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湖北省八校2014届高三第一次联考理科数学参考答案及评分细则


湖北省八校 2014 届高三第一次联考理科数学试题

第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 方程 x2 ? 2x ? 5 ? 0 的一个根是( A. 1 ? 2i B. ?1 ? 2i ) C. 2 ? i ) D. {3,0,1, 2

} D. 2 ? i

2. 集合 P ? {3,log2 a} , Q ? {a, b} ,若 P ? Q ? {0} ,则 P ? Q ? ( A. {3,0} 3. 下列命题,正确的是(
2

B. {3,0,2} )

C. {3,0,1}

A.命题: ?x ?R ,使得 x ? 1 ? 0 的否定是: ?x ?R ,均有 x2 ? 1 ? 0 . B.命题:若 x ? 3 ,则 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的否命题是:若 x ? 3 ,则 x2 ? 2x ? 3 ? 0 . C.命题:存在四边相等的四边形不是正方形,该命题是假命题. D.命题: cos x ? cos y ,则 x ? y 的逆否命题是真命题.
?2 x ? y ? 2 ≥ 0 ? 4. 已知 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ≥ 0 ,则关于 x 2 ? y 2 的说法,正确的是( ? 3x ? y ? 3 ≤ 0 ?



A.有最小值 1

B.有最小值

4 5

C.有最大值 13 )

D.有最小值

2 5 5

5. 函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0, x ? R) 有极值点,则 ( A. b2 ≤ 3ac B. b2 ≥ 3ac C. b2 ? 3ac D. b2 ? 3ac 6. 一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为(
1 A. 3 C. 2
2 B. 3

1 ) 1 1 1 1

正(主)视图

侧(左)视图

D. 1

7. △ ABC 中,角 A, B, C 成等差数列是
sin C ? ( 3 cos A ? sin A) cos B 成立的(



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件
俯 视 图

D.既不充分也不必要条件

第 6 题图

8. 在弹性限度内,弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按 胡克定律 F ? kl 计算.今有一弹簧原长 80cm , 每压缩 1cm 需 0.049N 的压缩力,若把这根弹簧从 70cm 压缩至 50cm (在弹性限度内) ,外力克服弹簧 的弹力做了( A. 0.196 )功(单位: J ) B. 0.294 C.0.686 D.0.98

9.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 BCC1 B1 内的动点,且 A1 F ∥平面 D1 AE ,记 A1 F 与平面 BCC1 B1 所成的角为 ? , 下列说法错误的是( ) B. A1 F 与 D1 E 不可能平行 D. tan ? ? 2 2
1 1 | ? | x ? | 有四个公共点,则 k 的取值 x x

D1

C1 B1
? F

A1

E
C

A.点 F 的轨迹是一条线段 C. A1 F 与 BE 是异面直线 10. 若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ?| x ? 集合是(
1 1 A. {0, ? , } 8 8

D

A

B
第 9 题图


1 1 B. [? , ] 8 8

1 1 C. (? , ) 8 8

1 1 D. {? , } 8 8

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必考题(11—14 题) 11. 平面向量 a, b 满足 | a |? 1,| b |? 2 ,且 (a ? b) ? (a ? 2b) ? ?7 ,则向量 a, b 的夹角为______.

1 12. 已知正三角形内切圆的半径 r 与它的高 h 的关系是: r ? h ,把这个结论推广到空间正四面体,则正四 3 面体内切球的半径 r 与正四面体高 h 的关系是_________.
13. 将函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象向左平移 的最小值为________. 14. 无穷数列 {an } 中, a1 , a2 ,?, am 是首项为 10,公差为 ?2 的等差数列; am?1 , am? 2 ,?, a2m 是首项为 比为
1 ,公 2

? 4? 个单位后得到的函数图象关于点 ( ,0) 成中心对称, 那么 | ? | 4 3

1 1 的等比数列(其中 m ≥ 3, m? N* ) ,并且对于任意的 n ? N* ,都有 an ? 2 m ? an 成立.若 a51 ? , 2 64

则 m 的取值集合为____________.记数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则使得 S128m?5 ≥ 2013
( m ≥ 3, m ? N* ) 的 m 的取值集合为____________.

(二)选考题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答.如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15.(选修 4—1:几何证明选讲) 已知⊙O1 和⊙O2 交于点 C 和 D,⊙O1 上的点 P 处 的切线交⊙O2 于 A、B 点,交直线 CD 于点 E,M 是⊙O2 上的一点,若 PE=2,EA=1, ?AMB ? 45? , 那么⊙O2 的半径为 . 16.(选修 4—4:坐标系与参数方程) O1 D P E C O2 M A B

? 在极坐标系中,曲线 C1 : ? ? 4 上有 3 个不同的点到曲线C2 : ? sin(? ? ) ? m 的距离等于 2,则 m ? ______ . 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (2sin(? x ?
2? ),2) , b ? (2cos ? x,0) (? ? 0) ,函数 f ( x) ? a ? b 的图 3

象与直线 y ? ?2 ? 3 的相邻两个交点之间的距离为 ? . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [0, 2? ] 上的单调递增区间.

18.(本小题满分 12 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足: a2 ? a4 ? 18, S7 ? 91 .递增的等比数 列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,满足: b1 ? bk ? 66, b2bk ?1 ? 128, Tk ? 126 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {cn } 对 ?n ?N* ,均有
c c1 c2 ? ? ? ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ? ? c2013 . b1 b2 bn

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 底面△ ABC 为等腰直角三角形,?ABC ? 90? ,

D 为棱 BB1 上一点,且平面 DA1C ⊥平面 AAC1C . 1
(Ⅰ)求证: D 为棱 BB1 的中点; (Ⅱ) B1 A1 C1

AA1 为何值时,二面角 A ? A1D ? C 的平面角为 60? . AB

D B

A 第 19 题 图

C
第 20 题

20. (本小题满分 12 分)如图,山顶有一座石塔 BC ,已知石塔的高度为 a . (Ⅰ)若以 B, C 为观测点,在塔顶 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ? ,在塔底 C 处测得 A 处的俯角 为 ? ,用 a,? , ? 表示山的高度 h ; (Ⅱ)若将观测点选在地面的直线 AD 上,其中 D 是塔顶 B 在地面上的射影. 已知石塔高度 a ? 20 , 当观测点 E 在 AD 上满足 DE ? 60 10 时看 BC 的视角(即 ?BEC )最大,求山的高度 h .

21.(本小题满分 13 分)已知 an 是关于 x 的方程 xn ? xn?1 ? xn?2 ? ? ? x ? 1 ? 0 ( x ? 0, n ?N且n ≥ 2) 的根, 证明: (Ⅰ)
1 1 1 ? an ?1 ? an ? 1 ; (Ⅱ) an ? ( )n ? . 2 2 2

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f ( x) ≥ 0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值;
? ? ? 2?3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 3n ? (Ⅲ)求证: ln ?1 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? ? ln ?1 ? n ?2. 2 ? 2 ? 2 ? ? (3 ? 1) ? ? (3 ? 1) ? ? (3 ? 1) ?

湖北省八校 2014 届高三第一次联考理科数学参考答案及评分细则
一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题) 二.填空题(每小题 5 分,共 5 小题) 11. 14. 1—5 A C B B D 6—10 B A A B A

? 2

12.

1 r? h 4

13.

? 6

?45,15,9? ; ?6?
3 2 2

第一个空 2 分,第二个空 3 分

15.

16.

m ? ?2

三、解答题(共 5 小题,共 75 分) 17. (Ⅰ)

f ( x) ? 4sin(? x ?

2? ) cos ? x 3

1分

? 1 3? ? 4 ?sin ? x ? ( ? ) ? cos ? x ? ? cos ? x 2 2 ? ?

? 2 3 cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x
? 3(1 ? cos 2? x) ? sin 2? x ? 2cos(2? x ? ) ? 3 6 2? 由题意, T ? ? ,? ? ? ,? ? 1 2?
(Ⅱ)

?

5分 6分

f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) ? 3 , 6

?

x ? ? 0, 2? ? 时, 2 x ?
故 2x ?

?

?? ?? ? ? , 4? ? ? 6 ?6 6?

?
6

? ?? , 2? ? 或 2 x ?

?
6

? ?3? , 4? ? 时, f ( x) 单调递增

9分



? 5? 11? ? ?17? 23? ? , 和 f ( x) 的单调增区间为 ? , ? ? 12 12 ? ? 12 12 ? ? ?
a2 ? a4 ? 2a3 ? 18 ? ? (Ⅰ)由题意 ? 得 a3 ? 9, a4 ? 13 ,则 an ? 4n ? 3 7(a1 ? a7 ) ? 7 a4 ? 91 ? S7 ? ? 2
? b2bk ?1 ? b1bk ,? b1 , bk 方程 x 2 ? 66 x ? 128 ? 0 的两根,得 b1 ? 2, bk ? 64

12 分

18.

2分

4分

b1 (1 ? q k ?1 ) b1 ? bk q ? Sk ? ? ? 126 , b1 ? 2, bk ? 64 代入求得 q ? 2 , 1? q 1? q
? bn ? 2n
(Ⅱ)由 6分

c c1 c2 ? ? ? ? n ? an ?1 b1 b2 bn

c c1 c2 ? ? ? ? n ?1 ? an (n ? 2) b1 b2 bn ?1
相减有

cn ? an?1 ? an ? 4 ? n ? 2, cn ? 4bn ? 2n ? 2 , bn
? 10( n ? 1) cn ? ? n ? 2 ? 2 ( n ? 2)

9分



c1 ? a2 ,得 c1 ? 10 b1

? c1 ? c2 ? ? ? c2013 ? 10 ? 24 ? 25 ? ? ? 22015 ? 22016 ? 6
19.解: (Ⅰ)过点 D 作 DE ⊥ A1 C 于 E 点, 取 AC 的中点 F,连 BF ﹑EF ∵面 DA1 C⊥面 AA1C1C 且相交于 A1 C,面 DA1 C 内的直线 DE ⊥ A1 C 故直线 DE

12 分

? 面 ACC1 A1

3分

又∵面 BA C⊥面 AA1C1C 且相交于 AC,易知 BF⊥AC,∴BF⊥面 AA1C1C 由此知:DE∥BF ,从而有 D,E,F,B 共面, 又易知 BB1∥面 AA1C1C,故有 DB∥EF ,从而有 EF∥AA1, 又点 F 是 AC 的中点,所以 DB = EF = 即 D 为 BB1 的中点

1 1 AA1 = BB1, 2 2

B1

A1

C1 D H G

6分

E

BA
1

A
(Ⅱ)解法 1:建立如图所示的直角坐标系, 设 AA1 = 2b ,AB=BC = a ,则 D(0,0,b), A1 (a,0,2b), 所以, DA1 C (0,a,0)

F

C Z B1

? (a,0, b), DC ? (0, a,?b)
? ( x, y , z )

A1

D

C1

设面 DA1C 的法向量为 n



ax ? 0 ? y ? bz ? 0, 0 ? x ? ay ? bz ? 0
? (b,?b,? a )
8分

B O A1 C A y

可取 n

x

又可取平面 AA1DB 的法向量

m ? BC ? (0, a,0)

u r r cos m, n

?

n?m n?m

?

b ? 0 ? ba ? a ? 0 2b ? a ? a
2 2 2

??

b 2b ? a 2
2

据题意有:

b 2b ? a
2 2

?

1 2

解得:

AA1 AB



2b ? 2 a

12 分

(Ⅱ)解法 2:延长 A1 D 与直线 AB 相交于 G,易知 CB⊥面 AA1B1B, 过 B 作 BH⊥A1 G 于点 H,连 CH,由三垂线定理知:A1 G⊥CH, 由此知∠CHB 为二面角 A -A1D - C 的平面角; 设 AA1 = 2b ,AB=BC = a ; 在直角三角形 A1A G 中,易知 AB = BG. 在 Rt? DBG 中,BH = 9分

BD ? BG = DG

b?a a2 ? b2



在 Rt? CHB 中,tan∠CHB =

BC = BH
0

a2 ? b2 , b

据题意有:

a2 ? b2 b

= tan60 =

3



解得:

2b AA1 = 2. ? 2 所以 a AB

12 分

20. 解: (1)在△ 由正弦定理得:

ABC 中, ?BAC ? ? ? ? , ?BCA ? 90? ? ?

,

BC AB ? sin ?BAC sin ?BCA

a sin(90? ? ? ) a cos ? ? AB ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )
则h

? AB ? sin ? ? a ?
(2)设 DE

a cos ? sin ? a ? cos ? sin ? ?a= sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

4分

h ? 20 h , tan ?CED ? x x tan ?BED ? tan ?CED 6分 ? tan ?BEC ? 1 ? tan ?BED ? tan ?CED 20 10 20 x ? ? ? (h ? 20)h (h ? 20)h h(h ? 20) 1? x? 2 x x (h ? 20)h 当且仅当 x ? 即 x ? h( h ? 20) 时, tan ?BEC 最大,从而 ?BEC 最大 x

? x ,? tan ?BED ?

由题意,

h(h ? 20) ? 60 10 ,解得 h ? 180

12 分

21. (Ⅰ)设 显然

f ( x) ? x n ? x n ?1 ? x n ?2 ? ? ? x ? 1 ,则 f ' ( x) ? nx n?1 ? (n ? 1) x n?2 ? ? ? 2 x ? 1

f ' ( x) ? 0 ,? f ( x) 在 R ? 上是增函数

? f (1) ? n ? 1 ? 0(n ? 2)

1 1 (1 ? ( )n ) 1 2 ? 1 ? ?( 1 ) n ? 0 f( )? 2 1 2 2 1? 2 1 1 ? f ( x) 在 ( ,1) 上有唯一实根,即 ? an ? 1 2 2
假设 an ?1 则

4分

? an ,? an ?1k ? an k (k ? N * )

f (an?1 ) ? an?1n ?1 ? an?1n ? ? ? an?1 ? 1 ? an?1n ?1 ? an n ? an n?1 ? ? ? an ? 1

? an n ? an n ?1 ? ? ? an ? 1 ? f (an )

? f (an?1 ) ? f (an ) ? 0 ,矛盾,故 an ?1 ? an
(Ⅱ)

8分

1 1 1 ? 1 ? f (an ) ? f ( ) ? an n ? an n ?1 ? ? ? an ? 1 ? ?( ) n ? ( ) n ?1 ? ? ? ( ) ? 1? 2 2 2 ? 2 ?
(? an

1 1 1 1 (an n ? ( )n ) ? (an n ?1 ? ( )n ?1 ) ? ? ? (an ? ) ? an ? 2 2 2 2 1 1 ? f (an ) ? 0 , f ( ) ? ?( ) n 2 2 1 1 ? an ? ( )n ? 2 2
方法二:?1 ? an 由(Ⅰ) 1 ? an

?

1 ) 2

13 分

? an n ? an n ?1 ? ? ? an 2

1 1 1 1 1 ? an n ? an n?1 ? ? ? an 2 ? ( )n ? ( )n?1 ? ? ? ( ) 2 = ? ( ) n 2 2 2 2 2 1 n 1 ? an ? ( ) ? 2 2
22 (Ⅰ)

f ' ( x) ? e x ? a

1分 2分

?a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递增。 a ? 0 时, x ? (??,ln a) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,
x ? (ln a, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ) a ,

4分

? 0 时, f ( x)min ? f (ln a)

? f (ln a) ? 0
即 a ? a ln a ?1 ? 0 ,记 g (a) ? a ? a ln a ? 1

5分

(a ? 0)

? g ' (a) ? 1 ? (ln a ? 1) ? ? ln a

? g (a) 在 (0,1) 上增,在 (1, ??) 上递减 ? g (a) ? g (1) ? 0
故 g (a) ? 0 ,得 a (Ⅲ)由(Ⅱ) e
x

?1

8分

? x ? 1 ,即 ln(1 ? x) ? x ( x ? ?1) ,则 x ? 0 时, ln(1 ? x) ? x
n 2 ? 3k 3k ? 2 ,即证: ? k ?1 ? (3k ? 1)2 2 k ?1 k ?1 (3 ? 1) n

要证原不等式成立,只需证:

3k 2 2 ? k ? k ?1 下证 k 2 (3 ? 1) 3 ?1 3 ?1



9分

3k 4 ? 3k ? 2k ? 3 ? 2 ? 3k ? 1 3 ? 32 k ? 4 ? 3k ? 1
? 4(32 k ? 2 ? 3k ? 1) ? 3 ? 32 k ? 4 ? 3k ? 1

? 32k ? 4 ? 3k ? 3 ? 0 ? (3k ? 1)(3k ? 3) ? 0
①中令 k

? 1, 2,?, n ,各式相加,得
3k 2 2 2 2 2 2 ? (3k ? 1)2 ? ( 31 ? 1 ? 32 ? 1) ?( 32 ?1 ? 33 ?1) ?? ? ( 3n ? 1 ? 3n?1 ? 1) k ?1
n

?

2 2 ? n?1 ? 1 成立, 3 ?1 3 ?1
1

故原不等式成立。

14 分

方法二: n ? 1 时,

2 ? 3n 3 ? n 2 (3 ? 1) 2

2 ? 3n 2 ? 3n 2 ? 3n ?1 ? n ? n n ? 2 时, n (3 ? 1) 2 (3 ? 1)(3n ? 3) (3 ? 1)(3n ?1 ? 1)

?

1 3
n ?1

1 ?1 3 ?1 ?
n

n ? 2 时, ?

3k 3 1 1 ? ? ? n ?2 k 2 2 2 3 ?1 k ?1 (3 ? 1)
n


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