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２ ０ ０ ５ 年第 ３ 期
３ ５
２ ０ ０ ４ 年 全国 高中 数 学 联 赛吉 林 赛 区 初 赛
一
、
选择题（ 每小题 ６ 分， 共３ ６ 分）
） ．
（ Ｃ ） 动点 尸的轨迹方程为
１ ． △Ａ Ｂ Ｃ的三个内角满足 ｓ ｉ ｎ Ａ ? Ｃ Ｏ ８ Ｂ
—
， ＼ 一 ２ ３ ＼ Ｊ
ｓ ｉ ｎ Ｂ＝ｓ ｉ ｎ Ｃ—ｓ ｉ ｎ Ａ? Ｃ Ｏ ｓ Ｃ． 则（
（ Ａ ） Ａ＝ ９ ０ 。
（ Ｃ ） Ｃ＝ ９ ０ 。
ｙ ２
—１ ２ ５ 一＋ 。 ２ １ 一 １
（ Ｂ ） Ｂ＝９ ０ 。
（ Ｄ ） 动点 尸的轨迹方程为
（ Ｄ ） △Ａ Ｒ Ｃ不一定是直角三角形 ２ ． 设｛ ｝ 是一个复数数列 ， 定义
， ＼ ２ ３ 、 Ｊ ’ ， ２
一 — 广一 ２ ５ ＋ 。 ２ １ …ｌ
，
ｃ － （ － ＋ 一 （ － ＋ ） ．
则∑ｌ 一 ＋ Ｉ － （ ） ．
（ Ａ ） ２ ０ ０ ４ （ Ｂ ） Ｉ （ ｃ ） ｏ （ Ｄ ） 佩 分别为
（ ， 礼＋１ ） ＋Ｙ一 ２ ＝ ０
６ ． 已知 Ｒ ｔ △Ａ Ｂ Ｃ 斜边 Ａ Ｂ上的高为 Ｃ Ｄ， 沿Ｃ Ｄ将△ Ａ Ｃ Ｄ 折起 ， 折成 一个直 二 面角 Ａ—Ｃ Ｄ—Ｂ ， 此时 ， Ａ Ｃ Ｂ的余弦值为 ． 则
峰
Ａ Ｃ Ｄ的值为（
） ．
３ ． 已知一个矩形的两边所在直线的方程
（ Ａ ） １ ５ 。 或７ ５ 。 （ Ｂ ） ４ ５ 。 （ ｃ ） ３ ｏ ｏ ￣６ ０ ０ （ Ｄ ） ２ ０ ｏ 或７ ０ ｏ
二、 填空题（ 每小题 ９ 分， 共５ ４ 分）
和 ４ ｍ ＋（ ， ｎ＋１ ） Ｙ一 ４ ： ０ ．
７ ． 设｛ 口 ｝ 是递增 的正整数数列 ｌ ， ７ ， ８ ，
４ ９ ， ５ ０ ， ５ ６ ， ５ ７ ， …， 它们或者是 ７的幂， 或者是
则 ｍ的值为（ （ Ａ ） 一１
） ． （ Ｂ ） 一 或一 １
若干个 ７的不 同 的幂 之 和． 则 口 。 。 。 。＝
８ ． 已知某 系列化合物 的分 子式通式为 ｃ Ｈ （ 其中 ｍ、 ｎ为正整数 ） ， 其碳原子所 占 的个数 比的计算公式为 ， 给出一系列该
（ ｃ ） ｛ 或 ｌ （ Ｄ ） 一 了 １
４ ． 两个向量 口 、 ｂ满足
ｌ 口 ～ ２ ｌ ＝ １ ， １ ２ ａ ＋ ３ ｌ ＝ 告 ．
贝 ９ （ ５ 口 一 ３ ｂ ） ? （ 口一 ９ ｂ ） 的值为（ ） ．
化合物的分子式 ： ｃ Ｈ ４ ， Ｃ ２ ， …， ｃ Ｈ ２ ＋ ， …．
则这一系列分子式中， 碳原子所 占的个数 比
（ Ａ ） ０（ Ｂ ） １ ０ （ ｃ ） （ Ｄ ） 竽
５ ． 设Ｐ （ ， ｙ ） 到定点 （ 一 ， ０ ） 的距离
的取值范围是— — ．
９ ． 设口 、 ６ 、 ｃ ∈Ｒ ＋ ， 且ａ ｂ ｅ ： １ ． 求证 ： ‘ ＋ 丽 ＋ 丽 ≥１ ≥ ． ?
为ｄ 。 ， 点 Ｐ到Ｙ 轴的距离为 ｄ ２ ． 若５ ｄ ＋ ２ ｄ ２
：
分析： 为了 证明 结论中的不等式， 可以 先
由已知条件 ， 运用均值不等式证 明以下的 ３ 个不等式
≥ ，
４ ８ ， 则（
） ．
（ Ａ ） 动点 Ｐ的轨迹为双曲线一支
（ Ｂ ） 动 点Ｐ 的 轨 迹 曲 线 的 离 心 率 为 妻
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中 等 数 学
≥ ，
Ｕ ‘
? ‘ ’ 一
。
口 ｌ ＋３ ｎ ２ ＋５ 口 ３ ＋７ ａ ４
≥
，
的最小值．
五、 （ ２ ｏ 分） 求所有的正整数 ／ ７ ， ， 使得 ／ ７ ， ＝ （ 其中 ａ为常数 ） ． 再将上述 ３ 个不等式相加
即可 得证 ． 则 分 析 过 程 中常数 ａ的 值 为
Ｐ ＋ Ｐ ； ＋ Ｐ ； ＋ ｐ ： ， 其中Ｐ 。 、 Ｐ ２ 、 Ｐ ３ 、 Ｐ 是／ ７ ， 的
不同的４ 个最小的正整数因子 ．
１ ０ ． 设 （ ） ＝ 一 ２ ａ ｘ 一 ０ 一 丢． 若 对 任
意的 ∈［ ０ ， １ ］ ， 均有 ｔ ｆ （ ） Ｉ ≤１ ， 则实数 ０的
取值范围是— — ． １ １ ． 设函数 ． 厂 （ ） 定义域为 Ｒ ． 若存在与
一
六、 （ ２ ｏ 分 ） 求∑ｋ 的 求 和 公 式， 并 给 出
证明．
参 考 答 案
、
１ ． Ａ ２ ． Ａ ３． Ｂ ４ ． Ｃ ５ ． Ｄ ６ ． Ａ
无关的正常数 ， 使Ｉ ｆ （ ） Ｉ ≤Ｍ Ｉ Ｉ 对一切
实数 均成立 ， 则称 ｆ （ ） 为有界泛函． 下列
二 、 ７ ． ４ ７ ０ ７ ６ ７ ５ ０ ８ ． ｛ ≤ ＜ ｛９ ． 一 号
１ ０ ． 一 ≤ｎ ≤ １ １ ． ③、 ④、 ⑤ １ ２ ． ２ ３ ２ 三、 设 Ｅ为（ Ｙ Ｉ ） ， 由ｋ Ａ ｃ × ＝一１ ， 有
函数中， 属于有界泛函的有— — （ 填序号） ．
Ｏｆ （ ） ＝ｅ ， Ｑｆ （ ） ＝ ，
④厂 （ ） ＝ （ ｓ ｉ ｎ ＋ Ｃ Ｏ Ｓ ） ，
２
÷．
●
一
： 一 １ ．
①
ｅｌ （ ）
，
整 理 得 ｙ Ｉ ＝ ￡ 专 一 号 ? 。 ．
⑨厂 （ ） 是定义在 Ｒ上的奇函数， 且对一
切实数 。 、 均有
ｔ ｆ （ １ ） 一 ｆ （ ２ ） Ｉ ≤２ Ｉ ｌ —ｘ ２ Ｉ ．
又 寻 ２ ＋ 吾 ： １ ， 把 ， ， 。 代 人 式 ① 得
（ — １ ） 【 Ⅱ ＋ ２ ａ ２ ｙ ２ — ｂ ｙ ２ 一 （ ｏ ＋ ｂ ２ ｙ ２ ） Ｉ ］ ＝ ０ ．
＝
１ ２ ． 非空集合 Ａ满足 （ １ ） ｛ １ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５ ， ６ ， …， １ １ ｝ ； （ ２ ） Ａ中任何 ２ 个整数不相邻 ．
＝
则满足条件的 Ａ的个数为— — ．
三、 （ ２ ０分 ） 设 ｒ 为 椭 圆 ＋ ＝ｌ （ ａ ＞ｂ ＞ ０ ） ， Ａ （ ， ｙ ） 为 ｒ上一点 ， Ｂ 、 Ｃ 、 Ｄ分 别为 Ａ关于 Ｙ轴、 原点、 轴的对称点 ， Ｅ为 ｒ上一点 ， 使Ａ Ｅ — Ｌ Ａ Ｃ ， Ｃ Ｅ与 Ｂ Ｄ 的交点为
Ｆ．
１ ＋ ２ ｙ ２ ? 赫 ） ． 同 理 ＝ １ － ２ ｘ ２ ? 赫 ） ， ， ．
令 ， 一 ｔ ｙ ） ， 有 专 ＝ 测
ｔ＝ ： ．
所 （ 筹
；
ｙ ） ．
（ １ ） 求 出点 Ｆ的坐标 （ 用 Ａ的 坐标 表
示） ；
当Ａ （ ， ， ， ） 沿着 ｒ运动时 ， 则Ｆ （ ， ， ） 满 足
（ ２ ） 当 Ａ沿ｒ运动时， Ｆ的轨迹是什么？ 与 ｒ有何关系？
酾： ； ＋ 酾： 一 １ ‘
因此 ， Ｆ的轨迹为椭圆， 且与 ｒ相似．
四、 （ ２ ０ 分） 设ａ 。 ∈Ｒ ＋ ， ｉ ＝１ ， ２ ， …， ５ ． 求
ａｉ ａ，
四、 设原式为 Ａ ． 由柯西不等式， 有 Ａ ? ［ ｎ ｌ （ 口 ２ ＋ ３ ｎ ３ ＋ ５ Ｏ ， ４ ＋ ７ ｎ ５ ） ＋口 ２ （ ｎ ３ ＋ ３ Ｏ ， ４ ＋
万
＋
＋
５ ｎ ５ ＋ ７ ｎ Ｉ ） ＋… ＋ｎ ５ （ ｎ ｌ ＋ ３ 口 ２ ＋５ ｎ ３ ＋７ ｏ ， ４ ） ］
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２ ０ Ｏ ５ 年第３ 期
≥（ ｎ ｌ ＋０ ． ２ ＋ｎ ３ ＋ｎ ４ ＋ ） ． ）
注 意到
３ ７
（ ∑啦 ）
洧 南
＝
．
ｌ《 ｉ ＜ ‘ ５
‘
②
∑（ Ｊ ｝ ＋ ３ ） （ Ｊ ｝ ＋ ２ ） （ Ｊ ｝ ＋ １ ） ｋ
＝
因 为 ４ （ 妻 嘶 ） 一 １ ０ ∑
∑（ 啦 一 ） ≥ ｏ ，
Ｉ 《－ ‘ 』 ‘ ５ ?
＝１ — １ ‘ｉ ＜ｊ ‘５
∑｛｛ （ ＋ ３ ） （ Ｉ ｝ ｉ ＋ ２ ） （ Ｉ ｉ ｝ ＋ １ ） Ｉ ｉ ｝ ［ （ Ｉ ｝ ｉ ＋ ４ ） 一
（ 一１ ） ］ ｝
所 以， （ ｑ ） ≥ ∑ ．
从而 ， Ａ≥ ?
＝
｛∑［ （ Ｊ ｝ ＋ ４ ） （ Ｊ ｝ ＋ ３ ） （ Ｊ ｝ ＋ ２ ） （ Ｊ ｝ ＋ １ ） Ｊ ｝ 一
（ 后 ＋ ３ ） （ 后 ＋ ２ ） （ ＋ １ ） （ 一 １ ） ］
＝
当ｎ 。 ＝ ＝奶 ＝ ＝ 时， 式① 、 ② 中的等号
÷（ ｎ ＋ ４ ） （ ｎ ＋ ３ ） （ ｎ ＋ ２ ） （ ｎ ＋ １ ） ｎ ．
＝（ Ｊ ｝ ） ＝ １ ｎ （ ｎ ＋１ ）
‘； Ｉ
，
又熟知
都 成 立 ， 即 有Ａ 素 ?
ｔ＝ Ｉ
综 上 所 述 ， 所 求 的 最 小 值 为 素?
有
４
ｋ ２ － １
ｋ ＝ｌ
ｎ （ ｎ ＋１ ） （ ２ ｎ ＋１ ） ，
Ｊ ｝ ＝ １
ｎ （ ｎ ＋ １ ） ．
ｋ＝ｌ
五、 若ｎ 是奇数， 则ｎ 的所有因子都是奇数， 即
ｎ 譬Ｏ （ ｒ Ｉ ４ ） ．
由 式①有
凡
：
，Ｌ
ｎ
＋
３
、 ， ， Ｌ
而ｎ ＝ Ｐ ＋ Ｐ ； Ｐ ； ＋ Ｐ ： － ＿ ｏ （ ｍ ￣ ， ａ ４ ） ， 矛盾．
所以 ， ２ Ｉ ｎ ．
∑Ｉ Ｉ ｝ ４ ＝ ∑Ｉ ｝ Ｉ ４
＝
∑（ Ｊ ｝ ＋ ３ ） （ Ｊ ｝ ＋ ２ ） （ Ｊ ｝ ＋ １ ） ｋ 一
ｎ
＋
、， ，Ｌ
若４ １ ｎ ， 则Ｐ ｌ ＝１ ， Ｐ ２ ＝ ２ ．
２
从而， ｎ ＝ １ ＋ Ｏ ＋ Ｐ ； ＋ Ｐ ： 孝 Ｏ （ Ｉ ｌ 谢４ ） ， 矛盾．
所以 ， 钋ｎ ．
＝
６ ∑ 一 １ １ ∑Ｊ ｝ 一 ６ ∑Ｊ ｝
ｎ
＋
ｌ
、，
ｎ
因此 ， ｛ Ｐ ｌ ， Ｐ ２ ， Ｐ ３ ， Ｐ ４ ｝
＝
｛ （ ｎ ＋ ４ ） （ ｎ ＋ ３ ） （ ｎ ＋ ２ ） （ ｎ ＋ １ ） ｎ — ３ ｎ ２ ?
（ ｎ ＋１ ） 一百 １ １ ｎ （ ｎ ＋１ ） （ ２ ｎ ＋１ ） － ３ ｎ （ ｎ＋１ ）
一 ６
３
ｎ
｛ ｌ ， ２ ， Ｐ ３ ， Ｐ 。 ｝ 或｛ ｌ ， ２ ， Ｐ ３ ， ２ ｐ ３ ｝ ．
＝
一
ｌ ｌ
若｛ Ｐ 。 ， Ｐ ２ ， Ｐ ３ ， Ｐ 。 ｝ ＿｛ １ ， ２ ， Ｐ ３ ， Ｐ 。 ｝ ， 这是不可能
２
ｎ 的 ．
｛（ 凡 ＋ １ ０ ｎ ＋ ３ ５ ｎ ＋ ５ ０ ｎ ＋ ２ ４ 凡 ） 一
３
、
— ６
从而 ， ｛ Ｐ 。 ， Ｐ ２ ， Ｐ ３ ， Ｐ 。 ｝ ＿｛ ｌ ， ２ ， Ｐ ３ ， ２ ｐ ３ ｝ ， 即
ｎ ４ ＋ ２ ｎ ３ ＋ｎ ） 一 （ ２ ｎ ３ ＋３ ｎ ２ ＋ｎ ） 一
ｎ ＝ ５ （ １ ＋ Ｐ ； ） ． ①
故Ｐ ３ ＝ ５ ．
所以， ｎ＝１ ３ ０ ．
＝
３ ｎ 一３ ｎ
÷ ｎ ５ ＋ ｎ ４ ＋ 了 １ ｎ ３ 一 １ ｎ ．
（ 王晓辉 提供 ）
六、 由（ ｎ ＋３ ） （ ｎ ＋ ２ ） （ ｎ ＋１ ） ｎ
＝ ＋６ 凡 ＋１ １ ｎ ＋６ 凡 ．
注： 本解法主要是应用“ 裂项求和” 的技巧 ．
《 欢迎作者为数学活动课程讲座、 命题与解题、 我为数学竞赛命题、 巧思妙解、 课外训 ｉ 练、 数学奥林匹 克问 题、 数海拾贝、 缤纷广角 镜等 栏目 撰稿， 欢迎更多的 作者撰写适合初中
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