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二项式定理(习题课)


二项式定理
习题课

1.二项式定理

r n?r r T ? C b r ?1 na _________________

2.二项式系数的性质
Cnm ? Cnn?m
r r ?1 Cn ? Cn

>

-

r r ?1 Cn ? Cn

中间一项 ________ 中间两项

n 2 ________

等于 1 3 0 2 n?1 C ? C ? = C ? C ? ? 2 __________________________ n n n n

题型一

求展开式中的指定项和特定项
)n的展开式中,第6项为常数项.

已知在(

(1)求n;
(2)求含x2的项的系数; 变式:求含x2的项的二项式系数; (3)求展开式中所有的有理项.

题型一

求展开式中的指定项和特定项

总结:
在解决二项展开式指定项或特定项的问题时,关键是: 通项公式 Tr+1= an-rbr(0≤r≤n,r∈N,n∈N*)的正确应用.

练习:

160 ? 1 6 x 1、 (2 ? 3 ) 的展开式中的第四项是_______ ; x
2、在 ( x 2 ? ) n 的展开式中,第4项和第7项的系数相

1 x

84 等,则展开式中的常数项为_______.

题型二

求展开式中各项系数的和

在二项式(2x-3y)9展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和; (4)系数绝对值的和.

题型二

求展开式中各项系数的和

总结:
对形如(ax+b)n (a、b、∈R,n ∈N*)的式子求其展开
式的各项系数之和,常用赋值法.

练习: 3、设(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4. (1)求a0+a1+a2+a3+a4;

(2)求a0+a2+a4;
(3)求各项二项式系数的和. *(4)求a1+a2+a3+a4;

题型三

求展开式中系数最大项的问题

已知 f ( x) ? ( 3 x 2 ? 3x 2 )n 展开式中各项的系数和比

各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.

题型三

求展开式中系数最大项的问题

总结:
1.求二项式系数最大的项: 如果n是偶数,则中间一项 数最大; 如果n是奇数,则中间两项 的二项式系数相等且最大; 的二项式系

题型三

求展开式中系数最大项的问题

2.求展开式系数最大的项,如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开 式中系数最大的项,一般是采用待定系数法.设展开 式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第r项系数最 大,应用 解出r来,即得系数最大的项.

练习:

4、已知(

+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n
)2n的展开式

的展开式的各项系数和大992,求(2x- 中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项.

[课堂小结]

1 . 二项式系数与项的系数的区别: 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式 系数是指 ,它只与各项的项数有关,而与a,b

的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的部分,它不仅

与各项的二项式系数有关,而且也与a,b的值有关.

2 . 应用二项展开式的通项公式Tr+1=

an-rbr

(r=0,1,2,…,n)时,要注意以下几点:

(1)通项公式表示的是第r+1项,而不是第r项;
(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒; (3)展开式中第r+1项的二项式系数 与第r+1项的系数,

在一般情况下是不相同的,在具体求各项的系数时,一 般先处理符号,对根式或指数的运算要细心,以防出

错.

3.求展开式中各项系数之和: 对形如(ax+b)n (a、b、∈R,n ∈N*)的式子求其展开

式的各项系数之和,常用赋值法.
一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展 开式中: 各项系数之和为a0+a1+a2+…+an =f(1), 奇数项系数之和为a0+a2+a4 +…= ,

偶数项系数之和为a1+a3+a5 +…=

.

4.求展开式中二项式系数最大的项: 如果n是偶数,则中间一项 的二项

式系数最大;
如果n是奇数,则中间两项 的二项式系数相等且最大;

5 .求展开式中系数最大的项: 如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项, 一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为A1, A2,…,An+1,且第r项系数最大,应用 出r来,即得系数最大的项. 解

1.已知 ( x ?

1 2? 4 x

) n 的展开式中前三项的系数成等差数列.

(1)求n的值;

(2)求展开式中的所有有理项. 2.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:

(1)a1+a3+a5+a7;
(2)a0+a2+a4+a6; (3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 3.(1+2x)n的展开式中的第6项和第7项系数相等,求展 开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.


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