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上海中学高三数学综合练习(一)


上海中学高三数学综合练习(一)
一.填空题 1.定义在 R 上的奇函数 f(x)以 2 为周期,则 f(1) =___________. 1 ? bi 2.如果复数 ( b ? R )的实部和虚部互为相反数,则 b 等于_____________. 1? i 3.(理) 若 (1 ? 2 x) n 展开式中含 x 3 项的系数等于含 x 项的系数的 8 倍,则 n=______.
?x ? 1 ? (文) 若 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为_______________. ?x ? y ? 6 ?

4.已知 a ? 0 ,则关于 x 的不等式 |

3a |? 1 的解集为__________________. x?a

x2 y 2 ? 1 上一点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,且 ? PF1F2 的内切圆半 5.点 P 是椭圆 ? 25 16

径为 1,当 P 在第一象限内时,P 点的纵坐标为_____________.
?1 ? n , n为奇数 ? 6.数列{an}满足:an= ? 2 ,它的前 n 项和记为 Sn,则 lim Sn=__________. n ?? ? 1 , n为偶数. n ?3 ?

7.某市为加强城市圈的建设,计划对周边如图所示的 A、B、 C、D、E、F、G、H 八个中小城市进行综合规划治理,第 一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市,但要求没 有任何两个城市相邻, 则城市 A 被选中的概率为________. 8.若方程 4 ? x 2 ? 2 ? kx 仅有一个实数根,则 k 的取值范围 是______________.
| BC |2 1 ? ,则△ABC 面积的最大值为___________. 9.在△ABC 中,已知|AB|=2, | CA |2 2

10.如图为一几何体的的展开图,其中 ABCD 是边长为 6 的正方形, SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点 S,D,A,Q 及 P,D,C,R 共线,沿图中 虚线将它们折叠,使 P,Q,R,S 四点重合,则需要________个这 样的几何体,就可以拼成一个棱长为 12 的正方体. 11.若函数 y=ax(a>1)和它的反函数的图像与函数 y=
1 的图像分别交于 x

点 A、B,若|AB|= 2 2 ,则 a 约等于_____________(精确到 0.1). 12.老师告诉学生小明说, “若 O 为△ABC 所在平面上的任意一点,且有等式

??? ? ???? ??? ??? ? ? AB cos C AC cos B ? ? ???? ) ,则 P 点的轨迹必过△ABC 的垂心” ,小明进一 OP ? OA ? ? ( ??? | AB | | AC |

步 思 考 何 时 P 点 的 轨 迹 会 通 过 △ ABC 的 外 心 , 得 到 的 条 件 等 式 应 为
??? ? OP ? _______________________________.

(用 O,A,B,C 四个点所构成的向量和角 A,B,C 的三角函数以及 ? 表示) 二.选择题 π 13. 若函数 y=cos2x 与 y=sin(x+φ)在[0, ]上的单调性相同, φ 的一个值为( 则 2 A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 )

? ,BC=3,则 ? ABC 的周长为 ( ) 3 ? ? A.4 3 sin(B+ )+3 B. 4 3 sin(B+ )+3 3 6 ? ? C.6sin(B+ )+3 D. 6sin(B+ )+3 3 6 1 1 1 1 15.若点 M(a, )和 N(b, )都在直线 l:x+y=1 上,则点 P(c, ),Q( ,b)和 l 的关系 b c a c 是 ( )
14.在 ? ABC 中,A= A. P 和 Q 都在 l 上 B. P 和 Q 都不在 l 上 C. P 在 l 上,Q 不在 l 上 D. P 不在 l 上,Q 在 l 上 1 1 16.数列{an}满足:a1= ,a2= ,且 a1a2+a2a3+?+anan+1=na1an+1 对任何的正整数 n 4 5 1 1 1 都成立,则 ? ? ? ? 的值为 ( ) a1 a2 a97 A. 5032 三.解答题
3 1.已知函数 f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x ? cos2 ?x ? (? ? R, x ? R) 的最小正周期为π ,且 2 ? 当 x= 时,函数有最小值. 6

B. 5044

C. 5048

D. 5050

(1)求 f(x)的解析式; (2)作出 f(x)在[0,π ]范围内的大致图象.

2.设虚数 z 满足|2z+15|= 3 | z +10|.
z a (1)计算|z|的值;(2)是否存在实数 a,使 ? ? R?若存在,求出 a 的值;若不存 a z

在,说明理由.

3.如图所示,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2,

? ,且侧面 ABB1A1 垂直于底面. 3 (1)判断 B1C 与 C1A 是否垂直,并证明你的结论;
侧棱与底面所成角为 (2)求四棱锥 B-ACC1A1 的体积.

4.在新的劳动合同法出台后,某公司实行了年薪制工资结构改革。该公司从 2008 年 起,每人的工资由三个项目构成,并按下表规定实施: 项目 基础工资 房屋补贴 医疗费 金额[元/(人?年)] 2007 年基础工资 为 20000 元 800 3200 性质与计算方法 考虑到物价因素,决定从 2008 年 起每年递增 10%(与工龄无关) 按职工到公司年限计算,每年递增 800 元 固定不变

如果该公司今年有 5 位职工,计划从明年起每年新招 5 名职工。 (1)若今年(2008 年)算第一年, 将第 n 年该公司付给职工工资总额 y(万元)表示成年限 n 的函数; (2)若公司每年发给职工工资总额中, 房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总 额的 p%,求 p 的最小值.

5.已知函数 f(x)=(|x|-b)2+c,函数 g(x)=x+m, (1)当 b=2,m=-4 时,f(x) ? g(x)恒成立,求实数 c 的取值范围; (2)当 c=-3,m=-2 时,方程 f(x)=g(x)有四个不同的解,求实数 b 的取值范围.

6.若给定椭圆 C:ax2+by2=1(a>0,b>0,a ? b)和点 N(x0,y0),则称直线 l:ax0x+by0y=1 为椭圆 C 的“伴随直线” , (1)若 N(x0,y0)在椭圆 C 上,判断椭圆 C 与它的“伴随直线”的位置关系(当直线与 椭圆的交点个数为 0 个、1 个、2 个时,分别称直线与椭圆相离、相切、相交), 并说明理由; (2)命题: “若点 N(x0,y0)在椭圆 C 的外部,则直线 l 与椭圆 C 必相交.”写出这个命 题的逆命题,判断此逆命题的真假,说明理由; (3)若 N(x0,y0)在椭圆 C 的内部,过 N 点任意作一条直线,交椭圆 C 于 A、B,交 l ???? ???? ???? ???? 于 M 点(异于 A、B),设 MA ? ?1 AN , MB ? ?2 BN ,问 ?1 ? ?2 是否为定值?说 明理由.

答案

一. 填空题 1.0 (0) 5.

2.0

(0)

3.(理)5

(0.14) (文) 4

4.(2a,-a) ? (-a,-4a)

(0.34)

8 19 1 (0.46) 6. (0.26) 7. (0.43) 8. (??,?1) ? (1,??) ? ?0? 3 24 2 9. 2 2 (0.58) 10.24 (0.29)11.8.4 (0.55) ? ? ? ABcos C AC ? cos B ? 1 12. OB ? OC ? ?? ? ? (0.98) 2 ? AB AC ? ? ?

(0.37)

?

?

二. 选择题 13. D (0.36) 14. D (0.11) 三. 解答题 1.(1)f(x)=1–sin ? 2 x ?

15. A

(0.11) 16. B (0.08)

? ?

?? ? 6?

(0.34) (2)略

2.(1)|z|=5 3 (2)a=±5 3 (0.06) 3.(1)几种常见处理方法:用空间直角坐标系解、传统方法解、基向量解. (2) VB? ACC1A1 ? 2VB? A1AC ? 2VA1 ? ABC ? 2 ? 4.(1)y=10n(1+10%)n+0.2n2+1.8n , n ? N*

1 3 ? ? 4 ? 3 ? 2 (0.42) 3 4

0.2n ? 1.8 0.2n ? 1.8 ,令 an= , n 10 ? 1.1 10 ? 1.1n ?a n ? a n ?1 2 200 由? 得 1?n?2,∴p%?a1=a2= ∴p? (0.69) 11 11 ?a n ? a n ?1 ?? x 2 ? 5x ? 8, x ? 0 7 2 ? 5.(1)c?x–4–(|x|–2) = ? ,由图象得 c?– . (0.14) 2 4 ?? x ? 3x ? 8, x ? 0 ?
(2)由 0.2n2+1.8n?10n?1.1n?p%,得 p%? (2)(|x|–b)2–3=x–2,即(|x|–b)2=x+1 有四个不同的解, ∴ (x–b)2=x+1(x?0)有两个不同解以及(x+b)2=x+1(x<0)也有两个不同解, 由根的分布得 b?1 且 1<b< 6.(1) ?

5 5 ,∴1<b< . 4 4
2 2

(0.63)
2

?ax 2 ? by 2 ? 1 ?ax 0 x ? by0 y ? 1

? aby0 ? a 2 x 0 x 2 ? 2ax 0 x ? 1 ? by0 ? 0

?

?

即 ax2–2ax0x+ax02=0 ∴△=4a2x02–4a2x02=0 ∴l 与椭圆 C 相切. (0.34) (2)逆命题:若直线 l:ax0x+by0y=1 与椭圆 C 相交,则点 N(x0,y0)在椭圆 C 的外部. 是真命题。联立方程得(aby02+a2x02)x2–2ax0x+1–by02=0 则△=4a2x02–4a(by02+ax02)(1–by02)>0 ∴ax02–by02+b2y04–ax02+abx02y02>0 ∴by02+ax02>1 ∴N(x0,y0)在椭圆 C 的外部. (0.75) (3)同理可得此时 l 与椭圆相离,设 M(x1,y1),A(x,y)

x 1 ? ?1 x 0 ? ?x ? 1 ? ? ? 1 则? 代入椭圆 C:ax2+by2=1,利用 M 在 l 上, y1 ? ? 1 y 0 ?y ? ? 1 ? ?1 ? 即 ax0x1+by0y1=1,整理得(ax02+by02–1) ? 12+ax12+by12–1=0 同理得关于 ? 2 的方程,类似. 即 ? 1、 ? 2 是(ax02+by02–1) ? 2+ax12+by12–1=0 的两根 ∴ ? 1+ ? 2=0. (100%)

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