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2.3.1抛物线及其标准方程


高中数学选修1-1

数学组

刘伟

投篮动画

复习:
与一个定点的距离和一条定直线的距离的 比是常数e的点的轨迹,
当0<e <1时, 是椭圆
l M

当e>1时, 是双曲线
l M

当e=1时, 它又是什么曲线 ?
l

F ·

F

·
e>1

·
M

动画

· F

0<e <1

e=1

一、定义
平面内与一个定点F和一 N 条定直线l的距离相等的点的 轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。

l
M

· F ·

定直线l 叫做抛物线的准线。
注意:定点 F 在定直线 l 外. 若定点 F 在定直线 l 上,得到的点的轨迹是什么? (过定点 F 与定直线 l 垂直的直线.)

二、标准方程
想 一 想 ? ?
l N
M

· · F

如何建立直角 坐标系?

二、标准方程
如图,我们取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴,垂足为 K,并使原点与 线段 KF 的中点重合,建立 直角坐标系 xOy
l

y

N K

M

o

· · F

x

二、标准方程
设︱KF︱= p (p>0) p p 则F( 2 ,0 ), l:x = 2 设点M的坐标为(x,y), y
l Nd
M

点M到l的距离为d 由定义可知,|MF|=d

K o

· · F

x

所以
化简得

p 2 p 2 (x ? ) ? y ? x ? 2 2

y2 = 2px(p>0)

方程 y2 = 2px(p>0)叫做 抛物线的标准方程
p 且焦点F( 2 ,0 ), 在 x 轴的正半轴上 p 准线l:x = - 2

其中 p 为正常数,它的几何意义是:

焦点到准线的距离

思考:
一条抛物线,由于它在坐标平面内 的位置不同,方程也不同,那么抛物线 的标准方程还有哪些其它形式?

不同位置的抛物线 图 形

﹒ ﹒ ﹒﹒
y

y

y

y

o

x

o

x

o

o

x

x

标准方程
焦点坐标 准线方程

y2=2px (p>0)
p F ( ,0) 2 p x =2

y2=-2px (p>0)
p F(- ,0) 2 p x= 2

x2=2py (p>0) p F (0, ) 2 p y =2

x2=-2py (p>0)
p F (0, - ) 2 p y= 2

问题:
根据上表中抛物线的标准方程与图形、焦 点坐标、准线方程的对应关系,如何判断抛物 线的焦点位置、开口方向?

第一:一次项的变量如果为x(或y),则 焦点就在对应的坐标轴上! “一次定轴”
第二:一次项的系数的符号决定了开口方向: 符号为正, 开口向正方向; 符号为负, 开口 向负方向. “符号定向”

例题讲解

例1:(1) 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,
求它的焦点坐标和准线方程;
3 3 F ( ,0) 准线方程是x ? ? 2 2

(2)已知抛物线的方程是y = -6x2, 求它的焦点坐标和准线方程;

例2: 已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它
的标准方程。

1 1 F (0, ? ) 准线方程是y ? 24 24

x ? ?8 y
2

例题讲解

例3:求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。
解:当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时, y 2 =2py, 把A(-3,2)代入x

9 得p= 4

A(-3,2)



当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px,

O

x

∴抛物线的标准方程为x2 =

9 4 y 或 y2 = ? x 2 3 待定系数法(先定型,后定量)

2 得p= 3



练习:
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:

(1)焦点是F(3,0); y2 =12x 1 (2)准线方程是 x = ? 4 ; y2 =x (3)焦点到准线的距离是2 . y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 、 x2 = -4y

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:

小结

(1)

y2 =

20x

(2)

2= 1 x

2

y

(3) 2y2 +5x =0 (1)

(4) x2 +8y =0
准线方程

焦点坐标 (5,0)
1 (0,—) 8 5 (- —,0) 8

x = -5
1 y=-— 8 5 x= — 8

(2)
(3) (4)

(0,-2)

y=2

3.抛物线x2=4y上的点P到焦点的距 离是10,求P点坐标.

小 结 :
本节主要内容 1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的 对应关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、 准线方程 3、求标准方程常用方法: (1)用定义 ; (2)用待定系数法。

课后作业:
课本 P64:A组 2、4 《考一本》:P40 .

例题讲解

例3、M是抛物线y2 = 2px(P>0)上一点,若点
M 的横坐标为X0,则点M到焦点的距离是

————————————

p X0 + — 2

p 2

y

x0 M

抛物线 y ? ?2 px
2

(p>0) 上任意一点P

p ? 2

O F

. .

x

( x0 , y0 ) 到焦点的
距离(称为焦半经) P 等于 | x0 | ? 2

例题讲解

例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:
x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程. y 分析:如图可知,原条件等 价于M点到F(4,0)和到 M (x , y) x=-4距离相等,由抛物 线的定义,点M的轨迹是 以F(4,0)为焦点,x= -5 -4 F(4,0) x -4为准线的抛物线.因为 p/2=4,所以p=8,所求方程是 y2=16x.


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