当前位置:首页 >> 高中教育 >>

【高三总复习】2013高中数学技能特训:8-7 圆锥曲线的综合问题(理)(人教B版) 含解析 Word版含答案]


8-7 圆锥曲线的综合问题(理) 基础巩固强化 x2 y2 1.(2012· 潍坊教学质量监测)椭圆 4 + 3 =1 的离心率为 e,点(1, e)是圆 x2+y2-4x-4y+4=0 的一条弦的中点,则此弦所在直线的方 程是( ) B.4x+6y-7=0 D.4x-6y-1=0

A.3x+2y-4=0 C.3x-2y-2=0 [答案] B

r />1 1 [解析] 依题意得 e=2,圆心坐标为(2,2),圆心(2,2)与点(1,2) 1 2-2 3 2 的连线的斜率为 =2,则所求直线的斜率等于-3,所以所求直线 2-1 1 2 方程是 y-2=-3(x-1),即 4x+6y-7=0,选 B. 2. (2012· 大连部分中学联考)已知抛物线 y2=2px(p>0), 过其焦点 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐 标为 2,则该抛物线的标准方程为( A.x=1 C.x=2 [答案] B p [解析] 令 A(x1,y1),B(x2,y2),因为抛物线的焦点 F(2,0),所 p p 以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x-2,即 x=y+2,将其代入 y1+y2 p y2=2px=2p(y+2)=2py+p2,所以 y2-2py-p2=0,所以 2 =p= 2,所以抛物线的方程为 y2=4x,准线方程为 x=-1,故选 B. ) B.x=-1 D.x=-2

3.(2011· 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学 y2 一模)已知双曲线 x - 3 =1 的左顶点为 A1, 右焦点为 F2, P 为双曲线
2

→ → 右支上一点,则PA1· PF2的最小值为( A.-2 C.1 [答案] A

) 81 B.-16 D.0

→ → [解析] 由已知得 A1(-1,0), F2(2,0). 设 P(x, y)(x≥1), 则PA1· PF2 =(-1-x,-y)· (2-x,-y)=4x2-x-5.令 f(x)=4x2-x-5,则 f(x) → → 在 x≥1 上单调递增,所以当 x=1 时,函数 f(x)取最小值,即PA1· PF2 取最小值,最小值为-2. 4.(2011· 大纲全国理,10)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直 线 y=2x-4 与 C 交于 A、B 两点,则 cos∠AFB=( 4 A.5 3 C.-5 [答案] D [解析]
2 ? ?y =4x, 方法一:联立? ? ?y=2x-4.

)

3 B.5 4 D.-5

? ? ?x=4, ?x=1, 解得? 或? 不妨设 A 在 x 轴上方, ?y=4, ? ? ?y=-2.

∴A(4,4),B(1,-2), → → ∵F 点坐标为(1,0),∴FA=(3,4),FB=(0,-2),

→ → -8 FA· FB 4 cos∠AFB= → → = =-5. 5×2 |FA|· |FB| 方法二:同上求得 A(4,4),B(1,-2),|AB|=3 5,|AF|=5,|BF| =2, 由余弦定理知, |AF|2+|BF|2-|AB|2 4 cos∠AFB= =- 2· |AF|· |BF| 5. 5.设 F 是抛物线 C1:y2=2px(p>0)的焦点,点 A 是抛物线 C1 与 x2 y2 双曲线 C2:a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的一个公共点,且 AF ⊥x 轴,则双曲线的离心率为( A.2 5 C. 2 [答案] D p [解析] 由题意可知,抛物线 C1 的焦点为 F(2,0),因为 AF⊥x p p p 轴,则 A(2,± p),不妨取 A(2,p),则双曲线 C2 的渐近线的斜率为p= 2 b b ,∴ a a=2, c2-a2 ∴ a2 =4,∴e2=5,∴e= 5. x2 y2 6.(2011· 海南一模)若 AB 是过椭圆a2+b2=1(a>b>0)中心的一条 弦,M 是椭圆上任意一点,且 AM、BM 与两坐标轴均不平行,kAM、 kBM 分别表示直线 AM、BM 的斜率,则 kAM· kBM=( ) ) B. 3 D. 5

c2 A.-a2 c2 C.-b2 [答案] B

b2 B.-a2 a2 D.-b2

[解析] 解法一(直接法):设 A(x1,y1),M(x0,y0),则 B(-x1, -y1),
2 y0-y1 y0+y1 y0 -y2 1 kAM· kBM= · = 2 2 x0-x1 x0+x1 x0-x1

b2 2 b2 2 2 ?-a2x0+b ?-?-a2x1+b2? b2 = =-a2. 2 x2 0-x1 解法二(特殊值法): 因为四个选项为确定值, 取 A(a,0), B(-a,0), b2 M(0,b),可得 kAM· kBM=-a2. 7.(2012· 安徽文,14)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物 线于 A、B 两点.若|AF|=3,则|BF|=________. 3 [答案] 2 [解析] 本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系. 解法 1:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3 及抛物线定义可知 2 2-0 x1+1=3,x1=2,∴A(2,2 2),则直线 AF 斜率为 k= =2 2, 2-1 所以 AB 方程为 y=2 2(x-1),
2 ? ?y =4x, 由? 联立消去 y 得,2x2-5x+2=0, ?y=2 2?x-1?, ?

1 1 解之得 x1=2,x2=2,∴B(2,- 2),

1 3 所以|BF|=x2+1=2+1=2. 解法 2:如图,l 为抛物线的准线,

AA1⊥l 于 A1,BB1⊥l 于 B1,BM⊥AA1 于 M,交 FO 于 N, 则由△BFN △BAM 得, 2-|BF| |BF| 3 = ,∴|BF|=2. |BF|+3 3-|BF| y2 8.设直线 l:y=2x+2,若 l 与椭圆 x + 4 =1 的交点为 A、B,
2

点 P 为椭圆上的动点,则使△PAB 的面积为 2-1 的点 P 的个数为 ________. [答案] 3 [解析] 设与 l 平行且与椭圆相切的直线方程为 y=2x+b,代入 y2 x + 4 =1 中消去 y 得,8x2+4bx+b2-4=0,
2

由 Δ=16b2-32(b2-4)=0 得,b=± 2 2, 显见 y=2x+2 与两轴交点为椭圆的两顶点 A(-1,0),B(0,2), 2 2-2 ∵直线 y=2x+2 2与 l 距离 d= , 5

2 2-2 1 5 ∴欲使 S△ABP=2|AB|· h= 2 h= 2-1, 须使 h= , ∵d=h, 5 ∴直线 y=2x+2 2与椭圆切点,及 y=2x+4-2 2与椭圆交点均满 足,∴这样的点 P 有 3 个. x2 y2 9.已知 F 是椭圆a2+b2=1(a>0,b>0)的左焦点,若椭圆上存在 2π 点 P, 使得直线 PF 与圆 x2+y2=b2 相切, 当直线 PF 的倾斜角为 3 时, 此椭圆的离心率是________. [答案] 2 7 7

[解析] 解法 1:设直线 PF 与圆 x2+y2=b2 的切点为 M,则依题 2π 意得 OM⊥MF,∵直线 PF 的倾斜角为 3 , π π b 3 c c ∴∠OFP=3,∴sin3=c= 2 ,椭圆的离心率 e=a= 2 = c +b2 1 b 1+?c?2 = 1 3 1+? 2 ?2 2 7 = 7 .

解法 2:依题意可知 PF:y=- 3(x+c)(c= a2-b2), 3c 3 c2 2 又 O 到 PF 的距离为 b,即 2 =b,∴ 4 =b =a2-c2, c 2 7 ∴4a2=7c2,∴e=a= 7 . 10.(2012· 昆明一中测试)过抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点 F 作 直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点,当点 A 的纵坐标为 1 时,|AF|= 2. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若直线 l 的斜率为 2,问抛物线 C 上是否存在一点 M,使得

MA⊥MB,并说明理由. [解析] 离, p ∴1+2=2,∴p=2, ∴抛物线 C 的方程为 x2=4y. p (1)由抛物线的定义得|AF|等于点 A 到准线 y=-2的距

(2)抛物线 C 的焦点为 F(0,1),直线 l 的方程 y=2x+1,
2 x2 x2 x2 1 0 设点 A、B、M 的坐标分别为(x1, 4 )、(x2, 4 )、(x0, 4 ), 2 ? ?x =4y, 由方程组? 消去 y 得,x2=4(2x+1), ?y=2x+1. ?

即 x2-8x-4=0, 由韦达定理得 x1+x2=8,x1x2=-4. → → ∵MA⊥MB,∴MA· MB=0,
2 2 2 2 x1 x0 x2 x0 ∴(x1-x0)(x2-x0)+( 4 - 4 )( 4 - 4 )=0,

1 ∴(x1-x0)(x2-x0)+16(x1-x0)(x2-x0)(x1+x0)(x2+x0)=0. ∵M 不与 A,B 重合,∴(x1-x0)(x2-x0)≠0, 1 2 ∴1+16(x1+x0)(x2+x0)=0,x1x2+(x1+x2)x0+x0 +16=0,

∴x2 0+8x0+12=0,∵Δ=64-48>0.
2 ∴方程 x0 +8x0+12=0 有解,即抛物线 C 上存在一点 M,使得

MA⊥MB. 能力拓展提升 11.(2011· 新课标全国文,9)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A、B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上 一点,则△ABP 的面积为( A.18 C.36 [答案] C
?p ? p [解析] 设抛物线为 y2=2px,则焦点 F?2,0?,准线 x=-2,由 ? ?

) B.24 D.48

|AB|=2p=12,知 p=6,所以 F 到准线距离为 6,所以三角形面积为 1 S=2×12×6=36. x2 y2 12.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1、F2, → → → → → P 为右支上一点, 点 Q 满足F1Q=λ1QP(λ1>0)且|F1Q|=2a, F2T=λ2TQ, → → PT· F2Q=0,则|OT|的值为( A.4a C.a [答案] C [解析] 由题知 Q、F1、P 三点共线,F2、T、Q 三点共线. ∵|PF1| -|PF2|=2a=|F1Q|,∴|PQ|=|PF2|,又 PT⊥QF2,∴T 为等腰三角形 QPF2 底边 QF2 的中点,连接 OT,则 OT 为△F1QF2 的中位线,所以 ) B.2a a D.2

|OT|=a. 13.(2011· 海南五校联考)已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,准线与 3 y 轴的交点为 M,N 为抛物线上的一点,且|NF|= 2 |MN|,则∠NMF =________. [答案] 30° [解析] 作 NH 垂直于准线于 H,由抛物线的定义得 |NH|=|NF|, |NH| |NF| 3 ∴|MN|=|MN|= 2 =sin∠HMN, 得∠HMN=60° , ∴∠NMF=90° -60° =30° . 14.(2012· 山东苍山县期末)已知圆 C:x2+y2-6x-4y+8=0, 以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合 上述条件的双曲线的标准方程为________. x2 y2 [答案] 4 -12=1 [解析] 在⊙C 方程中,令 x=0 得 y2-4y+8=0 无解,令 y=0 得 x2-6x+8=0,∴x=2 或 4,故双曲线方程中 a=2,c=4,∴b2 =c2-a2=12, x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 4 -12=1. x 2 y2 15.(2011· 安徽模拟)点 A、B 分别为椭圆36+20=1 长轴的左、 右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PA ⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点, M 到直线 AP 的距离等于|MB|,

求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值. [解析] (1)由已知可得点 A(-6,0),F(4,0),设点 P 的坐标是(x, → → y),则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y).

? x + y =1, 由已知得?36 20 ??x+6??x-4?+y2=0.
3 消去 y 得,2x2+9x-18=0,∴x=2或 x=-6, 3 5 3 由于 y>0,只能 x=2,于是 y= 2 , 3 5 3 所以点 P 的坐标是(2, 2 ). (2)直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0. 设点 M 的坐标是(m,0),则 M 到直线 AP 的距离是 |m+6| |m+6| ,于是 2 2 =|m-6|, 又-6≤m≤6,解得 m=2. ∵椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离是 d, 5 ∴d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-9x2 4 9 =9(x-2)2+15, 9 由于-6≤x≤6,所以当 x=2时 d 取最小值 15. → 16.(2012· 吉林省实验中学模拟)如图所示,在△DEM 中,ED ⊥ → → → 1 → → EM,OD=(0,-8),N 在 y 轴上,且DN=2(DE+DM),点 E 在 x 轴 上移动.

2

2

(1)求点 M 的轨迹方程; (2)过点 F(0,1)作互相垂直的两条直线 l1、l2,l1 与点 M 的轨迹交 → → 于点 A、B,l2 与点 M 的轨迹交于点 C、Q,求AC· QB的最小值. [解析] (1)设 M(x,y),E(a,0),由条件知 D(0,-8), ∵N 在 y 轴上且 N 为 EM 的中点,∴x=-a, → → → → ∵ED⊥EM,∴ED· EM=(-a,-8)· (x-a,y)=-a(x-a)-8y= 2x2-8y=0,∴x2=4y(x≠0), ∴点 M 的轨迹方程为 x2=4y(x≠0). (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),Q(x4,y4),直线 l1:y=kx 1 +1(k≠0),则直线 l2:y=-kx+1,
?y=kx+1, ? 由? 2 消去 y 得,x2-4kx-4=0, ? ?x =4y,

∴x1+x2=4k,x1x2=-4,

?y=-1x+1, k 由? ?x2=4y,

4 消去 y 得,x2+k x-4=0,

4 ∴x3+x4=-k,x3x4=-4. ∵A、B 在直线 l1 上,∴y1=kx1+1,y2=kx2+1,

1 1 ∵C、Q 在直线 l2 上,∴y3=-k x3+1,y4=-k x4+1. → → ∴AC· QB=(x3-x1,y3-y1)· (x2-x4,y2-y4) =(x3-x1)(x2-x4)+(y3-y1)· (y2-y4) 1 1 =(x3-x1)(x2-x4)+(-kx3-kx1)(kx2+kx4) 1 =x3x2-x1x2-x3x4+x1x4-x2x3-k2x1x2-k2x3x4-x1x4 1 1 = (- 1- k2)x1x2+ (- 1-k2)x3x4= 4(1+k2)+ 4(1+k2)= 8+ 4(k2+ 1 1 2 2)≥16 等号在 k = 2时取得, k k → → 即 k=± 1 时成立.∴AC· QB的最小值为 16. 1.(2011· 辽宁沈阳二中检测)已知曲线 C:y=2x2,点 A(0,-2) 及点 B(3,a),从点 A 观察点 B,要使视线不被曲线 C 挡住,则实数 a 的取值范围是( A.(4,+∞) C.(10,+∞) [答案] D [解析] 过点 A(0,-2)作曲线 C:y=2x2 的切线,设方程为 y= kx-2,代入 y=2x2 得, 2x2-kx+2=0,令 Δ=k2-16=0 得 k=± 4, 当 k=4 时,切线为 l, ∵B 点在直线 x=3 上运动,直线 y=4x-2 与 x=3 的交点为 M(3,10),当点 B(3,a)满足 a≤10 时,视线不被曲线 C 挡住,故选 D. ) B.(-∞,4] D.(-∞,10]

2.(2011· 海南五校联考)如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A、 D 为双曲线的两个焦点,其余 4 个顶点都在双曲线上,则该双曲线的 离心率是( )

A. 3+1 C. 3 [答案] A

B. 3-1 D. 2

[解析] 设正六边形的边长为 1,则 AE= 3,ED=1, AD=2,∴2a=AE-ED= 3-1,2c=AD=2, 2c ∴e=2a= 2 = 3+1. 3-1

x2 y2 x2 y2 3.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)、双曲线a2-b2=1 和抛物线 y2= 2px(p>0)的离心率分别为 e1、e2、e3,则( )

A.e1e2>e3 C.e1e2<e3 [答案] C

B.e1e2=e3 D.e1e2≥e3

a2-b2 [解析] 对于椭圆 c= a -b ,∴e1= a ,对于双曲线 c=
2 2

a2+b2 a +b ,∴e2= a ,
2 2

a4-b4 ∴e1e2= a2 =
? ?

?b? 1-?a?4, ? ?

?b? ∵a>b>0,∴0<?a?4<1,∴e1e2<1=e3.

4.已知以 F1(-2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为( A.3 2 C.2 7 [答案] C [解析] x2 y2 根据题意设椭圆方程为 2 + 2=1(b>0),则将 x=- b +4 b B.2 6 D.4 2 )

3y-4 代入椭圆方程得, 4(b2+1)y2+8 3b2y-b4+12b2=0, ∵椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个公共点, ∴Δ=(8 3b2)2-4×4(b2+1)(-b4+12b2)=0, 即(b2+4)(b2-3)=0,∴b2=3, 长轴长为 2 b2+4=2 7,故选 C. x2 y2 5.已知双曲线a2-b2=1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F

且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲

线离心率的取值范围是( A.(1,2] C.[2,+∞) [答案] C [解析]

) B.(1,2) D.(2,+∞)

b ∵渐近线 l1:y=ax 与过焦点 F 的直线 l 平行,或渐近线 l1 从该 位置绕原点按逆时针旋转时,直线 l 与双曲线的右支交于一个点. b ∴a≥ 3,即 c2=a2+b2≥4a2,∴e≥2,故选 C. x2 2 6.已知椭圆 C:a2+y =1(a>1)的上顶点为 A,左、右焦点为 F1、 F2,直线 AF2 与圆 M:x2+y2-6x-2y+7=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆内存在动点 P,使|PF1|、|PO|、|PF2|成等比数列(O 为坐 → → 标原点),求PF1· PF2的取值范围. [解析] (1)圆 M:x2+y2-6x-2y+7=0 化为(x-3)2+(y-1)2= 3, 则圆 M 的圆心为 M(3,1),半径 r= 3. 由 A(0,1),F2(c,0),(c= a2-1),得直线 AF2:

x c+y=1, 即 x+cy-c=0, |3+c-c| 由直线 AF2 与圆 M 相切,得 = 3, c2+1 解得 c= 2或 c=- 2(舍去). x2 2 则 a =c +1=3,故椭圆 C 的方程为: 3 +y =1.
2 2

(2)由(1)知 F1(- 2,0)、F2( 2,0),设 P(x,y), 由题意知|PO|2=|PF1|· |PF2|, 即( x2+y2)2= ?x+ 2?2+y2· ?x- 2?2+y2, 化简得:x2-y2=1,则 x2=y2+1≥1. x2 2 x2 2 因为点 P 在椭圆内,故 3 +y <1,即 3 +x -1<1, 3 3 ∴x2<2,∴1≤x2<2, → → 又PF1· PF2=x2-2+y2=2x2-3, → → ∴-1≤PF1· PF2<0.

版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)


相关文章:
【高三总复习】2013高中数学技能特训:8-7 圆锥曲线的综合问题(理)(人教B版) 含解析 Word版含答案]
【高三总复习】2013高中数学技能特训:8-7 圆锥曲线的综合问题(理)(人教B版) 含解析 Word版含答案]_高中教育_教育专区。【高三总复习】2013高中数学技能特训:8...
【高三总复习】2013高中数学技能特训:8-7 圆锥曲线的综合问题(理)(人教B版) 含解析
【高三总复习】2013高中数学技能特训:8-7 圆锥曲线的综合问题(理)(人教B版) 含...x-1?, ? 1 1 解之得 x1=2,x2=2,∴B(2,- 2), 1 3 所以|BF|...
【高三总复习】2013高中数学技能特训:8-7 圆锥曲线的综合问题(理)(人教B版) 含解析
【高三总复习】2013高中数学技能特训:8-7 圆锥曲线的综合问题(理)(人教B版) 含...的距离是 |m+6| |m+6| ,于是 2 =|m-6|, 2 又-6≤m≤6,解得 ...
【高考总复习必备】2013年高考数学闯关密练特训8-7圆锥曲线的综合问题(理)新人教A版(含解析)
【高考总复习必备】2013年...1/2 相关文档推荐 ...高中数学圆锥曲线圆锥曲线... 10页 免费 解圆锥曲线...练特训8-7圆锥曲线的综合问题(理)人教A版(含...
【高三总复习】8-7 圆锥曲线的综合问题(理)(人教B版) 含解析
【高三总复习】8-7 圆锥曲线的综合问题(理)(人教B版) 含解析_数学_高中教育...x-1?, ? 1 1 解之得 x1=2,x2=2,∴B(2,- 2), 1 3 所以|BF|=...
高考数学闯关密练特训8-7圆锥曲线的综合问题(理)新人教A版(含解析)
【高考总复习必备】2013... 暂无评价 11页 1下载...​新​人​教​A​版​(​含​解...8-7 圆锥曲线的综合问题(理) 闯关密练特训 1.(...
【高三总复习】2013高中数学技能特训:7-8用向量方法求角与距离(理)(人教B版) 含解析
【高三总复习】2013高中数学技能特训:7-8用向量方法...角与距离(理)(人教B版) 含解析_数学_高中教育_...解之得? ?-ay+a=0. ?y=1. ? ? (2012· ...
【高三总复习】2013高中数学技能特训:7-8用向量方法求角与距离(理)(人教B版) 含解析 Word版含答案]
【高三总复习】2013高中数学技能特训:7-8用向量方法求角与距离(理)(人教B版) 含解析 Word版含答案]_高中教育_教育专区。【高三总复习】2013高中数学技能特训:...
【高三总复习】2013高中数学技能特训:5-3数列的综合问题与数列的应用(人教B版) 含解析 Word版含答案]
【高三总复习】2013高中数学技能特训:5-3数列的综合问题与数列的应用(人教B版) 含解析 Word版含答案]_高中教育_教育专区。【高三总复习】2013高中数学技能特训:...
更多相关标签: