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2 0 0 5 年第 3 期
3 5
2 0 0 4 年 全国 高中 数 学 联 赛吉 林 赛 区 初 赛
一
、
选择题( 每小题 6 分, 共3 6 分)
) .
( C ) 动点 尸的轨迹方程为
1 . △A B C的三个内角满足 s i n A ? C O 8 B
—
, \ 一 2 3 \ J
s i n B=s i n C—s i n A? C O s C. 则(
( A ) A= 9 0 。
( C ) C= 9 0 。
y 2
—1 2 5 一+ 。 2 1 一 1
( B ) B=9 0 。
( D ) 动点 尸的轨迹方程为
( D ) △A R C不一定是直角三角形 2 . 设{ } 是一个复数数列 , 定义
, \ 2 3 、 J ’ , 2
一 — 广一 2 5 + 。 2 1 …l
,
c - ( - + 一 ( - + ) .
则∑l 一 + I - ( ) .
( A ) 2 0 0 4 ( B ) I ( c ) o ( D ) 佩 分别为
( , 礼+1 ) +Y一 2 = 0
6 . 已知 R t △A B C 斜边 A B上的高为 C D, 沿C D将△ A C D 折起 , 折成 一个直 二 面角 A—C D—B , 此时 , A C B的余弦值为 . 则
峰
A C D的值为(
) .
3 . 已知一个矩形的两边所在直线的方程
( A ) 1 5 。 或7 5 。 ( B ) 4 5 。 ( c ) 3 o o  ̄6 0 0 ( D ) 2 0 o 或7 0 o
二、 填空题( 每小题 9 分, 共5 4 分)
和 4 m +( , n+1 ) Y一 4 : 0 .
7 . 设{ 口 } 是递增 的正整数数列 l , 7 , 8 ,
4 9 , 5 0 , 5 6 , 5 7 , …, 它们或者是 7的幂, 或者是
则 m的值为( ( A ) 一1
) . ( B ) 一 或一 1
若干个 7的不 同 的幂 之 和. 则 口 。 。 。 。=
8 . 已知某 系列化合物 的分 子式通式为 c H ( 其中 m、 n为正整数 ) , 其碳原子所 占 的个数 比的计算公式为 , 给出一系列该
( c ) { 或 l ( D ) 一 了 1
4 . 两个向量 口 、 b满足
l 口 ~ 2 l = 1 , 1 2 a + 3 l = 告 .
贝 9 ( 5 口 一 3 b ) ? ( 口一 9 b ) 的值为( ) .
化合物的分子式 : c H 4 , C 2 , …, c H 2 + , ….
则这一系列分子式中, 碳原子所 占的个数 比
( A ) 0( B ) 1 0 ( c ) ( D ) 竽
5 . 设P ( , y ) 到定点 ( 一 , 0 ) 的距离
的取值范围是— — .
9 . 设口 、 6 、 c ∈R + , 且a b e : 1 . 求证 : ‘ + 丽 + 丽 ≥1 ≥ . ?
为d 。 , 点 P到Y 轴的距离为 d 2 . 若5 d + 2 d 2
:
分析: 为了 证明 结论中的不等式, 可以 先
由已知条件 , 运用均值不等式证 明以下的 3 个不等式
≥ ,
4 8 , 则(
) .
( A ) 动点 P的轨迹为双曲线一支
( B ) 动 点P 的 轨 迹 曲 线 的 离 心 率 为 妻
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中 等 数 学
≥ ,
U ‘
? ‘ ’ 一
。
口 l +3 n 2 +5 口 3 +7 a 4
≥
,
的最小值.
五、 ( 2 o 分) 求所有的正整数 / 7 , , 使得 / 7 , = ( 其中 a为常数 ) . 再将上述 3 个不等式相加
即可 得证 . 则 分 析 过 程 中常数 a的 值 为
P + P ; + P ; + p : , 其中P 。 、 P 2 、 P 3 、 P 是/ 7 , 的
不同的4 个最小的正整数因子 .
1 0 . 设 ( ) = 一 2 a x 一 0 一 丢. 若 对 任
意的 ∈[ 0 , 1 ] , 均有 t f ( ) I ≤1 , 则实数 0的
取值范围是— — . 1 1 . 设函数 . 厂 ( ) 定义域为 R . 若存在与
一
六、 ( 2 o 分 ) 求∑k 的 求 和 公 式, 并 给 出
证明.
参 考 答 案
、
1 . A 2 . A 3. B 4 . C 5 . D 6 . A
无关的正常数 , 使I f ( ) I ≤M I I 对一切
实数 均成立 , 则称 f ( ) 为有界泛函. 下列
二 、 7 . 4 7 0 7 6 7 5 0 8 . { ≤ < {9 . 一 号
1 0 . 一 ≤n ≤ 1 1 . ③、 ④、 ⑤ 1 2 . 2 3 2 三、 设 E为( Y I ) , 由k A c × =一1 , 有
函数中, 属于有界泛函的有— — ( 填序号) .
Of ( ) =e , Qf ( ) = ,
④厂 ( ) = ( s i n + C O S ) ,
2
÷.
●
一
: 一 1 .
①
el ( )
,
整 理 得 y I = £ 专 一 号 ? 。 .
⑨厂 ( ) 是定义在 R上的奇函数, 且对一
切实数 。 、 均有
t f ( 1 ) 一 f ( 2 ) I ≤2 I l —x 2 I .
又 寻 2 + 吾 : 1 , 把 , , 。 代 人 式 ① 得
( — 1 ) 【 Ⅱ + 2 a 2 y 2 — b y 2 一 ( o + b 2 y 2 ) I ] = 0 .
=
1 2 . 非空集合 A满足 ( 1 ) { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …, 1 1 } ; ( 2 ) A中任何 2 个整数不相邻 .
=
则满足条件的 A的个数为— — .
三、 ( 2 0分 ) 设 r 为 椭 圆 + =l ( a >b > 0 ) , A ( , y ) 为 r上一点 , B 、 C 、 D分 别为 A关于 Y轴、 原点、 轴的对称点 , E为 r上一点 , 使A E — L A C , C E与 B D 的交点为
F.
1 + 2 y 2 ? 赫 ) . 同 理 = 1 - 2 x 2 ? 赫 ) , , .
令 , 一 t y ) , 有 专 = 测
t= : .
所 ( 筹
;
y ) .
( 1 ) 求 出点 F的坐标 ( 用 A的 坐标 表
示) ;
当A ( , , , ) 沿着 r运动时 , 则F ( , , ) 满 足
( 2 ) 当 A沿r运动时, F的轨迹是什么? 与 r有何关系?
酾: ; + 酾: 一 1 ‘
因此 , F的轨迹为椭圆, 且与 r相似.
四、 ( 2 0 分) 设a 。 ∈R + , i =1 , 2 , …, 5 . 求
ai a,
四、 设原式为 A . 由柯西不等式, 有 A ? [ n l ( 口 2 + 3 n 3 + 5 O , 4 + 7 n 5 ) +口 2 ( n 3 + 3 O , 4 +
万
+
+
5 n 5 + 7 n I ) +… +n 5 ( n l + 3 口 2 +5 n 3 +7 o , 4 ) ]
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2 0 O 5 年第3 期
≥( n l +0 . 2 +n 3 +n 4 + ) . )
注 意到
3 7
( ∑啦 )
洧 南
=
.
l《 i < ‘ 5
‘
②
∑( J } + 3 ) ( J } + 2 ) ( J } + 1 ) k
=
因 为 4 ( 妻 嘶 ) 一 1 0 ∑
∑( 啦 一 ) ≥ o ,
I 《- ‘ 』 ‘ 5 ?
=1 — 1 ‘i <j ‘5
∑{{ ( + 3 ) ( I } i + 2 ) ( I i } + 1 ) I i } [ ( I } i + 4 ) 一
( 一1 ) ] }
所 以, ( q ) ≥ ∑ .
从而 , A≥ ?
=
{∑[ ( J } + 4 ) ( J } + 3 ) ( J } + 2 ) ( J } + 1 ) J } 一
( 后 + 3 ) ( 后 + 2 ) ( + 1 ) ( 一 1 ) ]
=
当n 。 = =奶 = = 时, 式① 、 ② 中的等号
÷( n + 4 ) ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) n .
=( J } ) = 1 n ( n +1 )
‘; I
,
又熟知
都 成 立 , 即 有A 素 ?
t= I
综 上 所 述 , 所 求 的 最 小 值 为 素?
有
4
k 2 - 1
k =l
n ( n +1 ) ( 2 n +1 ) ,
J } = 1
n ( n + 1 ) .
k=l
五、 若n 是奇数, 则n 的所有因子都是奇数, 即
n 譬O ( r I 4 ) .
由 式①有
凡
:
,L
n
+
3
、 , , L
而n = P + P ; P ; + P : - _ o ( m  ̄ , a 4 ) , 矛盾.
所以 , 2 I n .
∑I I } 4 = ∑I } I 4
=
∑( J } + 3 ) ( J } + 2 ) ( J } + 1 ) k 一
n
+
、, ,L
若4 1 n , 则P l =1 , P 2 = 2 .
2
从而, n = 1 + O + P ; + P : 孝 O ( I l 谢4 ) , 矛盾.
所以 , 钋n .
=
6 ∑ 一 1 1 ∑J } 一 6 ∑J }
n
+
l
、,
n
因此 , { P l , P 2 , P 3 , P 4 }
=
{ ( n + 4 ) ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) n — 3 n 2 ?
( n +1 ) 一百 1 1 n ( n +1 ) ( 2 n +1 ) - 3 n ( n+1 )
一 6
3
n
{ l , 2 , P 3 , P 。 } 或{ l , 2 , P 3 , 2 p 3 } .
=
一
l l
若{ P 。 , P 2 , P 3 , P 。 } _{ 1 , 2 , P 3 , P 。 } , 这是不可能
2
n 的 .
{( 凡 + 1 0 n + 3 5 n + 5 0 n + 2 4 凡 ) 一
3
、
— 6
从而 , { P 。 , P 2 , P 3 , P 。 } _{ l , 2 , P 3 , 2 p 3 } , 即
n 4 + 2 n 3 +n ) 一 ( 2 n 3 +3 n 2 +n ) 一
n = 5 ( 1 + P ; ) . ①
故P 3 = 5 .
所以, n=1 3 0 .
=
3 n 一3 n
÷ n 5 + n 4 + 了 1 n 3 一 1 n .
( 王晓辉 提供 )
六、 由( n +3 ) ( n + 2 ) ( n +1 ) n
= +6 凡 +1 1 n +6 凡 .
注: 本解法主要是应用“ 裂项求和” 的技巧 .
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