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2.2.2平面与平面平行的判定


2.2.2平面与平面平行的判定

我们来思考:

空间两平面的位置关系有哪些?
位置关系 图形语言
两平面平行
?
?

符号语言

公共点个数


? // ?
?

两平面相交

?

a

??? ?a

一条公共直线

思考:三角板的一条边所
在直线与桌面平行,这个三 角板所在平面与桌面平行吗?

β

?

思考:三角板的两条边所在直线分别与桌
面平行,三角板所在平面与桌面平行吗?
β

?

?1?若?内有一条直线 a与?平行,
则?与?平行吗?
a
?
?
a

?

?

(两平面平行)

(两平面相交)

?2?若?内有两条直线a, b分别与?平行,
则?与?平行吗?

1 若a // b时,则?与?平行吗?
0

?

b

a

?

a
b

?
(两平面平行)

?

(两平面相交)

?2?若?内有两条直线a, b分别与?平行,
则?与?平行吗?

2 若a ? b ? P时,则 ?与?平行吗?
0

b

?

P

a

?

?

A

b a

你知道木匠师傅是怎 样用水平仪来检测桌面是 否水平的?

?
?
水平面

?
?

生活中的例子:
你知道建筑师如何检验屋顶平面与水平面 是否平行的吗?

平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行,则这两个平面平行。

a?? ? ? b?? ? ? a ? b ? P ? ? ? // ? ? a // ? ? b // ? ? ?
线面平行

b
β α P a

α∥ β

面面平行 ?

基础尝试性练习 判断下列命题是否正确:
( )1、如果一个平面内有两条直线平行于另一个

平面,那么这两个平面平行;
( ) 2、如果一个平面内有两条不平行的直线都平

行于另一个平面,那么这两个平面平行;
( )3、如果一个平面内有无数条直线分别平行于

另一个平面,那么这两个平面平行;
( )4、如果一个平面内任意一条直线都平行于另

一个平面,那么这两个平面平行.

理论迁移
例1 在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 求证:平面AB′D′∥平面BC′D.
D′
A′ B′

C′

D
A B

C

定理应用
能力训练

已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M , N , E , F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点, 求证:平面AMN∥平面EFDB
N A1 D1 M D A

F
B1

C1 E

C

B

证明:连接B1D1 ,MF
? M,N,E,F分别是棱A1 B1 , A1 D 1 , B1C1 , C1 D1的中点, ∴MN∥B1D1 B1D1∥EF ∴MN∥EF N D1 F

C1 E

又? MN ? 平面DBEF, EF ? 平面DBEF A
MN∥平面BDFE
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
?

1

M D

B1

MF∥A1D1, A1D1∥AD∴ MF∥AD

且MF=A1D1= AD ? ADFM为平行四边行,

A

C B

∴ AM ∥DF 又 ? AM ? 平面DBEF 又 ? DF ? 平面DBEF

∴ AM∥平面DBEF 又AM ? MN=M ∴平面AMN∥平面EFDB

定理应用
拓展探究
如图,ABCD和ABEF均为正方形,M、N分别 是对角线AC、BF上的一点,且AM=FN,如果 过 MN 作一平面平行于平面 BCE ,应该怎样画 线? D C
D C M A

M
A G N F B E

G
N F

B
E

反思~领悟:
1.面面平行,通常可以转化为线面平行来处理.
基本思路: 线线平行

线面平行

面面平行

2、证明的书写三个条件“内”、“交”、“平行”, 缺一不可。

作业

以下两组中任选一组做作业:
A组 第7 ,8题;

1.课本P62 习题2.2

2.如右图,B为△ADC所在平面外一点,
M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心, 求证:平面GMN∥平面ACD.
B

A

M

N G
D

C

例2 在三棱锥P-ABC中,点D、E、F分别 是△PAB、△PBC、△PAC的重心,求证: 平面DEF//平面ABC.
P F A D M E C

N B


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