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【高三总复习】2013高中数学技能特训:8-4 椭圆(人教B版) 含解析 Word版含答案]


8-4 椭圆 基础巩固强化 x2 y2 1.(2011· 东莞模拟)设 P 是椭圆25+16=1 上的点,若 F1、F2 是椭 圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( A.4 [答案] D [解析] ∵a2=25,∴a=5,∴|PF1|+|PF2|=2a=10. 2. “m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 ( ) A.充分而

不必要条件 C.充要条件 [答案] C x2 y2 [解析] ∵方程 mx +ny =1,即 1 + 1 =1 表示焦点在 y 轴上的 m n
2 2

) D.10

B.5

C.8

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ?1 椭圆,∴需有:?n>0, ? 1 <1 . ?m n

1 m>0,

∴m>n>0,故互为充要条件. 3.(文)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为 B1、B2,焦点为 F1、 F2,若四边形 B1F1B2F2 是正方形,则这个椭圆的离心率 e 等于( 2 A. 2 3 C. 2 1 B.2 D.以上都不是 )

[答案] A c 2 [解析] 画出草图(图略),根据题意可得 e=a=cos45° = 2 ,故 选 A. x2 y2 (理)(2012· 新课标全国,4)设 F1、F2 是椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0) 3a 的左、右焦点,P 为直线 x= 2 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰 三角形,则 E 的离心率为( 1 A.2 3 C.4 [答案] C [解析] 本题考查了圆锥曲线的离心率的求法. 3a 设直线 x= 2 与 x 轴交于点 M,则由条件知,∠F2F1P=∠F2PF1 =30° ,∴∠PF2M=60° , 3a 在 Rt△PF2M 中,PF2=F1F2=2c,F2M= 2 -c, 3 a-c F2M 2 1 故 cos60° = PF = 2c =2, 2 c 3 3 解得a=4,故离心率 e=4. [点评] 求离心率时要注意数形结合的应用,在图形中设法寻求 a、c 所满足的数量关系,从而确定离心率的值. x2 y2 4.(文)(2011· 河北石家庄一模)已知椭圆16+25=1 的焦点分别是 F1、F2,P 是椭圆上一点,若连接 F1、F2、P 三点恰好能构成直角三 ) 2 B.3 4 D.5

角形,则点 P 到 y 轴的距离是( 16 A. 5 16 C. 3 [答案] A

) B.3 25 D. 3

[解析] F1(0,-3),F2(0,3),∵3<4, ∴∠F1F2P=90° 或∠F2F1P=90° . 16 设 P(x,3),代入椭圆方程得 x=±5 . 16 即点 P 到 y 轴的距离是 5 . x2 2 (理)(2012· 抚顺质检)椭圆 4 +y =1 的左、右焦点为 F1、F2,点 M → → 在椭圆上,MF1· MF2=0,则 M 到 y 轴的距离为( 2 3 A. 3 3 C. 3 [答案] B → → [分析] 条件MF1· MF2=0,说明点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆 上,点 M 又在椭圆上,通过方程组可求得点 M 的坐标,即可求出点 M 到 y 轴的距离. [解析] 解法 1: 椭圆的焦点坐标是(± 3, 0), 点 M 在以线段 F1F2 x2 为直径的圆上, 该圆的方程是 x +y =3, 即 y =3-x , 代入椭圆得 4
2 2 2 2

)

2 6 B. 3 D. 3

8 2 6 +3-x2=1,解得 x2=3,即|x|= 3 ,此即点 M 到 y 轴的距离.

→ → 解法 2:由MF1· MF2=0 知,MF1⊥MF2,
? ? ?|MF1|=2+ 2, ?|MF1|+|MF2|=4, ? ∴? ∴ 2 2 ?|MF1| +|MF2| =4×?4-1?, ?|MF2|=2- 2, ? ?

2 6 由|MF1|2=t· |F1F2|得 t= 3+ 3 , 2 6 ∴M 到 y 轴的距离为 t- 3= 3 . x2 0 解法 3:设 M(x0,y0),则 4 +y2 0=1, x2 0 2 ∴y0=1- ,① 4 → → ∵MF1· MF2=0,∴MF1⊥MF2, ∴|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=4c2=12, 又 F1(- 3,0),F2( 3,0),
2 2 ∴(x0+ 3)2+y0 +(x0- 3)2+y0 =12,

2 6 将①代入解得 x0=± 3 , 2 6 ∴M 到 y 轴的距离为 3 . → → [点评] 满足MF· MB=0(其中 A、B 是平面上两个不同的定点)的 动点 M 的轨迹是以线段 AB 为直径的圆. x2 y2 5.(文)已知 F 是椭圆25+ 9 =1 的一个焦点,AB 为过其中心的 一条弦,则△ABF 的面积最大值为( A.6 C.20 [答案] D ) B.15 D.12

1 1 [解析] S=2|OF|· |y1-y2|≤2|OF|· 2b=12. x2 2 (理)已知点 M( 3,0),椭圆 4 +y =1 与直线 y=k(x+ 3)交于点 A、B,则△ABM 的周长为( A.4 C.12 [答案] B [解析] 直线 y=k(x+ 3)过定点 N(- 3,0),而 M、N 恰为椭 x2 2 圆 4 +y =1 的两个焦点,由椭圆定义知△ABM 的周长为 4a=4×2= 8. x2 y2 6. (文)(2011· 安徽省皖北联考)椭圆49+24=1 上一点 P 与椭圆的 两个焦点 F1、F2 的连线互相垂直,则△PF1F2 的面积为( A.20 C.24 [答案] C [解析] 椭圆的焦点坐标是(± 5,0),点 P 在以线段 F1F2 为直径的 242 24 圆上, 该圆的方程是 x +y =25, 代入椭圆方程得 y = 25 , 即|y|= 5 ,
2 2 2

) B.8 D.16

)

B.22 D.28

1 24 所以 S△PF1F2=2×10× 5 =24,故选 C. [点评] 关于焦点三角形的问题常用定义求解.由定义知,|PF1| +|PF2|=14 (1), 由△PF1F2 为直角三角形及 c= 49-24=5 得|PF1|2 +|PF2|2=100 (2),(1)式两边平方与(2)式相减得:|PF1|· |PF2|=48,

1 ∴S△PF1F2=2|PF1|· |PF2|=24.

x2 y2 (理)(2011· 河北唐山市二模)P 为椭圆 4 + 3 =1 上一点,F1、F2 为 → → 该椭圆的两个焦点,若∠F1PF2=60° ,则PF1· PF2等于( A.3 C.2 3 [答案] D [解析] 由题意可得|F1F2|=2,|PF1|+|PF2|=4, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|· cos60° =(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|, 所以 4=42-3|PF1||PF2|,|PF1||PF2|=4, → → → → 1 PF1· PF2=|PF1||PF2|· cos60° =4×2=2,故选 D. 7.(2011· 安徽省“江南十校”高三联考、吉林质检)设 F1、F2 分 x2 y2 别是椭圆25+16=1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中 点,|OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点距离为________. [答案] 4 [解析] |OM|=3,|PF2|=6, 又|PF1|+|PF2|=10,∴|PF1|=4. 8.若方程 x2sin2α-y2cosα=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么 α 的取值范围是________. 7π 3π? ? [答案] ?2kπ+ 6 ,2kπ+ 2 ?,k∈Z
? ?

)

B. 3 D.2

[解析]

?-cosα>sin2α, 根据题意知,? cosα<0, ?sin2α>0.

1

1

?-1≤sinα<-1, 2 化简得,? ?cosα<0.
7 3 ? ? 解得 α∈?2kπ+6π,2kπ+2π?(k∈Z).
? ?

x2 y2 9.已知椭圆 M:a2+b2=1(a>0,b>0)的面积为 πab,M 包含于
? ?|x|≤2, 平面区域 Ω:? 内,向 Ω 内随机投一点 Q,点 Q 落在椭圆 M ? ?|y|≤ 3.

π 内的概率为4,则椭圆 M 的方程为________. x2 y2 [答案] 4 + 3 =1 [解析]

平面区域 Ω:
? ?|x|≤2, ? 是一个矩形区域,如图所示, ? ?|y|≤ 3.

依题意及几何概型,可得

πab π = ,即 ab=2 3. 8 3 4

因为 0<a≤2,0<b≤ 3,所以 a=2,b= 3. x 2 y2 所以,椭圆 M 的方程为 4 + 3 =1.

10.(2012· 会昌中学月考)椭圆的两焦点坐标分别为 F1(- 3,0), 3 F2( 3,0),且椭圆过点 M(1,- 2 ). (1)求椭圆方程; 6 (2)过点 N(-5,0)作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 P、Q 两 点,A 为椭圆的左顶点,试判断∠PAQ 的大小是否为定值,并说明理 由. x2 y2 [解析] (1)设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0), 由题意 c= 3, 且 3 椭圆过点 M(1,- 2 ),

?a -b =3, ∴? 1 3 2+ ?a 4b2=1.

2

2

2 ? ?a =4, ?? 2 ?b =1. ?

x2 2 ∴椭圆方程为 4 +y =1. 6 (2)设直线 PQ:x=ty-5, 6 ? x = ty - ? 5, 由? 2 x 2 ? + y ? 4 =1. 12 64 消去 x 得,(t2+4)y2- 5 ty-25=0,

设 P(x1,y1),Q(x2,y2), ∴y1y2=- 64 12t ,y1+y2= 2 , 2 25?t +4? 5?t +4?

又 A(-2,0), → → ∴AP· AQ=(x1+2,y1)· (x2+2,y2)

4 4 =(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+5)(ty2+5)+y1y2 4 16 =(t2+1)y1y2+5t(y1+y2)+25=0, π ∴∠PAQ=2(定值). 能力拓展提升 x2 y2 11.(2011· 浙江文,9)已知椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)与双曲线 C2: y2 x - 4 =1 有公共的焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆
2

相交于 A、B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( 13 A.a2= 2 1 C.b2=2 [答案] C [解析] B.a2=13 D.b2=2

)

由已知双曲线渐近线为 y=± 2x.圆方程为 x2+y2=a2, 则|AB|=2a. 不妨取 y=2x 与椭圆交于 P、 Q 两点, 且 P 在 x 轴上方, 则由已知|PQ| 1 2a =3|AB|= 3 ,

a 5a 2 5a ∴|OP|=3.则点 P 坐标为( 15 , 15 ), 5a2 20a2 225 225 又∵点 P 在椭圆上,∴ a2 + b2 =1.① 11 2 ? a = ? 2, 2 2 2 2 又∵a -b =5,∴b =a -5.②,解①②得? 1 2 ? b = ? 2. 故选 C. x2 y2 12.(文)设 F 是椭圆25+16=1 的左焦点,且椭圆上有 2011 个不 同的点 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,?,2011),且线段|FP1|,|FP2|,|FP3|,?, |FP2011|的长度成等差数列,若|FP1|=2,|FP2011|=8,则点 P2010 的横坐 标为( )

2008 A.2011 1004 C. 201 [答案] C

1005 B. 201 536 D. 67

x2 y2 [解析] ∵椭圆25+16=1, ∴F(-3,0), 由|FP1|=2=a-c, |FP2011| =8=a+c,可知点 P1 为椭圆的左顶点,P2011 为椭圆的右顶点,即 x1

1 =-5, x2011=5=-5+2010d, ∴d=201, 则数列{xi}是以-5 为首项, 1 1 1004 为公差的等差数列,∴ x = 2010=-5+2009× 201 201 201 . (理)(2011· 江西七校联考)如图,有公共左顶点和公共左焦点 F 的 椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为 a1 和 a2,半焦距分别为 c1 和 c2.则下 列结论不正确的是( )

A.a1+c1>a2+c2 C.a1c2<a2c1 [答案] D

B.a1-c1=a2-c2 D.a1c2>a2c1

[解析] 依题意得,a1>a2,c1>c2,a1+c1>a2+c2;两个椭圆的左 1 1 焦点到左顶点的距离相等,即有 a1-c1=a2-c2;由 a1>a2,得a <a ,
1 2

a1-c1 a2-c2 c2 c1 又 a1-c1=a2-c2,因此 a < a ,即有a <a ,a1c2<a2c1.因此, 1 2 2 1 不正确的结论是 D,选 D. x2 y 2 13.如果 AB 是椭圆a2+b2=1 的任意一条与 x 轴不垂直的弦,O 为椭圆的中心,e 为椭圆的离心率,M 为 AB 的中点,则 kAB· kOM 的值 为________. [答案] e2-1 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0),
2 2 ?x1-x2??x1+x2? x1 y2 x2 y2 1 2 由点差法, a2 + b2 = 1 , a2 + b2 = 1 ,作差得 = a2

?y2-y1??y2+y1? y2-y1 y1+y2 -b2 c2-a2 2 ,∴kAB· kOM= · = 2 = a2 =e -1. b2 x2-x1 x1+x2 a 14.以椭圆的右焦点 F2 为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆 于点 M、N,椭圆的左焦点为 F1,且直线 MF1 与此圆相切,则椭圆的 离心率 e 等于________. [答案] 3-1

[解析] 由题意知,MF1⊥MF2,|MF2|=|OF2|=c,

又|F1F2|=2c,∴|MF1|= 3c, 由椭圆的定义,|MF1|+|MF2|=2a, c ∴ 3c+c=2a,∴e=a= 3-1. y2 15.(文)设 F1、F2 分别是椭圆 E:x +b2=1(0<b<1)的左、右焦
2

点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等 差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. [解析] (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=3.

(2)l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点坐标满足方程组

?y=x+c, ? 2 y2 ?x +b2=1.
化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0. -2 c 1-2b2 则 x1+x2= ,x x = . 1+b2 1 2 1+b2 因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|, 4 即3= 2|x2-x1|. 8 则9=(x1+x2)2-4x1x2 4?1-b2? 4?1-2b2? 8b4 = - = . ?1+b2?2 1+b2 ?1+b2?2 2 解得 b= 2 . (理)(2012· 广东文,20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: x2 y2 a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1,0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程. [解析] (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0), 所以 c=1, x2 y2 1 将点 P(0,1)代入椭圆方程a2+b2=1,得b2=1, 即 b2=1,所以 a2=b2+c2=2,

x2 2 所以椭圆 C1 的方程为 2 +y =1. (2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y=kx+m, x2 2 ? ? +y =1, 由? 2 ? ?y=kx+m, =0 因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 所以 Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0 整理得 2k2-m2+1=0,①
?y2=4x, ? 由? 消去 y 并整理得, ? ?y=kx+m,

消去 y 并整理得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2

k2x2+(2km-4)x+m2=0, 因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以 Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得 km=1,②

?k= 2, 2 综合①②,解得? ?m= 2,

?k=- 2, 2 或? ?m=- 2.

2 2 所以直线 l 的方程为 y= 2 x+ 2或 y=- 2 x- 2. 16.(文)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F(-2,0),且长轴 长与短轴长的比是 3.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点.当 → |MP|最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围.

x2 y2 [解析] (1)设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0)

? ?a 2 由题意?b= , 3 ? ?c=2.

a2=b2+c2, 解得 a2=16,b2=12.

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为16+12=1. x2 y2 (2)设 P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为16+12=1,故- 4≤x≤4. → 因为MP=(x-m,y), → 所以|MP|2=(x-m)2+y2 x ? ? =(x-m) +12×?1-16?. ? ?
2 2

1 1 =4x2-2mx+m2+12=4(x-4m)2+12-3m2. → 因为当|MP|最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点, → 即当 x=4 时,|MP|2 取得最小值.而 x∈[-4,4], 故有 4m≥4,解得 m≥1. 又点 M 在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4. 故实数 m 的取值范围是 m∈[1,4]. x2 y2 (理)(2011· 北京文,19)已知椭圆 G:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 6 3 ,右焦点为(2 2,0),斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A、B 两点, 以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2).

(1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. c 6 [解析] (1)由已知得,c=2 2,a= 3 , 解得 a=2 3, 又 b2=a2-c2=4, x2 y2 所以椭圆 G 的方程为12+ 4 =1. (2)设直线 l 的方程为 y=x+m

?y=x+m, 由? x2 y2 ?12+ 4 =1.

消去 y 得

4x2+6mx+3m2-12=0.① 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0, y0),则 x0= x1+x2 3m =- 2 4,

m y0=x0+m= 4 . 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB, m 2- 4

所以 PE 的斜率 k=

3m=-1. -3+ 4

解得 m=2, 此时方程①为 4x2+12x=0, 解得 x1=-3,x2=0, 所以 y1=-1,y2=2,所以|AB|=3 2,

|-3-2+2| 此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= 2 3 2 = 2 , 1 9 所以△PAB 的面积 S=2|AB|· d=2. x2 y2 1.若椭圆a2+b2=1 过抛物线 y2=8x 的焦点,且与双曲线 x2-y2 =1 有相同的焦点,则该椭圆的方程是( x2 y 2 A. 4 + 2 =1 x2 y 2 C. 2 + 4 =1 [答案] A [解析] 抛物线 y2=8x 的焦点坐标为(2,0),则依题意知椭圆的右 顶点的坐标为(2,0),又椭圆与双曲线 x2-y2=1 有相同的焦点,∴a =2,c= 2, x2 y2 ∵c =a -b ,∴b =2,∴椭圆的方程为 4 + 2 =1.
2 2 2 2

)

x2 2 B. 3 +y =1 y2 D.x + 3 =1
2

x2 y2 2.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、 → → → F2,D 是它短轴上的一个顶点,若 2DF1=DA+DF2,则该椭圆的离 心率为( 1 A.2 1 C.4 [答案] B ) 1 B.3 1 D.5

→ → → [解析] 由 2DF1=DA+DF2知 F1 是 AF2 的中点, 1 ∴a-c=2c,∴a=3c,e=3. x2 y2 3. F1、 F2 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的两焦点, P 是椭圆上任一点, 过一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线,则垂足 Q 的轨迹为( )

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [答案] A [解析] ∵PQ 平分∠F1PA,且 PQ⊥AF1, ∴Q 为 AF1 的中点,且|PF1|=|PA|, 1 1 ∴|OQ|=2|AF2|=2(|PA|+|PF2|)=a, ∴Q 点轨迹是以 O 为圆心,a 为半径的圆. x2 y2 4.若椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点 F 分成 3:1 两段,则此椭圆的离心率为 ( ) 1 A.2 1 B.3

2 C. 2 [答案] C [解析] 椭圆中 c2=a2-b2,

3 D. 3

?b ? ∴焦距 2c=2 a2-b2,抛物线的焦点 F?2,0?, ? ?

由题意知|F1F|=3|FF2|,∴|F1F2|=4|FF2|, b? ? ∴c=2|FF2|,即 c=2?c-2?,∴c=b,
? ?

2 ∴c2=a2-c2,∴e= 2 . 5 5. (2011· 银川二模)两个正数 a、 b 的等差中项是2, 等比中项是 6, x2 y2 且 a>b,则椭圆a2+b2=1 的离心率 e 等于( 3 A. 2 5 C. 3 [答案] C [解析]
? ?a+b=5 由题意可知? ,又因为 a>b, ?a· b=6 ?

)

13 B. 3 D. 13

?a=3 ? 所以解得? ,所以椭圆的半焦距为 c= 5, ? ?b=2

c 5 所以椭圆的离心率 e=a= 3 ,故选 C. x2 y2 6. (2012· 沈阳市二模)已知 F1、 F2 分别为椭圆 C:4 + 3 =1 的左、 右焦点, 点 P 为椭圆 C 上的动点, 则△PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为 ( )

x2 y2 A.36+27=1(y≠0) 9 x2 C. 4 +3y2=1(y≠0) [答案] C

4 x2 2 B. 9 +y =1(y≠0) 4 y2 D.x + 3 =1(y≠0)
2

x2 y2 [解析] 椭圆 C: 4 + 3 =1 中,a2=4,b2=3, ∴c2=a2-b2=1,∴焦点 F1(-1,0),F2(1,0), 1+x , ?x=-1+ 3 设 G(x,y),P(x ,y ),则? y y = ? 3.
1 1 1 1

? ?x1=3x, ∴? ?y1=3y. ?

?3x?2 ?3y?2 9 x2 ∵P 在椭圆 C 上,∴ 4 + 3 =1,∴ 4 +3y2=1. 当 y=0 时,点 G 在 x 轴上,三点 P、F1、F2 构不成三角形, 9 x2 ∴y≠0,∴点 G 的轨迹方程为 4 +3y2=1.(y≠0)

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【高三总复习】2013高中数学技能特训:8-7 圆锥曲线的综合问题(理)(人教B版) 含解析 Word版含答案]
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【高三总复习】2013高中数学技能特训:2-8 导数的实际应用(人教B版) 含解析 Word版含答案]
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【高三总复习】2013高中数学技能特训:1-1 集合(人教B版) 含解析 Word版含答案]
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