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GPS动态数据处理中的快速Kalman滤波算法


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第 2 3卷 第 3期 
20 0 6年 6月 

测 绘 科 学 技 术 学 报 

、  

Vo   3 NO 3 L2   .  

J u n l fZ e g h u I siu eo  ure ig a

d M a pn   o r a    h n z o  n tt t  fS v yn  n   p ig o

J n 2 0  u. 06

文 章 编 号 : 6 36 3 ( 0 6 0 — 1 10   1 7 — 3 8 2 0 ) 30 7 — 3

G S动 态 数 据 处 理 中 的快 速 Ka n滤 波 算 法  P l ma
郭 树 人  ,郭 海 荣  ,何 海 波  ,李 献球  ,李 彦 
(. 京跟 踪 与 通 信 技 术 研 究 所 ,北 京  1 0 9 ; . 息工 程 大学 测绘 学 院 , 南 郑 州 1北 004 2信 河 3武汉大学 测绘学院 , 北 武汉 . 湖 405 ; 50 2  4 0 7 ; . 18 部 队 , 京  10 9 ;5 6 1 309 460 1 北 0 0 4 . I 2部 队 , 京  10 8 ) 5 北 0 0 8 

摘 要 : 据 GP 根 S数 据 处 理 中 的 K l a am n滤 波 状 态 转 移矩 阵 和 设 计 矩 阵大 量 存 在 零 元 素 的 特 点 , 其 构 造 成 特  将 定 稀 疏 矩 阵 。再 利 用 稀 疏 矩 阵 乘 法 , 同时 结 合 矩 阵 对 称 性 、 阵求 逆 降 维 等 方 法 , 大 大 减 少 Kama 矩 可 l n滤 波 的   乘 法 次 数 。在 非 差 C A 伪 距 情 况 下 , 算 法 乘 法 总 次 数 不 到 传 统 算 法 的 1 3 在 双 差 伪 距 P , 2+ 双 差 载 波  / 该 /; 1P

情 况 下 , 算 法乘 法 总次 数 甚 至不 到 16 其 耗 时也 只 有 传 统 算 法 的 1 3左 右 , 该 /; / 因而 大 大 提 高 了 K l n滤 波  ama
的计算效率。  
关 键 词 : l n滤 波 ; 疏 矩 阵 乘 法 ; P   Ka ma 稀 G S

中图 分 类 号 : 2 8 P 2 

文献标识码 :   A

F s  l a   le i g Al o ih   o   PS K i e a i  t   o e sng a tKa m n Fitr n   g rt m f r G   n m tc Da a Pr c s i  
GU 0  hu r n GUO  ir n  , E  ib  u LIXi n q u LI Ya   S — e  , Ha— o g H Ha _ o -,   a — i ,   n

( . e ig I s tt o   r c ig a d T l o 1 B i n   n t ue f T a k n   n   ee mmu i t n T c n lg , e ig 1 0 9 , h n   j i   c n c i   e h oo y B i n   0 0 4 C i a a o j 2 I s tt o   u v y n   n   p ig n o r t nE g n e ig U iest ,Z e g h u 4 0 5 , h n   . t ue f S re i g a d Ma p n ,I f r a i   n i ern   n v ri n i   n o y h n z o   5 0 2 C ia 3 S h o f G o ey a d G o t s . c o l   e d s  n   e mai ,Wu a U ie s y o c h n nv ri ,Wu a ,4 0 7 , h n ; t h n 3 0 9 C ia  
4.6 0 1 Tr o sBejn  1 0 9 Ch n 1 8  o p , iig 0 0 4, ia;5.6 5 2 Tro sBejn   0 0 8, ia) 1 1  o p , ii g 1 0 8 Chn  

Ab ta t S a s   ti  Sc n t u t d o n   O t e p e e c   fq a tt so   e o ee n si   t t  r n f r a  sr c : p r e ma rx i  o s r c e   wi g t  h   r s n eo   u n ii   fz r   l me t   s a e ta so m — e n t n ma rx a d d sg e   ti  n t i  a e .Th n a f s  l n f t rn   lo ih i  ie  n t e p p r i   t i   n   e i n d ma rx i  h s p p r o e     a tKa ma   i e i g a g rt m  s g v n i  h   a e   l b s d o   p r ema rx mu tpi a in.ma rx s mme r   n   i n in r d c i n o   h   t i n e s n ti a e   n s a s   ti   li l t c o ti   y ty a d d me so   e u t   ft e ma rx i v r i .I S o o   

so h wn,b   h o e ia a ay i a d n me i 1r s ls h tt e n mb ro   lil a i n o   h   e me h d i y t e r t 1 n l ss n   u rc   e u t ,t a  h   u e   fmu t i t   f t e n w  t o   S c    a pc o  

ls h n o etido h  rd t n l to    h  a eo  o - i ee c / p e d rn e .a di i e e  e s e sta   n -hr  fteta i o a meh di t ec s  f n df rn eC A  su o a g s n  t S v nls  i   n n f   
t a   n - i t  n t e c s   f d u l- i e e c   s u o a g s P1,P2+ h n o e sx h i   h   a e o   o b ed f r n e p e d r n e   f d u l- i e e c   a r r p a e   . o b ed f r n e c r i   h s s L1   f e L2.Th   o u a i n t  so e t id o   O o t e f s  l n f t r g a g rt m  a   e t r p ro ma c  n ec mp t t  i o me i n -h r   rS .S   h  a tKama   i e i   l o ih h s b te   e f r n e i    l n
GPS  ne a i  ostonig. ki m tc p ii n  

Ke   o d : a ma  i e i g p r e ma rx mu t l a i n;GPS y w r s k l n fl rn ;s a s  ti   li i t t pc o  

Kama 滤 波可 应用 于各类 GP l n S数据处 理 , 尤  同类 型 GP S数据处 理 中 , l n 波 的状 态 向量  Kama 滤

逆 降维等 措施 , 来减 少 Kama 滤 波 中的加 法和乘  l n

其 适用 于 GP S实 时和 动态测 量 数据 处 理 。 在 不  法 次数 , 而提 高 Ka n滤波 计算 效率 。 但 进 l ma  
  P l n滤 波  及 维数 将 随之变 化[ 。 1 随着状 态 向量维 数 的增  1 G S动 态数据 处理 中 的 Kama  ]

GP S动态 数据处 理 的常 用算 法 是 K l n滤  ama 线性 离散 系统 的 K l n滤波 解为  ama 高 Kama 滤波 的计 算效 率 , 学者 提 出了一 种基  波 , l n 有
大 , l n滤 波 中的乘 法次数 呈 。 Kama 增加 。 了提  为 于矩 阵外 积 的快速 Kama 滤 波算 法 。 有效 地提  l n 能
抖 1, 一   女 1 ,

女 女    
1 +  女


1  

高计算 效率 , 该 方 法 仅 适 应 于状 态 向量 维 数 较  但
低且 维数 固定 的情况 ,没 有考 虑 测 量方 程 中设 计  矩 阵 也 含 有 大 量 零 元 素 的 情 况[ 。文 中 根 据  4 ] Kama l n滤 波状态 转 移 矩 阵 和 设 计 矩 阵 都 大 量存  利 用稀 疏矩 阵乘法 , 同时结合 矩 阵对 称性 、 阵求  矩
收 稿 日期 :0 6 0 — 1修 回 1 :0 6 0 — 8 20 — 12 } 3期 2 0 — 3 0 

P抖1女:   抖 1 P ^ ,   女


J   式中,    抖 . P    和 抖 ,  分别 为预 报 状态 向量 和 预报 
抖1   P抖 1






 

7   + 1 z .  , 蚪_ H 女 一K抖 H抖 P 1  1  女

在零 元 素的特 点 , 其构 造成 特定 的稀 疏 矩 阵 。 将 再  协方 差 阵 ;  是 状 态 向 量 估 值 ; 抖  抖 P  是 协 方 差 
阵 ; 1 P+. K抖 = k1H 1 H抖 P+, 女 ( 1k k aH 1 +R抖 ) 为  1一

作 者 简 介 : 树 人 ( 9 2 ) 男 , 南 新 乡人 , 级 工 程 师 , 士 , 要 从事 卫 星导 航 等 方 面 的 研 究 。 郭 17 - , 河 高 硕 主  

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是 时刻 的增 益矩 阵 ;   是 × +1  抖  维转 移矩 阵 ;  
H抖  是 忌 +1 时刻 的 m×  维设 计 矩阵 ; 为系统    噪声 协方 差 阵 ; 抖 R  为测 量 噪声协 方差 阵 。   由( ) ( ) 可知 , G S动态 数据 处理 中 , 1 、2 式 在 P  

放非零 元 素 , MAXSZ I E为非零 元 素 的最 大 个数 ;  

it MAX I E :非零 元 素 在稀 疏 矩 阵 中  ni AE SZ ]
对 应 的列号 ;  

it AE n  MAX W  1 :稀疏 矩 阵 中各行 第  j RO 4 ] -
1 非零 元 素在 数 组 A 中 的位 置 , 个 MAXR OW 为 

Kama l n滤 波方 程包 括 多个 矩 阵 乘 法 和一 个 矩 阵  求逆计 算 , 中含 有 大量 的浮 点乘法 运算 , 是影  其 这 响 G S动 态数 据处 理计算 效 率 的主要 原 因 。 提  P 要

矩 阵最大行 数 。 最后 一个 元素 是一 虚拟 值 , 于非  等
零元 素 总 数 + 1 用 来 计 算 最 后 一 个 非 零元 素在  , 数 组 A 中的位 置 , 以便 于编程 实现 。   2 稀 疏矩 阵 的乘法  ) 设 A为 r 维 稀疏矩 阵 , ×t B为 t 维 的普 通  ×忌
矩 阵, C为 r ×k 的普通 矩 阵 , C— Al 如 果将  维 且 l。

高 Kama l n滤 波 的计 算 效 率 , 必 须 设 法 减 少  就
Kama l n滤 波 中的乘 法次 数 。  



快 速 Kama i n滤 波算 法  提高 Kama l n滤波 的计算 效 率最 直 接 的 方法 

A 以稀 疏矩 阵 的形 式存 储 , A 则 B中 的乘 法 次数为 
s 忌其中 s ?, 为A 中非零元 素 总个 数 。如果 稀疏矩  阵 A含有 大量 规 则 排 列 的“ ”元 素 ( 状 态转 移  1 如 矩 阵  的对 角线元 素都 为“ ” 素 ) 则可 以利用  1元 , 这 一 特点 , 乘 法运算 转 为加法 运算 , 将 从而 进一 步  减 少 乘法 次数 。 时 A 此 B中的 乘法次 数为 s 忌 其   ? ,
中 s 为 A 中非“ ” 非 “ ”的元 素 总个数 。   0、 1   如果 C为 对称矩 阵 , 利用矩 阵 的对称 性 , 还可 
r   一1

就是 , 用矩 阵 的对称 性 、 利 稀疏 矩 阵 的 乘法 、 阵  矩 求 逆降维 等方 法来 减少 Kama l n滤 波 中 的乘 法 次 
数。  
2 1 利 用 矩 阵 的 对 称 性 减 少 乘 法 次 数  . 

设 A为 r× t 维矩 阵 , B为 t ×忌维矩 阵 , C为 

t ×忌维矩 阵 , C— A l 其乘 法次 数都 为 t 忌?   且 l。 ? r 次。 如果 c为对 称矩 阵 , 用 c矩 阵 的 对称 性 , 利 乘  法 次 数可 降至 tt - )/ ; 维 方 阵求逆 含有 r 次  (4 1 r 2 r 。 乘法 。 果 求 逆 矩 阵 为 对 称 阵 , 用 矩 阵 的 对 称  如 利 性 , 法次 数可 降至 r( + 1 / 。 乘 。r )2 
2 2 降低求 逆矩 阵 的维数 减少 乘法 次数  . 

进一步减少乘法次数 , 其减少次数为 > ?£      (一 )
l 1 =  

(  s 为稀疏 矩 阵A第 i 的非零元 素个 数 ) 其乘法  行 ,
r 1 一 

总次数为 s 忌 > ? £   。 ? 一   (一 )  
i 1    
  .

如果测 量 噪声协 方差 阵 R  为 分块 对 角 阵 , 抖  
则 R  可表示 为  抖

2 4 乘法 次数 的统计  .  () 3  Kama l n滤波 含有 3个矩 阵与 向量乘 法运 算 ,  

R + 一 da ( LlR ,  l…R ) k1 ig R ,  1R ,  1 
"  

6个矩 阵与矩 阵乘 法运 算 ( 抖 , P   H  为 H抖 P      抖.  
的转 置矩 阵 , 不用 重复计 算 ) 1个矩 阵 求逆 运 算 。 ,   其 中转 移矩 阵  、 设计矩 阵 H为稀 疏矩 阵 , 利用  可 稀 疏 矩 阵 的 乘 法 来 减 少 乘 法 次 数 。 抖 P    P   抖、 (   抖, H抖 P   H  )为对 称矩 阵 , 利 用 对称 性 来减    可 少乘法 次 数 。 阵 (   抖 ,   4 R抖 ) 逆 则  矩 H抖 P   H -    求 可通 过 Ka n滤波 序贯 处理 来 降低 矩 阵求 逆 的  l ma 维数 , 而减少 乘法 次数 。 1给 出了 5种不 同方  进 表 案 的矩 阵乘法 次数 。 中 , 案 1 基 于普通 矩阵  其 方 是

式中,  为 m ×m 矩阵, m 一 m。 R     >:    
= 1  

于是, 观测 方 程可分 为 互相 独 立 的 w 组 观 测  方程 , 而用 序贯 处理方 法进 行处 理[ 。 过序 贯  进 3通 ] 处 理方 法 , 阵 求 逆 的 阶 数 从 m 阶 分 解 为 各 个  矩
"  

m,  其乘法总次数也由 m 降至 >: )。 。 ( 。    
i 1 =  

2 3 基于 稀疏矩 阵 乘法减 少 乘法次 数  . 

根据 Kama l n滤 波 中 的转 移 矩 阵 和设 计 矩 阵 

存在 大量 零元 素 的特 点 , 可将 其 构 造 成 为 稀 疏矩  阵。 稀疏 矩 阵只存储 矩 阵 中的非零 元 素 , 稀疏 矩  在 阵相乘 时 , 过零 元素 与其 他元 素 的乘法 , 跳 只作 非 
零元 素 之 间的乘 法 , 而大 大减 少乘 法次 数 。 从   1 稀 疏矩 阵 的压缩 存储  ) Kama l n滤波 计算 中, 所涉及 的稀疏矩 阵 运算  都是 在稀 疏矩 阵右 边 乘 以 向量 或 普 通 矩 阵 。 据  根

乘法 的 Kama l n滤波 ; 方案 2是仅考 虑矩 阵对 称性  的 Kama l n滤 波 ; 案 3是 仅 采 用 序 贯 处 理 的  方
Kama l n滤 波 ; 案 4是 仅 基 于 稀 疏 矩 阵 乘 法 的  方 Kama l n滤 波 ; 案 5是 综 合考 虑 矩 阵 对称 性 、 方 序 
贯 处理 和稀 疏矩 阵乘 法 的 Kama l n滤 波 。   表 1中 s 为转 移矩 阵 中非“ ” 非 “ ” 素 个    0、 1 元

数; s 一为设计 矩 阵 中非 零 元 素 个 数 。 中右 下 角  表 的最 后一 项 中 , 由于完整 的计 算式 较复 杂 , 略 了 省   稀疏 矩 阵 H抖  与 ( 抖 , P  H  ) 乘 时结 果 为对 称    相 矩 阵所减 少 的乘法 次 数 ,因而用 了 小于号 “ 。 <” 

这一 特点 , 可采 用 行 序 索 引方 式 来 压 缩 存储 稀疏 
矩阵。 这需 要用 到 3个 1维 数组 :  

d u l AE XS Z ] o be MA I E :按 行 序 索 引 依 次 存   

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第 3期 

郭 树 人 , : S动 态 数 据 处 理 中 的快 速 Kama 等 GP l n滤 波 算 法 

表 1 不 同方 案 的乘 法 次 数   

25 说 明 .   

了动 态测 量 试 验 。 中两 台接 收 机 分 别 放 在 测 站  其

在矩 阵乘 法 中 , 一次 乘法 对 应 一 次加 法 。 因此  Ai r P和 Now上 ( r 相距 约 1 Ok , 6  m) 另两 台 A r 和  i1 在减 少乘 法次 数 的同时 , 法 次数 也 减少 了 ( 加 稀疏  Ai r 2放在 飞 机 上 ( 离 固定 不 变 ) 飞 机先 作 静 态  距 。 矩 阵 中元 素“ ”的乘 法除 外 , 1 因为它 减少 了乘 法 次  测量 , 然后 起 飞作动 态 测 量 。 用 Ai 采 r P和 Ai r 2的  数, 但加 法次 数不 变 ) 新算 法适 用 范 围较 广 , 。 可应  动 态测量 数 据统 计 不 同 G S动 态应 用 中 、 同方  P 不 用 于 各类 Kama 滤波 , 不局 限于 G S 态数 据  案 的 Kama l n 并 P 动 l n滤波 乘法 总次 数 , 果 列于 表 2  结 。 处理, 且便 于编 程实 现 。   3 算例 及 分析    计算 时 采 用 航 空 GP S动 态 测 量 试 验 数 据 :   方 案 5括号 中数值 由表 1中相应 公 式 计 算所  得 。 表 2 以看 出 , 从 可 基于矩 阵 对称性 的方 案 2 基  、 于稀疏 矩 阵乘法 的方 案 3 基 于序 贯处 理 的方 案 4 、   而综 合利用 3 种措 施 的方 案 5 果 明显 , 乘法 总  效 其
3 1 不 同 G S 态 中 Ka n滤波 的乘 法总 次数  都 可 以有效 地减 少 Ka n滤波 中 的乘法 总次 数 。 .  P 动 l ma l ma   19 9 6年 9 用 4台 Tr l 4 0  S 月 i e 0 0S E接 收机 进 行  次数 不 到方案 1的 1 3 甚 至不 到 i 6  mb   /, /。
表 2 不 同 GP   S动 态 应 用 中 K l n滤 波 的 乘 法 总 次 数  ama

3 2 两种 方案 的计 算耗 时 比较  .  耗 时 比较 分析 基于 东芝 便 携 机 、 n P操作  WiX 系统和 1 6GHzC U 等条 件 , .   P 编译 器 采 用 C++ 
b i e . 。表 3 出 了不 同的动态 GP 应 用 中 , ul r6 0 d 列 S   方案 1 和方案 5中的 Kama 滤 波循环 1 次所 耗  l n 万

数不 到传 统算 法 的 1 3 在 双差 伪 距 尸1 P2+ 双  /; ,

差 载波情 况下 , 乘 法 总 次 数甚 至不 到传 统 算 法  其 的 i 6 其 耗时 也 只有 传 统 算法 的 1 3左 右 , /; / 因而 
大大提 高 了 Kama l n滤波 的计 算 效 率 。新 算 法 适  用 范 围较 广 , 可应 用 于各类 Kama l n滤 波 , 不 局  并 限于 G S动态数 据处 理 , P 且便 于编 程实 现 。  
参 考 文 献:  
[ 3 S h azK P, a n nM  W o gR V C 1  c w r    C n o  E, n      .A o ai no  c mp r O f s
GPS k ne tc mo l  o   e e mi a i n o   o i o   nd v -   i ma i  des f rd t r n to   fp s t n a   e   i

用 的时 间 。 由于 Kama l n滤 波计 算 耗 时 除 了 受 到  乘法次 数 的影响 之外 , 还受 到多 任务 操作 系统 、 编 

程 优化 等其 他 因素 的影 响 , 此 表 中 的耗 时 统 计  因
只能概 略地 反 映 Kama l n滤波 的计算 效率 。  
表 3 不 同的 动 态 GP   S应 用 中 Kama l n滤 波 的 耗 时  S  

let  ln a rjcoy[ . Ma ucit Gedei , oi ao g  taetr J] y n sr a p o at a  c
1 8 , 4: 4 — 5 . 9 9 1 3 5 3 3 

E 3 何海波.高精度 G S动态测量及质量控制E .郑, : 2  P D3 I 信息  f 1
工 程 大 学 测 绘 学 院 ,2 0 . 02  

E 3 陈 小 明.高 精 度 G S动 态 定 位 的理 论 与 实 践E .武 汉 :   3  P D3 武

分析 表 明 , 案 5的耗 时 仅 为 方 案 1的 1 3 方 /  左 右 , 大大提 高 Kama 可 l n滤 波 的计算 效率 。  
4 结 论 

汉 测 绘 科 技 大 学 ,1 9 . 97  

[ ] 董 绪 荣 , 大 欣. 个 快 速 Kama 4  陶 一 l n滤波 方 法及 其 在 GP   S动 态 数 据 处 理 中的 应 用[ ] 测 绘 学 报 , 9 7 ( )2 12 7 J. 19 , 3 :2  2 .   E 3 YagY,   xuG.Adpieyrb sftr gfr ie  5  n  HeH,   at l o u tiei  o  n — v    l n k

mai go ei p s inn E ] o ra o  o ey 0 1  t  ed t  oio ig J .J un l fGed s ,2 0 , c c t  
7 ( / ): O — 6  5 2 3 1 91 . 1

该算 法 可大大 减少 K l n滤 波 中的加 法 和  ama

乘 法次数 , 非差 C A 伪 距 情 况 下 , 乘法 总 次  在 / 其

责 任 编辑

陶大 欣 


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