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3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式


人教版高中数学必修四

§ 3.1.3 二倍角的正弦、 余弦、正切公式
授课教师 乌海市第十中学 王祥

一、复习两角和的三角公式
S( ? ? ? )
C ( ? ?? )

sin? α?β? ? sinαcosβ? cosαsinβ cos? α?β? ? cosαcosβ? sinαsinβ

T( ? ?? )

tanα? tanβ ?? tan? α?β 1 ? tanαtanβ

二、二倍角公式的推导

探究问题:由一般的? ? ? 到特殊的两个角相等, 即? ? ? , 你得到什么启示?有什么发现?
cos?? ? ? ? ?? sin ?? ? ? ? ??

tan ?? ? ? ? ??

二、二倍角公式的推导
cos?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 令? ? ? cos 2?

? cos   ? ? sin   ?
2 2

利用公式

sin   ? ? cos   ?
2 2

2 cos 2 ? ? 2 cos ? ?1 变形为: ?1 cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ?

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 令? ? ?
tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

sin 2? ? 2 sin ? cos ?
2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan   ?

令? ? ?

注意定义域:

2? ?

? ? k? 2

? k? ?k ? Z ? 即  ? ? ?    4 2

二、二倍角公式的推导
sin2α ? 2 sin ? cos ? cos2α ? cos α ? sin α
2 2

2tanα tan2α ?   2 1 ? tan α

     ? 2cos α ? 1
2

     ? 1 ? 2sin 2 α   二倍角的含义:
“二倍角” 是一种相对的数量关系。

如:2α是α的二倍角;α是

?
2

的二倍角。

二倍角公式
二倍角公式:
sin2α? 2sinαcosα cos2α? cos 2α? sin2α 2tanα tan2α? 1 ? tan2α

注意: 公式的特征与记法
(1)左边角是右边角的二倍
右边是α的三角函数的二次式。

(2)左边是2α的三角函数的一次式,

即 - - - -左到右:升幂缩角;右到左:降幂扩角

三.公式巩固训练: (1)sin4? = 2sin( 2? )cos( 2? ) 1 1 (2)sin? = 2sin( ? )cos( ? ) (3)cos 6? = cos2( 3? )-sin2( 3? ) = 2cos2( 3? )-1 = 1-2sin2( 3? ) (4)cos25?-sin25?=cos( 10? ) 2 tan 2? 4 ? (  5  )  ? tan(      ); 2 1 ? tan 2?
2
2

四.练习巩固:求值 (1).sin22?30`cos22?30`

? (2).   2 cos ? 1 8 2 ? 2 ? (3).   sin ? cos 8 8 ? ? ?
2

2 4

2 2

2 ? 2
1 2

? (4).   8 sin cos cos cos 48 48 24 12

5 ? ? 例1 已知 sin 2? ? , <?< , 13 4 2 求 sin 4? , cos 4? , tan 4?的值.
? ? ? 解: 由 ? ? ? ,得   <2?<? 4 2 2
2

五.典例分析:

12 所以   cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ? 13 5 ? 12 ? 120 sin 4? ? 2sin 2? cos 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?
13 ? 13 ?

169

sin 4? ? 120 ? 169 120 tan 4? ? ? ?? ?? ?? cos 4? ? 169 ? 119 119
12 ? 变式1:已知?cos ? ? ,? ? (? ,0),求, sin 2?, cos 2?, tan 2?的值 13 2

5 cos 4? ? 1 ? 2 sin 2? ? 1 ? 2 ? ( ) 13
2

2

119 ? 169

七.课堂小结
1、本节课学习的二倍角公式是在两角 和的三角函数公式基础上导出的, 记忆时注意联想相应的公式。 2、二倍角公式适用于二倍角与单角的

三角函数的互化问题。广泛应用于 三角函数的求值、证明、化简,应 灵活理解“二倍角”的含义,熟悉 公式的逆用,并注意公式成立的条件。

9作业:
1课本P135.1-4 ? ? ? 2 求 sin10 ? sin 50 ? sin 70 的值


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