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《直线的倾斜角与斜率》 教案及说明


直线的倾斜角与斜率的教学设计
一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素,感受倾斜角这个反映倾斜程度的 几何量的形成过程。 2、通过教学,使学生从生活中的坡度,自然迁移到数学中直线的斜 率,感受数学概念来源于生活实际,数学概念的形成是自然的,从而 渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面,刻画直线相对于 x 轴 倾斜程度的两个量这一事实,渗透数

形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程,初步掌握过已知两点的直 线的斜率计算公式,渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。 二、教学重点与难点 重点:1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念; 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式; 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的 作用。 难点:用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下,让学 生在教师引导下,积极探索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验 公式的推导过程,主动建构自己的认知结构。
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四、教学过程 (一)创设情境,揭示课题 问题 1、 (出示幻灯片)给出的两点 P、Q 相同吗? 从形的角度看,它们有位置之分,但无大小与形状之分。 从数的角度看,如何区分两个点?(用坐标区分) 问题 2、过这两点可作什么图形?唯一吗?只经过其中一点(如点 P) 可作多少条直线?若只想定出其中的一条直线,除了再用一点外,还 有其他方法吗?可以增加一个什么样的几何量? (估计不少学生能意 识到需要有一个角) 由此引导学生归纳,确定直线位置可有两种方式 (1)已知直线上两点 (2)已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题 3、角的形成还需一条线,也就是说要有刻画倾斜程度的角,就 必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下,以哪条轴 线为基准形成刻画倾斜程度的角?(学生可能回答 x 轴或 y 轴) 以 x 轴或 y 轴为基准都可以,习惯上我们用 x 轴。 问题 4、过点 P 与 x 轴形成 45 ? 角的直线有几条? (学生可能答一条或两条,投影 演示结果)如何区分清楚这两条直线 呢?估计学生能想到还需要确定方 向。
o y L2
· 45


L1 p

135



x

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选择哪个角来描述直线的倾斜程度, 就能保证坐标系下的任何一 条直线都有唯一的角与它对应呢? (教师引导学生选取不同的方向来描述角,并区分 L1 与 L2) 。 数学概念来刻画事物时,讲求统一美与简洁美,如何用数学语言 准确描述这个角呢?(揭示课题) 1、倾斜角的定义:在直角坐标系下,以 x 轴为基准,当直线 l 与 x 轴相交时, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ? ,叫做直线 l 的 倾斜角。 学生练习画出过点 P 的各种倾斜角的直线。
y o

?

p

l
x

y o

l

y o p

y

?x
l

p

?

p x o

l x

(1)

(2)

(3)

(4)

学生容易忽略与 x 轴平行的直线, 补出图 (4 ) , 问倾斜角在哪儿? 如何规定? 规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合时,它的倾斜角为 0 ? 。 自然有倾斜角的范围是[0 ? ,180 ? ) 这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角 ? 与它对应。倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直 线,其倾斜角不相等。 以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内 一条直线的倾斜程度。
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(二)巩固旧知,同化新知 生活中,我们都有过爬山、爬坡的体验,对于斜坡的倾斜程度, 可以用什么量来反映?(坡角与坡度) 初中对坡度是如何定义的?
升高量 坡度(比)= 前进量

(即坡角 ? 的正切值)

当坡角 ? 增大时,坡度如何变化? 当坡角 ? =90 ? 与 0 ? 时, 升高量、 前进量分别是什么?坡度又分别 是什么? 坡角、坡度都能反映倾斜程度,迁移到数学中,坡角相当于直线 的倾斜角,而坡度则对应于直线的斜率。 2、斜率:倾斜角不是 90 ? 的直线,其倾斜角的正切值叫做这条 直线的斜率。即 k ? tan?(? ? 90? ) 问题 5、当 ? 为钝角时,直线的斜率如何求?(转化到其补角 ? 上)
y

o?

?
x

? ? 180? ? ?(?是锐角) ? k ? tan? ? tan( 180? ? ?) ? ? tan?
如:倾斜角 ? ? 120 ,则斜率 k ? ? 3
?

问题 6、当 ? 在[0 ? ,180 ? )内变化时,斜率 k 如何变化?

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y o

?

p

l
x

y p o

l

y o p

y

?x

?x

p

o

l x

l

0°<

?<

90°

?

= 90°

90°<

?

<180°

? = 0°
k=0

k >0

k不存在

k<0

问题 7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度,哪个量更优越呢? 倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度, 而斜率是比值, 实质是数值, 它能从数的角度反映倾斜的程度,显然用斜率更细致入微些。 (三)尝试推导,深化认识 两点确定一条直线,可见由两点也就确定了直线的倾斜程度,即 倾斜角与斜率。 看来, 直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。 问题 8、在平面直角坐标系中,已知直线上两点 P1(x1,y1) ,P2(x2, y2)且 x1 ? x2,能否用 P1 、P2 的坐标来表示直线斜率 k? (学生活动) :随意在坐标系下画两点 P1 、P2 及直线 P1 P2,探究各种 图形并尝试推导,可以先特殊再一般,也可先一般再特殊地去分析。 教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中,类似升高量,前进 量, 用点的坐标表示线段长, 并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

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y P2(x2,y2)
Q (x2,y1)

y P2(x2,y2) P1(x1,y1) α Q (x2,y1) O y P1(x1,y1) P2(x2,y2) α x x

α

P1(x1,y1) O

x

y P1(x1,y1)
Q (x1,y2)

α

P2(x2,y2) O

x

Q (x1,y2)

O

解:设直线 P1 P2 倾斜角为 ? ( ? ? 90 ? )当直线 P1 P2 方向向上时,过 点 P1 作 x 轴的平行线,过点 P2 作 y 轴的平行线,两线交于点 Q,则点 Q 为(x2,y1) (1)当 ? 为锐角时, ? ? ?QP 1P 2 , x1 ? x 2 , y1 ? y 2 在 Rt?P1 P2 Q 中, tan? ? tan?QP1 P2 ?
QP2 P1Q ? y 2 ? y1 x2 ? x1

(2)当 ? 为钝角时, ? ? 180? ? ? (设 ?QP , x1 ? x2 , y1 ? y 2 1P 2 =? )
tan ?

= tan( 180? ? ? ) ? ? tan?
QP2 QP 1 ? y 2 ? y1 y ? y1 ?? 2 x2 ? x1 x2 ? x1

在 Rt?P1 P2 Q 中, tan? ?
? tan? ?

y 2 ? y1 (可让学生分组推导) x2 ? x1

同 理 , 当 直 线 P2P1 方 向 向 上 时 , 无 论 ? 为 锐 角 或 钝 角 , 也 有
t an ??

y ?y y2 ? y1 ,即 k ? 2 1 x2 ? x1 x2 ? x1

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思考:1、各种一般情形得出的结论一致吗?与 P1、P2 这两点坐标顺 序有关系吗? 2、当直线垂直于 x 轴或 y 轴时,上述结论适用吗? 3、斜率公式使用时应注意什么问题? 巩固练习:求经过下列两点直线的斜率,并判断倾斜角是锐角还是钝 角。 (1)A(3,2),B(-4,1) ( k AB ? ) (2)A(3,2),B(4,1) ( k AB ? ?1 ) (3)A(3,2),B(3,-1) (不存在) (4)A(3,2),B(-4,2) ( k AB ? 0 ) (四)反思小结,概括提炼(同学们这节课有何收获?) 1、明确了确定直线位置的几何要素。 2、理解了刻画倾斜程度的量(倾斜角与斜率) ,知道了求斜率的 两种方法(定义法、坐标法)
1 7

k ? tan ? ?

y ?y x ?x
2 2

1 1

3、 经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论 的数学思想 (五)板书设计
直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的定义 范围[0 ,180 ) 2、直线的斜率
?
? ?

(学生展示推导斜 率公式的图形)
?

k ? tan ? ( ? ? 90? )

? 为钝角时,
k ? tan ? ? tan(180 ? ? ?) ? ? tan ?
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(六)作业:①自学课本 P85:例 1、例 2; ②作业本:P89:1、2、3。

【教案说明】直线的倾斜角与斜率
一、教学内容与地位作用解析 本节课是新人教版 A 版高一数学必修(2)的 3.1.1 节的内容。 1、内容分析 本节课的主要内容有两个概念(直线的倾斜角、直线的斜率)及 一个公式(斜率计算公式) 直线的倾斜角是反映直线倾斜方向的量, 它也是确定直线位置的 一个重要的几何要素,它实质上能从“形”的角度刻画直线的倾斜程 度。 直线的斜率指倾斜角不是 90 ? 的直线,其倾斜角的正切值叫做这 条直线的斜率。教材是从生活中斜坡的坡度迁移到直线的斜率概念 的。直线的斜率可看作是比值,实质上是数值,所以直线的斜率从本 质上可看成是从 “数” 的角度刻画直线的倾斜程度。 华罗庚先生说过: “数缺形时少直观,形少数时难入微” 。显然,与倾斜角相比,用斜 率刻画倾斜程度会更细致。 关于过已知两点的直线斜率公式: 因为过两点的直线是唯一确定 的,所以其倾斜程度也就确定(即直线的斜率也是确定的) 。从而在 直角坐标系中,直线的斜率与直线上两点的坐标就有密不可分的联
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系。斜率 k ?

y 2 ? y1 不仅反映了这种联系,并用代数方法表示了出来, x2 ? x1

而且在公式的推导中蕴含了分类讨论、数形结合、化归等重要数学思 想。 2、地位作用分析 本节课是高中解析几何部分的起始课, 学生具备的知识基础是在 直角坐标系中会用坐标表示点, 明确了坐标平面上的点与有序数对可 建立一一对应的关系。这节课的教学内容,不仅能反映出数学概念离 不开生活,数学是自然有用的,而且蕴含了几何问题代数化的思想, 从知识点及研究方法上, 为后继判断两条直线的位置关系以及建立直 线的方程等内容起着关键性的铺垫作用。 二、教学目标解析 1、探索确定直线位置的几何要素,感受倾斜角这个反映倾斜程 度的几何量的形成过程; 2、通过教学,使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜 率的过程, 感受数学概念来源于生活实际, 数学概念的形成是自然的, 从而渗透辩证唯物主义思想; 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于 x 轴倾斜程度的两个量这一事实,渗透数形结合思想; 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程,初步掌握过已知两点 的直线的斜率计算公式,渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。 三、教学问题诊断分析 1、 关于倾斜角的概念: 为什么要引入倾斜角?如何描述这个角?
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这些地方都是教学中易忽略的,也是学生最难理解的地方。直接给出 倾斜角的定义,会使学生误认为数学概念就是绝对抽象的,你只要接 受就可以了, 这样我们就把活生生的、 自然的数学演变成高不可攀的, 为聪明人准备的学科,会渐渐使许多学生变得被动学习,缺乏数学学 习兴趣及自信心。所以,在引入这节课时,应重点让学生感受引入倾 斜角的必要性,要描述清楚倾斜角必须规定“基准”与“直线方向” , 从而能自然地、准确地描述清楚定义。 2、对于斜率,学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来,当 倾斜角为 90 ? 及 0 ? 时可以特殊认识,当倾斜角为钝角时(与斜坡稍有 不同)斜率的求法应重点分析,突出转化思想的同时,引导学生认识 P83 页的脚注,使学生对所有直线的斜率情况有全面的认识。 另外,倾斜角和斜率分别是从“形”与“数”的不同方面刻画直 线的倾斜程度,相比较斜率更具有优越性。 3、斜率计算公式的得出,学生有两点不易把握。一方面,怎样 将两点坐标与 tan ? 相联系;另一方面,图形分析不够全面。对前者, 可提供学生探究发现的机会, 对后者教师可先让学生在直角坐标系下 联想坡度,找升高量与前进量,再引导其转化为坐标表示。 公式的推导过程是多数学生能独立解决的, 教学中应放手让学生 推导并体会数形结合与分类讨论的思想, 有助于培养学生研究问题的 独立性、条理性、全面性。 教学重点:1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念; 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式;
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3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导 中的作用。 教学难点:用代数方法推导斜率的过程。 四、本节课的教学方法: 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下,让学 生在教师引导下,积极探索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验 公式的推导过程,主动建构自己的认知结构。 五、教学过程设计 (一)创设情境,揭示课题 问题 1、给出的两点 P、Q 相同吗?如何区分这两个点? 问题 2、过这两点可作什么图形?只经过其中一点(如点 P)可作多 少条直线?若只想定出其中的一条直线,除了再用一点外,还有其他 方法吗?可以增加一个什么几何量? 【设计意图】引导学生归纳确定直线位置的几何要素 问题 3、角的形成还需一条线。即要有刻画倾斜程度的角,就必须还 有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下,以哪条轴线为基 准形成刻画倾斜程度的角? 问题 4、过点 P 与 x 轴形成 45 ? 角的直线有几条?如何区分这两条直 线? 选择哪个角来描述直线的倾斜程度,就能保证坐标系下的任何 一条直线都有唯一的角与它对应呢? 【设计意图】倾斜角的形成离不开“基准”与“直线方向”的规定, 同时让学生感受数学概念是自然的以及数学定义的统一美与简洁美,
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从而提示本节课的课题。 〖学生练习〗 画出过一点的各类倾斜角的直线, 并完善倾斜角的定义。 (二)巩固旧知,同化新知 根据学生的生活经验,将坡度自然迁移到斜率的概念上,通过坡 角(倾斜角)的变化,感受斜率的变化,使学生认识到数学概念是亲 切的,激发其求知欲。 问题 5:生活中坡角没钝角,当 ? 为钝角时,直线的斜率如何求? 【设计意图】使学生会用转化思想求 ? 为钝角时的斜率,明确课本脚 注的用法。 问题 6、当 ? 在[0 ? ,180 ? )内变化时,斜率 k 如何变化? 【设计意图】更条理、更全面地认识斜率与倾斜角的变化关系。 问题 7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度,哪个量更优越呢? 【设计意图】突出斜率刻画倾斜程度的优越性是更细致入微,使用方 便简洁。 (三)尝试推导,深化认识 两点确定唯一一条直线,可见由两点也就确定了直线的倾斜程 度,即倾斜角与斜率。看来,直线上两点与直线的斜率有着密不可分 的联系。 问题 8、在平面直角坐标系中,已知直线上两点:P1(x1,y1) ,P2(x2, y2)且 x1 ? x2,能否用 P1 、P2 的坐标来表示直线斜率 k? (学生活动) :在坐标系下画两点 P1 、P2 及直线 P1 P2,探究各种图形 并尝试推导。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中,类似
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升高量与前进量,用点的坐标表示线段长,请同学叙述各个图的推导 过程与结果。 【设计意图】给学生提供充分的自主探索的时间与空间,克服公式推 导中不易把握的两点(1、两点坐标与 tan ? 的联系;2、图形分析不全 面) ,培养数形结合与分类讨论的思想,促进思维的独立性、全面性, 逻辑性。 思考:1、各种情形得出的结论一致吗?与两点坐标顺序有关系吗? 2、当直线垂直于 x 轴或 y 轴时,上述结果适用吗? 3、斜率公式使用时应注意什么问题? 【设计意图】熟悉公式的结构特征及适用范围。 (四)反思小结,概括提炼(同学们这节课有何收获?) 1、明确了确定直线位置的几何要素。 2、理解了刻画倾斜程度的量(倾斜角与斜率) ,知道了求斜率的 两种方法(定义法、坐标法)

k ? tan ? ?

y ?y x ?x
2 2

1 1

3、 经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论 的数学思想 六、预期效果分析 1、两个概念的形成,估计通过问题情境的设置,学生能达到预 期的教学目标,而且这样设计之后,概念得出是自然的,不是强加于 人的。 2、斜率公式的推导可能存在学生对图形考虑不全面的问题,需 要教师适当进行引导。
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