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2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛


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2 0 0 5 年第 3 期 

3 5  

2 0 0 4 年 全国 高中 数 学 联 赛吉 林 赛 区 初 赛  




选择题( 每小题 6 分, 共3 6 分)  
) .  

( C ) 动点 尸的轨迹方程为 

1 . △A B C的三个内角满足 s i n   A ? C O 8   B  


, \      一 2 3 \ J  

s i n   B=s i n   C—s i n   A? C O s   C. 则(  
( A )   A= 9 0 。  
( C )   C= 9 0 。  

y 2  

—1  2 5   一+ 。   2 1 一   1  

( B )   B=9 0 。  

( D ) 动点 尸的轨迹方程为 

( D ) △A R C不一定是直角三角形  2 . 设{  } 是一个复数数列 , 定义 

, \   2 3 、 J   ’ , 2
一 — 广一 2 5   + 。   2 1 …l  
, 

c -  ( - +  一 ( - +   ) .  
则∑l  一  +   I - (   ) .  
( A ) 2 0 0 4 ( B ) I ( c ) o ( D )   佩 分别为 
( , 礼+1 )  +Y一 2 = 0  

6 . 已知 R t △A B C 斜边 A B上的高为 C D,   沿C D将△ A C D 折起 , 折成 一个直 二 面角   A—C D—B , 此时 ,  A C B的余弦值为  . 则  
峰  

 

A C D的值为(  

) .  

3 . 已知一个矩形的两边所在直线的方程 

( A ) 1 5 。 或7 5 。   ( B ) 4 5 。   ( c ) 3 o o  ̄6 0 0   ( D ) 2 0 o 或7 0 o  
二、 填空题( 每小题 9 分, 共5 4 分)  

和 4 m   +( , n+1 ) Y一 4 : 0 .  

7 . 设{ 口   } 是递增 的正整数数列 l , 7 , 8 ,  
4 9 , 5 0 , 5 6 , 5 7 , …, 它们或者是 7的幂, 或者是 

则 m的值为(   ( A ) 一1  

) .   ( B ) 一  或一 1  

若干个 7的不 同 的幂 之 和. 则 口 。 。 。 。=  
8 . 已知某 系列化合物 的分 子式通式为  c   H   ( 其中 m、 n为正整数 ) , 其碳原子所 占   的个数 比的计算公式为  , 给出一系列该 

( c ) { 或 l   ( D ) 一 了 1  
4 . 两个向量 口 、 b满足 

l 口 ~ 2   l = 1 , 1 2 a + 3   l = 告 .  
贝 9 ( 5 口 一 3 b ) ? ( 口一 9 b ) 的值为(   ) .  

化合物的分子式 : c H 4 , C 2  , …, c   H 2   +   , ….  
则这一系列分子式中, 碳原子所 占的个数 比  

( A ) 0( B ) 1 0  ( c )   ( D ) 竽  
5 . 设P (  , y ) 到定点  ( 一  , 0 ) 的距离 

的取值范围是— — .  
9 . 设口 、 6 、 c ∈R + , 且a b e : 1 . 求证 :   ‘   +   丽 +   丽 ≥1 ≥ . ?  

为d 。 , 点 P到Y 轴的距离为 d 2 . 若5 d   + 2 d 2  


分析: 为了 证明 结论中的不等式, 可以 先  
由已知条件 , 运用均值不等式证 明以下的 3   个不等式 
≥  ,  

4 8 , 则(  

) .  

( A ) 动点 P的轨迹为双曲线一支 

( B ) 动 点P 的 轨 迹 曲 线 的 离 心 率 为 妻  

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中 等 数 学 
≥  ,  
U ‘  
? ‘ ’  一  



口 l +3 n 2 +5 口 3 +7 a 4  

≥ 

,  

的最小值.  

五、 ( 2 o 分) 求所有的正整数 / 7 , , 使得 / 7 , =   ( 其中 a为常数 ) . 再将上述 3 个不等式相加 
即可 得证 . 则 分 析 过 程 中常数 a的 值 为  

P   + P ; + P ; + p : , 其中P 。 、 P 2 、 P 3 、 P   是/ 7 , 的  
不同的4 个最小的正整数因子 .  

1 0 . 设   (   ) =  一 2 a x 一 0   一 丢. 若 对 任  
意的  ∈[ 0 , 1 ] , 均有 t f (   ) I ≤1 , 则实数 0的  
取值范围是— — .   1 1 . 设函数 . 厂 (   ) 定义域为 R . 若存在与 


六、 ( 2 o 分 ) 求∑k   的 求 和 公 式, 并 给 出  
证明.  

参 考 答 案 


1 . A  2 . A   3. B  4 . C  5 . D  6 . A  

无关的正常数  , 使I f (  ) I ≤M   I  I 对一切 
实数  均成立 , 则称 f (  ) 为有界泛函. 下列 

二 、 7 . 4 7   0 7 6   7 5 0   8 . { ≤   < {9 . 一 号  
1 0 . 一   ≤n ≤   1 1 . ③、 ④、 ⑤ 1 2 . 2 3 2   三、 设 E为(   Y I ) , 由k A c ×   =一1 , 有 

函数中, 属于有界泛函的有— — ( 填序号) .  
Of (  ) =e   ,   Qf (  ) =  ,  

④厂 (   ) =  ( s i n  + C O S  ) ,  
2  

÷.  


一  

: 一 1 .  

①  

el (  )  

,  

整 理 得 y I = £ 专   一 号 ?   。 .  

⑨厂 (   ) 是定义在 R上的奇函数, 且对一 
切实数 。 、   均有 
t f (  1 ) 一 f (   2 ) I ≤2 I  l —x 2   I .  

又 寻 2 + 吾 : 1 , 把 , , 。 代 人 式 ① 得  
(   —   1 ) 【 Ⅱ  + 2 a 2   y 2   — b   y 2   一 ( o  + b 2   y 2 )   I ] = 0 .  
=  

1 2 . 非空集合 A满足  ( 1 )   { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …, 1 1 } ;   ( 2 ) A中任何 2 个整数不相邻 .  


则满足条件的 A的个数为— — .  
三、 ( 2 0分 ) 设 r 为 椭 圆  +   =l   ( a >b > 0 ) , A (  , y ) 为 r上一点 , B 、 C 、 D分  别为 A关于 Y轴、 原点、  轴的对称点 , E为  r上一点 , 使A E — L A C , C E与 B D 的交点为 
F.  

1 + 2 y 2 ? 赫 )   .   同 理   = 1 - 2 x 2 ? 赫 ) , , .  
令  , 一 t y ) , 有 专 =   测  
t=   :  .  

所  ( 筹 
;  

y   ) .  

( 1 ) 求 出点 F的坐标 ( 用 A的 坐标 表 
示) ;  

当A (  , , , ) 沿着 r运动时 , 则F (   , ,  ) 满 足 

( 2 ) 当 A沿r运动时, F的轨迹是什么?   与 r有何关系?  

酾:  ;   +   酾:  一   1   ‘  
因此 , F的轨迹为椭圆, 且与 r相似.  

四、 ( 2 0 分) 设a 。 ∈R + , i =1 , 2 , …, 5 . 求 
ai   a,  

四、 设原式为 A . 由柯西不等式, 有  A ? [ n l ( 口 2 + 3 n 3 + 5 O , 4 + 7 n 5 ) +口 2 ( n 3 + 3 O , 4 +  

万 

+  

+  

5 n 5 + 7 n I ) +… +n 5 ( n l + 3 口 2 +5 n 3 +7 o , 4 ) ]  

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2 0 O 5 年第3 期 
≥( n l +0 . 2 +n 3 +n 4 +   )   .   )  
注 意到 

3 7  

( ∑啦 )  

洧  南

.  

l《 i <  ‘ 5  

‘  
②  

∑( J } + 3 ) ( J } + 2 ) ( J } + 1 ) k  


因 为 4 ( 妻 嘶 )   一 1 0 ∑  
∑( 啦 一  )   ≥ o ,  
I 《- ‘ 』 ‘ 5   ?  
=1   — 1 ‘i <j ‘5  

∑{{ (   + 3 ) ( I } i + 2 ) ( I i } + 1 ) I i } [ ( I } i + 4 ) 一  
(  一1 ) ] }  

所 以, (  q )   ≥   ∑  .  
从而 , A≥   ?  



{∑[ ( J } + 4 ) ( J } + 3 ) ( J } + 2 ) ( J } + 1 ) J } 一  
( 后 + 3 ) ( 后 + 2 ) (  + 1 )   (  一 1 ) ]  



当n 。 =   =奶 =   =   时, 式① 、 ② 中的等号 

÷( n + 4 ) ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) n .  
=(   J } )   =   1   n   ( n +1 )  
‘; I  
,  

又熟知 

都 成 立 , 即 有A   素 ?  

t= I  

综 上 所 述 , 所 求 的 最 小 值 为 素?  
有 


k 2 -  1  
k =l  

n ( n +1 ) ( 2 n +1 ) ,  

J } =  1  

n ( n + 1 ) .  

k=l  

五、 若n 是奇数, 则n 的所有因子都是奇数, 即  
n 譬O ( r I  4 ) .  

由 式①有 

凡 

:  
,L  

n 

+ 
3  
、 , , L    

而n = P   + P ;  P ; + P : - _ o ( m  ̄ , a   4 ) , 矛盾.  
所以 , 2 I   n .  

∑I I } 4 = ∑I } I 4  


∑( J } + 3 ) ( J } + 2 ) ( J } + 1 ) k 一  

n 

+ 
、, ,L

若4 1   n , 则P l =1 , P 2 = 2 .  

2    
 

从而, n = 1 + O + P ; + P : 孝 O ( I l 谢4 ) , 矛盾.  
所以 , 钋n .  


6 ∑  一 1 1 ∑J }   一 6 ∑J }  

n 

+ 
l  

、,

 

n 

因此 , { P l , P 2 , P 3 , P 4 }  


{ ( n + 4 ) ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) n —   3   n 2 ?  
( n +1 )   一百 1 1   n ( n +1 ) ( 2 n +1 ) - 3 n ( n+1 )  

一   6 
3  

n 

{ l , 2 , P 3 , P 。 } 或{ l , 2 , P 3 , 2 p 3 } .  


一  
l l    

若{ P 。 , P 2 , P 3 , P 。 } _{ 1 , 2 , P 3 , P 。 } , 这是不可能 

2  

n  的 .  

{( 凡   + 1 0 n   + 3 5 n   + 5 0 n   + 2 4 凡 ) 一  



—   6 

从而 , { P 。 , P 2 , P 3 , P 。 } _{ l , 2 , P 3 , 2 p 3 } , 即 

n 4 + 2 n 3 +n   ) 一   ( 2 n 3 +3 n 2 +n ) 一  

n = 5 ( 1 + P ; ) .   ① 
故P 3 = 5 .  
所以, n=1 3 0 .  


3 n   一3 n  

÷ n 5 +   n 4 + 了 1   n 3 一   1   n .  
( 王晓辉 提供 )  

六、 由( n +3 ) ( n + 2 ) ( n +1 ) n  
=   +6 凡  +1 1 n  +6 凡 .  

注: 本解法主要是应用“ 裂项求和” 的技巧 .  

《   欢迎作者为数学活动课程讲座、 命题与解题、 我为数学竞赛命题、 巧思妙解、 课外训   i 练、 数学奥林匹 克问 题、 数海拾贝、 缤纷广角 镜等 栏目 撰稿, 欢迎更多的 作者撰写适合初中  

i ;   生 阅 读 且 内 容 充 实 的 专 题 讲 座 和 解 题 指 导 性 文 章 。  
本刊 编辑部 


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