ? OC 2 ? O 为 ?ABC 的外心 .

解析几何与向量综合时可能出现的结论

? ? ( 1) 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n? ;
( 2)给出 OA ? OB 与 AB 相交 ,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点 ;

? ( 3)给出 PM ? PN ? 0 , 等于已知 P 是 MN 的中点 ;
( 4)给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ , 等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线 ; ( 5) 给出以下情形之一:① AB // AC ; ②存在实数 ?, 使AB ? ? AC ; ③若存在实数 ? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB , 等于已知 A, B, C 三点共线 .

?

?

OA ? ? OB ( 6) 给出 OP ? ,等于已知 P 是 AB 的定比分点, 1? ?

? 为定比,即 AP ? ? PB
( 7) 给出 MA ? MB ? 0 , 等于已知 MA ? MB , 即 ?AMB 是直角,给出

MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,
等于已知 ?AMB 是锐角 ,

? ? ? MA MB ? ( 8)给出 ? ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线 / ? MA MB ? ? ?

来源: [ 学科网 ZXXK]

( 9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 , 等于已知 ABCD 是菱形 ; ( 10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | , 等于已知 ABCD 是矩形 ; ( 11)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC , 等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直 平分线的交点) ;
2 2 2

( 12) 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 , 等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点) ; ( 13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA , 等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三角形的垂心 是三角形三条高的交点) ;

AB AC ? ( 14)在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ? ? ( ? ) (? ? R ) | AB | | AC |
等于已知 AP 通过 ?ABC 的内心;

( 15)在 ?ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心(三角形内切圆的圆心, 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ;

1 AB ? AC , ( 16 在 ?ABC 中,给出 AD ? 2
等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线;

?

?


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