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应用导数研究曲线的切线


导数的概念及运算核心突破 考点透视: 从近几年的高考试题来看, 利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高 考的热点问题, 解决该类问题必须熟记导数公式, 明确导数的几何意义是曲线在某点处切线 的斜率,切点既在切线上又在曲线上. 考情分析: (1)根据曲线方程,求其在某点处的切线方程;(2)根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一 参数.可能出现在导数解答题的第一问,较基础. 题

型一:导数的运算 [例 1] 求下列函数的导数

1 1 cos 2x (1) y=(x+1)(x+2)(x+3);(2)y= + ;(3)y= . sin x+cos x 1- x 1+ x 解: (1)y=(x +3x+2)(x+3)=x +6x +11x+6,∴y′=3x +12x+11. 1 1 2 2 ? 2 ?′=-2?1-x?′= (2)∵y= + = ,∴y′=? ? 2 2. ?1-x? ?1-x? ?1-x? 1- x 1+ x 1-x (3)y= cos 2x =cos x-sin x,∴y′=-sin x-cos x. sin x+cos x
2 3 2 2

方法规律:求函数的导数的方法 (1)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运 算量,提高运算速度,减少差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其 化简为整式形式,然后进行求导,这样可以避免使用商的求导法则,减少运算量. 变式练习: 1.若 f(x)=2xf′(1)+x2,则 f′(0)=__________. 解析:f′(x)=2f′(1)+2x.令 x=1,得 f′(1)=2f′(1)+2,即 f′(1)=-2.令 x=0, 得 f′(0)=2f′(1)=-4.答案:-4 题型二:导数的几何意义 [例 2](1)(2012·辽宁高考)已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, -2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为________. 1 3 4 (2)若曲线 y= x + .①求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; ②求斜率为 4 的曲线的切线方程. 3 3 解:(1)y= ,y′=x,∴y′|x=4=4,y′|x=-2=-2. 2 点 P 的坐标为(4,8),点 Q 的坐标为(-2,2),∴在点 P 处的切线方程为 y-8=4(x-4), 即 y=4x-8. 解?
?y=4x-8, ? ? ?y=-2x-2,
2

x2

在点 Q 处的切线方程为 y-2=-2(x+2),即 y=-2x-2. 得 A(1,-4),则 A 点的纵坐标为-4.

1

1 3 4 2 (2)①∵P(2,4)在曲线 y= x + 上,且 y′=x , 3 3 ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. 4? ? 2 ②设切点为(x0,y0),则切线的斜率 k=x0=4,x0=±2.切点为(2,4)或?-2,- ?, 3? ? 4 ∴切线方程为 y-4=4(x-2)或 y+ =4(x+2),即 4x-y-4=0 或 12x-3y+20=0. 3 互动探究:若将本例(2)①中“在点 P(2,4)”改为“过点 P(2,4)”如何求解? 1 3 4? 1 3 4 ? 解:设曲线 y= x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A?x0, x0+ ?, 3 3? 3 3 ?

?1 3 4? 2 2 则切线的斜率 k=y′|x=x0=x0.∴切线方程为 y-? x0+ ?=x0(x-x0), 3? ?3
2 3 4 2 3 2 2 3 2 即 y=x0·x- x0+ .∵点 P?2,4 在切线上,∴4=2x0- x0+\f(4,3),即 x0-3x0+4=0. 3 3 3 ∴x0+x0-4x0+4=0.∴x0?x0+1?-4?x0+1??x0-1?=0. ∴?x0+1??x0-2? =0.解得 x0=-1 或 x0=2. 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 方法规律:1.求曲线切线方程的步骤:(1)求出函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数,即曲线
2 3 2 2 2

y = f(x) 在点 P(x0 , f(x0)) 处切线的斜率; (2) 由点斜式方程求得切线方程为 y - y0 = f′(x0)·(x-x0).
2. 求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线平行于 y 轴(此 时导数不存在)时,切线方程为 x=x0;(2)当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再 求解. 训练: 1.已知点 P 在曲线 f(x)=x4-x 上,曲线在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐 标为________.
3 解析 由题意知,函数 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线的斜率等于 3,即 f′(x0)=4x0 -1=3,

∴x0=1,将其代入 f(x)中可得 P(1,0).答案 (1,0) 题后反思: 本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能力. 1 1 2. 2. 若函数 f(x)=- x3+ f′(1)x2-f′(2)x+5,则曲线 f(x)在点(0,f(0))处的切线 l 的方 3 2 程为___.
?f′?1?=-1+f′?1?-f′?2? ? 解析:f′(x)=-x2+f′(1)· x-f′(2),∴? ? ?f′?2?=-4+2f′?1?-f′?2?,

1 1 ∴f′(2)=-1,f′(1)=1.∴f(x)=- x3+ x2+x+5,f′(x)=-x2+x+1. 3 2
2

∴f′(0)=1,f(0)=5.∴曲线 f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=x+5.答案:x-y+5=0 1.曲线 y= 1 A.- 2 解:y′= π ? sinx 1 - 在点 M? ?4,0?处的切线的斜率为( sinx+cosx 2 1 B. 2 C.- 2 2 D. 2 2 )

cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx? 1 π 1 1 = ,所以 y′|x= = = .答案 B 4 π 2 ?sinx+cosx?2 1+sin2x 1+sin 2 4 上, α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则 α 的取值范围是( ex+1 π 3π? ? 3π ? C.? ?2, 4 ? D.? 4 ,π? )

2. 已知点 P 在曲线 y= π? A.? ?0,4?

π π? B.? ?4,2?

-4ex -4 解析: y′= x = ≥-1(当且仅当 ex=1, 即 x=0 时取等号), 即-1≤tanα<0, 1 ?e +1?2 x e +2+ x e 3π 所以 ≤α<π.答案:D 4 3.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( )

A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 解析:∵y′=2x+a,∴k=y′|x=0=a=1,将(0,b)代入切线:0-b+1=0. ∴b=1,故 a=1,b=1.答案:A 4.设 x∈R,函数 f(x)=ex+ae x 的导函数 y=f′(x)是奇函数,若曲线 y=f(x)的一条切线的斜


3 率为 ,则切点的横坐标为( 2


ln2 ln2 )A. B.- 3 2

C.ln2 D.-ln2

解析:y=f′(x)=ex-ae x,∵y=f′(x)为奇函数,∴f′(0)=1-a=0,∴a=1, 3 - - ∴f′(x)=ex-e x,由 ex-e x= ,得 ex=2,∴x=ln2.答案:C 2 1 5.若以曲线 y= x3+bx2+4x+c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数, 则实 3 数 b 的取值范围为__________. 解析:y′=x2+2bx+4,∵y′≥0 恒成立,∴Δ=4b2-16≤0,∴-2≤b≤2.答案:[-2,2] f?x?+2 6.已知函数 f(x),g(x)满足 f(5)=5,f′(5)=3,g(5)=4,g′(x)=1,则函数 y= 的 g?x? 图像在 x=5 处的切线方程为__________. f?x?+2 f′?x?g?x?-?f?x?+2?g′?x? 解析:由 y= =h(x)知 y′=h′(x)= , g?x? [g?x?]2 f′?5?g?5?-?f?5?+2?g′?5? 3×4-?5+2?×1 5 得 h′(5)= = = . 42 16 [g?5?]2 f?5?+2 5+2 7 7 5 又 h(5)= = = ,所以切线方程为 y- = (x-5),即 5x-16y+3=0. 4 4 4 16 g?5?
3

7.已知 f ′ ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,如果 f ′ ( x ) 是二次函数, f ′ ( x ) 的图象开口向上,顶 点坐标为 (1, 3) ,那么曲线 y ? f ( x ) 上任一点处的切线的倾斜角 ? 的取值范围是 (A) ? 0,

? ?

?? 3? ?

(B)

?? ? ? , ? ? ?3 2?

(C) ?

? ? 2? ? , ? ?2 3 ?

(D)

?? ? ,?? ? ?3 ?

由题意知 f '( x) ? a ( x ? 1) 2 ? 3, ( a ? 0) ,所以 f '( x) ? a ( x ? 1) 2 ? 3 ? 3 ,即 tan ? ? 3 , 所以

?? ? ? , ? ,选 B. ? ?3 2?

题型三:导数几何意义的应用 2 [例 3]已知 a 为常数,若曲线 y=ax +3x-ln x 存在与直线 x+y-1=0 垂直的切线,则实 数 a 的取值范围是( 1? ? 1 ? ? )A.?- ,+∞? B.?-∞,- ?C.[-1,+∞) D.(-∞,-1] 2 2? ? ? ?

1 解:由题意知曲线上存在某点的导数为 1,所以 y′=2ax+3- =1 有正根,

x

即 2ax +2x-1=0 有正根.当 a≥0 时,显然满足题意; 1 1 当 a<0 时,需满足 Δ ≥0,解得- ≤a<0.综上,a≥- .[答案] A 2 2 方法规律:导数几何意义应用的三个方面 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0); (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k; (3)已知过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时,常需设出切点 A(x0,f(x0)),利 用 k=

2

f ( x1 ) ? f ( x0 ) 求解. x1 ? x0
)

变式练习 1. [2013· 大纲全国]已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(-1, a+2)处切线的斜率为 8, 则 a=( A.9 B.6 C.-9 D.-6

解析:由题意知 y′|x=-1=(4x3+2ax)|x=-1=-4-2a=8,则 a=-6.故选 D 项. 2. [2014· 新乡月考]设曲线 y= A.2 解:y′= 1 B. 2 x+1 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直, 则 a=( x-1 )

1 C.- D.-2 2

x-1-?x+1? -2 1 = 2 2,点(3,2)处切线斜率 k=- ,∵切线与直线 ax+y+1=0 2 ?x-1? ?x-1?

垂直,∴a=-2.答案:D 3.[2014· 长春三校联考]若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最
4

小距离为(

)A.1 B. 2 C.

2 D. 3 2

2 解析:过点 P 作 y=x-2 的平行直线,且与曲线 y=x2-lnx 相切,设 P(x0,x0 -lnx0),

1 1 1 则 k=y′|x=x0=2x0- ,∴2x0- =1,∴x0=1 或 x0=- (舍去).∴P(1,1), x0 x0 2 |1-1-2| ∴d= = 2.答案:B 1+1 4.[2013· 广东]若曲线 y=ax2-lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=__________. 1 解析:由曲线在点(1,a)处的切线平行于 x 轴得切线的斜率为 0,由 y′=2ax- 及导数的 x 1 1 几何意义得 y′|x=1=2a-1=0,解得 a= .答案: 2 2 5.[2013· 江西]若曲线 y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 α=__________. 2-0 - 解析:切线斜率 k= =2,又 y′=αxα 1,y′|x=1=α,故 α=2.答案:2 1-0 6. 曲线 y ?

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3 ? 3?
B.
2

A.

2 9

1 9

C.

1 3

D.

2 3

解 : y ' ? f '( x ) ? x +1 , 在 点 ?1, ? 的 切 线 斜 率 为 k ? f '(1) ? 2 . 故 切 线 方 程 为

? 4? ? 3?

y?

4 2 2 1 ? 2( x ? 1) , 即 y ? 2 x ? , 与坐标轴的交点坐标为 (0, ? ), ( , 0) , 故三角形的面积为 3 3 3 3

1 1 2 1 ? ? ? ? ,选 B. 2 3 3 9
7.已知函数

f ( x) ? xn?1 (n ? N *) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与


x 轴交点的横坐标为 x n ,则 log2013 x1 + log2013 x2 +?+ log2013 x2012 的值为(
A.-1 B. 1-log20132012 C.-log20132012 D.1

n 解:函数的导数为 f '( x)=(n ? 1) x ,所以在 x ? 1 处的切线斜率为 k ? f '(1)=n ? 1 ,

故切线斜率为 y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 1) , 令 y ? 0 得 xn ? 所以 log 2013 x1 ? log 2013 x2 ? ? log 2013 x2012 ? log 2013

n x2012 , 故 xx 12 ? n ?1

1 2 2012 1 ? ? ?? ? = 2 3 2013 2013



1 ? ?1 ,选 A. 2013

8.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式;(2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x
5

b x

所围成的三角形面积为定值,并求此定值. 7 1 解:(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3.当 x=2 时,y= . 4 2

b 1 2a- = , ? ? 2 2 b 又 f′(x)=a+ ,于是? x b 7 a+ = , ? ? 4 4
2

解得?

?a=1, ? ?b=3. ?

3 故 f(x)=x- .

x

3 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0

x

3? ? 3? ? 3? ? =?1+ 2?(x-x0),即 y-?x0- ?=?1+ 2?(x-x0). x x x

?

0

?

?

0

? ?

0

?

6? 6 ? 令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为?0,- ?.

x0

?

x0?

令 y=x 得 y=x=2x0.从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 1? 6 ? 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 ?- ?|2x0|=6. 2? x0? 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值 6。 9.设 Q 是曲线 T: xy ? 1( x ? 0) 上任意一点, l 是曲线 T 在点 Q 处的切线,且 l 交坐标轴于 A,B 两点,则 ? OAB 的面积(O 为坐标原点) A. 为定值 2 B.最小值为 3 C.最大值为 4 D. 与点 Q 的位置有关 【知识点】导数的几何意义;三角形的面积. 解:设 Q , xy = 1 ,则 y = (x 0,y0)

?1 1 ,∴ ? y? ? 2 , x x

∴曲线 C 在点 P 处的切线方程为: y-

x 2 1 1 整 理 , 得 2 + y - =0, = - 2(x - x 0), x0 x0 x0 x 0

1 2 2 1 ∴ △ OAB 的 面 积 S ? ? 2x 0 ? 故选:A. ? 2, ? A(2x 0, 0),B(0, ),P(x 0, ), 2 x0 x0 x0
【思路点拨】曲 线 C 在 点 P 处 的 切 线 方 程 为 y 由 此 得 到 △ OAB 的 面 积 为 定 值 .

1 1 2 求 出 A(2x0, , = - 2(x - x 0), 0 ), B (, 0 ) x0 x 0 x0

6


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