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2015创新设计(高中理科数学)第13讲 定积分与微积分基本定理


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知识与方法回顾

知识梳理

辨析感悟
例1 训练1 例2 训练2 例3 训练3

探究 一

定积分的计算

技能与规律探究

探究二
探究三

利用定积分求平面 图形的面积
定积分在物理中的 应用

经典题目再现
第 1页

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1.定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 用分点将区间[a, b]等分成 n 个小区间,
b- a 在每个小区间上任取一点 ξi(i=1,2, …, n), 作和式 ?f(ξi)Δx= ? n f(ξi),
i=1 i=1 n n

当 n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区 b f(x)dx n b- a ? b 间[a,b]上的定积分,记作 ?a ,即? f(x)dx= lim ? n f(ξi).

?a

n→∞i=1

(2)定积分的几何意义 ①当 f(x)≥0 时,定积分?bf(x)dx 表示由直线

?a x=a,x=b(a≠b),y=0

和曲线 y=f(x)

所围成的曲边梯形的面积.(图 1)

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1.定积分的概念与几何意义
②当 f(x)在区间[a,b]上有正有负时,如图 2 所示,则定积分?bf(x)dx 表

?a

示介于 x 轴、 曲线 y=f(x)以及直线 x=a, x=b(a≠b)之间各部分曲边梯形 面积的代数和,即?bf(x)dx= A1+A3-A2 .

?a

2.定积分的性质 b b k f(x)dx (1)? kf(x)dx= (k 为常数). ? ? ?a a b b f ( x ) dx ± f2(x)dx 1 b ? (2)? [f1(x)±f2(x)]dx= ? . ?a ?a ?a
(3)?bf(x)dx=?c f(x)dx+?bf(x)dx(其中 a<c<b).

?a

?a

?c

3.微积分基本定理
一般地,如果 f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且 F′(x)=f(x). 那么?bf(x)dx= F(b)-F(a) ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做

?a

牛顿—莱布尼兹公式.
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1.关于定积分概念的理解
(1)定积分概念中对区间[a,b]的分割具有任意性.( ) (2) 当 n→ + ∞时,和式 ?f (ξi)· Δx = ?
i=1 n n b-a i=1

n

f(ξi) 无限趋近于某一确定的常 )

数.( ) (3)设函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,则?bf(x)dx=?bf(t)dt.(

?a

?a

2.定积分的几何意义与物理意义
(4)在区间[a,b]上的连续的曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 所围 成的曲边梯形的面积 S=?b |f(x)|dx.( )

?a

(5)若?b f(x)dx<0,那么由 y=f(x),x=a,x=b 以及 x 轴所围成的图形一定

?a

在 x 轴下方.( ) (6)(教材习题改编)已知质点的速度 v=10t,则从 t=0 到 t=t0 质点所经过的 2 路程是 s=?t010t dt=5t0 .( )

?a

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3.定积分的性质及微积分基本定理

(7)若 f(x)是连续的偶函数,则?a f(x)dx=2?af(x)dx.(

?- a ?- a

?0

)

(8)若 f(x)是连续的奇函数,则?a f(x)dx=0.(

) )

(9)(2013· 湖南卷改编)如果?Tx2dx=9,则常数 T=3.(

?0

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一种思想
定积分基本思想的 核心是“以直代 曲”,用“有限” 步骤解决“无限” 问题,其方法是 “分割求近似,求 和取极限”.定积 分只与积分区间和 被积函数有关,与 积分变量无关.如 (2)、(3).

一个定理
由微积分基本定 理可知求定积分 的关键是求导函 数的原函数,由此 可知,求导与积分 是互为逆运算,如 (9)中, 可确定一个 1 原函数 F(x)= x3, 3 进而求 T.

两点提醒
一是重视定积分性质 在求值中的应用,如 (7)、(8). 二是区别定积分与曲 边梯形面积间的关系, 定积分可正、可负、 也可以为0,是曲边 梯形面积的代数和, 但曲边梯形面积非负, 如(4).

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定积分的计算
【例 1】 (1)若?π (sinx+acosx)dx=2,则实数 a 等于( 2

?0

).

A.-1 B.1 D. 3 D.- 3 (2)定积分?3 9-x2dx 的值为________.
π ? (3)已知函数 f(x)=sin x+1,则 2 f(x)dx 的值为________. ? π ?- 2
5

?0

解析
π

(1)∵(asinx-cosx)′=sinx+acosx,

?π 2 ∴?2 (sinx+acosx)dx=(asinx-cosx)? ? ?0 ?0
π π? ? a sin - cos = 2 2?-(asin0-cos0)=a+1, ? ∴a+1=2.∴a=1.
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定积分的计算 【例 1】 (1)若?π (sinx+acosx)dx=2,则实数 a 等于( 2 ?0
A.-1 B.1 D. 3 D.- 3 (2)定积分?3 9-x2dx 的值为________. (3)已知函数 f(x)=sin5x+1,则?

).

?0

π ? 2πf(x)dx ?- 2

的值为________.

(2)由定积分的几何意义知,?3 9-x2dx 是由曲线 y= 9-x2,

?0

直线 x=0,x=3,y=0 围成的封闭图形的面积. 故?

y 3 O 3 x

?0

3

π·32 9π 9-x dx= = . 4 4
2

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定积分的计算 【例 1】 (1)若?π (sinx+acosx)dx=2,则实数 a 等于( 2 ?0
A.-1 B.1 D. 3 D.- 3 (2)定积分?3 9-x2dx 的值为________. (3)已知函数 f(x)=sin5x+1,则?

).

?0

π ? 2πf(x)dx ?- 2

的值为________.

(3)?

? ?-

π 2

f(x)dx=?
π 2

? ?-

π 2

sin5xdx+?
π 2

? ?-

π 2

dx,由于函数 y=sin5x 是奇函数,
π 2

π ? 2 π π 5 ? 所以? 2 sin xdx=0,而? 2 dx=x π =π. ? π ? π ?- ?- 2 ?- 2 ? 2

答案

(1)B

9 (2) π 4

(3)π
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定积分的计算 【例 1】 (1)若?π (sinx+acosx)dx=2,则实数 a 等于( 2 ?0
A.-1 B.1 D. 3 D.- 3 (2)定积分?3 9-x2dx 的值为________. (3)已知函数 f(x)=sin5x+1,则?

).

?0

π ? 2πf(x)dx ?- 2

的值为________.

规律方法
(1)用微积分基本定理求定积分, 关键是求出被积函数的原函数. 此 外,如果被积函数是绝对值函数或分段函数,那么可以利用定积分 对积分区间的可加性,将积分区间分解,代入相应的解析式,分别 求出积分值相加. (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分. (3)若 y=f(x)为奇函数,则? a f(x)dx=0.

? -a

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定积分的计算
【训练 1】 (1) 定积分?

?-1 ?-1
0

1

(x2+sinx)dx=________. 1-x2dx=________.

(2)(2014· 广东六校模拟)?

1 3 ? 解析 (1) ∵ 3x -cos x?′=x2+sin x, ? ? 1 1 3 2 ? ∴?1 (x2+sin x)dx =?3x -cos x?? = . 3 ? ??-1 ?-1 (2) 由定积分的几何意义知, ?0 ? 1-x2dx 是由曲线 y= 1-x2,
-1

直线 x=- 1,x=0,y=0 围成的封闭图形的面积, π·1 2 π 2 0 故? 1-x dx = = . 4 4 ?
-1

答案

(1)

2 π (2) 3 4
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利用定积分求平面图形的面积
【例 2】 (1)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的 面积为( ). 2π 4 3 π A. B. D. D. 5 3 2 2 4 (2)曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为 ,则 k=_____. 3

审题路线
(1) 先求二次函数 f(x) 的解析式,再利用定积分的几何意义求面 积.

(2)先求交点坐标,确定积分区间,再利用定积分的几何意义求面 积.

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利用定积分求平面图形的面积
【例 2】 (1)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的 面积为( ). 2π 4 3 π A. B. D. D. 5 3 2 2 4 (2)曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为 ,则 k=_____. 3

解析

(1)设 f(x)=a(x+1)(x-1)(a<0).

因为 f(x)的图象过(0,1)点, 所以-a=1,即 a=-1. 所以 f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2. 所以 S=?
1

?-1

(1-x2)dx=2?1(1-x2)dx

?0

1 3 ? 1 4 =2?x-3x ?? =2?1-3?= . ? ??0 ? ? 3
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1

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利用定积分求平面图形的面积
【例 2】 (1)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的 面积为( ). 2π 4 3 π A. B. D. D. 5 3 2 2 4 (2)曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为 ,则 k=_____. 3
2 ? ? ? ?y=x , ?x=0, ?x=k, (2)由? 得? 或? 2 ? ? ? ?y=kx, ?y=0 ?y=k ,

则曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为 k 2 1 3?? 2 ? k (kx-x )dx= 2x -3x ? ? ? ??0 ? k3 1 3 4 = - k= , 2 3 3 即 k3=8,∴k=2. 答案 (1)B (2)2
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k

0

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利用定积分求平面图形的面积
【例 2】 (1)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的 面积为( ). 2π 4 3 π A. B. D. D. 5 3 2 2 4 (2)曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为 ,则 k=_____. 3

规律方法
利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:(1)画出图形;(2)确定 被积函数;(3)确定积分的上、下限,并求出交点坐标;(4)运用微 积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积. 求解时,注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面 积区别开:定积分是一个数值(极限值),可为正,可为负,也可 为零,而平面图形的面积在一般意义上总为正.

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利用定积分求平面图形的面积
【训练 2】 (1)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图 形的面积为 a2,则 a=________. 1 (2)曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积为________. 3

解析

(1)S=?a

?0

2 2? 2 2 4 2 xdx= x ? = a =a ,∴a= . 3 ?0 3 9

3 a

3

y=2-x, ? ? (2)由? 得交点 A(1,1);由? 得交点 B(3,-1). 1 y=- x, ?y=2-x, ? 3 ? 1 1 故所求面积 S=?1? x+3x?dx+?3?2-x+3x?dx ? ? ?0? ?1?

?y= x,

1 2 ? 2 1 ? 2 1 4 13 =? x + x2?? +?2x-3x ?? = + + = . 6 ??0 3 6 3 6 ? ??1 ?3 4 13 答案 (1) (2) 9 6
3 2
第16页

1

3

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定积分在物理中的应用
【例 3】 (2013· 湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况 25 而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停 1+t 止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ). 11 A.1+25ln5 B.8+25ln C.4+25ln5 D.4+50ln2 3
8 解析 令 v(t)=0,得 t=4 或 t=- (舍去), 3 25 ? ? ∴汽车行驶距离 s=? 7-3t+1+t dt ? ?0?
4

3 ? =[7t- t2+25ln(1+t)]? 2 ?0 =28-24+25ln5=4+25ln5. 答案 C
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定积分在物理中的应用
【例 3】 (2013· 湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况 25 而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停 1+t 止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ). 11 A.1+25ln5 B.8+25ln C.4+25ln5 D.4+50ln2 3

规律方法
(1)利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时,关键 是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函 数关系,确定好积分区间,得到积分表达式. (2)定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物 理意义.防止实际问题的物理意义不明确,导致把物理问题转 化为定积分时出现错误.
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定积分在物理中的应用
【训练 3】 设变力 F(x)作用在质点 M 上,使 M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10, 已知 F(x)=x2+1 且方向和 x 轴正向相同, 则变力 F(x) 对质点 M 所做的功为________J(x 的单位:m,力的单位:N).
解析 由题意知变力 F(x)对质点 M 所做的功为

? ?1

10

(x2+1)dx
10

1 3 ? =?3x +x?? ? ??1 答案 342

=342.

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----课堂小结---1.求定积分常用的方法 (1)利用微积分基本定理. (2)运用定积分的几何意义(曲边梯形面积易求时)转化为求曲边梯形 的面积. 2.定积分计算应注意的问题 (1)利用微积分基本定理,关键是准确求出被积函数的原函数,熟练 掌握导数公式及求导法则,求导与积分互为逆运算. (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限. (3)面积非负,而定积分的结果可以为负.利用定积分求平面图形的 面积时一定要准确转化,当图形的边界不同时,一定注意分情况讨 论.

第20页

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(见教辅)

山东金榜苑文化传媒有限责任公司 课件部制作
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