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函数的极值与导数精品课件


函数的极值与导数

【复习与思考】 已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象; (2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这 两点附近的函数值有什么关系?

知识回顾
利用函数的导数 讨论函数
2 解:f ?( x ) ? 6 x ? 12 x

f (

x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 的单调性.

令 6 x 2 ? 12 x ? 0,解得 x ? 2或 x ? 0, f 因此, x ? (??,0) 时, ( x )是增函数; 当

f 当 x ? (2,??) 时, ( x )是增函数; 再令 6 x 2 ? 12 x ? 0 ,解得 0 ? x ? 2 ,
因此, x ? (0,2)时, ( x )是减函数; f 当

分析函数
值分别与

f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 在 x ? 0, x ? 2 附近的函数
f (0), f (2) 的关系.

【函数极值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义, (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都大,即f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0)
(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都小,即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)

极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.

y

f ( x3 )
f ( x4 )

f ( x1 )

f ( x2 )
O

a

x1

x2

x3

x4

b

x

观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.

【关于极值概念的几点说明】
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附 近的大小情况; (2)极值点是自变量的值,极值指的是函数值;

(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定在区间的内部,区间的端 点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区 间的内部取得,也可能在区间的端点取得。

【问题探究】 函数y=f(x)在极值点的导数值为多少? 在极值点附近的导数符号有什么规律?
y

f ( x3 )
f ( x4 )

f ( x1 )

f ( x2 )
O

a

x1

x2

x3

x4

b

x

一般地,当函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续时,判断 f ( x 0 ) 是极 大(小)值的方法是: (1)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x0 ) ? 0 ,右侧 f ?( x0 ) ? 0 ,那 么 f ( x 0 )是极大值. (2)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x0 ) ? 0 ,右侧 f ?( x0 ) ? 0 ,那 么 f ( x 0 )是极小值.

f’(x0)=0

(3)如果在x0两侧的符号相同 则f ( x0 )不是极值。 ,
注:导数为0的点不一定是极值点.

观察与思考:极值与导数有何关系? 对于可导函数,
若x0是极值点,则 f ’(x0)=0; 反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.
函数y=f(x)在一点的导数为0是函数在这点取极值的必要条件, 而非充分条件。

函数y=f(x)在x0取极值的充分条件是: (1)f’(x0)=0 (2)在x0附近的左侧 f’(x0)>0(<0),右侧

【求函数极值的步骤】

(1) 求导数f/(x); (2) 解方程 f/(x)=0 (3) 通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0 的根的左右两侧的符号,进而确定函 数的极值点与极值.

例题讲解
1 3 例、求函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 3 2 解: y? ? x ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2) 令 y? ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当x变化时,y?, y 的变化情况如下表:

x

(??,?2)
+

-2 0
28 极大值 3

(-2,2) —

2 0
4 极小值? 3

( 2,??)
+

y?
y

28 当 x ? ?2 时,y有极大值,并且 y极大值 ? 3 4 当 x ? 2 时,y有极小值,并且 y极小值 ? ? 3

2 3 例、求函数 f ( x ) ? ( x ? 1) ? 1 的极值.

解: y? ? 6 x( x 2 ? 1)2

令 y? ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x 2 ? 0, x 3 ? 1 当x变化时,y?, y 的变化情况如下表:

x y? y

(??,?1)


-1 0 无极值

(-1,0) —

0 0 极小值0

(0,1) +

1 0 无极值

(1,??)
+

当 x ? 0 时,y有极小值,并且 y极小值 ? 0

练习1.判断下面4个命题,其中是真命题序号为 ②
①可导函数必有极值;



如y ? x

3

②可导函数在极值点的导数一定等于零; ③函数的极小值一定小于极大值 (设极小值、极大值都存在);

④函数的极小值(或极大值)不会多于一个。

注意:函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的,是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来 说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。

练习:

2、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( D )
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值

3 2 2 函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1时有极值10,则a, 3. C b的值为( ) A、 a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B、 a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C、a ? ?4, b ? 11 D、 以上都不对


解:由题设条件得:? f (/ 1) ? 10 ? ? f (1) ? 0 解之得
? a ? 3 ? a ? ?4 或? ? ?b ? ?3 ? b ? 11

?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ?? ? 3 ? 2a ? b ? 0

通过验证,都合要求,故应选择A。

注意代 入检验

注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

4.(2006年北京卷)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y ? f '( x) 的图像 (如图)过点(1,0),(2,0), 求: (1) x0 的值;(2)a,b,c的值;
3 2

略解: (1)由图像可知:x0 ? 1 (2)

f / ( x)=3ax 2 ? 2bx ? c   ? 0) (a f (1) ? a ? b ? c ? 5
f / (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 f / ( 2) ? 12a ? 4b ? c=0

.

? 2b ?- 3a ? 3 或 ? c ? ?2 ? 3a

a ? 2, b ? ?9, c ? 12

注意:数形结合以及函数与方程思想的应用


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