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四川省成都七中2014届高三一诊模拟考试理科数学


成都七中

2014 届一诊模拟测试题

理科数学

四川省成都七中高三“一诊”模拟考试 数学(理)试题
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. )

2i 等于( ) 1? i A. ?1 ? i B. 1 ? i b ? ( x ? 1) ? 2 2.已知函数 f ( x) ? ? x ? x ? x ? 1 ( x ? 1) ?
1.复数 A.4 B.-4

C. 1 ? i 在 R 上连续,则 b ? ( C.2 )

D. ?1 ? i

D.-2

??? ? ???? ? 3.在△ABC 中, AB ? (2,3) , AC ? (k ,1) , A ? ,则 k 的值为( ) 2 11 11 3 3 A. ? B. C. ? D. 3 3 2 2 x 2 4.已知 p : 不等式 x ? 1 ? a 的解集为 ? , q : f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 是减函数,则是的(
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 5. 设随机变量 ? 服从标准正态分布 N (0,1) ,已知 ? (?1.96) ? 0.025 ,则 P(? ? 1.96) ? ( A 0.025 B 0.050 C 0.950 D 0.975





6.设函数 f ( x) ? cos x ? sin x ,把 f ( x) 的图象按向量( m, 0 ) m ? 0 )平移后,图象恰好为函数 (

y ? ? f / ( x) 的图象,则 m 的值可以为(
A、

)

? 4

B、

? 2

C、

3? 4

D、 )

7.设 m、n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列四个命题中正确的序号是( ① 若m ? ? , n //,则 m ? n ③ 若m // ? , n // ? , 则m // n A、①的② B、②和③ ② 若? ? ? , ? ? ? , 则? // ? ④ 若? //? ,? //? ,m ? ? , 则m ? ? C、③和④ D、①和④

8.男教师 6 名,女教师 4 名,其中男女队长各 1 人,选派 5 人到灾区支教,队长中至少有一人参加, 则不同的选派方法有( A 169 )种。 B 140 C 126 D 196

9. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 3, an ?1 ? an ? an ?1 ? 1 ? 0 ,则 a2011 ? ( A ?

) D ?3

4 3

B ?

1 4

C 3

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2014 届一诊模拟测试题

理科数学

10.已知 f ( x) 为定义在 (??, ??) 上的可导函数,且 f ( x) ? f ( x) 对于 x ? R 恒成立,则(
/



A. f (2) ? e f (0), f (2011) ? e
2 2

2011

f (0) f (0)

B. f (2) ? e f (0), f (2011) ? e
2 2

2011

f (0) f (0)

C. f (2) ? e f (0), f (2011) ? e

2011

D f (2) ? e f (0), f (2011) ? e

2011

11.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的各个顶点与各棱的中点共 20 个点中,任取两点连成直线,在 这些直线中任取一条,它与对角线 BD1 垂直的概率为( A、 ) D、

21 166

B、

21 190

C、

27 166

27 190

12.设 a,b,m 为整数(m﹥0) ,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对 m 同余记为 a=b(modm), 已知 a ? 1 ? C20 ? C20 2 ? C20 2 ? ? ? C20 2 , b ? a(mod10), 则 b 的值可以是(
1 2 3 2 20 19



A、2010

B、2011

C、2012

D、2009

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 13.长方体的长、宽、高的值为 2、2、4,则它的外接球的表面积为______________; 14. 若函数 f ( x) 的导函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 ,则 f ( x ? 1) 的单调递减区间是
/ 2

15. 若函数 f ( x) ?

2 2 16. 已知集合 M ? f ( x ) f ( x ) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x ? y ), x, y ? R ,有下列命题

?

1 3 x ? x在(a,10 ? a 2 ) 上有最小值,则 a 的取值范围为 3

.

?

①若 f1 ( x ) ? ?

?1 , x ? 0, ??1 , x ? 0,

则 f1 ( x) ? M ;②若 f 2 ( x) ? 2 x , 则 f 2 ( x) ? M ;

③若 f3 ( x) ? M , 则 y ? f3 ( x) 的图象关于原点对称; ④若 f 4 ( x) ? M , 则对于任意不等的实数 x1 , x2 ,总有 其中所有正确命题的序号是

f 4 ( x1 ) ? f 4 ( x2 ) ? 0 成立. x1 ? x2

三.解答题(17-21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.已知向量 a ? ?1 ? cos ? x,1? , b ? (1, a ? 3 sin ? x) (为常数且 ? ? 0 ) ,函数 f ( x) ? a ? b 在上 的最大值为.Ⅰ) ( 求实数的值;Ⅱ) ( 把函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 的图象,若 y ? g ( x) 在 [0,

?

?

?
4

? 个单位, 可得函数 y ? g ( x) 6?

] 上为增函数,求的最大值.

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18.最近,李师傅一家三口就如何将手中的 10 万块钱投资理财,提出了二种方案:第一种方案:将 10 万块钱全部用来买股,据分析预测:投资股市一年可能获利 40%,也可能亏损 20%(只有这两种

1 .第二种方案:将 10 万年钱全部用来买基金,据分析预测:投资基金一年 2 3 1 1 可能获利 20%,也可以损失 10%,也可以不赔不赚,且三种情况发生的概率分别为 , , . 5 5 5
可能) ,且获利的概率为 针对以上两种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方法,并说明理由.

19.如图一,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称, ?A ? 60? , ?C ? 90? , CD ? 2 . 把 ?ABD 沿 BD 折 起 ( 如 图 二 ) 使 二 面 角 ,

A ? BD ? C 的余弦值等于

3 .对于图二, 3

(Ⅰ)求 AC ; (Ⅱ)证明: AC ? 平面 BCD ; (Ⅲ)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

20.已知函数 f ( x) 为上的奇函数,且 f (1) ? ?1 ,对任意 a, b ? R, a ? b ? 0 ,有 (1)判断函数 f ( x) 在上的单调性,并证明你的结论; (2)解关于的不等式 f [

f (a) ? f (b) ?0。 a?b

k (1 ? x) ] ? 1(k ? 0, 且k ? 1). x?2

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21. 设二次函数 f ? x ? ? mx 2 ? nx ? t 的图像过原点, g ?x ? ? a ln x ? bx , f ( x), g ( x) 的导函 数为 f / ? x ? , g / ( x) ,且 f / ? 0 ? ? 0, f / (?1) ? ?2 , f ?1? ? g (1), f / ?1? ? g / (1). (1)求函数 f ? x ? , g ? x ? 的解析式; (2)求 F ?x ? ? f ( x) ? g ( x) 的极小值; (3)是否存在实常数 k 和,使得 f ?x ? ? kx ? m 和 g ?x ? ? kx ? m ? 若存在,求出 k 和的值; 若不存在,说明理由。

2 a n (a n ? 3) . 2 3a n ? 1 (1)若方程 f ( x) ? x 的解称为函数 y ? f (x) 的不动点,求 an?1 ? f (an ) 的不动点的值;

22.已知数列{an}满足 a n ?1 ?

an ? 1 ,求数列{ b n}的通项. an ? 1 241 (3)当 n ? 3 时,求证: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 648

(2)若 a1 ? 2 , bn ?

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成都七中 2011 级一诊模拟试卷(理科参考答案)
一.选择题 AACBD BDDCA CB 13.24 14.(0,2) 15. ?2 ? a ? 1 16. ②③

17. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? cos ? x ? a ? 3 sin ? x ? 2sin(? x ?

?
6

) ? a ? 1 ………3 分

因为函数 f ( x) 在上的最大值为,所以 3 ? a ? 2 故 a ? ?1 …………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x) ? 2sin(? x ? 把函数 f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

)

?
6

) 的图象向右平移

? 个单位, 6?
2?

可得函数 y ? g ( x) ? 2sin ? x …………………………………………8 分 又 y ? g ( x) 在 [0,

?
4

] 上为增函数? g ( x) 的周期 T ?

?

? ? 即? ? 2

所以的最大值为…………………………12 分 18.解:若采用方案 1:设 ? 表示获利,则 ? 可能的取值是:4,-2

P(? ? 4) ?

1 1 ; P(? ? ?2) ? ………………………………………………2 分 2 2

∴ ? 的分布列为:

?

4

-2

1 2

1 2



E? ? 1, D? ? 9 …………………………………………………………5 分
若采用方案 2:设表示获利,则可能的取值是:2,1,0

3 1 1 P(? ? 2) ? ; P(? ? 1) ? , P(? ? 0) ? …………………………7 分 5 5 5
∴的分布列为: 2 -1 0

3 5

1 5

1 5

? E? ? 1, D? ?

8 …………………………………10 分 5

∴ E? ? E? , D? ? D? ,方案一比方案二风险要大,应选择方案二;…………12 分 19. 解: (Ⅰ)取 BD 的中点,连接 AE, CE , 由 AB ? AD, CB ? CD ,得: AE ? BD, CE ? BD

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??AEC 就是二面角 A ? BD ? C 的平面角,? cos ?AEC ?
在 ?ACE 中, AE ?

3 ……………………2 分 3

6 , CE ? 2 AC 2 ? AE 2 ? CE2 ? 2 AE ? CE ? cos?AEC

? 6 ? 2 ? 2? 6 ? 2 ?

3 ? 4 ? AC ? 2 ………………………………………4 分 3

(Ⅱ)由 AC ? AD ? BD ? 2 2 , AC ? BC ? CD ? 2

AC 2 ? BC 2 ? AB2 , AC 2 ? CD2 ? AD2 , ?ACB ? ?ACD ? 90?

? AC ? BC, AC ? CD ,

又 BC ? CD ? C ? AC ? 平面 BCD .………………8 分

(Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知 BD ? 平面 ACE BD ? 平面 ABD ∴平面 ACE ? 平面 ABD 平面 ACE ? 平面 ABD ? AE , 作 CF ? AE 交 AE 于,则 CF ? 平面 ABD ,

?CAF 就是 AC 与平面 ABD 所成的角? sin ?CAF ? sin ?CAE ?
方法二:设点 C 到平面 ABD 的距离为 h , ∵ VC ? ABD ? VA?BCD

CE 3 .……12 分 ? AE 3

1 1 ? ? ? 2 ?2 2 s i n 6?0? 2 h 3 2

1 ? 3

1 ? 2

? 2? 2? 2
h 3 . ? AC 3


?h ?

2 3 3

于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦为

sin? ?

方 法 三 : 以 CB, CD, CA 所 在 直 线 分 别 为 轴 , 轴 和 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 C ? xyz ,

A(0,0,2), B(2,0,0), C (0,0,0) D(0,2,0) .
设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

?

? ? n ? AB ? 0 , n ? AD ? 0 , ? 2 x ? 2 z ? 0,2 y ? 2 z ? 0
取 x ? y ? z ? 1 ,则 n ? (1,1,1) , 于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦即

?

sin? ?

| n ? CA | | 0 ? 0 ? 2 | 3 ? ? . 3 3?2 | n || CA |

20. 解: (1)由函数 f ( x) 为上的奇函数,得 f (0) ? 0 ,又已知 f (1) ? ?1 , 所以函数 f ( x) 在上的单调递减。

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证明: 令任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , 在已知中, a ? x1 , b ? ? x2 , 取 则 为上的奇函数,∴ f (? x2 ) ? ? f ( x2 ) ,又 x1 ? x2 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。

f ( x1 ) ? f (? x2 ) 、 ? 0 ,∵函数 f ( x) x1 ? x2

∴函数 f ( x) 在上的单调递减。………………………………………………6 分

k (1 ? x) k (1 ? x) ] ? 1. 得: f [ ] ? f (?1) x?2 x?2 k (1 ? x) (1 ? k ) x ? k ? 2 ∵函数 f ( x) 在上的单调递减。 ∴ ? ?1 即: ?0 x?2 x?2 2-k ∴当 0 ? k ? 1时,不等式的解集为 {x | x ? 2, 或x> }; 1-k
(2)∵ 1 ? ? f (1) ? f (?1) ∴由 f [ 当 k ? 0 时,不等式的解集为 {x | x ? 2} ; 当 k ? 1 时,原不等式变为:

(k ? 1) x ? k ? 2 ?0, x?2 2-k 不等式的解集为 {x | ? x ? 2} ……………………………………12 分 1-k

21.解 : (1)由已知得 t ? 0, f / ? x ? ? 2mx ? n , 则 f / ? 0 ? ? n ? 0, f / (?1) ? ?2m ? n ? ?2 ,从而 n ? 0, m ? 1 ,
∴ f ( x) ? x …………………………………………………………2 分
2

∴f

/

?x ? ? 2 x , g / ?x ? ? a ? b 。
x

由 f ?1? ? g (1), f / ?1? ? g / (1), 得 b ? 1, a ? b ? 2 ,解得 a ? b ? 1.
g ?x ? ? ln x ? x( x ? 0) 。………………………………4 分

(2) F ?x ? ? f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? ln x ? x( x ? 0) , 求导数得 F / ?x ? ? 2 x ?
1 2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ?1 ? ? 。…………6 分 x x x

F ? x ? 在 ( 0,1 ) 单 调 递 减 , 在 ( 1,+ ) 单 调 递 增 , 从 而 F ? x ? 的 极 小 值 为

F ?1? ? 0 。……………………………………………………8 分

(3)因

f ? x ? 与 g ? x ? 有 一 个 公 共 点 (1,1), 而 函 数 f ? x ? 在 点 (1,1) 的 切 线 方 程 为

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y ? 2 x ? 1 。……………………………………………………9 分
? f ( x) ? 2 x ? 1 下面验证 ? ? g ( x) ? 2 x ? 1

都成立即可。

由 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,得 x 2 ? 2 x ? 1 ,知 f ( x) ? 2 x ? 1 恒成立。 设 h?x ? ? ln x ? x ? (2 x ? 1) ,即 h?x ? ? ln x ? x ? 1 , 求导数得 h / ?x ? ?
1 1? x ?1 ? ( x ? 0) , x x

? h?x ? 在(0,1)上单调递增,在 (1,??) 上单调递减,所以 h?x ? ? ln x ? x ? (2 x ? 1) 的最大

值为 h?1? ? 0 ,所以 ln x ? x ? 2x ? 1 恒成立。 故存在这样的实常数 k 和,且 k ? 2, m ? ?1 。……………………………12 分

22.解: (1)由方程 an?1 ? f (an ) 得 an ?
解得 an ? 0, 或an ? ?1, 或an ? 1 .……2 分
2 a n (a n ? 3) (a ? 1) 3 ?1 ? n , 2 3a n ? 1 3a n ? 1

2 an (an ? 3) , 2 3an ? 1

(2) a n ?1 ? 1 ?
a n ?1 ? 1 ?

2 a n (a n ? 3) (a ? 1) 3 ?1 ? n , 2 3a n ? 1 3a n ? 1 a ?1 a ?1 两式相除得 n ?1 ? ( n ) 3 , 即 bn?1 ? bn3 . ……………………5 分 a n ?1 ? 1 an ? 1

3 由 a1 ? 2 可以得到 bn ? 0 ,则 ln bn?1 ? ln bn ? 3 ln bn . 1 又 b1 ? , 得 ln b1 ? ? ln 3 , 3 1 n ?1 1 n ?1 。………8 分 ? ln bn ? (? ln 3) ? 3 n?1 ? ln( ) 3 , bn ? ( ) 3 ( n ? N ? ) 3 3 1 ? (3)当 n ? 3 时, 3n?1 ? (1 ? 2) n?1 ? Cn0?1 ? 2Cn?1 ? ? ? 2n?1 Cnn?11 ? 2n 1 n?1 1 ? bn ? ( )3 ? ( )2 n (n ? 3) …………………………11 分 3 3 1 1 1 1 ? ( ) 6 ? ? ? ( ) 2n 当 n ? 3 时, b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? ? 3 3 3 27 1 ? 1 ? ( ) 6 ? ?1 ? ( ) 2 n ? 4 ? 10 3 ? 3 ? < 10 ? 1 = 241 …14 分 = ? 1 27 27 648 648 1 ? ( )2 3

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