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高三第一轮复习 -磁场



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本章在介绍了磁现象的电本质的基础上, 主要讨论了磁场的描述方法 (定义了磁感应强 度、磁通量等概念,引入了磁感线这个工具)和磁场产生的作用(对电流的安培力作用,对 通电线圈 的磁力矩作用和对运动电荷的洛仑兹力作用)及相关问题。其中磁感应强度、磁 通量是电磁学 的基本概念,应认真理解;载流导体在磁场中的平衡、

加速运动,带电粒子 在洛仑兹力作用 下的圆周运动等内容应熟练掌握;常见磁体周围磁感线的空间分布观念的 建立,常是解决有 关问题的关键,应注意这方面的训练。 单元切块: 按照考纲的要求,本章内容可以分成三部分,即:基本概念 安培力;洛伦兹力 带电 粒子在磁场中的运动; 带电粒子在复合场中的运动。 其中重点是对安培力、 洛伦兹力的理解、 熟练解决通电直导线在复合场中的平衡和运动问题、 带电粒子在复合场中的运动问题。 难点 是带电粒子在复合场中的运动问题。 知识点、能力点提示 1.通过有关磁场知识的归纳,使学生对磁场有较全面的认识,并在此基础上理解磁现象

电本质; 2.介绍磁性材料及其运用,扩大学生的知识面,培养联系实际的能力; 3.磁感应强度 B 的引入,体会科学探究方法;通过安培力的知识,理解电流表的工作原 理;通过安培力的公式 F=IlBsinθ 的分析推理,开阔学生思路,培养学生思维能力;通过 安培力 在电流表中的应用,培养学生运用所学知识解决实际问题的意识和能力; 4.通过洛仑兹力的引入,培养学生的逻辑推理能力; 5.通过带电粒子在磁场中运动及回旋加速器的介绍,调动学生思考的积极性及思维习惯 的培养,并开阔思路。

基本概念

安培力

教学目标: 1.掌握电流的磁场、安培定则;了解磁性材料,分子电流假说 2.掌握磁感应强度,磁感线,知道地磁场的特点 3.掌握磁场对通电直导线的作用,安培力,左手定则 4.了解磁电式电表的工作原理 5.能够分析计算通电直导线在复合场中的平衡和运动问题。 教学重点:磁场对通电直导线的作用,安培力 教学难点:通电直导线在复合场中的平衡和运动问题 教学方法:讲练结合,计算机辅助教学 教学过程: 一、基本概念 1.磁场的产生 ⑴磁极周围有磁场。 ⑵电流周围有磁场(奥斯特)。 安培提出分子电流假说(又叫磁性起源假说),认为磁极的磁场和电流的磁场都是由电 荷的运动产生的。 (但这并不等于说所有磁场都是由运动电荷产生的,因为麦克斯韦发现变 化的电场也能产生磁场。) ⑶变化的电场在周围空间产生磁场。

2.磁场的基本性质 磁场对放入其中的磁极和电流有磁场力的作用 (对磁极一定有力的作用; 对电流只是可 能有力的作用,当电流和磁感线平行时不受磁场力作用)。这一点应该跟电场的基本性质相 比较。 3.磁场力的方向的判定 磁极和电流之间的相互作用力(包括磁极与磁极、电流与电流、磁极与电流),都是运 动电荷之间通过磁场发生的相互作用。因此在分析磁极和电流间的各种相互作用力的方向 时,不要再沿用初中学过的“同名磁极互相排斥,异名磁极互相吸引”的结论(该结论只有 在一个磁体在另一个磁体外部时才正确) , 而应该用更加普遍适用的: “同向电流互相吸引, 反向电流互相排斥”,或用左手定则判定。 4.磁感线 ⑴用来形象地描述磁场中各点的磁场方向和强弱的曲线。 磁感线上每一点的切线方向就 是该点的磁场方向,也就是在该点小磁针静止时 N 极的指向。磁感线的疏密表示磁场的强 弱。 ⑵磁感线是封闭曲线(和静电场的电场线不同)。

⑶要熟记常见的几种磁场的磁感线:

地球磁场

通电直导线周围磁场

通电环行导线周围磁场

⑷安培定则(右手螺旋定则):对直导线,四指指磁感线方向;对环行电流,大拇指指 中心轴线上的磁感线方向;对长直螺线管大拇指指螺线管内部的磁感线方向。

5.磁感应强度

B?

F (条件是匀强磁场中,或Δ L 很小,并且 L⊥B )。 IL

磁感应强度是矢量。单位是特斯拉,符号为 T,1T=1N/(A?m)=1kg/(A?s2) 6.磁通量 如果在磁感应强度为 B 的匀强磁场中有一个与磁场方向垂直的平面,其面积为 S,则定 义 B 与 S 的乘积为穿过这个面的磁通量,用Φ 表示。Φ 是标量,但是有方向(进该面或出 该面)。单位为韦伯,符号为 Wb。1Wb=1T?m2=1V?s=1kg?m2/(A?s2)。 可以认为穿过某个面的磁感线条数就是磁通量。 在匀强磁场磁感线垂直于平面的情况下,B=Φ /S,所以磁感应强度又叫磁通密度。在匀 强磁场中,当 B 与 S 的夹角为α 时,有Φ =BSsinα 。 二、安培力 (磁场对电流的作用力) 1.安培力方向的判定 (1)用左手定则。 (2)用“同性相斥,异性相吸”(只适用于磁铁之间或磁体位于螺线管外部时)。 (3)用“同向电流相吸,反向电流相斥”(反映了磁现象的电本质)。可以把条形 磁铁等效为长直螺线管(不要把长直螺线管等效为条形磁铁)。 【例 1】磁场对电流的作用力大小为 F=BIL(注意:L 为有效长度,电流与磁场方向 应 ).F 的方向可用 试判断下列通电导线的受力方向. × × × × × × × × . . . . . . . . × . . . . . . . . 定则来判定.

B

I

B

× × × × × × × ×

试分别判断下列导线的电流方向或磁场方向或受力方向.

F B
×

F

B

×

【例 2】如图所示,可以自由移动的竖直导线中通有向下的电 流,不计通电导线的重力,仅在磁场力作用下,导线将如何移动? 解:先画出导线所在处的磁感线,上下两部分导线所受安培力 (不要说成先转 90°后平移)。分析的关键是画出相关的磁感线。 【例 3】 条形磁铁放在粗糙水平面上,正中的正上方 有一导线, 通有图示方向的电流后, 磁铁对水平面的压力将 会___(增大、减小还是不变?)。水平面对磁铁的摩擦 力大小为___。 F/

I

S

的方向相反, 使导线从左向右看顺时针转动; 同时又受到竖直向上的磁场的作用而向右移动 N

F

N

F F S

解:本题有多种分析方法。⑴画出通电导线中电流的磁场中通过两极的那条磁感线(如 图中粗虚线所示),可看出两极受的磁场力的合力竖直向上。磁铁对水平面的压力减小,但 不受摩擦力。⑵画出条形磁铁的磁感线中通过通电导线的那一条(如图中细虚线所示),可 看出导线受到的安培力竖直向下, 因此条形磁铁受的反作用力竖直向上。 ⑶把条形磁铁等效 为通电螺线管,上方的电流是向里的,与通电导线中的电流是同向电流, 所以互相吸引。 【例 4】 如图在条形磁铁 N 极附近悬挂一个线圈,当线圈中通有逆时 针方向的电流时,线圈将向哪个方向偏转? 解:用“同向电流互相吸引,反向电流互相排斥”最简单:条形磁铁的等效螺线管的电 流在正面是向下的,与线圈中的电流方向相反,互相排斥,而左边的线圈匝数多所以线圈向 N 右偏转。(本题如果用“同名磁极相斥,异名磁极相吸”将出现判断错误,因为那只适用于 线圈位于磁铁外部的情况。) 【例 5】 电视机显象管的偏转线圈示意图如右,即时电流方向如图所示。 该时刻由里向外射出的电子流将向哪个方向偏转? 解:画出偏转线圈内侧的电流,是左半线圈靠电子流的一侧为向里,右半线 圈靠电子流的一侧为向外。电子流的等效电流方向是向里的,根据“同向电流互 相吸引,反向电流互相排斥”,可判定电子流向左偏转。(本题用其它方法判断也行,但不 如这个方法简洁)。 2.安培力大小的计算 F=BLIsinα (α 为 B、L 间的夹角)高中只要求会计算α =0(不受安培力)和α =90° 两种情况。 【例 6】 如图所示,光滑导轨与水平面成α 角,导轨宽 L。匀强 磁场磁感应强度为 B。 金属杆长也为 L , 质量为 m, 水平放在导轨上。 当回路总电流为 I1 时,金属杆正好能静止。求:⑴B 至少多大?这时 B 的方向如何?⑵若保持 B 的大小不变而将 B 的方向改为竖直向上, α α i

S

应把回路总电流 I2 调到多大才能使金属杆保持静止? 解:画出金属杆的截面图。由三角形定则得,只有当安培力方向沿 导轨平面向上时安培力才最小,B 也最小。根据左手定则,这时 B 应垂 直于导轨平面向上,大小满足:BI1L=mgsinα , B=mgsinα /I1L。 当 B 的方向改为竖直向上时,这时安培力的方向变为水平向右,沿 导轨方向合力为零,得 BI2Lcosα =mgsinα ,I2=I1/cosα 。(在解这类题时必须画出截面图, 只有在截面图上才能正确表示各力的准确方向,从而弄清各矢量方向间的关系)。 【例 7】如图所示,质量为 m 的铜棒搭在 U 形导线框右端,棒长和 框宽均为 L,磁感应强度为 B 的匀强磁场方向竖直向下。电键闭合后, 在磁场力作用下铜棒被平抛出去,下落 h 后的水平位移为 s。求闭合电 键后通过铜棒的电荷量 Q。 解:闭合电键后的极短时间内, 铜棒受安培力向右的冲量 FΔ t=mv0 而被平抛出去,其中 F=BIL,而瞬时电流和时间的乘积等于电荷量 Q=I?Δ t,由平抛规律可 h



B
s

ms g 算铜棒离开导线框时的初速度 v0 ? s ? s g ,最终可得 Q ? 。 BL 2h t 2h
【例 8】如图所示,半径为 R、单位长度电阻为 ? 的均匀导体环固定 在水平面上,圆环中心为 O,匀强磁场垂直于水平面方向向下,磁感应强 度为 B。平行于直径 MON 的导体杆,沿垂直于杆的方向向右运动。杆的 电阻可以忽略不计, 杆于圆环接触良好。 某时刻,杆的位置如图,∠aOb=2 θ ,速度为 v,求此时刻作用在杆上的安培力的大小。 θ M a R O

b 解:ab 段切割磁感线产生的感应电动势为 E=vB?2Rsinθ ,以 a、b 为端点的两个弧上的
电阻分别为 2 ? R(π -θ )和 2 ? Rθ ,回路的总电阻为 r ? 安培力 F=IB?2Rsinθ ,由以上各式解得: F ?

2?R? ?? ? ? ?

?

,总电流为 I=E/r,

N

2?vB 2 R sin 2 ? 。 ?? ?? ? ? ?

【例 9】如图所示,两根平行金属导轨间的距离为 0.4 m,导轨平面与水平面的夹角为 37°,磁感应强度为 0.5 T 的匀强磁场垂直于导轨平面斜向上,两根电阻均为 1Ω 、重均为 0.1 N 的金属杆 ab、cd 水平地放在导轨上,杆与导轨间的动摩擦因数为 0.3,导轨的电阻可 以忽略.为使 ab 杆能静止在导轨上,必须使 cd 杆以多大的速率沿斜面向上运动?

解:设必须使 cd 杆以 v 沿斜面向上运动,则有 cd 杆切割磁场线,将产生感应电动势 E=Blv 在两杆和轨道的闭合回路中产生电流 I= ab 杆受到沿斜面向上的安培力 F 安=Bil ab 杆静止时,受力分析如图

E 2R

根据平衡条件,应有 Gsinθ 一μ Gcosθ ≤F 安≤Gsinθ +μ Gcosθ 联立以上各式,将数值代人,可解得 1.8 m/s≤v≤4.2 m/s

【例 10】如图所示是一个可以用来测量磁感应强度的装置:一长方体绝缘容器内部高 为 L,厚为 d,左右两管等高处装有两根完全相同的开口向上的管子 a、b,上、下两侧装有 电极 C(正极)和 D(负极)并经开关 S 与电源连接,容器中注满能导电的液体,液体的密 度为ρ ;将容器置于一匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里,当开关断开时,竖直管子 a、 b 中的液面高度相同,开关 S 闭合后,a、b 管中液面将出现高度差。若当开关 S 闭合后,a、 b 管中液面将出现高度差为 h,电路中电流表的读数为 I,求磁感应强度 B 的大小。 解析:开关 S 闭合后,导电液体中有电流由 C 流到 D, 根据左手定则可知导电液体要受到向右的安培力 F 作 用, 在液体中产生附加压强 P,这样 a、b 管中液面将出现 高 度差。在液体中产生附加压强 P 为 S a

C

b

D

A A

P?

F BLI BI ? ? ? ?.gh S Ld d

所以磁感应强度 B 的大小为: B ?

?.ghd
I

【例 10】安培秤如图所示,它的一臂下面挂有一个矩形线圈,线圈 共有 N 匝, 它的下部悬在均匀磁场 B 内, 下边一段长为 L, 它与 B 垂直。 当线圈的导线中通有电流 I 时,调节砝码使两臂达到平衡;然后使电流 反向,这时需要在一臂上加质量为 m 的砝码,才能使两臂再达到平衡。 求磁感应强度 B 的大小。 解析:根据天平的原理很容易得出安培力 F=

1 mg , 2

所以 F=NBLI=

1 mg 2

因此磁感应强度 B=

mg 。 2 NLI

三、与地磁场有关的电磁现象综合问题 1.地磁场中安培力的讨论 【例 11】已知北京地区地磁场的水平分量为 3.0×10 5T.若北京市一高层建筑安装了高


100m 的金属杆作为避雷针,在某次雷雨天气中,某一时刻的放电电流为 105A,此时金属杆 所受培力的方向和大小如何?磁力矩又是多大? 分析:首先要搞清放电电流的方向.因为地球带有负电荷,雷雨放电时,是地球所带电 荷通过金属杆向上运动,即电流方向向下. 对于这类问题,都可采用如下方法确定空间的方向:面向北方而立,则空间水平磁场均 为“×”;自己右手边为东方,左手边为西方,背后为南方,如图 2 所示.由左手定则判定 电流所受磁场力向右(即指向东方),大小为 F=BIl=3.0×10 5×105×100=300(N).


因为磁力与通电导线的长度成正比,可认为合力的作用点为 金属杆的中点,所以磁力矩 M=

1 1 F l= × 300×100 2 2
=1.5×104(N·m).

用同一方法可判断如下问题:一条长 2m 的导线水平放在赤道上空,通以自西向东的电 流,它所受地磁场的磁场力方向如何? 2.地磁场中的电磁感应现象 【例 12】绳系卫星是系留在航天器上绕地球飞行的一种新型卫星,可以用来对地球的

大气层进行直接探测;系绳是由导体材料做成的,又可以进行地球空间磁场电离层的探测; 系绳在运动中又可为卫星和牵引它的航天器提供电力. 1992 年和 1996 年,在美国“亚特兰大”号航天飞机在飞行中做了一项悬绳发电实验: 航天飞机在赤道上空飞行,速度为 7.5km/s,方向自西向东.地磁场在该处的磁感应强度 B= 0.5×10 4T.从航天飞机上发射了一颗卫星, 卫星携带一根长 l=20km 的金属悬绳与航天飞机


相连.从航天飞机到卫生间的悬绳指向地心.那么,这根悬绳能产生多大的感应电动势呢? 分析:采用前面所设想的确定空间方位的方法,用右手定则不难发现,竖起右手,大拇 指向右边(即东方),四指向上(即地面的上方),所以航天飞机的电势比卫星高,大小为 E=BLv=0.5×10 5×2×104×7.5×103=7.5×103(V).


用同样的方法可以判断, 沿长江顺流而下的轮般桅杆所产生的电势差及在北半球高空水 平向各方向飞行的飞机机翼两端的电势差 (注意: 此时机翼切割地磁场的有效分量是竖直分 量). 3.如何测地磁场磁感应强度的大小和方向 地磁场的磁感线在北半球朝向偏北并倾斜指向地面,在南半球朝向偏北并倾斜指向天 空, 且磁倾角的大小随纬度的变化而变化.若测出地磁场磁感应强度的水平分量和竖直分量, 即可测出磁感应强度的大小和方向. 【例 13】测量地磁场磁感应强度的方法很多,现介绍一种有趣的方法. 如图所示为北半球一条自西向东的河流,河两岸沿南北方向的 A、B 两点相距为 d.若测 出河水流速为 v,A、B 两点的电势差为 U,即能测出此地的磁感 应强度的垂直分量 B⊥. 因为河水中总有一定量的正、负离子,在地磁场洛仑兹力的 作用下,正离子向 A 点偏转,正、负离子向 B 点偏转,当 A、B 间电势差达到一定值时,负离子所受电场力与洛仑兹力平衡,离 子不同偏转,即

U U q =B⊥qv,故 B⊥= . d dv
如图所示,在测过 B⊥的地方将电阻为 R、面积为 S 的矩形线圈的 AD 边东西方向放置, 线圈从水平转到竖直的过程中,测出通过线圈某一截面的电量 Q,穿过 线圈的磁通量先是 B⊥从正面穿过,继而变为 B//从反面穿过,那么电量 Q= I ?t ?

? ?t
R

?

?? ( B? ? B// ) S ? R R

∴B//=

QR ? B? S

∴B= B? ? B// ,磁倾角θ =argtg 四、针对训练: 1. 下列说法中正确的是 A.磁感线可以表示磁场的方向和强弱

2

2

B? B //

B.磁感线从磁体的 N 极出发,终止于磁体的 S 极 C.磁铁能产生磁场,电流也能产生磁场 D.放入通电螺线管内的小磁针,根据异名磁极相吸的原则,小磁针的 N 极一定指向通 电螺线管的 S 极 2.关于磁感应强度,下列说法中错误的是 A.由 B=

F 可知,B 与 F 成正比,与 IL 成反比 IL F 可知,一小段通电导体在某处不受磁场力,说明此处一定无磁场 IL

B.由 B=

C.通电导线在磁场中受力越大,说明磁场越强 D.磁感应强度的方向就是该处电流受力方向 3.一束电子流沿 x 轴正方向高速运动,如图所示,则电子流产生的磁场在 z 轴上的点 P 处的方向是 A.沿 y 轴正方向 B.沿 y 轴负方向 C.沿 z 轴正方向 D.沿 z 轴负方向 4.在地球赤道上空有一小磁针处于水平静止状态,突然发现小磁针 N 极向东偏转,由此 可知 A.一定是小磁针正东方向上有一条形磁铁的 N 极靠近小磁针 B.一定是小磁针正东方向上有一条形磁铁的 S 极靠近小磁针 C.可能是小磁针正上方有电子流自南向北水平通过 D.可能是小磁针正上方有电子流自北向南水平通过 5.两根长直通电导线互相平行,电流方向相同.它们的截面处于

一个等边三角形 ABC 的 A 和 B 处.如图所示, 两通电导线在 C 处的磁场的磁感应强度的值都 是 B,则 C 处磁场的总磁感应强度是 A.2B C.0 B.B D. 3 B

6.磁铁在高温下或者受到敲击时会失去磁性,根据安培的分子电流假说,其原因是 A.分子电流消失 B.分子电流的取向变得大致相同 C.分子电流的取向变得杂乱 D.分子电流的强度减弱 7.根据安培假说的思想, 认为磁场是由于电荷运动产生的, 这种思想对于地磁场也适用, 而目前在地球上并没有发现相对于地球定向移动的电荷,那么由此判断,地球应该() A.带负电 B.带正电 C.不带电 D.无法确定

8. 关于垂直于磁场方向的通电直导线所受磁场作用力的方向,正确的说法是 A.跟电流方向垂直,跟磁场方向平行 B.跟磁场方向垂直,跟电流方向平行 C.既跟磁场方向垂直,又跟电流方向垂直 D.既不跟磁场方向垂直,又不跟电流方向垂直 9.如图所示,直导线处于足够大的匀强磁场中,与磁感线成θ =30°角,导线中通过的 电流为 I,为了增大导线所受的磁场力,可采取下列四种办法,其中不正确的是 A.增大电流 I B.增加直导线的长度 C.使导线在纸面内顺时针转 30° D.使导线在纸面内逆时针转 60° 10.如图所示,线圈 abcd 边长分别为 L1、L2,通过的电流为 I,当线圈绕 OO′轴转过θ 角时 A.通过线圈的磁通量是 BL1L2cosθ B.ab 边受安培力大小为 BIL1cosθ

C.ad 边受的安培力大小为 BIL2cosθ D.线圈受的磁力矩为 BIL1L2cosθ 11.如图所示,一金属直杆 MN 两端接有导线,悬挂于线圈上方,MN 与线圈轴线均处于 竖直平面内,为使 M N 垂直纸面向外运动,可以 A.将 a、c 端接在电源正极,b、d 端接在电源负极 B.将 b、d 端接在电源正极,a、c 端接在电源负极 C.将 a、d 端接在电源正极,b、c 端接在电源负极 D.将 a、c 端接在交流电源的一端,b、d 接在交流电源的另一 端 12.(2000 年上海高考试题)如图所示,两根平行放置的长直导线 a 和 b 载有大小相同、 方向相反的电流,a 受到的磁场力大小为 F1,当加入一与导线所在平面垂直的匀强磁场后, a 受到的磁场力大小变为 F2,则此时 b 受到的磁场力大小变为 A.F2 C.F1+F2 B.F1-F2 D.2F1-F2

13.如图所示,条形磁铁放在水平桌面上,在其正中央的上方固定一根长直导线,导线 与磁铁垂直,给导线通以垂直纸面向外的电流,则 A.磁铁对桌面压力减小,不受桌面的摩擦力作用 B.磁铁对桌面的压力减小,受到桌面的摩擦力作用 C.磁铁对桌面的压力增大,不受桌面的摩擦力作用 D.磁铁对桌面的压力增大,受到桌面的摩擦力作用 14.长为 L,重为 G 的均匀金属棒一端用细线悬挂,一端搁在桌面上与桌面夹角为α , 现垂直细线和棒所在平面加一个磁感应强度为 B 的匀强磁场,当棒通入如图所示方向的电 流时,细线中正好无拉力.则电流的大小为_______ A.

15.电磁炮是一种理想的兵器,它的主要原理如图所示,1982 年澳大利亚国立大学制成 了能把 2.2 g 的弹体(包括金属杆 EF 的质量)加速到 10 km/s 的电磁炮(常规炮弹速度大小 约为 2 km/s),若轨道宽 2 m,长为 100 m,通过的电流为 10 A,则轨道间所加匀强磁场的

磁感应强度为_______ T,磁场力的最大功率 P=_______ W(轨道摩擦不计).

16.如图所示,在两根劲度系数都为 k 的相同的轻质弹簧下悬挂有一根导体棒 ab,导体 棒置于水平方向的匀强磁场中,且与磁场垂直.磁场方向垂直纸面向里,当导体棒中通以自 左向右的恒定电流时,两弹簧各伸长了Δ l1;若只将电流反向而保持其他条件不变,则两弹 簧各伸长了Δ l2,求:(1)导体棒通电后受到的磁场力的大小?(2)若导体棒中无电流, 则每根弹簧的伸长量为多少?

17.如图所示,在倾角为 30°的光滑斜面上垂直纸面放置 一根长为 L,质量为 m 的通电直导体棒,棒内电流大小为 I, 方向垂直纸面向外.以水平向右为 x 轴正方向,竖直向上为 y 轴正方向建立直角坐标系. (1)若加一方向垂直斜面向上的匀强磁场,使导体棒在 斜面上保持静止,求磁场的磁感应强度多大? (2)若加一方向垂直水平面向上的匀强磁场使导体棒在 斜面上静止,该磁场的磁感应强度多大.

18.在原子反应堆中抽动液态金属时,由于不允许转动机械部分和液态金属接触,常使 用一种电磁泵.如图 1—34—13 所示是这种电磁泵的结构示意图,图中 A 是导管的一段,垂 直于匀强磁场放置,导管内充满液态金属.当电流 I 垂直于导管和磁场方向穿过液态金属时, 液态金属即被驱动, 并保持匀速运动.若导管内截面宽为 a, 高为 b, 磁场区域中的液体通过的电流为 I,磁感应强度为 B.求: (1)电流 I 的方向; (2)驱动力对液体造成的压强差.

参考答案 1.AC 2.ABCD 3.A 4.C 5.D 6.C 7. A 8.C 9.C 10.D

11.ABD 可先由安培定则判定磁场方向,再由左手定则判定通电导线的受力方向. 12.A 13.A 变换研究对象,根据磁感线分布及左手定则,先分析通电长直导线受力情况,再 由牛顿第三定律分析磁铁和桌面之间的作用 14.Gcosα /BL 15. 55,1.1×107 16.(1)k(Δ l2-Δ l1) (2)

1 (Δ l1+Δ l2) 2

17.(1)

mg 2 IL

(2)

3m g 3IL
(2)把液体看成由许多横切液片组成,因通电而受到安

18.(1)电流方向由下而上 p=F/S=IbB/ab=IB/a.

培 力 作 用 , 液 体 匀 速 流 动 时 驱 动 力 跟 液 体 两 端 的 压 力 差 相 等 , 即 F= Δ p · S , Δ

教学后记 磁场基本概念学生掌握不错,上课效果好,几种典型的磁场线的分布学生也很熟悉,不 过磁场的应用,常见模型如磁流体发电学生分析有一点难度,特别是基础比较差的学生。所 以,应该做好课后跟踪调查,及时帮助学生。

洛伦兹力 带电粒子在磁场中的运动
教学目标: 1.掌握洛仑兹力的概念; 2.熟练解决带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题 教学重点:带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 教学难点:带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 教学方法:讲练结合,计算机辅助教学 教学过程: 一、洛伦兹力 1.洛伦兹力 运动电荷在磁场中受到的磁场力叫洛伦兹力,它是安 培力的微观表现。 计算公式的推导:如图所示,整个导线受到的磁场力 (安培力)为 F 安 =BIL;其中 I=nesv;设导线中共有 N 个自 由电子 N=nsL;每个电子受的磁场力为 F,则 F 安=NF。由 以上四式可得 F=qvB。条件是 v 与 B 垂直。当 v 与 B 成θ 角时,F=qvBsinθ 。 2.洛伦兹力方向的判定 在用左手定则时,四指必须指电流方向(不是速度方向),即正电荷定向移动的方向; 对负电荷,四指应指负电荷定向移动方向的反方向。 【例 1】磁流体发电机原理图如右。等离子体高速从左向右喷 射,两极板间有如图方向的匀强磁场。该发电机哪个极板为正极? 两板间最大电压为多少? 解:由左手定则,正、负离子受的洛伦兹力分别向上、向下。 + + + - - - - ―R + + +

F

F安 B I

B

所以上极板为正。正、负极板间会产生电场。当刚进入的正负离子受的洛伦兹力与电场力等 值反向时,达到最大电压:U=Bdv。当外电路断开时,这也就是电动势 E。当外电路接通时, 极板上的电荷量减小,板间场强减小,洛伦兹力将大于电场力,进入的正负离子又将发生偏 转。这时电动势仍是 E=Bdv,但路端电压将小于 Bdv。 在定性分析时特别需要注意的是: ⑴正负离子速度方向相同时,在同一磁场中受洛伦兹力方向相反。 ⑵外电路接通时,电路中有电流,洛伦兹力大于电场力,两板间电压将小于 Bdv,但电 动势不变(和所有电源一样,电动势是电源本身的性质。) ⑶注意在带电粒子偏转聚集在极板上以后新产生的电场的分析。 在外电路断开时最终将 达到平衡态。 【例 2】 半导体靠自由电子(带负电)和空穴(相当于带正电)导电,分为 p 型和 n 型两种。 p 型中空穴为多数载流子; n 型中自由电子为多数载流子。 用以下实验可以判定一块半导体材料是 p 型还是 n 型:将材料放 在匀强磁场中,通以图示方向的电流 I,用电压表判定上下两个表 面的电势高低,若上极板电势高,就是 p 型半导体;若下极板电势高,就是 n 型半导体。试 分析原因。 解:分别判定空穴和自由电子所受的洛伦兹力的方向,由于四指指电流方向,都向右, 所以洛伦兹力方向都向上,它们都将向上偏转。p 型半导体中空穴多,上极板的电势高;n 型半导体中自由电子多,上极板电势低。 注意:当电流方向相同时,正、负离子在同一个磁场中的所受的洛伦兹力方向相同,所 以偏转方向相同。 3.洛伦兹力大小的计算 带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动时, 洛伦兹力充当向心力, 由此 m v 2 ? m 可以推导出该圆周运动的半径公式和周期公式: r ? ,T ? Bq Bq 【例 3】 如图直线 MN 上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场。 正、负电子同时从同一点 O 以与 MN 成 30°角的同样速度 v 射入 磁场 (电子质量为 m, 电荷为 e) , 它们从磁场中射出时相距多远? 射出的时间差是多少? 解:由公式知,它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相 M

I

B v O

N

反。先确定圆心,画出半径,由对称性知:射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两 2mv 个射出点相距 2r,由图还可看出,经历时间相差 2T/3。答案为射出点相距 s ? ,时间 Be

差为 ?t ?

4?m 。关键是找圆心、找半径和用对称。 3Bq
y v

【例 4】 一个质量为 m 电荷量为 q 的带电粒子从 x 轴上的 P(a,0) 点以速度 v,沿与 x 正方向成 60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中, 并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。 求匀强磁场的磁感应强度 B 和射出点的 坐标。 解 : 由 射 入 、 射 出 点 的 半 径 可 找 到 圆 心 O/ , 并 得 出 半 径 为 O/ o

B
v a x

r?

2a 3

?

mv 3m v ;射出点坐标为(0, 3a )。 , 得B ? Bq 2aq

二、带电粒子在匀强磁场中的运动 带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点, 也是高考的热点。 在历年的高考 试题中几乎年年都有这方面的考题。带电粒子在磁场中的运动问题,综合性较强,解这类问 题既要用到物理中的洛仑兹力、 圆周运动的知识, 又要用到数学中的平面几何中的圆及解析 几何知识。 1、带电粒子在半无界磁场中的运动 【例 5】一个负离子,质量为 m,电量大小为 q,以速率 v 垂直于屏 S 经过小孔 O 射入 存在着匀强磁场的真空室中,如图所示。磁感应强度 B 的方向与离子的运动方向垂直,并 垂直于图 1 中纸面向里. (1)求离子进入磁场后到达屏 S 上时的位置与 O 点的距离. (2)如果离子进入磁场后经过时间 t 到达位置 P,证明:直线 OP 与离子入射方向之间的夹角θ 跟 t 的关系是 ? ?

O

v θ

B P

qB t。 2m

S

解析:(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运 动.设圆半径为 r,则据牛顿第二定律可得:

Bqv ? m

v2 mv ,解得 r ? r Bq

如图所示,离了回到屏 S 上的位置 A 与 O 点的距离为:AO=2r 所以 AO ?

2m v Bq
vt Bq ? t r m

(2)当离子到位置 P 时,圆心角: ? ?

因为 ? ? 2? ,所以 ? ?

qB t. 2m

2.穿过圆形磁场区。画好辅助线(半径、速度、轨迹圆的圆心、 连心线)。偏角可由 tan

?
2

?

m? r 求出。经历时间由 t ? 得出。 R Bq

rv

O
O/

v

注意:由对称性,射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。

R

【例 6】如图所示,一个质量为 m、电量为 q 的正离子,从 A 点正对着圆心 O 以速度 v 射入半径为 R 的绝缘圆筒中。 圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场, 磁感应强度的大小为 B。 要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从 A 点射出, 求正离子在磁场 中运动的时间 t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失,不计粒 子的重力。 解析:由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失,每次 碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心,并且离子运动的轨迹 是对称的,如图所示。设粒子与圆筒内壁碰撞 n 次( n ? 2 ),则每相邻两次碰撞点之间圆 弧所对的圆心角为 2π /(n+1).由几何知识可知,离子运动的半径为

A

v0

B

O

r ? R tan

?
n ?1

离子运动的周期为 T ?

v2 2?m ,又 Bqv ? m , qB r
2?R ? tan . v n ?1

所以离子在磁场中运动的时间为 t ?

【例 7】圆心为 O、半径为 r 的圆形区域中有一个磁感强度为 B、方向为垂直于纸面向 里的匀强磁场,与区域边缘的最短距离为 L 的 O'处有一竖直放置的荧屏 MN,今有一质量 为 m 的电子以速率 v 从左侧沿 OO'方向垂直射入磁场,越出磁场后打在荧光屏上之 P 点, 如图所示,求 O'P 的长度和电子通过磁场所用的时间。 解析 :电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运 动,圆心为 O″,半径为 R。圆弧段轨迹 AB 所对的圆心角 为θ , 电子越出磁场后做速率仍为 v 的匀速直线运动, 如 图 4 所示, 连结 OB, ∵△OAO″≌△OBO″, 又 OA⊥O″ A,故 OB⊥O″B,由于原有 BP⊥O″B,可见 O、B、P 在同一直线上,且∠O'OP=∠AO″B=θ ,在直角三角形 P

L A

M

O'
N

2 tan( ) 2 , tan( ? ) ? r ,所以求得 R 后 OO'P 中,O'P=(L+r)tanθ ,而 tan? ? ? 2 R 1 ? tan2 ( ) 2 AB ?R ? 就可以求出 O'P 了,电子经过磁场的时间可用 t= 来求得。 V V
由 Bev ? m

?

mv v2 .OP ? ( L ? r ) tan ? 得 R= eB R
M

? r eBr tan( ) ? ? , 2 R mV
2 tan( ) 2eBrm v 2 ? tan? ? 2 2 ? m v ? e2 B2r 2 1 ? tan2 ( ) 2
2( L ? r )eBrmv O P ? ( L ? r ) tan ? ? 2 2 , m v ? e2 B2r 2
,

L A

?

O
θ B

O,

R

θ/2 θ/2 O//

P

N

? ? arctan(
t?

2eBrmv ) m v2 ? e2 B2r 2
2

?R
v

?

m 2eBrmv arctan( 2 2 ) eB m v ? e2 B2r 2

3. 穿过矩形磁场区。 一定要先画好辅助线 (半径、 速度及延长线) 。 偏转角由 sinθ =L/R m ? 求出。侧移由 R2=L2-(R-y)2 解出。经历时间由 t ? 得出。 Bq

注意, 这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中点, 这点 与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同! 【例 8】如图所示,一束电子(电量为 e)以速度 v 垂直射入磁感强度为 B,宽度为 d 的匀强磁场中,穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是 30°,则电子的质量 是 ,穿透磁场的时间是 。

解析: 电子在磁场中运动, 只受洛仑兹力作用, 故其轨迹是圆弧的一部分, 又因为 f⊥v, 故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上,如图中的 O 点,由几何知识知, AB 间圆心角θ =30°,OB 为半径。 ∴r=d/sin30°=2d,又由 r=mv/Be 得 m=2dBe/v 又∵AB 圆心角是 30°,∴穿透时间 t=T/12,故 t=π d/3v。 带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析。 如已知带电粒子 的质量 m 和电量 e, 若要带电粒子能从磁场的右边界射出, 粒子的速度 v 必须满足什么条件? 这时必须满足 r=mv/Be>d,即 v>Bed/m. 【例 9】长为 L 的水平极板间,有垂直纸面向内的匀强磁场,如图所示,磁感强度为 B, 板间距离也为 L,板不带电,现有质量为 m,电量为 q 的带正电粒子(不计重力),从左边 极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁场, 欲使粒子不打在极板上, 可采用的办法是: A.使粒子的速度 v<BqL/4m; B.使粒子的速度 v>5BqL/4m; C.使粒子的速度 v>BqL/m; D.使粒子速度 BqL/4m<v<5BqL/4m。 解析:由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏,而作匀速圆周 运动,很明显,圆周运动的半径大于某值 r1 时粒子可以从极板右边 穿出,而半径小于某值 r2 时粒子可从极板的左边穿出,现在问题归 结为求粒子能在右边穿出时 r 的最小值 r1 以及粒子在左边穿出时 r 的最大值 r2,由几何知识得: 粒子擦着板从右边穿出时,圆心在 O 点,有: r12=L2+(r1-L/2)2 得 r1=5L/4, 又由于 r1=mv1/Bq 得 v1=5BqL/4m,∴v>5BqL/4m 时粒子能从右边穿出。 粒子擦着上板从左边穿出时,圆心在 O'点,有 r2=L/4,又由 r2=mv2/Bq=L/4 得 v2= BqL/4m

∴v2<BqL/4m 时粒子能从左边穿出。 综上可得正确答案是 A、B。 三、针对训练 1.如图所示,竖直向下的匀强磁场穿过光滑的绝缘水平面,平面上一个钉子 O 固定一 根细线,细线的另一端系一带电小球,小球在光滑水平面内绕 O 做匀速圆周运动.在某时刻 细线断开,小球仍然在匀强磁场中做匀速圆周运动,下列说法一定错误的是

A.速率变小,半径变小,周期不变 B.速率不变,半径不变,周期不变 C.速率不变,半径变大,周期变大 D.速率不变,半径变小,周期变小 2.如图所示,x 轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场.有两个质量相同,电荷量也相同的 带正、负电的离子(不计重力),以相同速度从 O 点射入磁场中,射入方向与 x 轴均夹θ 角.则正、负离子在磁场中 A.运动时间相同 B.运动轨道半径相同 C.重新回到 x 轴时速度大小和方向均相同 D.重新回到 x 轴时距 O 点的距离相同 3.电子自静止开始经 M、N 板间(两板间的电压为 u)的电场加速后从 A 点垂直于磁 场边界射入宽度为 d 的匀强磁场中,电子离开磁场时的位置 P 偏离入射方向的距离为 L,如 图所示.求匀强磁场的磁感应强度.(已知电子的质量为 m,电量为 e)

4.已经知道,反粒子与正粒子有相同的质量,却带有等量的异号电荷.物理学家推测, 既然有反粒子存在,就可能有由反粒子组成的反物质存在.1998 年 6 月,我国科学家研制的 阿尔法磁谱仪由“发现号”航天飞机搭载升空,寻找宇宙中反物质存在的证据.磁谱仪的核 心部分如图所示,PQ、MN 是两个平行板,它们之间存在匀强磁场区,磁场方向与两板平 行.宇宙射线中的各种粒子从板 PQ 中央的小孔 O 垂直 PQ 进入匀强磁场区,在磁场中发生 偏转,并打在附有感光底片的板 MN 上,留下痕迹.假设宇宙射线中存在氢核、反氢核、氦 核、反氦核四种粒子,它们以相同速度 v 从小孔 O 垂直 PQ 板进入磁谱仪的磁场区,并打在 感光底片上的 a、b、c、d 四点,已知氢核质量为 m,电荷量为 e,PQ 与 MN 间的距离为 L, 磁场的磁感应强度为 B.

(1)指出 a、b、c、d 四点分别是由哪种粒子留下的痕迹?(不要求写出判断过程) (2)求出氢核在磁场中运动的轨道半径; (3)反氢核在 MN 上留下的痕迹与氢核在 MN 上留下的痕迹之间的距离是多少? 5.如图所示,在 y<0 的区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于 xy 平面并指向纸里, 磁感应强度为 B.一带负电的粒子(质量为 m、电荷量为 q)以速度 v0 从 O 点射入磁场,入 射方向在 xy 平面内,与 x 轴正向的夹角为θ .求:

(1)该粒子射出磁场的位置; (2)该粒子在磁场中运动的时间.(粒子所受重力不计) 参考答案 1.A 2.BCD

3.解析:电子在 M、N 间加速后获得的速度为 v,由动能定理得:

1 2 mv -0=eu 2
电子进入磁场后做匀速圆周运动,设其半径为 r,则:

evB=m

v2 r

电子在磁场中的轨迹如图,由几何得:

L L2 ? d 2 2

=

L2 ? d 2 r

由以上三式得:B=

2L L ?d2
2

2m u e

4.解:(1)a、b、c、d 四点分别是反氢核、反氦核、氦核和氢核留下的痕迹.

(2)对氢核,在磁场中做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得:

evB ? m

v2 R

R?

mv eB

(3)由图中几何关系知:

so?d

mv m2v 2 ? R? R ?L ? ? 2 2 ? L2 eB e B
2 2

所以反氢核与氢核留下的痕迹之间的距离

sad ? 2so?d ?

2mv m2v 2 ? 2 2 2 ? L2 eB e B

5.解:(1)带负电粒子射入磁场后,由于受到洛伦兹力的作用,粒子将沿图示的轨迹 运动,从 A 点射出磁场,设 O、A 间的距离为 L,射出时速度的大小仍为 v,射出方向与 x 轴的夹角仍为θ ,由洛伦兹力公式和牛顿定律可得:

v qv0B=m 0 R

2

式中 R 为圆轨道半径,解得: R=

m v0 qB



圆轨道的圆心位于 OA 的中垂线上,由几何关系可得:

L =Rsinθ 2
联解①②两式,得:L=



2m v0 sin ? qB 2m v0 sin ? ,0) qB

所以粒子离开磁场的位置坐标为(-

(2)因为 T=

2?R 2?m = qB v0
2? ? 2? 2m(? ? ? ) ?T ? 2? qB

所以粒子在磁场中运动的时间,t=

教学后记 带电粒子在磁场中的运动,洛仑磁力的分析,确定粒子在磁场中圆周运动圆心,半径, 轨迹等问题是解题的重点也是难点,而且高考中也经常出现,难度相对也比较大,所以应该 通过练习及讲解提高学生这方面能力。

带电粒子在复合场中的运动

教学目标: 掌握带电粒子在复合场中的运动问题,学会该类问题的一般分析方法 教学重点:带电粒子在复合场中的运动 教学难点:带电粒子在复合场中的运动 教学方法:讲练结合,计算机辅助教学 教学过程: 一、带电粒子在混合场中的运动 1.速度选择器 正交的匀强磁场和匀强电场组成速度选择器。带电粒子必须以唯一 确定的速度(包括大小、方向)才能匀速(或者说沿直线)通过速度选 择器。否则将发生偏转。这个速度的大小可以由洛伦兹力和电场力的平 - - - ― ― ― - + + + + + + +

v

衡得出:qvB=Eq, v ?

E 。在本图中,速度方向必须向右。 B

(1)这个结论与离子带何种电荷、电荷多少都无关。 (2)若速度小于这一速度,电场力将大于洛伦兹力,带电粒子向电场力方向偏转,电 场力做正功,动能将增大,洛伦兹力也将增大,粒子的轨迹既不是抛物线,也不是圆,而是 一条复杂曲线;若大于这一速度,将向洛伦兹力方向偏转,电场力将做负功,动能将减小, 洛伦兹力也将减小,轨迹是一条复杂曲线。 【例 1】 某带电粒子从图中速度选择器左端由中点 O 以速度 v0 向右射去, 从右端中心 a 下方的 b 点以速度 v1 射出; 若增大磁感应强 度 B,该粒子将打到 a 点上方的 c 点,且有 ac=ab,则该粒子带___ 电;第二次射出时的速度为_____。 c a b

o

v

解:B 增大后向上偏,说明洛伦兹力向上,所以为带正电。由于洛伦兹力总不做功,所 0 以 两次 都是只 有电 场力做 功, 第一次 为正功 ,第 二次 为负功 ,但功 的绝 对值 相同。
1 1 1 1 2 2 2 2 mv12 ? mv 0 ? mv 0 ? mv 2 ,? v 2 ? 2v0 ? v12 2 2 2 2

【例 2】 如图所示,一个带电粒子两次以同样的垂直于场线的初速度 v0 分别穿越匀强 电场区和匀强磁场区, 场区的宽度均为 L 偏转角度均为α ,求 E∶B

解:分别利用带电粒子的偏角公式。在电场中偏转:

tan? ?

v0 EqL E LBq ? ,在磁场中偏转: ,由以上两式可得 。可以证 sin ? ? 2 B cos? m v0 m v0

明:当偏转角相同时,侧移必然不同(电场中侧移较大);当侧移相同时,偏转角必然不同 (磁场中偏转角较大)。 2.回旋加速器 回旋加速器是高考考查的的重点内容之一, 但很多同学往往对这类问题似是而非, 认识 不深,甚至束手无策、,因此在学习过程中,尤其是高三复习过程中应引起重视。 (1)有关物理学史知识和回旋加速器的基本结构和原理 1932 年美国物理学家应用了带电粒子在磁场中运动的特点发明了回旋加速器,其原理 如图所示。A0 处带正电的粒子源发出带正电的粒子以速度 v0 垂直进入匀强磁场,在磁场中

匀速转动半个周期,到达 A1 时,在 A1 A1/处造成向上的电场,粒子被加速,速率由 v0 增加 到 v1,然后粒子以 v1 在磁场中匀速转动半个周期,到达 A2/时,在 A2/ A2 处造成向下的电场, 粒子又一次被加速,速率由 v1 增加到 v2,如此继续下去,每当粒子经过 A A/的交界面时都 是它被加速, 从而速度不断地增加。 带电粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期为 T ?

2?m , qB


为达到不断加速的目的,只要在 A A/ 上加上周期也为 T 的交变电压就可以了。即 T =T ?

2?m qB

实际应用中,回旋加速是用两个 D 形金属盒做外壳,两个 D 形金属盒分别充当交流电 源的两极,同时金属盒对带电粒子可起到静电屏蔽作用,金属盒可以屏蔽外界电场,盒内电 场很弱,这样才能保证粒子在盒内只受磁场力作用而做匀速圆周运动。 (2)带电粒子在 D 形金属盒内运动的轨道半径是不等距分布的 设粒子的质量为 m,电荷量为 q,两 D 形金属盒间的加速电压为 U,匀强磁场的磁感应 强度为 B,粒子第一次进入 D 形金属盒Ⅱ,被电场加速 1 次,以后每次进入 D 形金属盒Ⅱ 都要被电场加速 2 次。粒子第 n 次进入 D 形金属盒Ⅱ时,已经被加速(2n-1)次。
1 由动能定理得(2n-1)qU= Mvn2。 2

??①
2 vn

第 n 次进入 D 形金属盒Ⅱ后,由牛顿第二定律得 qvnB=m

rn

?? ②

由①②两式得rn=

2(2n ? 1)qU m qB

??③

同理可得第 n+1 次进入 D 形金属盒Ⅱ时的轨道半径 rn+1=

2(2n ? 1)qU m qB

??④

所以带电粒子在 D 形金属盒内任意两个相邻的圆形轨道半径之比为

rn 2n ? 1 , ? rn?1 2n ? 1

可见带电粒子在 D 形金属盒内运动时,轨道是不等距分布的,越靠近 D 形金属盒的边缘, 相邻两轨道的间距越小。 (3)带电粒子在回旋加速器内运动,决定其最终能量的因素 由于 D 形金属盒的大小一定,所以不管粒子的大小及带电量如何,粒子最终从加速器 内设出时应具有相同的旋转半径。由牛顿第二定律得 qvnB=m
2 vn ??① rn

和动量大小存在定量关系 m vn= 2m Ekn ?? ②

由①②两式得 Ek n=

q 2 B 2 rn2 ??③ 2m

可见,粒子获得的能量与回旋加速器的直径有关,直径越大,粒子获得的能量就越大。 【例 3】一个回旋加速器,当外加电场的频率一定时,可以把质子的速率加速到 v,质 子所能获得的能量为 E,则: ①这一回旋加速器能把α 粒子加速到多大的速度? ②这一回旋加速器能把α 粒子加速到多大的能量? ③这一回旋加速器加速α 粒子的磁感应强度跟加速质子的磁感应强度之比为? 解:①由 qvnB=m
2 qBrn vn 得 vn= m rn

由周期公式 T 电= T ?

2?m m 得知,在外加电场的频率一定时, 为定值,结合④式得 qB qB

v? =v。
q 2 B 2 rn2 m 及 为定值得,在题设条件下,粒子最终获得动能与粒子质 qB 2m

②由③式 Ek n=

量成正比。所以α 粒子获得的能量为 4E。 ③由周期公式 T 电= T ?

B m q 2?m 得 ? ? ? H =2∶1。 qB BH mH q?

(4)决定带电粒子在回旋加速器内运动时间长短的因素 带电粒子在回旋加速器内运动时间长短, 与带电粒子做匀速圆周运动的周期有关, 同时 还与带电粒在磁场中转动的圈数有关。设带电粒子在磁场中转动的圈数为 n ,加速电压为 U 。 因 每 加 速 一 次 粒 子获 得 能 量 为 qU , 每 圈有 两 次 加 速 。 结 合 Ek n=

q 2 B 2 rn2 知, 2m

qB 2 rn2 q 2 B 2 rn2 2nqU= , 因 此 n= 4m U 2m qB 2 rn2 2?m ?Brn =nT= . = 。 4m U qB 2U
2

。所以带电粒子在回旋加速器内运动时间 t

3.带电微粒在重力、电场力、磁场力共同作用下的运动 (1)带电微粒在三个场共同作用下做匀速圆周运动。必然是电场力和重力平衡,而洛 伦兹力充当向心力。 【例 4】 一个带电微粒在图示的正交匀强电场和匀强磁场中在竖直面内 做匀速圆周运动。则该带电微粒必然带_____,旋转方向为_____。若已知圆 半径为 r,电场强度为 E 磁感应强度为 B,则线速度为_____。 解:因为必须有电场力与重力平衡,所以必为负电;由左手定则得逆时 针转动;再由 Eq ? m g和r ? m v 得v ? Brg Bq E

E B

(2) 与力学紧密结合的综合题, 要认真分析受力情况和运动情况 (包括速度和加速度) 。 必要时加以讨论。 【例 5】质量为 m 带电量为 q 的小球套在竖直放置的绝缘杆上,球与杆间的动 摩擦因数为μ 。匀强电场和匀强磁场的方向如图所示,电场强度为 E,磁感应强度 为 B。小球由静止释放后沿杆下滑。设杆足够长,电场和磁场也足够大, 求运动 过程中小球的最大加速度和最大速度。解:不妨假设设小球带正电(带负电时电场 力和洛伦兹力都将反向,结论相同)。刚释放时小球受重力、电场力、弹力、摩擦 力作用,向下加速;开始运动后又受到洛伦兹力作用,弹力、 摩擦力开始减小;当洛伦兹力等于电场力时加速度最大为 g。 随着 v 的增大,洛伦兹力大于电场力,弹力方向变为向右,且 不断增大,摩擦力随着增大,加速度减小,当摩擦力和重力大 小相等时,小球速度达到最大 v ? f qvB f Eq N mg vm

N

mg E ? 。 ?Bq B

mg

Eq v a

若将磁场的方向反向,而其他因素都不变,则开始运动后洛伦兹力向右,弹力、摩擦力

不断增大,加速度减小。所以开始的加速度最大为 a ? g ? 大,为 v ?

?Eq
m

;摩擦力等于重力时速度最

mg E ? 。 ?Bq B

二、综合例析 【例 6】如图所示,两个共轴的圆筒形金属电极,外电极接地,其上均匀分布着平行于 轴线的四条狭缝 a、b、c 和 d,外筒的外半径为 r,在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴 线方向的均匀磁场,磁感强度的大小为 B。在两极间加上电 压,使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为

m、带电量为+q 的粒子,从紧靠内筒且正对狭缝 a 的 S 点
出发,初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好 又回到出发点 S,则两电极之间的电压 U 应是多少?(不计 重力,整个装置在真空中) 解析:如图所示,带电粒子从 S 点出发,在两筒之间的电场作用下加速,沿径向穿过狭 缝 a 而进入磁场区, 在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。 粒子再回到 S 点的条件是能沿径向 穿过狭缝 d.只要穿过了 d,粒子就会在电场力作用下先减速,再反向加速,经 d 重新进入磁 场区,然后粒子以同样方式经过 c、b,再回到 S 点。设粒子进入磁场区的速度大小为 V, 根据动能定理,有

qU ?

1 mv 2 2

设粒子做匀速圆周运动的半径为 R,由洛伦兹力公式和牛顿第 二定律,有

Bqv ? m

v2 R
3 圆周,所以半径 R 必定等于筒 4

由前面分析可知,要回到 S 点,粒子从 a 到 d 必经过 的外半径 r,即 R=r.由以上各式解得;

U?

B 2 qr 2 . 2m

【例 7】如图所示,空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场 强大小为 E、方向水平向右,电场宽度为 L;中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为 B,方 向垂直纸面向里。一个质量为 m、电量为 q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的 O 点由静止开始运动,穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后,又回到 O 点,然后重复上述

运动过程。求:

(1)中间磁场区域的宽度 d; (2)带电粒子从 O 点开始运动到第一次回到 O 点所用时间 t. 解析:(1)带电粒子在电场中加速,由动能定理,可得: 带电粒子在磁场中偏转,由牛顿第二定律,可得:

qEL ?

1 2 mv 2

BqV ? m

V2 R

由以上两式,可得 R ?

1 2mEL 。 B q

可见在两磁场区粒子运动半径相同,如图 13 所示,三段圆弧的圆心组成的三角形 ΔO1O2O3 是等边三角形,其边长为 2R。所以中间磁场区域的宽度为

d ? R sin 600 ?

1 6mEL 2B q

(2)在电场中

t1 ?

2V 2mV 2mL , ? ?2 a qE qE
T 2?m ? 3 3qB 5 5?m T? , 6 3qB

在中间磁场中运动时间 t 2 ?

在右侧磁场中运动时间 t 3 ?

则粒子第一次回到 O 点的所用时间为

t ? t1 ? t 2 ? t 3 ? 2
三、针对训练

2mL 7?m 。 ? qE 3qB

1.带电粒子垂直进入匀强电场或匀强磁场中时粒子将发生偏转,称这种电场为偏转电 场,这种磁场为偏转磁场.下列说法错误的是(重力不计) A.欲把速度不同的同种带电粒子分开,既可采用偏转电场,也可采用偏转磁场 B.欲把动能相同的质子和α 粒子分开,只能采用偏转电场 C.欲把由静止经同一电场加速的质子和α 粒子分开,偏转电场和偏转磁场均可采用 D.欲把初速度相同而比荷不同的带电粒子分开,偏转电场和偏转磁场均可采用 2.目前,世界上正在研究一种新型发电机叫磁流体发电 机.如图所示, 表示了它的原理: 将一束等离子体喷射入磁场, 在场中有两块金属板 A、B,这时金属板上就会聚集电荷,产 生电压.如果射入的等离子体速度均为 v,两金属板的板长为 L,板间距离为 d,板平面的面积为 S,匀强磁场的磁感应强 度为 B,方向垂直于速度方向,负载电阻为 R,电离气体充 满两板间的空间.当发电机稳定发电时,电流表示数为 I.那么 板间电离气体的电阻率为 A.

S Bdv ( ? R) d I
S Bdv ( ? R) L I

B.

S BLv ( ? R) d I
S BLv ( ? R) L I

C.

D.

3.空间存在水平方向的匀强电场和匀强磁场,强度分别为 E=10 3 N/C,B=1 T,如 图所示.有一质量为 m=2.0×10-6 kg, 带正电 q=2.0×10-6 C 的微粒, 在此空间做匀速直线运 动,其速度的大小为________.方向为________.

4.如图所示,水平虚线上方有场强为 E1 的匀强电场,方向 竖直向下,虚线下方有场强为 E2 的匀强电场,方向水平向右;在 虚线上、下方均有磁感应强度相同的匀强磁场,方向垂直纸面向

外,ab 是一长为 L 的绝缘细杆,竖直位于虚线上方,b 端恰在虚线上,将一套在杆上的带 电小环从 a 端由静止开始释放, 小环先加速而后匀速到达 b 端, 环与杆之间的动摩擦因数μ =0.3,小环的重力不计,当环脱离杆后在虚线下方沿原方向做匀速直线运动,求: (1)E1 与 E2 的比值; (2) 若撤去虚线下方的电场, 小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆, 圆周半径为 环从 a 到 b 的过程中克服摩擦力做功 Wf 与电场做功 WE 之比有多大? 5.串列加速器是用来产生高能离子的装置。图中虚线框内为其主体的原理示意图,其 中加速管的中部 b 处有很高的正电势 U,a、c 两端均有电极接地(电势为零).现将速度很 低的负一价碳离子从 a 端输入, 当离子到达 b 处时, 可被设在 b 处的特殊装置将其电子剥离, 成为 n 价正离子.而不改变其速度大小。这些正 n 价碳离子从 c 端飞出后进入一与其速度方 向垂直的、磁感应强度为 B 的匀强磁场中,在磁场中做半径为 R 的圆周运动。已知碳离子 的质量 m=2.0×10-26 kg,U=7.5×105 V,B=0.5 T,n=2,基元电荷 e=1.6×10-19 C,求 R.

L , 3

6.如图所示,两块垂直纸面的平行金属板 A、B 相距 d=10.0 cm,B 板的中央 M 处有一 个α 粒子源,可向各个方向射出速率相同的α 粒子,α 粒子的荷质比 q /m=4.82×107 C/kg.为使所有α 粒子都不能达到 A 板,可以在 A、B 板间加一个电压,所加电压最小值是 U0=4.15×104 V;若撤去 A、B 间 的电压,仍使所有α 粒子都不能到达 A 板,可以在 A、B 间加一个垂直 纸面的匀强磁场,该匀强磁场的磁感应强度 B 必须符合什么条件?

参考答案 1.C 2.A

3.20 m/s;斜向上与电场强度方向成 60°角 4.(1)在虚线上方,球受电场力、磁场力、摩擦力作用,环最后做匀速运动,摩擦力 与电场力平衡 f=μ N=μ Bqv=fE=qE1 ① ②

在虚线下方环仍作做速运动,此时电场力与磁场力平衡 Bvq=qE2

联立以上两式得

E1 =μ =0.3 E2



(2)在虚线上方电场力做功 EE=qE1L ④ 摩擦力做功 Wf=WE-

1 2 mv ⑤ 2

在虚线下方,撤去电场后小环做匀速圆周运动 Bvq=

m v2 ⑥ L/3

①、⑥联立得

1 2 qE1 L mv = ⑦ 2 6?

1 1 2 qE L ? qE1 L 1? qE L ? mv 1 1 Wf 6 ? 6 ? 0.3 ? 4 2 ? ? ? WE qE1 L qE1 L 1 9



5.设碳离子到达 b 处时的速度为 v1,从 c 端射出时的速度为 v2,由能量关系得

1 mv12=eU 2 1 1 mv22= mv12=neU 2 2
进入磁场后,碳离子做圆周运动, 可得 nev2B=m





v2 R

2



由以上三式可得 R=

1 2m U(n ? 1) Bn 2



由④式及题给数值可解得 R=0.75 m

6. 设速率为 v,在电场力作用下最容易到达 A 板的是速度方向垂直 B 板的α 粒子 由动能定理得: qU=

1 2 mv 2

加磁场后,速率为 v 的α 粒子的轨道半径为 d/2,只要轨迹与 AB 板都相切的α 粒子打 不到板即可.与此对应的磁感应强度就是 B 的最小值.

因为:Bqv= m

v2 d /2
4 m U0 · =0.83 T d 2q

由上两式得:B=

即磁感应强度 B 应满足 B≥0.83 T 教学后记 带电粒子在复合场的运动是高考每年必考内容,且难度很高,分值也大,应该针对学生 情况,从常见的模型开始复习有关问题,帮助学生掌握带电粒子在复合场中的运动问题,学 会该类问题的一般分析方法。


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