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构造法在高中数学解题中巧用


试析构造法在高中数学解题中的巧用 摘要:构造法广泛应用于高中数学解题中,若能合理巧用,可 以简驭繁、变难为易,简捷高效,值得积极探索。本文尝试从灵活 运用数学思想、美化问题条件两方面作简单分析。 关键词: 构造法; 高中数学;解题;巧用 当解决命题遇阻时,跳过思维定势,设想构造一个与之相关的新 命题,通过对新命题的研究达到解决旧命题的目的,这种方法便是 构造法。构造法是一种精巧的

解题方法,具有非常规性,富有创造 性,广泛应用于高中数学解题中,若能合理巧用,可以简驭繁、变 难为易,收出奇制胜之效,值得高度重视。那么,应该如何巧用构 造法解题呢? 一、 “活用思想”巧构造 美国著名数学家波利亚认为: “掌握数学就意味着要善于解题。 ” 相对于初中数学的简单、形象、机械, 高中数学语言抽象程度突变、 思维方法向理性层次跃迁、知识内容剧增,不少学生学起来感觉难 度较大,在解题方面往往束手无策,更谈不上善于解题。而要善于 解题,最常见的途径就是灵活运用数学思想,科学构造, 巧妙化解。 高中数学思想主要有数形结合、函数与方程、分类讨论、转化(化 归)等,现试举例分析如下。 (一)数形结合 著名数学家华罗庚曾说过: “数缺形时少直观,形少数时难入微。 数形结合百般好,隔离分家万事休。 ”作为数学中两个最基本的概 念,若能充分发挥其各自之长,集数之严谨与形之直观,通过对应 和转化,或以形助数,或以数解形,诱发构造,可化繁为简,优化 解题。例如:解方程 (二)函数与方程 函数与方程是高中数学的基本思想,其中前者是分析问题中的数 量关系利用函数的性质解题,后者是将问题中的数量关系转化为方 程模型来解题,它们密切相关。因此,许多函数问题可用方程的方 法来解决,如函数 y=f(x) ,当 y=0 时,即转化为方程 f(x)=0。 反之,许多方程问题亦可通过函数的方法解决,如求方程 lnx+2x-6=0 的近似解,若用一般解方程方法会非常麻烦,而通过求 相应函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点(只需作出 x,f(x)的对应值 表和图象,即可找到函数零点)则可轻松解题。总之,我们要注意 领悟蕴含在题目中的函数与方程的思想,注意观察,根据需要互相 转化,重新构造,寻求最佳方案,使问题获得解决。 (三)分类讨论 分类讨论就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础性 问题,通过对基础性问题的解答以实现解决原问题。例如,若函数 f(x)=ax-x-a (a>0 且 a≠1)有两个零点,求实数 a 的取值范围。 解:设函数 y = ax (a>0 且 a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x) =ax-x-a (a>0 且 a≠1)有两个零点,就是函数 y = ax (a>0 且 a ≠1)的图象和函数 y=x+a 的图象有两个交点。由图象可知,当 01 时,因为函数 y = ax (a>1)的图象过点(0,1) ,而直线 y=x+a 的图象与 y 轴的交点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交 点,所以实数 a 的取值范围是 a>1。从上例看出,分类讨论实质是 “化整为零,各个击破,再积零为整” ,可优化解题思路,降低问 题难度,是构造法的巧妙实践。 (四)转化(化归) 二、 “美化条件”巧构造 在教学过程中大家总是强调数学的科学功能,只注重基本知识和 技能的传授和训练,而忽视了数学美学功能,看不到美学在解题中 所起的作用,不能说不是一个遗憾。其实,除了灵活运用数学思想 构造解题外,若能挖掘条件与结论中“美”的因素,对问题进行重 组,采用割、补、添等方法对条件

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