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第九节 函数的图象及其变换


高考总复习·数学(理科)

第九节
x

函数的图象及其变换
-x

1.函数 y=2 与 y=-2 的图象( A.关于直线 y=x 轴对称 B.关于 x 轴对称 C.关于 y 轴对称 D.关于原点对称 答案:D

)

2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停 车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图 象可能是( )

答案:A 3.(2013·潍坊重点中学仿真 )函数 y= >0 且 a≠1)的图象可以是( )

x-a ax (a |x-a|

解析:当 x>a 时,y=a ,当 x<a 时,y=-a <0,排除 A、

x

x

高考总复习·数学(理科) B.y=a 与 y=-a 关于 x 轴对称, 单调性相反, 所以选项 C 正确. 答案:C 4.如果函数 f(x)=a +b-1(a>0,且 a≠1)的图象经过第 一、二、四象限,不经过第三象限,那么一定有( ) A.0<a<1 且 b>0 B.0<a<1 且 0<b<1 C.a>1 且 b<0 D.a>1 且 b>0 解析:由题意知函数单调递减,所以 0<a<1.又 f(x)过第 一、二、四象限,不经过第三象限,所以-1<b-1<0,所以 0 <b<1.故选 B. 答案:B 5 . (2013· 淮 南 模 拟 ) 已 知
? ?x+1,x∈[-1, ? 2 ?x +1,x∈[0,1]. ?
x x x

f(x) =



对于下列三个函数图象和三个函数

①y=f(-x) ②y=f(x-1) ③y=f(|x|)

其对应的函数依次是( A.①③② C.①②③

) B.②③① D.②①③

解析: 作出 f(x)的图象后, 分别作对称、 平移、 翻折变换. 即 可得到答案. 答案:D

高考总复习·数学(理科) 6.将函数 y=2 +1 的图象按向量 a 平移得到函数 y=2 的图象,则( ) A.a=(-1,-1) B.a=(1,-1) C.a=(1,1) D.a=(-1,1) 答案:A
? ?a,a≤b, ?b,a>b, ?
x x+1

7. 定义运算 a⊕b=? 象是( )

则函数 f(x)=1⊕2 的图

x

解析:当 x<0 时,2 <1,f(x)=2 ;当 x>0 时,2 >1, f(x)=1.故选 A. 答案:A 8. (2013·辽宁卷)已知函数 f(x)=x -2(a+2)x+a , g(x) 2 2 =-x +2(a-2)x-a +8.设 H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)= min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示 p,q 中的较大值,min{p,q} 表示 p,q 中的较小值).记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值 为 B,则 A-B=( ) A.16 B.-16 2 2 C.a -2a-16 D.a +2a-16 解析:f(x)=[x-(a+2)] -4-4a,g(x)=-[x-(a-2)] +12-4a,在同一坐标系内作 f(x)与 g(x)的图象(如图).
2 2 2 2

x

x

x

高考总复习·数学(理科)

依题意知,函数 H1(x)的图象(实线部分),函数 H2(x)的图象 (虚线部分). ∴H1(x)的最小值 A=f(a+2)=-4-4a, H2(x)的最大值 B=g(a-2)=12-4a, 因此 A-B=(-4-4a)-(12-4a)=-16. 答案:B 1 9.把函数 y=log3(x-1)的图象向右平移 个单位,再把横 2 1 坐标缩小为原来的 ,所得图象的函数解析式是 2 ________________________. 1 解析: y = log3(x - 1) 的图象向右平移 个单位得到 y = 2 ? ? 3? 3? 1 ? ? ? x - 2 x - log3? ,再把横坐标缩小为原来的 ,得到 y = log 3 ? ? ? ?. 2 2 2 ? ? ? ? ? 3? ? 2 x - 故应填 y=log3? ? ?. 2 ? ? ? 3? ? 2 x - 答案:y=log3? ? ? 2 ? ? 10 . 使 log2( - x) < x + 1 成 立 的 x 的 取 值 范 围 是 ________________. 解析:

高考总复习·数学(理科)

在同一坐标系内作出 y=log2(-x),y=x+1 的图象,知满 足条件的 x∈(-1,0). 答案:(-1,0) 11.对函数 y=f(x)定义域中任一个 x,均有 f(x+a)=f(a -x). (1)求证:y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称; (2)若函数 f(x)对一切实数 x 都有 f(x+2)=f(2-x), 且方 程 f(x)=0 恰好有四个不同实根,求这些实根之和. (1)证明:设(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点,则 y0= f(x0), (2a-x0)+x0 ∵ =a, 2 ∴点(x0,y0)与(2a-x0,y0)关于直线 x=a 对称. 又 f(a+x)=f(a-x), ∴f(2a-x0)=f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0. ∴点(2a-x0,y0)也在函数的图象上. ∴y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称. (2)解析:由 f(2+x)=f(2-x),得 y=f(x)的图象关于直 线 x=2 对称, 若 x0 是 f(x)=0 的根,则 4-x0 也是 f(x)=0 的根. 若 x1 是 f(x)=0 的根,则 4-x1 也是 f(x)=0 的根. ∴x0+(4-x0)+ x1+(4-x1)=8, 即 f(x)=0 的四根之和为 8. 12.已知函数 f(x)=2 - x,将 y=f(x)的图象向右平移两 2 个单位,得到 y=g(x)的图象.
x

a

高考总复习·数学(理科) (1)求函数 y=g(x)的解析式; (2)若函数 y=h(x)与函数 y=g(x)的图象关于直线 y=1 对 称,求函数 y=h(x)的解析式.
x-2. 2 (2)设(x,y)在 y=h(x)的图象上 ,(x1,y1)在 y=g(x)的图

解析:(1)由题设,g(x)=f(x-2)=2

x-2



a

? ?x1=x, 象上,则? ? ?y1=2-y,

∴2-y=g(x),y=2-g(x), 即 h(x)=2-2 + x-2. 2
x-2

a


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