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直线的倾斜角与斜率(教学设计)


2014 年全国中职学校“创新杯”教师信息化教学设计和说课大赛

8.2.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计方案

2014 年 11 月

《8.2.1 直线的倾斜角与斜率》教学设计方案
【授课对象】 计算机网络专业二年级学生 【教 材】 《数学》 (基础模块)下册 (主编:李广全 李尚志 高等教育出版社出版)

【教学内容】 直线的方程——直线的倾斜角与斜率 【授课类型】 课堂教学 【授课时间】 1 课时 【教材分析】 直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一,是以坐标化(解析化)的方式来研究直线的 相关性质的重要基础。直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程,还是研究两条 直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要的作用。因此, 正确理解直线斜率的概念,熟练掌握直线的斜率公式是学好这一章的关键。 【学情分析】 教学对象是计算机网络专业二年级的学生。他们思维活跃,勇于挑战,且具有一定的网络知识, 但数学基础相对薄弱。在教学中,我力求将数学与专业相结合,充分利用《几何画板》等信息化手 段去帮助学生理解、掌握本节课内容。 【教学目标】 根据中职数学新大纲的要求,结合学生的实际情况,确立了如下的教学目标: (一)知识目标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2. 掌握直线的斜率公式及应用。 (二)能力目标 通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程,培养学生观察、分析和概括的能力。 (三)情感目标 通过合作探索,互相交流,增强团队意识,培养协作能力。 【教学重难点】 重点:直线的倾斜角和斜率的概念, 直线斜率公式及其应用; 难点:斜率公式的推导。

突破难点的关键:充分利用数形结合,并引导学生分类讨论问题。 【教学策略】 1.教学方法:问题探究法 课前下发导学提纲,学生预习提出问题,课上通过任务展示、问题交流、小组竞赛的形式引导 学生自主学习。 2.学习方法:小组合作、自主探究 按照强弱搭配的原则将学生分为 5 个小组,通过讨论交流共同完成学习任务。 3.评价方法:综合评价 尊重学生个体差异,关注学习过程中学生的表现和变化,通过自评、互评和师评对学生进行全 面动态的评价,使合作学习更加富有成效。 【教学设备】 多媒体投影仪,电脑,素描纸,展示板,自制教具。 【设计思路】 首先,通过生活实例,把数学植根于生活。教具的制作,锻炼了学生的动手能力和学习热情。 通过课前导学及微课引导学生自主探究是完成教学任务的主要环节,课上再通过 ppt、 《几何画板》 等信息化手段化解难点。

【教学过程】 教 学 环 节 一、课前导学提纲
【学习目标】 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2. 会求直线的斜率: (1)根据直线的倾斜角求斜率 (2)根据直线上两点的坐标求斜率 【课前准备】 1. 举出生活中可以抽象为直线的物体: (1)上网搜集图片 (2)手机拍摄图片 教师根据本课的知识点和学生的计算机 专业水平设计课前导学提纲,学生分小组完成 任务,将搜集到的实例、制作的教具准备好, 并把学习过程中存在的问题在规定时间内发 至班级的 qq 群里. 设计目的: 1.让学生带着问题有目的地预习; 2.提高学生的观察能力和搜集信息的能 力; 3.培养学生的动手实践能力; 4. 通过小组合作完成任务,培养学生的 团结协作的精神; 5. 通过课前问题汇总,让课堂真正成为 6. 已知直线上两个点的坐标,如何求直线的 斜率? 解 决学生问题的平台. 按照组内强弱搭配,组间能力均衡的原则 将学生分为 5 个小组.

设 计 思 路

2. 画图说明什么叫直线的倾斜角? 3. 制作两条直线相交的教具,说一说直线的 倾斜角的取值范围是什么? 4. 什么叫做直线的斜率?用什么符号表示? 5. 填表:

【问题汇总】 学生将预习中存在的问题发送到班级 QQ 群里, 大家共同探讨。 (直线的倾斜角的定义及范围 可从群共享里查看微课帮助预习)

二、课上教学环节 (一)知识回顾(用时约 5 分钟)
1.两点间的距离公式 按照学号顺序,每次课由一名同学充当复 习“小老师” ,带领同学们复习。小老师根据

教 学 环 节
2.线段中点的坐标公式

设 计 思 路
上节课所讲的内容进行提问,让同学们解答或 板演,并进行评分。复习之后,大家对“小老 师”的表现也作评价并适当加分。最后,教师

(二)情境导入(用时约 2 分钟)
先由各组学生展示课前搜集到的生活中可以抽 象为直线的例子,然后让学生观察我市某斜拉桥的 图片,说一说斜拉索的倾斜程度是否相同?

再作补充讲解。这样设计,不仅复习了上节课 的知识,而且使学生的语言组织能力和表达能 力得到了很好的锻炼,为将来就业打下了良好 的基础。

学生在课前分组搜集生活中跟直线有关 的例子,课上与其他组同学分享交流,培养了 学生的观察能力和搜集信息的能力, 同时让 学生体会到数学在生活中无处不在。 教师用投影展示学生比较熟悉的我市某 斜拉桥的图片,让学生观察后思考问题,由生

(三)学习目标(用时约 1 分钟)
学习新课之前,给出本节课的学习目标: 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2. 掌握直线的斜率公式.

活中反映倾斜程度的问题过渡到数学中直线 的倾斜程度问题,进而引出课题。

(四)自主探究(用时约 15 分钟)
问题1. 画图说明什么叫直线的倾斜角? 在学习新课之前,将本节课的学习目标出 示给学生, 让学生做到有目标, 有方向地学习。

提前准备几张白纸,要求分别画出倾斜角 是锐角、直角、钝角、零角的直线并标出倾斜 角,组内成员共同讨论完成并通过抽签选出一 问题 2. 直线的倾斜角的取值范围是什么?
0? ≤ ? ? 180?

组到前面展示。再让一名学生说出直线的倾斜 角的定义,并找出关键的词,促使学生清晰地 理解定义。

教 学 环 节

设 计 思 路

学生利用课前自制的体现两条直线相交 的模型,在教师指导下将其中一条线视为直角 坐标系中的x轴,演示观察倾斜角的变化,并 说出倾斜角的范围。 教师再利用《几何画板》进一步演示,并 对倾斜角能否等于180 进行提问。
0

问题 3. 什么叫做直线的斜率?用什么符号表 示?

k ? tan ? (? ? 90? )

这样,学生就会更加准确地得出倾斜角的 取值范围。

学生了解了直线的倾斜角的定义以及取 值范围之后,教师提问:是不是只有倾斜角才 能刻画直线的倾斜程度呢?自然引出下一个 问题:让学生体会斜率与倾斜角之间的关系。 学生在求 tan120? 时可能会遇到困难,这 时,我让会做的一名同学在黑板上写出求解过 程并讲解,如果学生都不会,我再讲解。做此 题的目的也是为后面推导斜率公式作一个铺 垫。

问题 4 是本节课的难点,课上可以先让学 生小组讨论,然后请一名同学上台结合倾斜角 问题 4. 已知直线上两个点的坐标, 如何求直线 的斜率? 是锐角的图示进行讲解和推导,得出方法后, 再让学生讨论倾斜角是钝角的情况,若仍然没 有思路时,这时教师可以引导学生从直线倾斜

教 学 环 节

设 计 思 路
角的定义入手,结合图形给出如下提示:

图(1)

图(2)

之后教师再给出直线上两点的横坐标相 等和纵坐标相等的两种特殊情况让学生探讨, 得出斜率不存在和斜率为零的结论。

本环节采用“数形结合”的方法,分四种 情况研究了斜率公式,环环相扣的设计起到了 分散难点的作用,同时培养学生学会有条理的 图(3) 思考问题。

图(4)

教 学 环 节 (五)反馈练习(用时约 15 分钟)
1.热身训练 判断题(每题 1 分)

设 计 思 路

反馈练习分为两部分,第一部分是热身训 练,以抢答的形式给出,让学生通过判断理解 直线的倾斜角和斜率的概念,熟悉求斜率的两 ) 种方法。 ) 这个环节使用了计时器和计分器,要求抢 ) 到题的小组在规定时间内作答,营造出紧张有 序的比赛氛围;答题完毕后,教师利用计分器

(1)任意一条直线都有倾斜角.( (2)任意一条直线都有斜率.(

(3) 直线的倾斜角的顶点有可能在 y 轴上.( (4)倾斜角越大,斜率越大.(
?

) 给答对的小组加分,这样设计既活跃了课堂气 氛,也增强了组与组之间的竞争意识。

(5)若直线的倾斜角为 30 ,则该直线的斜率 为

1 . ( 2



(6)已知直线的斜率为 1,则该直线的倾斜角 为 45? .( )

( 7 )已知直线上两点 P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 且 x1 ? x2 ,则 k ?
y1 ? y2 . x1 ? x2



) 合作展示环节采用抽签的形式进行,抽到

2. 合作展示 根据下列各直线满足的条件,分别求直线的斜 率: (每题2分) (1)倾斜角 ? 为 135? ; (2)倾斜角 ? 为

题的小组在规定时间内讨论完成后,教师随意 抽取该小组一名同学上台板演并讲解。这样设 计可以充分发挥小组学习的作用,提高组内成 员主动参与讨论的热情。并通过组间互评,教 师讲评进一步加深学生对知识的理解。 此环节设计的题目在课本例 1的基础上对 题型进行了变换和丰富,难度由浅入深,加深 学生对直线的斜率与倾斜角概念的理解,考查

π ; 3

(3)过点 A(?2, 2) , B (3, ?1) ; (4)过点 P (?1,5) ,且平行于 x 轴; (5)过点 P(2,3) ,且平行于 y 轴.

学生对公式的灵活运用程度。 通过反馈练习,学生对倾斜角和斜率之间 的关系有了更深一步的理解。

这时教师提出问题:已知任意一条直线的

教 学 环 节 (六) 拓展延伸(用时约2分钟)
已知直线 l 的斜率 k ? 3.5 ,求它的倾斜角?

设 计 思 路
斜率,你都能求出它的倾斜角吗? 进而将问题拓展延伸,这个问题我让学生 利用专业知识课下编程解决。

(七) 小结与评价(用时约3分钟)
1. 知识要点:

课堂小结由学生完成,先让学生说一说这 节课学了哪些概念和公式,在运用公式的过程 中有哪些需要注意的问题,教师出示本节课知 识要点,并引导学生探讨倾斜角不同时斜率相 应的变化。 接着,再对倾斜角和斜率的关系作补充说 明,直线的倾斜角和斜率都是刻画直线的倾斜 程度的,但前者是从形的角度来刻画的,后者 是从数的角度来刻画的。而解析几何是用代数 的方法来研究几何问题的,因此,我们要重点

2.倾斜角与斜率的关系: k ? tan ?

研究直线的斜率。向学生渗透解析几何的思想 和方法。 最后,再由课代表对各小组的课上表现作

3.有了直线的倾斜角来刻画直线的倾斜程度,为 什么还要引入斜率?

点评并公布本节课的优秀小组。

(八) 布置作业(用时约 2 分钟)
1.课本50页练习8.2.1 2.探究黑板的对角线相对黑板下边的倾斜角和 斜率. 3. 按小组上网查找方法解决拓展延伸的问

作业分为巩固练习、实际应用、拓展延伸 和预习新知四方面,将课内成果引向课外,让 学生学以致用。

题,下节课演示并讲解. 4.结合导学案预习 8.2.2 直线的点斜式方程与

教 学 环 节
斜截式方程.

设 计 思 路

【板书设计】
8.2.1 直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角的概念 2.直线的倾斜角的取值范围 3.直线的斜率

k ? tan ? (? ? 90? )
k? y2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

( 学生展示区 )

( 复习)

【教学反思】
1.导学提纲、教师微课、生活实例、问题设置,体现教师的 “导” ; 2.自制教具、小组合作与竞赛、问题探究等,突出学生的 “学” ; 3.通过讨论提出问题、共同探究解决问题,展示小组的“议” ; 4.复习小老师、小组代表展示板演,训练学生的“讲” ; 5.热身、反馈、总结、评价,利用专业知识解决数学问题,强化学生的“练” 。 总之,导学议讲练五环,环环相扣;再加上几何画板软件、计时器与计分器的使用,生动形象、 激发学生兴趣。信息化手段还可以多元化,这是我今后努力的方向。 我的说课到此结束,请各位评委老师多多指正。

附表: 数学课堂活动评价表
班级: 姓名: 得分:
等级(权重)分 评价项目 评价标准 优 秀 良 好 一 般 较 差

时间:
自我 评价 小组 评价 教师 评价

课前任务 课堂纪律 课堂表现 小组活动 知识技能

能主动预习并提出问题(15 分) 认真听讲,遵守纪律(15 分) 积极讨论,勇于发言(20 分) 团结协作,互帮互助(15 分) 理解倾斜角及斜率的定义 (15 分) 会求直线的斜率(20 分) 满分 15 分时: 13—15 分(优秀) 、10—12 分(良好) 、7—9 分(一般) 、6 分以下(较差) ,

备注 满分 20 分时: 18—20 分(优秀) 、14—17 分(良好) 、10—13 分(一般) 、9 分以下(较差)


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