2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛

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２ ０ ０ ５ 年第 ３ 期　

３ ５ 　

２ ０ ０ ４ 年 全国 高中 数 学 联 赛吉 林 赛 区 初 赛 　
一

、

选择题（ 每小题 ６ 分， 共３ ６ 分） 　
） ． 　

（ Ｃ ） 动点 尸的轨迹方程为　

１ ． △Ａ Ｂ Ｃ的三个内角满足 ｓ ｉ ｎ 　 Ａ ? Ｃ Ｏ ８ 　 Ｂ 　
—

， ＼ 　 　 　一 ２ ３ ＼ Ｊ 　

ｓ ｉ ｎ 　 Ｂ＝ｓ ｉ ｎ 　 Ｃ—ｓ ｉ ｎ 　 Ａ? Ｃ Ｏ ｓ 　 Ｃ． 则（ 　
（ Ａ ） 　 Ａ＝ ９ ０ 。 　
（ Ｃ ） 　 Ｃ＝ ９ ０ 。 　

ｙ ２ 　

—１　 ２ ５ 　 一＋ 。 　 ２ １ 一 　 １ 　

（ Ｂ ） 　 Ｂ＝９ ０ 。 　

（ Ｄ ） 动点 尸的轨迹方程为　

（ Ｄ ） △Ａ Ｒ Ｃ不一定是直角三角形　 ２ ． 设｛ 　｝ 是一个复数数列 ， 定义　

， ＼ 　 ２ ３ 、 Ｊ 　 ’ ， ２
一 —　广一 ２ ５ 　 ＋ 。 　 ２ １ …ｌ 　
，　

ｃ － 　（ － ＋ 　一 （ － ＋ 　 ） ． 　
则∑ｌ 　一 　＋ 　 Ｉ － （ 　 ） ． 　
（ Ａ ） ２ ０ ０ ４ （ Ｂ ） Ｉ （ ｃ ） ｏ （ Ｄ ） 　 佩 分别为　
（ ， 礼＋１ ） 　＋Ｙ一 ２ ＝ ０ 　

６ ． 已知 Ｒ ｔ △Ａ Ｂ Ｃ 斜边 Ａ Ｂ上的高为 Ｃ Ｄ， 　 沿Ｃ Ｄ将△ Ａ Ｃ Ｄ 折起 ， 折成 一个直 二 面角 　 Ａ—Ｃ Ｄ—Ｂ ， 此时 ， 　Ａ Ｃ Ｂ的余弦值为　 ． 则 　
峰 　

　

Ａ Ｃ Ｄ的值为（ 　

） ． 　

３ ． 已知一个矩形的两边所在直线的方程　

（ Ａ ） １ ５ 。 或７ ５ 。 　 （ Ｂ ） ４ ５ 。 　 （ ｃ ） ３ ｏ ｏ ￣６ ０ ０ 　 （ Ｄ ） ２ ０ ｏ 或７ ０ ｏ 　
二、 填空题（ 每小题 ９ 分， 共５ ４ 分） 　

和 ４ ｍ 　 ＋（ ， ｎ＋１ ） Ｙ一 ４ ： ０ ． 　

７ ． 设｛ 口 　 ｝ 是递增 的正整数数列 ｌ ， ７ ， ８ ， 　
４ ９ ， ５ ０ ， ５ ６ ， ５ ７ ， …， 它们或者是 ７的幂， 或者是　

则 ｍ的值为（ 　 （ Ａ ） 一１ 　

） ． 　 （ Ｂ ） 一 　或一 １ 　

若干个 ７的不 同 的幂 之 和． 则 口 。 。 。 。＝ 　
８ ． 已知某 系列化合物 的分 子式通式为　 ｃ 　 Ｈ 　 （ 其中 ｍ、 ｎ为正整数 ） ， 其碳原子所 占 　 的个数 比的计算公式为　 ， 给出一系列该　

（ ｃ ） ｛ 或 ｌ 　 （ Ｄ ） 一 了 １ 　
４ ． 两个向量 口 、 ｂ满足　

ｌ 口 ～ ２ 　 ｌ ＝ １ ， １ ２ ａ ＋ ３ 　 ｌ ＝ 告 ． 　
贝 ９ （ ５ 口 一 ３ ｂ ） ? （ 口一 ９ ｂ ） 的值为（ 　 ） ． 　

化合物的分子式 ： ｃ Ｈ ４ ， Ｃ ２ 　， …， ｃ 　 Ｈ ２ 　 ＋ 　 ， …． 　
则这一系列分子式中， 碳原子所 占的个数 比 　

（ Ａ ） ０（ Ｂ ） １ ０ 　（ ｃ ） 　 （ Ｄ ） 竽 　
５ ． 设Ｐ （ 　， ｙ ） 到定点 　（ 一 　， ０ ） 的距离　

的取值范围是— — ． 　
９ ． 设口 、 ６ 、 ｃ ∈Ｒ ＋ ， 且ａ ｂ ｅ ： １ ． 求证 ： 　 ‘ 　 ＋ 　 丽 ＋ 　 丽 ≥１ ≥ ． ? 　

为ｄ 。 ， 点 Ｐ到Ｙ 轴的距离为 ｄ ２ ． 若５ ｄ 　 ＋ ２ ｄ ２ 　
：

分析： 为了 证明 结论中的不等式， 可以 先 　
由已知条件 ， 运用均值不等式证 明以下的 ３ 　 个不等式　
≥　 ， 　

４ ８ ， 则（ 　

） ． 　

（ Ａ ） 动点 Ｐ的轨迹为双曲线一支　

（ Ｂ ） 动 点Ｐ 的 轨 迹 曲 线 的 离 心 率 为 妻 　

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中 等 数 学　
≥　 ， 　
Ｕ ‘ 　
? ‘ ’　 一 　

。

口 ｌ ＋３ ｎ ２ ＋５ 口 ３ ＋７ ａ ４ 　

≥　

， 　

的最小值． 　

五、 （ ２ ｏ 分） 求所有的正整数 ／ ７ ， ， 使得 ／ ７ ， ＝ 　 （ 其中 ａ为常数 ） ． 再将上述 ３ 个不等式相加　
即可 得证 ． 则 分 析 过 程 中常数 ａ的 值 为 　

Ｐ 　 ＋ Ｐ ； ＋ Ｐ ； ＋ ｐ ： ， 其中Ｐ 。 、 Ｐ ２ 、 Ｐ ３ 、 Ｐ 　 是／ ７ ， 的 　
不同的４ 个最小的正整数因子 ． 　

１ ０ ． 设 　 （ 　 ） ＝ 　一 ２ ａ ｘ 一 ０ 　 一 丢． 若 对 任 　
意的 　∈［ ０ ， １ ］ ， 均有 ｔ ｆ （ 　 ） Ｉ ≤１ ， 则实数 ０的 　
取值范围是— — ． 　 １ １ ． 设函数 ． 厂 （ 　 ） 定义域为 Ｒ ． 若存在与　
一

六、 （ ２ ｏ 分 ） 求∑ｋ 　 的 求 和 公 式， 并 给 出 　
证明． 　

参 考 答 案　
、

１ ． Ａ 　２ ． Ａ 　 ３． Ｂ 　４ ． Ｃ 　５ ． Ｄ 　６ ． Ａ 　

无关的正常数　 ， 使Ｉ ｆ （ 　） Ｉ ≤Ｍ 　 Ｉ 　Ｉ 对一切　
实数　 均成立 ， 则称 ｆ （ 　） 为有界泛函． 下列　

二 、 ７ ． ４ ７ 　 ０ ７ ６ 　 ７ ５ ０ 　 ８ ． ｛ ≤ 　 ＜ ｛９ ． 一 号 　
１ ０ ． 一 　 ≤ｎ ≤ 　 １ １ ． ③、 ④、 ⑤ １ ２ ． ２ ３ ２ 　 三、 设 Ｅ为（ 　 Ｙ Ｉ ） ， 由ｋ Ａ ｃ × 　 ＝一１ ， 有　

函数中， 属于有界泛函的有— — （ 填序号） ． 　
Ｏｆ （ 　） ＝ｅ 　 ， 　 Ｑｆ （ 　） ＝ 　， 　

④厂 （ 　 ） ＝ 　（ ｓ ｉ ｎ 　＋ Ｃ Ｏ Ｓ 　） ， 　
２ 　

÷． 　
●

一 　

： 一 １ ． 　

① 　

ｅｌ （ 　） 　

， 　

整 理 得 ｙ Ｉ ＝ ￡ 专 　 一 号 ? 　 。 ． 　

⑨厂 （ 　 ） 是定义在 Ｒ上的奇函数， 且对一　
切实数　。 、 　 均有　
ｔ ｆ （ 　１ ） 一 ｆ （ 　 ２ ） Ｉ ≤２ Ｉ 　ｌ —ｘ ２ 　 Ｉ ． 　

又 寻 ２ ＋ 吾 ： １ ， 把 ， ， 。 代 人 式 ① 得 　
（ 　 — 　 １ ） 【 Ⅱ 　＋ ２ ａ ２ 　 ｙ ２ 　 — ｂ 　 ｙ ２ 　 一 （ ｏ 　＋ ｂ ２ 　 ｙ ２ ） 　 Ｉ ］ ＝ ０ ． 　
＝ 　

１ ２ ． 非空集合 Ａ满足　 （ １ ） 　 ｛ １ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５ ， ６ ， …， １ １ ｝ ； 　 （ ２ ） Ａ中任何 ２ 个整数不相邻 ． 　
＝

则满足条件的 Ａ的个数为— — ． 　
三、 （ ２ ０分 ） 设 ｒ 为 椭 圆　 ＋ 　 ＝ｌ 　 （ ａ ＞ｂ ＞ ０ ） ， Ａ （ 　， ｙ ） 为 ｒ上一点 ， Ｂ 、 Ｃ 、 Ｄ分　 别为 Ａ关于 Ｙ轴、 原点、 　轴的对称点 ， Ｅ为　 ｒ上一点 ， 使Ａ Ｅ — Ｌ Ａ Ｃ ， Ｃ Ｅ与 Ｂ Ｄ 的交点为　
Ｆ． 　

１ ＋ ２ ｙ ２ ? 赫 ） 　 ． 　 同 理 　 ＝ １ － ２ ｘ ２ ? 赫 ） ， ， ． 　
令 　， 一 ｔ ｙ ） ， 有 专　＝ 　 测 　
ｔ＝ 　 ：　 ． 　

所 　（ 筹　
； 　

ｙ 　 ） ． 　

（ １ ） 求 出点 Ｆ的坐标 （ 用 Ａ的 坐标 表　
示） ； 　

当Ａ （ 　， ， ， ） 沿着 ｒ运动时 ， 则Ｆ （ 　 ， ， 　） 满 足　

（ ２ ） 当 Ａ沿ｒ运动时， Ｆ的轨迹是什么？ 　 与 ｒ有何关系？ 　

酾： 　； 　 ＋ 　 酾： 　一 　 １ 　 ‘ 　
因此 ， Ｆ的轨迹为椭圆， 且与 ｒ相似． 　

四、 （ ２ ０ 分） 设ａ 。 ∈Ｒ ＋ ， ｉ ＝１ ， ２ ， …， ５ ． 求　
ａｉ 　 ａ， 　

四、 设原式为 Ａ ． 由柯西不等式， 有　 Ａ ? ［ ｎ ｌ （ 口 ２ ＋ ３ ｎ ３ ＋ ５ Ｏ ， ４ ＋ ７ ｎ ５ ） ＋口 ２ （ ｎ ３ ＋ ３ Ｏ ， ４ ＋ 　

万　

＋ 　

＋ 　

５ ｎ ５ ＋ ７ ｎ Ｉ ） ＋… ＋ｎ ５ （ ｎ ｌ ＋ ３ 口 ２ ＋５ ｎ ３ ＋７ ｏ ， ４ ） ］ 　

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２ ０ Ｏ ５ 年第３ 期　
≥（ ｎ ｌ ＋０ ． ２ ＋ｎ ３ ＋ｎ ４ ＋ 　 ） 　 ． 　 ） 　
注 意到　

３ ７ 　

（ ∑啦 ） 　

洧 　南
＝
． 　

ｌ《 ｉ ＜ 　‘ ５ 　

‘ 　
② 　

∑（ Ｊ ｝ ＋ ３ ） （ Ｊ ｝ ＋ ２ ） （ Ｊ ｝ ＋ １ ） ｋ 　
＝

因 为 ４ （ 妻 嘶 ） 　 一 １ ０ ∑ 　
∑（ 啦 一 　） 　 ≥ ｏ ， 　
Ｉ 《－ ‘ 』 ‘ ５ 　 ? 　
＝１ 　 — １ ‘ｉ ＜ｊ ‘５ 　

∑｛｛ （ 　 ＋ ３ ） （ Ｉ ｝ ｉ ＋ ２ ） （ Ｉ ｉ ｝ ＋ １ ） Ｉ ｉ ｝ ［ （ Ｉ ｝ ｉ ＋ ４ ） 一 　
（ 　一１ ） ］ ｝ 　

所 以， （ 　ｑ ） 　 ≥ 　 ∑　 ． 　
从而 ， Ａ≥ 　 ? 　

＝

｛∑［ （ Ｊ ｝ ＋ ４ ） （ Ｊ ｝ ＋ ３ ） （ Ｊ ｝ ＋ ２ ） （ Ｊ ｝ ＋ １ ） Ｊ ｝ 一 　
（ 后 ＋ ３ ） （ 后 ＋ ２ ） （ 　＋ １ ） 　 （ 　一 １ ） ］ 　

＝

当ｎ 。 ＝ 　 ＝奶 ＝ 　 ＝ 　 时， 式① 、 ② 中的等号　

÷（ ｎ ＋ ４ ） （ ｎ ＋ ３ ） （ ｎ ＋ ２ ） （ ｎ ＋ １ ） ｎ ． 　
＝（ 　 Ｊ ｝ ） 　 ＝ 　 １ 　 ｎ 　 （ ｎ ＋１ ） 　
‘； Ｉ 　
， 　

又熟知　

都 成 立 ， 即 有Ａ 　 素 ? 　

ｔ＝ Ｉ 　

综 上 所 述 ， 所 求 的 最 小 值 为 素? 　
有　
４

ｋ ２ － 　１ 　
ｋ ＝ｌ 　

ｎ （ ｎ ＋１ ） （ ２ ｎ ＋１ ） ， 　

Ｊ ｝ ＝ 　１ 　

ｎ （ ｎ ＋ １ ） ． 　

ｋ＝ｌ 　

五、 若ｎ 是奇数， 则ｎ 的所有因子都是奇数， 即 　
ｎ 譬Ｏ （ ｒ Ｉ 　４ ） ． 　

由 式①有　

凡　

： 　
，Ｌ 　

ｎ　

＋　
３ 　
、 ， ， Ｌ 　 　

而ｎ ＝ Ｐ 　 ＋ Ｐ ； 　Ｐ ； ＋ Ｐ ： － ＿ ｏ （ ｍ ￣ ， ａ 　 ４ ） ， 矛盾． 　
所以 ， ２ Ｉ 　 ｎ ． 　

∑Ｉ Ｉ ｝ ４ ＝ ∑Ｉ ｝ Ｉ ４ 　
＝

∑（ Ｊ ｝ ＋ ３ ） （ Ｊ ｝ ＋ ２ ） （ Ｊ ｝ ＋ １ ） ｋ 一 　

ｎ　

＋　
、， ，Ｌ

若４ １ 　 ｎ ， 则Ｐ ｌ ＝１ ， Ｐ ２ ＝ ２ ． 　

２ 　 　
　

从而， ｎ ＝ １ ＋ Ｏ ＋ Ｐ ； ＋ Ｐ ： 孝 Ｏ （ Ｉ ｌ 谢４ ） ， 矛盾． 　
所以 ， 钋ｎ ． 　
＝

６ ∑ 　一 １ １ ∑Ｊ ｝ 　 一 ６ ∑Ｊ ｝ 　

ｎ　

＋　
ｌ 　

、，

　

ｎ　

因此 ， ｛ Ｐ ｌ ， Ｐ ２ ， Ｐ ３ ， Ｐ ４ ｝ 　
＝

｛ （ ｎ ＋ ４ ） （ ｎ ＋ ３ ） （ ｎ ＋ ２ ） （ ｎ ＋ １ ） ｎ — 　 ３ 　 ｎ ２ ? 　
（ ｎ ＋１ ） 　 一百 １ １ 　 ｎ （ ｎ ＋１ ） （ ２ ｎ ＋１ ） － ３ ｎ （ ｎ＋１ ） 　

一 　 ６　
３ 　

ｎ　

｛ ｌ ， ２ ， Ｐ ３ ， Ｐ 。 ｝ 或｛ ｌ ， ２ ， Ｐ ３ ， ２ ｐ ３ ｝ ． 　
＝

一 　
ｌ ｌ 　 　

若｛ Ｐ 。 ， Ｐ ２ ， Ｐ ３ ， Ｐ 。 ｝ ＿｛ １ ， ２ ， Ｐ ３ ， Ｐ 。 ｝ ， 这是不可能　

２ 　

ｎ　 的 ． 　

｛（ 凡 　 ＋ １ ０ ｎ 　 ＋ ３ ５ ｎ 　 ＋ ５ ０ ｎ 　 ＋ ２ ４ 凡 ） 一 　
３
、

— 　 ６　

从而 ， ｛ Ｐ 。 ， Ｐ ２ ， Ｐ ３ ， Ｐ 。 ｝ ＿｛ ｌ ， ２ ， Ｐ ３ ， ２ ｐ ３ ｝ ， 即　

ｎ ４ ＋ ２ ｎ ３ ＋ｎ 　 ） 一 　 （ ２ ｎ ３ ＋３ ｎ ２ ＋ｎ ） 一 　

ｎ ＝ ５ （ １ ＋ Ｐ ； ） ． 　 ①　
故Ｐ ３ ＝ ５ ． 　
所以， ｎ＝１ ３ ０ ． 　
＝

３ ｎ 　 一３ ｎ 　

÷ ｎ ５ ＋ 　 ｎ ４ ＋ 了 １ 　 ｎ ３ 一 　 １ 　 ｎ ． 　
（ 王晓辉 提供 ） 　

六、 由（ ｎ ＋３ ） （ ｎ ＋ ２ ） （ ｎ ＋１ ） ｎ 　
＝ 　 ＋６ 凡 　＋１ １ ｎ 　＋６ 凡 ． 　

注： 本解法主要是应用“ 裂项求和” 的技巧 ． 　

《 　 欢迎作者为数学活动课程讲座、 命题与解题、 我为数学竞赛命题、 巧思妙解、 课外训 　 ｉ 练、 数学奥林匹 克问 题、 数海拾贝、 缤纷广角 镜等 栏目 撰稿， 欢迎更多的 作者撰写适合初中 　

ｉ ； 　 生 阅 读 且 内 容 充 实 的 专 题 讲 座 和 解 题 指 导 性 文 章 。 　
本刊 编辑部