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2015年高考数学理真题分类汇编:专题09 圆锥曲线 Word版含解析


专题九 圆锥曲线
1.【2015 高考福建,理 3】若双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双 9 16

曲线 E 上,且 PF1 ? 3 ,则 PF2 等于( ) A.11 【答案】B 【解析】由双曲线定义得 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 ,即 3 ? PF2 ?

6 ,解得 PF2 ? 9 ,故选 B. 【考点定位】双曲线的标准方程和定义. 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程,利用双曲线的定义列方程求解,属于基 础题,注意运算的准确性. 2.【2015 高考四川,理 5】过双曲线 x ?
2

B.9

C.5

D.3

y2 ? 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的 3
) (C)6 (D) 4 3

两条渐近线于 A,B 两点,则 AB ? ( (A)

4 3 3

(B) 2 3

【答案】D 【解析】 双曲线的右焦点为 F (2, 0) ,过 F 与 x 轴垂直的直线为 x ? 2 ,渐近线方程为 x ?
2

y2 ? 0 ,将 3

x ? 2 代入 x 2 ?

y2 ? 0 得: y 2 ? 12, y ? ?2 3,? | AB |? 4 3 .选 D. 3 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 0 ,将直线 x ? 2 代入这个渐近线 的渐近线方程为 a 2 b2 a 2 b2

【考点定位】双曲线. 【名师点睛】双曲线

方程,便可得交点 A、B 的纵坐标,从而快速得出 | AB | 的值.

x2 y 2 5 3. 【2015 高考广东, 理 7】 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? , 且其右焦点 F2 ? 5, 0 ? , a b 4
则双曲线 C 的方程为( A. ) B.

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 16 9

C.

x2 y2 ? ?1 9 16

D.

x2 y2 ? ?1 3 4

【答案】 B . 【解析】因为所求双曲线的右焦点为 F2 ? 5, 0 ? 且离心率为 e ?

c 5 ? ,所以 c ? 5 , a ? 4 , a 4

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 9 所以所求双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,故选 B . 16 9

【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质. 【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解 能力,由离心率和其右焦点易得 a , c 值,再结合双曲线 b 2 ? c 2 ? a 2 可求,此题学生易忽略 右焦点信息而做错,属于容易题. 4.【2015 高考新课标 1,理 5】已知 M( x0 , y0 )是双曲线 C: C 上的两个焦点,若 MF1 ? MF2 ? 0 ,则 y0 的取值范围是( (A ) ((C ) (? 【答案】A

x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 是 2
)

???? ? ?????

3 3 , ) 3 3
2 2 2 2 , ) 3 3

(B) (-

3 3 , ) 6 6
2 3 2 3 , ) 3 3

(D) (?

【考点定位】双曲线的标准方程;向量数量积坐标表示;一元二次不等式解法. 【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将 MF1 ? MF2 表示为关于点 M 坐标的函数, 利用点 M 在双曲线上,消去 x0,根据题意化为关于 y0 的不等式,即可解出 y0 的范围,是基础 题,将 MF1 ? MF2 表示为 y0 的函数是解本题的关键. 5.【2015 高考湖北,理 8】将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增 加 m (m ? 0) 个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ,则( A.对任意的 a, b , e1 ? e2 C.对任意的 a, b , e1 ? e2 【答案】D 【解析】依题意, e1 ? )

???? ? ?????

???? ? ?????

B.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 D.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2

(a ? m) 2 ? (b ? m) 2 b?m 2 a2 ? b2 b ? 1? ( ) , ? 1 ? ( ) 2 ,e2 ? a?m a?m a a

因为

b b ? m ab ? bm ? ab ? am m(b ? a ) ? ? ? ,由于 m ? 0 , a ? 0 , b ? 0 , a a?m a ( a ? m) a ( a ? m)

b b?m b b?m b b?m 2 , ( )2 ? ( ? 1, 0 ? ? 1, ? ) ,所以 e1 ? e2 ; a a?m a a?m a a?m b b?m b b?m b b?m 2 当 a ? b 时, ? 1 , ,所以 ( ) 2 ? ( ? 1 ,而 ? ) ,所以 e1 ? e2 . a a?m a a?m a a?m
所以当 a ? b 时, 0 ? 所以当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 . 【考点定位】双曲线的性质,离心率. 【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.分类讨论的时应做到:分类不重不 漏;标准要统一,层次要分明;能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无原则地讨论. 6. 【 2015 高 考 四 川 , 理 10 】 设 直 线 l 与 抛 物 线 y ? 4 x 相 交 于 A , B 两 点 , 与 圆
2

? x ? 5?

2

? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? 相切于点 M,且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条,则


r 的取值范围是(

3? (A) ?1,
【答案】D 【解析】

4? (B) ?1,

3? (C) ? 2,

4? (D) ? 2,

显然当直线 l 的斜率不存在时,必有两条直线满足题设.当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k . 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), x1 ? x2 , M ( x0 , y0 ) ,则 ?

? y12 ? 4 x1 ? ,相减得 2 y ? 4 x ? 2 ? 2
y1 ? y2 y1 ? y2 ? ? 2 ,即 ky0 ? 2 .圆心为 2 x1 ? x2

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) .由于 x1 ? x2 ,所以
C (5, 0) ,由 CM ? AB 得 k ?

y0 ? 0 ? ?1, ky0 ? 5 ? x0 ,所以 2 ? 5 ? x0 , x0 ? 3 ,即点 M 必在 x0 ? 5
2

2 直线 x ? 3 上.将 x ? 3 代入 y ? 4 x 得 y ? 12,??2 3 ? y0 ? 2 3 .因为点 M 在圆

? x ? 5?
选 D.

2

? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? 上,所以 ( x0 ? 5) 2 ? y0 2 ? r 2 , r 2 ? y0 2 ? 4 ? 12 ? 4 ? 16 .又

故 y0 ? 0 , 所以不取等号) , 所以 4 ? y0 2 ? 4 ? 16,? 2 ? r ? 4 . y0 2 ? 4 ? 4(由于斜率不存在,

6 5 4 3 2 1

y

A

M F C
2 3 4 5 6 7 8 9

x

–4

–3

–2

–1 O –1 –2 –3 –4 –5 –6

1

B

【考点定位】直线与圆锥曲线,不等式. 【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知,只要圆的半径小于 5,那么必有两条 直线(即与 x 轴垂直的两条切线)满足题设,因此只需直线的斜率存在时,再有两条直线满足 题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时,圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆 锥曲线的交点及弦的中点的问题,常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得,中点必在 直线 x ? 3 上,由此可确定中点的纵坐标 y0 的范围,利用这个范围即可得到 r 的取值范围.

7.【2015 高考重庆,理 10】设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 1,过 F 作 AF 的垂 a 2 b2

线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于

a ? a 2 ? b 2 ,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A、 (?1, 0) ? (0,1) C、 (? 2, 0) ? (0, 2) 【答案】A





B、 (??, ?1) ? (1, ??) D、 (??, ? 2) ? ( 2, ??)

【考点定位】双曲线的性质. 【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于 a, b, c 的不等式,根据

已知条件和双曲线中 a, b, c 的关系, 要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于 a, b 的不等关 系,解不等式可得所求范围.解题中要注意椭圆与双曲线中 a, b, c 关系的不同.

8. 【2015 高考天津, 理 6】 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 , a 2 b2
)

?

?

且双曲线的一个焦点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为(

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 (A) ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 21 28 28 21 3 4 4 3
【答案】D 【解析】双曲线

x2 y 2 b ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线方程为 y ? ? x ,由点 2, 3 在渐近 2 a a b

?

?

线上,所以

b 3 ,双曲线的一个焦点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 准线方程 x ? ? 7 上,所以 ? a 2

x2 y 2 c ? 7 ,由此可解得 a ? 2, b ? 3 ,所以双曲线方程为 ? ? 1 ,故选 D. 4 3
【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质. 【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质,同时也学生的考查运算能. 把双曲线的几何性质与抛物线的几何性质相结合,找出双曲线中 a , b, c 的关系,求出双曲线方 程,体现圆锥曲线的统一性.是中档. 9.【2015 高考安徽,理 4】下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y ? ?2 x 的是( (A) x ?
2



y2 ?1 4

(B)

x2 ? y2 ? 1 4

(C)

y2 ? x2 ? 1 4

(D)

y2 ?

x2 ?1 4

【答案】C

y2 ? x2 ? 0 , 【解析】由题意,选项 A, B 的焦点在 x 轴,故排除 A, B , C 项的渐近线方程为 4
即 y ? ?2 x ,故选 C. 【考点定位】1.双曲线的渐近线.

【名师点睛】 双曲线确定焦点位置的技巧:x 2 前的系数是正, 则焦点就在 x 轴, 反之, 在 y 轴;

在双曲线

x2 y 2 x2 y 2 b a 的渐近线方程中 容易混淆,只要根据双曲线 ? ? 1 ? ? 1 的渐 , a 2 b2 a 2 b2 a b x2 y 2 ? ? 0 ,便可防止上述错误. a 2 b2
2

近线方程是

10.【2015 高考浙江,理 5】如图,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,不经过焦点的直线上有三 个不同的点 A , B , C ,其中点 A , B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则 ?BCF 与 ?ACF 的 面积之比是( )

A.

BF ? 1 AF ? 1

B.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

C.

BF ? 1 AF ? 1

D.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

【答案】A.

【考点定位】抛物线的标准方程及其性质 【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质,属于中档题,解题时,需结合平 面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质,结合抛物线的性质:抛物线上的点到准 线的距离等于其到焦点的距离求解,在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质, 是高考中小题的热点,在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习. 11.【2015 高考新课标 2,理 11】已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( A. 5 【答案】D B. 2 C. 3 D. 2 )

【解析】 设双曲线方程为

x2 y 2 如图所示,AB ? BM , ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , ?ABM ? 1200 , 2 a b

过点 M 作 MN ? x 轴,垂足为 N ,在 Rt ?BMN 中, BN ? a , MN ?

3a ,故点 M 的坐

标为 M (2a, 3a ) , 代入双曲线方程得 a 2 ? b 2 ? a 2 ? c 2 , 即 c 2 ? 2a 2 , 所以 e ? 【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质.

2 ,故选 D.

【名师点睛】 本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、 解直角三角形知识, 正确表示点 M 的坐标,利用“点在双曲线上”列方程是解题关键,属于中档题. 12.【2015 高考北京,理 10】已知双曲线 . 【答案】

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a ? a2

3 3

【解析】双曲线

1 x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的渐近线方程为 y ? ? 2 a a
1

x,
3 3

3x ? y ? 0 ? y ? ? 3x ,? a ? 0 ,则 ?

a

? ? 3,a ?

【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质,正确利用双曲线的标准方程,求出渐近线方程, 利用已给渐近线方程求参数. 【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质,重点考查双曲线的渐近线方程,本题属于基础题, 正确利用双曲线的标准方程,求出渐近线方程,求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中 的“1”改“0” ,利用已知渐近线方程,求出参数 a 的值.

【2015 高考上海,理 5】抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1 ,
2

则p? 【答案】 2



【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离,因此抛物线上动点到焦点的 最短距离为顶点到准线的距离,即 【考点定位】抛物线定义 【名师点睛】标准方程中的参数 p 的几何意义是指焦点到准线的距离;p>0 恰恰说明定义中 的焦点 F 不在准线 l 上这一隐含条件;参数 p 的几何意义在解题时常常用到,特别是具体的标 准方程中应找到相当于 p 的值, 才易于确定焦点坐标和准线方程. 涉及抛物线几何性质的问题 常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征, 体现了数形结合思想解题的直观性.
p ? 1, p ? 2. 2

x2 y 2 【2015 高考湖南,理 13】设 F 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的一个焦点,若 C 上存在点 P ,使 a b
线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为 【答案】 5 . .

【考点定位】双曲线的标准方程及其性质. 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质,属于容易题,根据对称性将条件 中的信息进行 等价的转化是解题的关键,在求解双曲线的方程时,主要利用 c 2 ? a 2 ? b 2 ,焦点坐标,渐近 线方程等性质, 也会与三角形的中位线,相似三角形,勾股定理等平面几何知识联系起来. 13.【2015 高考浙江,理 9】双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的焦距是 2

,渐近线方程是



【答案】 2 3 , y ? ?

2 x. 2

【解析】由题意得: a ? 渐近线方程为 y ? ?

2 , b ? 1 , c ? a 2 ? b 2 ? 2 ? 1 ? 3 ,∴焦距为 2c ? 2 3 ,

b 2 x?? x. a 2

【考点定位】双曲线的标准方程及其性质 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其焦距,渐近线等相关概念,属于容易题, 根据条件中 的双曲线的标准方程可以求得 a , b , c ,进而即可得到焦距与渐近线方程,在复习时,要弄 清各个圆锥 曲线方程中各参数的含义以及之间的关系,避免无谓失分. 14.【2015 高考新课标 1,理 14】一个圆经过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 错误!未找到引用源。的三个 16 4
.

顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 【答案】 ( x ? ) 2 ? y 2 ?

3 2

25 4
2 2 2

【解析】设圆心为( a ,0) ,则半径为 4 ? a ,则 (4 ? a ) ? a ? 2 ,解得 a ? 程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ?

3 ,故圆的方 2

3 2

25 . 4

【考点定位】椭圆的几何性质;圆的标准方程 【名师点睛】本题考查椭圆的性质及圆的标准方程,本题结合椭圆的图形可知圆过椭圆的上 下顶点与左顶点(或右顶点) ,有圆的性质知,圆心在 x 轴上,设出圆心,算出半径,根据垂 径定理列出关于圆心的方程,解出圆心坐标,即可写出圆的方程,细心观察圆与椭圆的特征 是解题的关键. 15.【2015 高考陕西,理 14】若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x ? y ? 1 的一个
2 2 2

焦点,则 p ? 【答案】 2 2



【解析】抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的准线方程是 x ? ?
2

F1 ? 2, 0 ,因为抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的一个焦点,所

?

?

p 2 2 ,双曲线 x ? y ? 1 的一个焦点 2

以?

p ? ? 2 ,解得 p ? 2 2 ,所以答案应填: 2 2 . 2

【考点定位】双曲线的几何性质和抛物线标准方程 【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的简单几何性质和双曲线的简单几何性质,属于容易 题.解题时要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上,否则很容易出现错误.解本题需要 掌握的知识点是抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标,即抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的准
2

线方程是 x ? ?

x2 y 2 p , 双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 ,b ? 0 ) 的左焦点 F1 ? ?c, 0 ? , 右焦点 F2 ? c, 0 ? , a b 2

其中 c 2 ? b 2 ? a 2 . 【2015 高考上海,理 9】已知点 ? 和 Q 的横坐标相同,? 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍,? 和

Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和 C2 .若 C1 的渐近线方程为 y ? ? 3 x ,则 C2 的渐近线方程
为 .

【答案】 y ? ?

3 x 2

【考点定位】双曲线渐近线 【名师点睛】(1)已知渐近线方程 y=mx,若焦点位置不明确要分 m ?

b a 或 m ? 讨论. (2) a b

与双曲线

b x2 y 2 x2 y 2 共渐近线的可设为 ? 2 ?1 ? 2 ? ? (? ? 0) ;(3)若渐近线方程为 y ? ? x , 2 2 a a b a b

则可设为

x2 y 2 ? ? ? (? ? 0) ;(4)相关点法求动点轨迹方程. a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的 a 2 b2

16.【2015 高考山东,理 15】平面直角坐标系 xoy 中,双曲线 C1 :
2

渐近线与抛物线 C2 : x ? 2 py ? p ? 0 ? 交于点 O, A, B , 若 ?OAB 的垂心为 C2 的焦点, 则 C1 的 离心率为 .

【答案】

3 2 b b x ,则 OB 所在的直线方程为 y ? ? x , a a

【解析】设 OA 所在的直线方程为 y ?

2 pb ? b x? ? ? y ? x ? 2 pb 2 pb 2 ? ? a ? , 2 ? , 解方程组 ? 得: ? ,所以点 A 的坐标为 ? a 2 a ? ? a ? y ? 2 pb ? x 2 ? 2 py ? 2 ? a ?
抛物线的焦点 F 的坐标为: ? 0,

? ?

p? ? .因为 F 是 ?ABC 的垂心,所以 kOB ? k AF ? ?1 , 2?

? 2 pb 2 p ? ? ? 2 b ? a2 2 ? ? ?1 ? b ? 5 . 所以, ? ? a ? 2 pb ? a2 4 ? ? a ? ?
所以, e ?
2

c2 b2 9 3 ? 1 ? ? ?e? . 2 2 a a 4 2

【考点定位】1、双曲线的标准方程与几何性质;2、抛物线的标准方程与几何性质. 【名师点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质,意在考查学生对圆锥曲线 基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力,三角形的垂心的概 念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键. 17.【2015 江苏高考,12】在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个
2 2

动点。若点 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为 【答案】
2 2

.

【解析】设 P( x, y ), ( x ? 1) ,因为直线 x ? y ? 1 ? 0 平行于渐近线 x ? y ? 0 ,所以点 P 到直线

x ? y ? 1 ? 0 的距离恒大于直线 x ? y ? 1 ? 0 与渐近线 x ? y ? 0 之间距离,因此 c 的最大值为直
线 x ? y ? 1 ? 0 与渐近线 x ? y ? 0 之间距离,为 【考点定位】双曲线渐近线,恒成立转化 【名师点晴】渐近线是双曲线独特的性质,在解决有关双曲线问题时,需结合渐近线从数形 结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有: (1)与双曲线
1 2 ? 2 . 2

x2 y 2 ? ? 1 共渐近线的可设为 a 2 b2

b x2 y 2 x2 y 2 y ? ? x ? ? ? ( ? ? 0) ? ? ? (? ? 0) ;(3) 双曲线 ; (2) 若渐近线方程为 ,则可设为 a a 2 b2 a 2 b2

的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b ;(4)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) 的一条渐近线的斜率为 a 2 b2

b c2 ? a2 ? ? e2 ? 1 .可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大 a a2

小.另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化,其实质是确定极端或极限位置. 18.【2015 高考新课标 2,理 20】 (本题满分 12 分) 已知椭圆 C : 9 x ? y ? m (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点
2 2 2

A , B ,线段 AB 的中点为 M .
(Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若 l 过点 (

m , m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P ,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若 3

能,求此时 l 的斜率,若不能,说明理由. 【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)能, 4 ? 7 或 4 ? 7 . 【解析】(Ⅰ)设直线 l : y ? kx ? b (k ? 0, b ? 0) , A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) . 将

y ? kx ? b





9 x 2 ? y 2 ? m2



(k 2 ? 9) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? m 2 ? 0





xM ?

x1 ? x2 kb , ?? 2 2 k ?9

2?

mk (k ? 3) .解得 k1 ? 4 ? 7 , k2 ? 4 ? 7 .因为 ki ? 0, ki ? 3 , i ? 1 , 2 ,所以当 l 的 3(k 2 ? 9)

斜率为

4 ? 7 或 4 ? 7 时,四边形 OAPB 为平行四边形.
【考点定位】1、弦的中点问题;2、直线和椭圆的位置关系. 【名师点睛】(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题,故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方 法求解:设端点 A, B 的坐标,代入椭圆方程并作差,出现弦 AB 的中点和直线 l 的斜率;设直 线 l 的方程同时和椭圆方程联立,利用韦达定理求弦 AB 的中点,并寻找两条直线斜率关系; (Ⅱ)根据(Ⅰ)中结论,设直线 OM 方程并与椭圆方程联立,求得 M 坐标,利用 xP ? 2 xM 以 及直线 l 过点 (

m , m) 列方程求 k 的值. 3

19.【2015 江苏高考,18】 (本小题满分 16 分)

x2 y 2 2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且 a b 2
右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于 点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

P

y

A O l x

C B

【答案】 (1) 【解析】

x2 ? y 2 ? 1 (2) y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 2

试题分析(1)求椭圆标准方程,只需列两个独立条件即可:一是离心率为

2 ,二是右焦点 2

F 到左准线 l 的距离为 3,解方程组即得(2)因为直线 AB 过 F,所以求直线 AB 的方程就是确 定其斜率, 本题关键就是根据 PC=2AB 列出关于斜率的等量关系, 这有一定运算量.首先利用直 线方程与椭圆方程联立方程组,解出 AB 两点坐标,利用两点间距离公式求出 AB 长,再根据 中点坐标公式求出 C 点坐标,利用两直线交点求出 P 点坐标,再根据两点间距离公式求出 PC 长,利用 PC=2AB 解出直线 AB 斜率,写出直线 AB 方程. 试题解析: (1)由题意,得 解得 a ?

a2 c 2 且 c ? ? 3, ? c a 2

2 , c ? 1 ,则 b ? 1 ,
x2 ? y 2 ? 1. 2

所以椭圆的标准方程为

(2)当 ?? ? x 轴时, ?? ?

2 ,又 C? ? 3 ,不合题意.

当 ?? 与 x 轴不垂直时,设直线 ?? 的方程为 y ? k ? x ? 1? , ? ? x1 , y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , 将 ?? 的方程代入椭圆方程,得 1 ? 2k

?

2

?x

2

? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1? ? 0 ,

则x

1,2

?

2k 2 ? 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2
2

? 2k 2 ?k ? , , C 的坐标为 ? 2 2 ? ,且 ? 1 ? 2k 1 ? 2k ?
2

?? ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?

?

?1 ? k ? ? x
2

2

? x1 ? ?
2

2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2



若 k ? 0 ,则线段 ?? 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意.

【考点定位】椭圆方程,直线与椭圆位置关系

【名师点晴】 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法: 根据条件确定关于 a, b, c 的方程组, 解出 a2,b2,从而写出椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路 是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相 关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. 20. 【2015 高考福建, 理 18】 已知椭圆 E:

x2 y 2 2 , 且离心率为 . + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) 2 a b 2

y A

G B

O

x

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 x = my - 1,(m ? R )交椭圆 E 于 A,B 两点, 判断点 G (- ,0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.

9 4

【答案】(Ⅰ)

x2 y 2 9 + = 1 ;(Ⅱ) G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 4 2 4

【解析】解法一:(Ⅰ)由已知得

ì b = 2, ? ì a =2 ? ? 2 ? c ? = , 解得 í b = 2 , í 2 ? a ? ? a 2 = b2 + c2 , ? ?c= 2 ? ?
所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + =1. 4 2

(Ⅱ)设点 A( x1 y1 ), B( x2 , y 2 ), AB 中点为 H( x0 , y 0 ) .

ì x = my - 1 ? 由 í x2 y 2 得(m 2 + 2) y 2 - 2my - 3 = 0, ? + =1 ? ? 4 2
2m 3 2 从而 y 0 = 2 . , y1 y 2 = 2 , 2 m +2 m +2 m +2 9 5 5 25 所以 GH|2 = ( x0 + ) 2 + y 0 2 = (my 0 + ) 2 + y 0 2 = (m 2 +1) y 0 2 + my 0 + . 4 4 2 16
所以 y1 + y 2 =

|AB|2 ( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y 2 ) 2 (m 2 +1)( y1 - y 2 ) 2 = = 4 4 4 = (m 2 +1)[( y1 + y 2 ) 2 - 4 y1 y 2 ] = (m 2 +1)(y 0 2 - y1 y 2 ) , 4

故 |GH| -

2

|AB|2 5 25 5m 2 3(m 2 +1) 25 17 m 2 + 2 = my 0 + (m 2 +1) y1 y 2 + = + = >0 4 2 16 2(m 2 + 2) m 2 + 2 16 16(m 2 + 2)
|AB| 9 ,故 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 2 4 ???? 9 4 ??? ? 9 4

所以 |GH|>

解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设点 A( x1 y1 ), B( x2 , y 2 ), ,则 GA = ( x1 + , y1 ), GB = ( x2 + , y2 ).

ì x = my - 1 ? 2m 3 由 í x2 y 2 得(m 2 + 2) y 2 - 2my - 3 = 0, 所以 y1 + y 2 = 2 , y1 y 2 = 2 , m +2 m +2 ? + =1 ? ? 4 2 ???? ??? ? 9 9 5 5 从而 GA ? GB = ( x1 + )( x2 + ) + y1 y2 = (my1 + )(my 2 + ) + y1 y2 4 4 4 4

5 25 5m 2 3(m 2 +1) 25 17 m 2 + 2 = (m 2 +1) y1 y 2 + m( y1 + y 2 ) + = + = >0 4 16 2(m 2 + 2) m 2 + 2 16 16(m 2 + 2)
所以 cos狁 GA, GB > 0, 又GA, GB 不共线,所以 ?AGB 为锐角. 故点 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 【考点定位】1、椭圆的标准方程;2、直线和椭圆的位置关系;3、点和圆的位置关系. 【名师点睛】本题通过判断点和圆的位置关系来考查中点问题,利用韦达定理确定圆心,然 后计算圆心到点 G 的距离并和半径比较得解;也可以构造向量,通过判断数量积的正负来确 定 点 和 圆 的 位 置 关 系 : GA ? GB ? 0 ? 点 G 在 圆 内 ; GA ? GB ? 0 ? 点 G 在 圆 外 ;

???? ??? ?

???? ??? ?

9 4

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? GA ? GB ? 0 ? 点 G 在圆上,本题综合性较高,较好地考查分析问题解决问题的能力.

21. 【2015 高考浙江, 理 19】 已知椭圆 对称. (1)求实数 m 的取值范围;

x2 1 ? y 2 ? 1 上两个不同的点 A ,B 关于直线 y ? mx ? 2 2

(2)求 ?AOB 面积的最大值( O 为坐标原点) .

【答案】 (1) m ? ?

6 6 2 或m ? ; (2) . 3 3 2

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?2 试题分析: (1)可设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b ,从而可知 ? 有两个不同 m ?y ? ? 1 x ?b ? m ?
的解,再由 AB 中点也在直线上,即可得到关于 m 的不等式,从而求解; (2)令 t ?

1 ,可 m

将 ?AOB 表示为 t 的函数,从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值,从而求解.

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?2 试题解析: (1)由题意知 m ? 0 ,可设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b ,由 ? , m 1 ?y ? ? x ?b ? m ?
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x2 1 1 2 2b 1 2 消去 y ,得 ( ? 2 ) x ? x ? b ? 1 ? 0 ,∵直线 y ? ? x ? b 与椭圆 ? y 2 ? 1 有两 2 2 m m m
个不同的交点,∴ ? ? ?2b 2 ? 2 ?

2mb m 2b 4 M ( , ) 代入直线 ,①,将 AB 中点 ? 0 m2 ? 2 m2 ? 2 m2

m2 ? 2 6 6 1 方程 y ? mx ? 解得 b ? ? ,②。由①②得 m ? ? 或m ? ; (2)令 2 2m 3 3 2
?2t 4 ? 2t 2 ? t2 ? 1 2 3 2 ,且 O 到直线 AB

1 6 6 t ? ? (? , 0) ? (0, ) ,则 | AB |? t 2 ? 1 ? m 2 2

1 2 ,设 ?AOB 的面积为 S (t ) , 的距离为 d ? 2 t ?1 t2 ?
∴ S (t ) ?

1 1 1 2 1 | AB | ?d ? ?2(t 2 ? ) 2 ? 2 ? ,当且仅当 t 2 ? 时,等号成立,故 ?AOB 2 2 2 2 2
2 . 2

面积的最大值为

【考点定位】1.直线与椭圆的位置关系;2.点到直线距离公式;3.求函数的最值. 【名师点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系等知识点,在直线与椭圆相交背景下求 三角形面积的 最值,浙江理科数学试卷在 2012 年与 2013 年均有考查,可以看出是热点问题,将直线方程 与椭圆方程联 立消去一个字母后利用韦达定理以及点到直线距离公式建立目标函数,将面积问题转化为求 函数最值问 题,是常规问题的常规考法,应熟练掌握,同时,需提高字母运算的技巧. 22.【2015 高考山东,理 20】平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的 a 2 b2

离心率为

3 ,左、右焦点分别是 F1 , F2 ,以 F1 错误!未找到引用源。为圆心以 3 为半径的圆 2

与以 F2 错误!未找到引用源。为圆心以 1 为半径的圆相交,且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 (Ⅱ)设椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 , P 错误!未找到引用源。为椭圆 C 错误!未找到引用源。 4a 4b
上任意一点,过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭圆 E 于 A, B 两点,射线 PO 错误!未找到引

用源。交椭圆 E 于点 Q .

( i )求

OQ OP

错误!未找到引用源。的值;

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值.

【答案】 (I)

x2 (II)( i )2; (ii) 6 3 . ? y2 ? 1; 4

试题解析: (I)由题意知 2a ? 4 ,则 a ? 2 ,又

c 3 2 2 ? , a ? c ? b 2 可得 b ? 1 , a 2

所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4 x2 y 2 ? ? 1, 16 4
2 x0 2 ? y0 ? 1, 4

(II)由(I)知椭圆 E 的方程为

(i)设 P ? x0 , y0 ? ,

OQ OP
2

? ? ,由题意知 Q ? ?? x0 , ?? y0 ? 因为
2 ? 2 ? x0



? ?? x0 ?
16

2

?

? ?? y0 ?
4

? 1 ,即

OQ 2? ?2 . ? ? y0 ? ? 1 ,所以 ? ? 2 ,即 4 ? 4 OP ?

(ii)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

将 y ? kx ? m 代入椭圆 E 的方程, 可得 1 ? 4k 2 x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 16 ? 0 由 ? ? 0 ,可得 m 2 ? 4 ? 16k 2 …………………………① 则有 x1 ? x2 ? ?

?

?

8km 4m 2 ? 16 , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 x1 ? x2 ?

4 16k 2 ? 4 ? m 2 1 ? 4k 2

因为直线 y ? kx ? m 与轴交点的坐标为 ? 0, m ? 所以 ?OAB 的面积 S ?

2 16k 2 ? 4 ? m 2 m 1 m ? x2 ? x2 ? 2 1 ? 4k 2

? 2 (16k 2 ? 4 ? m 2 ) ? m 2 m2 ? m2 ? ? 2 ?4? ? 2 ? 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ? 1 ? 4k


m2 ? t ,将 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程可得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 2 1 ? 4k

由 ? ? 0 ,可得 m 2 ? 1 ? 4k 2 …………………………………………② 由①②可知 0 ? t ? 1 因此 S ? 2

?4 ? t ?t ? 2

?t 2 ? 4t ,故 S ? 2 3

当且仅当 t ? 1 ,即 m 2 ? 1 ? 4k 2 时取得最大值 2 3 由(i)知, ?ABQ 面积为 3S ,所以 ?ABQ 面积的最大值为 6 3 . 【考点定位】1、椭圆的标准方程与几何性质;2、直线与椭圆位置关系综合问题;3、函数的 最值问题. 【名师点睛】本题考查了椭圆的概念标准方程与几何性质以及直线与椭圆的位置关系,意在 考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力, 在得到三角形的面积的表达式后,能否利用换元的方法,观察出其中的函数背景成了完全解 决问题的关键. 23,【2015 高考安徽,理 20】设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点, a 2 b2

0 ? ,点 B 的坐标为 ? 0, b ? ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA ,直线 点 A 的坐标为 ? a,
OM 的斜率为

5 . 10

(I)求 E 的离心率 e;

? b ? ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐 (II)设点 C 的坐标为 ? 0,
标为

7 ,求 2
E 的方程.

【答案】 (I)

x2 y 2 2 5 ; (II) ? ?1. 45 9 5

【考点定位】1.椭圆的离心率;2.椭圆的标准方程;3.点点关于直线对称的应用. 【名师点睛】椭圆一直是解答题中考查解析几何知识的重要载体,不管对其如何进行改编与 设计,抓住基础知识、考基本技能是不变的话题.解析几何主要研究两类问题:一是根据 已知条件确定曲线方程,二是利用曲线方程研究曲线的几何性质.曲线方程的确定可分为 两类:若已知曲线类型,则采用待定系数法;若曲线类型未知时,则可利用直接法、定

义法、相关点法等求解.本题是第一种类型,要利用给定条件求出 a, b .

24.【2015 高考天津,理 19】 (本小题满分 14 分)已知椭圆

x2 y 2 + =1(a > b > 0) 的左焦点为 a 2 b2

F ( ?c,0) ,离心率为

b4 3 2 2 ,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = 截得的 4 3
4 3 . 3

线段的长为 c, |FM|=

(I)求直线 FM 的斜率; (II)求椭圆的方程; (III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP ( O 为原点)的斜率的 取值范围. 【答案】(I)

? x2 y2 3 2 3? ? 2 2 3? ; (II) ? ? 1 ;(III) ? ??, ? , ??? ?. 3 2 3 3 3 3 ? ? ? ?

【解析】(I) 由已知有

c2 1 ? ,又由 a 2 ? b2 ? c 2 ,可得 a 2 ? 3c 2 , b2 ? 2c 2 , 2 a 3

设直线 FM 的斜率为 k ( k ? 0) ,则直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c ) ,由已知有

? kc ? ? c ? ? b ? 3 . ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ,解得 k ? 3 ? k ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?

2

2

2

x2 y2 (II)由(I)得椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c ) , 两个方程联立, 消去 y , 3c 2c
整理得

5 3x 2 ? 2cx ? 5c 2 ? 0 ,解得 x ? ? c 或 x ? c ,因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为 3

?2 3 ? ? 2 3 ? 4 3 ,解得 c ? 1 ,所以椭圆方程为 c ? 0? ? c ? ,由 FM ? ( c ? c ) 2 ? ? ? c, 3 3 ? ? 3 ? ?

2

x2 y2 ? ?1 3 2
(III)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,直线 FP 的斜率为 t ,得 t ?

y ,即 y ? t ( x ? 1) ( x ? ?1) ,与椭 x ?1

? y ? t ( x ? 1) ? 2 2 2 圆方程联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,整理得 2 x ? 3t ( x ? 1) ? 6 ,又由已知,得 ? ?1 ? 2 ?3

t?
?

6 ? 2 x2 ? 2 ,解得 3( x ? 1) 2

3 ? x ? ?1 或 ?1 ? x ? 0 , 2
设直线 OP 的斜率为 m ,得 m ?

y ,即 y ? mx ( x ? 0) ,与椭圆方程联立,整理可得 x

m2 ?

2 2 ? . x2 3

①当 x ? ? ?

? 3 ? , ?1? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? 2 ? ?

2 2 ? ,得 x2 3

? 2 2 3? m?? , ? 3 ? ? 3
②当 x ? ? ?1,0 ? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? ?

2 2 ? ,得 x2 3

? 2 3? m ? ? ??, ? ? 3 ? ?
综上,直线 OP 的斜率的取值范围是 ? ??, ?

? ?

2 3? ? 2 2 3? , ??? ? 3 ? ? 3 3 ?

【考点定位】1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线和圆的位置关系;3.一元二次不等式. 【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系. 由勾股定理求圆的弦长,体现数学数形结合的重要数学思想;用数字来刻画几何图形的特征, 是解析几何的精髓,联立方程组,求出椭圆中参数的关系,进一步得到椭圆方程;构造函数 求斜率取值范围,体现函数在解决实际问题中的重要作用,是拨高题. 25.【2015 高考重庆,理 21】如题(21)图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别 a 2 b2

为 F1 , F2 , 过 F2 的直线交椭圆于 P, Q 两点,且 PQ ? PF1

y P

F1

O

F2

x

Q

(1)若 PF1 ? 2 ? 2, PF2 ? 2 ? 2 ,求椭圆的标准方程 (2)若 PF1 ? PQ , 求椭圆的离心率 e.

【答案】 (1) 【解析】

x2 2 (2) 6 ? 3 +y =1 ; 4

试题解析: (1)本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离,因此由椭圆定义可得长轴长,即 参数 a 的值,而由 PQ ? PF1 ,应用勾股定理可得焦距,即 c 的值,因此方程易得; (2)要求 椭圆的离心率,就是要找到关于 a, b, c 的一个等式,题中涉及到焦点距离,因此我们仍然应用 椭圆定义,设 PF1 ? m ,则 PF2 ? 2a ? m , QF2 ? PQ ? PF2 ? m ? (2a ? m) ? 2m ? 2a , 于是有 QF1 ? 2a ? QF2 ? 4a ? 2m , 这样在 Rt ?PQF1 中求得 m ? 2(2 ? 2) a , 在 Rt ?PF1 F2 中可建立关于 a, c 的等式,从而求得离心率. (1)由椭圆的定义, 2a =| PF1 | + | PF2 |= 2 + 2 + 2 设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF1 ? PF2 ,因此

(

) (

2 = 4,故a =2.学优高考网

)

2c =| F1F2 |= | PF1 |2 + | PF2 |2 =
从而 b = a - c = 1 故所求椭圆的标准方程为
2 2

( 2 + 2 ) +( 2 - 2 )
2

2

= 2 3, 即 c= 3.

x2 2 +y =1 . 4

(2)解法一:如图(21)图,设点 P ( x0 , y 0 ) 在椭圆上,且 PF1 ? PF2 ,则

x0 2 y 0 2 + 2 =1, x0 2 + y0 2 = c 2 2 a b
求得 x0 = ?

c 2 b2 a ? 2b 2 , y 0 ? ? . a c

由 | P F1 | = | PQ |>| P F2 | ,得 x0 >0 ,从而
2 ?c ? ?b ? 2 2 | PF1 | = ? a ? 2b +c ? ? ? ? ? 2 ? a 2 ? b 2 ? ? 2a a 2 ? 2b 2 ? a ? a 2 ? 2b 2 ?a ? ? c ? 2 2 2

?

?.
2

由椭圆的定义, | PF1 | + | PF2 |= 2a,| QF1 | + | QF2 |= 2 a ,从而由 | PF1 | = | PQ | = | PF2 | + | QF2 | , 有 | QF1 |= 4a - 2 | PF1 | 又由 PF1 ? PF2 , | PF1 | = | PQ | 知 | QF1 |= 2 | PF1 | ,因此 2+ 2 | PF1 | =4a 于是 2 + 2 解得 e ?

(

)

(

)(a+

a 2 - 2b 2 = 4a.

)

2 1? ? 4 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? 6? 3. 2? 2 ? 2 ? ? ? ? ?

【考点定位】考查椭圆的标准方程,椭圆的几何性质.,直线和椭圆相交问题,考查运算求解 能力. 【名师点晴】确定圆锥曲线方程的最基本方法就是根据已知条件得到圆锥曲线系数的方程, 解方程组得到系数值.注意在椭圆中 c =a -b ,在双曲线中 c =a +b .圆锥曲线基本问题的 考查的另一个重点是定义的应用;求椭圆与双曲线的离心率的基本思想是建立关于 a,b,c 的方程,根据已知条件和椭圆、双曲线中 a,b,c 的关系,求出所求的椭圆、双曲线中 a,c
2 2 2 2 2 2

之间的比例关系,根据离心率定义求解.如果是求解离心率的范围,则需要建立关于 a,c 的 不等式.

x2 y2 2 26.【2015 高考四川,理 20】如图,椭圆 E: 2 + 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率是 ,过点 P a b 2
(0,1)的动直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,当直线 l 平行与 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的 线段长为 2 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)在平面直角坐标系 xOy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得 若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

QA PA 恒成立? ? QB PB

【答案】 (1)

x2 y 2 (2)存在,Q 点的坐标为 Q (0, 2) . ? ? 1; 4 2

【解析】 (1)由已知,点 ( 2,1) 在椭圆 E 上.

?2 1 ? a 2 ? b 2 ? 1, ? ? 2 2 2 因此, ? a ? b ? c , ? ?c ? 2 , ? 2 ?a
解得 a ? 2, b ?

2.

x2 y 2 ? ? 1 .学优高考网 所以椭圆的方程为 4 2
(2)当直线 l 与 x 轴平行时,设直线 l 与椭圆相交于 C、D 两点. 如果存在定点 Q 满足条件,则

| QC | | PC | ? ? 1 ,即 | QC |?| QD | . | QD | | PD |

所以 Q 点在 y 轴上,可设 Q 点的坐标为 (0, y0 ) . 当直线 l 与 x 轴垂直时,设直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点. 则 M (0, 2), N (0, ? 2) ,



|y ? 2| 2 ?1 | QM | | PM | ? ,有 0 ,解得 y0 ? 1 或 y0 ? 2 . ? | QN | | PN | | y0 ? 2 | 2 ?1

所以,若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件,则 Q 点的坐标只可能为 Q (0, 2) . 下面证明:对任意的直线 l ,均有

| QA | | PA | . ? | QB | | PB |

当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立. 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ?1 ? ? , 得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kx ? 2 ? 0 . 联立 ? 4 2 ? y ? kx ? 1 ?
其判别式 ? ? 16k ? 8(2k ? 1) ? 0 ,
2 2

所以, x1 ? x2 ? ? 因此

4k 2 , x1 x2 ? ? 2 . 2 2k ? 1 2k ? 1

1 1 x1 ? x2 ? ? ? 2k . x1 x2 x1 x2

易知,点 B 关于 y 轴对称的点的坐标为 B?(? x2 , y2 ) .

【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基 础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分 类与整合等数学思想.

【名师点睛】 高考中解几题一般都属于难题的范畴, 考生应立足于拿稳第 (1) 题的分和第 (2) 小题的步骤分.解决直线与圆锥曲线相交的问题,一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立, 再根据根与系数的关系解答.本题是一个探索性问题,对这类问题一般是根据特殊情况找出结 果,然后再证明其普遍性.解决本题的关键是通过作 B 的对称点将问题转化. 27.【2015 高考湖北,理 21】一种作图工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕

O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接, MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且
DN ? ON ? 1 , MN ? 3 .当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 ..N 绕 O 转动一周( D 不

动时, N 也不动) , M 处的笔尖画出的曲线记为 C .以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建 立如图 2 所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与 曲线 C 有且只有一个公共点,试探究: ?OQP 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最 小值;若不存在,说明理由.

y

N A D O B

N D M O x

M

第 21 题图 1 【答案】 (Ⅰ)

第 21 题图 2

x2 y 2 ? ?1; (Ⅱ)存在最小值 8. 16 4

【解析】 (Ⅰ)设点 D(t , 0) (| t |? 2) , N ( x0 , y0 ), M ( x, y ) ,依题意,
y P N D M O Q x

第 21 题解答图
???? ???? ???? ? ???? MD ? 2 DN ,且 | DN |?| ON |? 1 ,

学优高考网

2 ?( x ? t ) 2 ? y0 ? 1, ? 所以 (t ? x, ? y ) ? 2( x0 ? t , y0 ) ,且 ? 20 2 ? ? x0 ? y0 ? 1.

?t ? x ? 2 x0 ? 2t , 即? 且 t (t ? 2 x0 ) ? 0. ? y ? ?2 y0 .

由于当点 D 不动时,点 N 也不动,所以 t 不恒等于 0,

x2 y 2 x y 2 2 ?1, 于是 t ? 2 x0 ,故 x0 ? , y0 ? ? ,代入 x0 ? y0 ? 1 ,可得 ? 16 4 4 2
即所求的曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 4
1 ? 4? 4 ? 8 . 2

(Ⅱ) (1)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 为 x ? 4 或 x ? ?4 ,都有 S?OPQ ?
1 (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l : y ? kx ? m (k ? ? ) , 2

? y ? kx ? m, 由? 2 2 ? x ? 4 y ? 16,

消去 y ,可得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 16 ? 0 .

因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 ? ? 64k 2 m 2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m 2 ? 16) ? 0 ,即 m 2 ? 16k 2 ? 4 .
? y ? kx ? m, 2m m ?2m m 又由 ? 可得 P( , ) ;同理可得 Q( , ). 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k ? x ? 2 y ? 0,



由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d ?

|m| 1? k
2

和 | PQ |? 1 ? k 2 | xP ? xQ | ,可得

考点:椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系,最值. 【名师点睛】本题以滑槽,长短杆为背景,乍一看与我们往年考的很不一样,但是只要学生 仔细读题均能找到椭圆的 a , b , c .那么第一问就迎刃而解了,第二问仍然为圆锥曲线的综合 问题。 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和 数形结合思想的考查,一直是高考考查的重点,特别是焦点弦和中点弦等问题,涉及中点公 式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法,也是考查数学思想方法的热点 题型.解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况,计算要准确. 28.【2015 高考陕西,理 20】 (本小题满分 12 分)已知椭圆 ? : 半焦距为 c ,原点 ? 到经过两点 ? c, 0 ? ,

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的 a 2 b2

? 0, b ? 的直线的距离为

1 c. 2
2 2

(I)求椭圆 ? 的离心率; (II)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 求椭圆 ? 的 方程.

5 的一条直径,若椭圆 ? 经过 ? , ? 两点, 2

x2 y 2 3 【答案】 (I) ; (II) ? ? 1. 12 3 2
【解析】 试题分析: (I)先写过点 ? c, 0 ? , ? 0, b ? 的直线方程,再计算原点 ? 到该直线的距离,进而可 得椭圆 ? 的离心率; (II)先由(I)知椭圆 ? 的方程,设 ?? 的方程,联立 ?

? ? y ? k ? x ? 2? ? 1 , 2 2 2 x ? 4 y ? 4 b ? ?

消去 y ,可得 x1 ? x2 和 x1 x2 的值,进而可得 k ,再利用 ?? ? 10 可得 b 2 的值,进而可得椭 圆 ? 的方程.

试题解析: (I)过点 ? c, 0 ? , ? 0, b ? 的直线方程为 bx + cy - bc = 0 ,学优高考网 则原点 ? 到直线的距离 d ?

bc b ?c
2 2

?

bc , a

由d =

c 3 1 . c ,得 a = 2b = 2 a 2 - c 2 ,解得离心率 = a 2 2
2 2 2

(II)解法一:由(I)知,椭圆 ? 的方程为 x + 4 y = 4b . 依题意,圆心 ? ? ?2,1? 是线段 ?? 的中点,且 | AB |= 10 . 易知, ?? 不与 x 轴垂直,设其直线方程为 y = k ( x + 2) +1 ,代入(1)得

(1)

(1 + 4k 2 ) x 2 + 8k (2k +1) x + 4(2k +1) 2 - 4b 2 = 0
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 则 x1 + x2 = 由 x1 + x2 = - 4 ,得 从而 x1 x2 = 8 - 2b 2 . 于是 | AB |? 1 ? ?

8k (2k +1) 4(2k +1) 2 - 4b 2 , x x = . 1 2 1 + 4k 2 1 + 4k 2

8k (2k +1) 1 = - 4, 解得 k = . 2 1 + 4k 2

5 ?1? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .

由 | AB |= 10 ,得 10(b 2 - 2) = 10 ,解得 b 2 = 3 .

x2 y 2 故椭圆 ? 的方程为 + =1. 12 3
解法二:由(I)知,椭圆 ? 的方程为 x + 4 y = 4b .
2 2 2

(2)

考点:1、直线方程;2、点到直线的距离公式;3、椭圆的简单几何性质;4、椭圆的方程;5、 圆的方程;6、直线与圆的位置关系;7、直线与圆锥曲线的位置. 【名师点晴】本题主要考查的是直线方程、点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质、椭 圆的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置,属于难题.解题时一 定要注意考虑直线的斜率是否存在,否则很容易失分.解本题需要掌握的知识点是截距式方 程,点到直线的距离公式和椭圆的离心率,即截距式方程 ?

x y ? 1(在 x 轴上的截距 a ,在 y a b

轴上的截距 b ) ,点 ? 0 ? x0 , y0 ? 到直线 l : ?x ? ?y ? C ? 0 的距离 d ?

?x0 ? ?y0 ? C ?2 ? ?2

,椭圆

x2 y 2 c ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? . 2 a b a
29.【2015 高考新课标 1,理 20】在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y= 0)交与 M,N 两点, (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

x2 与直线 y ? kx ? a ( a > 4

【答案】 (Ⅰ) ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 (Ⅱ)存在 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求出 M,N 的坐标,再利用导数求出 M,N.(Ⅱ)先作出判定,再利用设而 不求思想即将 y ? kx ? a 代入曲线 C 的方程整理成关于 x 的一元二次方程,设出 M,N 的坐标 和 P 点坐标,利用设而不求思想,将直线 PM,PN 的斜率之和用 a 表示出来,利用直线 PM, PN 的斜率为 0,即可求出 a, b 关系,从而找出适合条件的 P 点坐标. 试题解析: (Ⅰ)由题设可得 M (2 a , a ) , N (?2 2, a) ,或 M (?2 2, a) , N (2 a , a ) . ∵ y? ? 高考网

x2 1 在 x = 2 2a 处的到数值为 a ,C 在 (2 2a, a) 处的切线方程为学优 x ,故 y ? 4 2

y ? a ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .

x2 故y? 在 x =- 2 2a 处的到数值为- a ,C 在 (?2 2a, a) 处的切线方程为 4
y ? a ? ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
故所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 . ……5 分 (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为复合题意得点, M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,直线 PM,PN 的斜率分别为 k1 , k2 . 将 y ? kx ? a 代入 C 得方程整理得 x 2 ? 4kx ? 4a ? 0 . ∴ x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a . ∴ k1 ? k2 ?

y1 ? b y2 ? b 2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) k (a ? b) = = . ? a x1 x2 x1 x2

当 b ? ? a 时,有 k1 ? k2 =0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以 P (0, ? a ) 符合题意. ……12 分

【考点定位】抛物线的切线;直线与抛物线位置关系;探索新问题;运算求解能力 【名师点睛】对直线与圆锥曲线的位置关系问题,常用设而不求思想,即设出直线方程代入圆 锥曲线方程化为关于 x 的一元二次方程,设出交点坐标,利用根与系数关系,将交点的横坐标 之和与积一元二次方程的系数表示出来, 然后根据题中的条件和所求结论, 选择合适的方法进 行计算,注意题中条件的合理转化,如本题中,将角∠OPM=∠OPN 相同转化为直线 PM 的倾 斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 进而转化为直线 PM 的斜率与直线 PN 的斜率之和为 0,再将其 坐标化,即可列出方程,解析几何题思路固定,字母运算复杂,需要细心和耐心. 30.【2015 高考北京,理 19】已知椭圆 C :

x2 y 2 2 1? 和 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 P ? 0 , a 2 b2 2

n ? ? m ≠ 0 ? 都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M . 点 A? m ,
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ; (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问: y 轴上是否 存在点 Q ,使得 ?OQM ? ?ONQ ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)

x2

,0),(2)存在点 Q(0, ? y 2 ? 1, M( ? 1?n 2

m

2)

考点:1.求椭圆方程;2.求直线方程及与坐标轴的交点;3.存在性问题. 【名师点睛】本题考查直线和椭圆的有关知识及解存在性命题的方法,本题属于中偏难问题, 思维量和运算量均有,利用待定系数法求出椭圆方程,利用直线方程的斜截式写出直线方程,

tan ?ONQ , 求出点 M、N 的坐标,利用直角三角形内锐角三角函数正切定义求出 tan ?OQM、

根据二者相等,解出 Q 点坐标,说明存在点符合条件的点 Q. 【2015 高考湖南,理 20】已知抛物线 C1 : x 2 ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆

C2 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点, C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 . a 2 b2

(1)求 C2 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A , B 两点,与 C2 相交于 C , D 两点,且 AC 与 BD 同向 (ⅰ)若 | AC |?| BD | ,求直线 l 的斜率 (ⅱ)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M ,证明:直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是 钝角三角形 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)根据已知条件可求得 C2 的焦点坐标为 (0,1) ,再利用公共弦长为 2 6 即可求 解; (2) (i) 设直线 l 的斜率为 k , 则 l 的方程为 y ? kx ? 1 , 由?

????

??? ?

y 2 x2 6 (2) (i) ? , (ii)详见解析. ? ? 1; 9 8 4

? y ? kx ? 1 得 x 2 ? 16kx ? 64 ? 0 , 2 x ? 4 y ?

根据条件可知 AC ? BD ,从而可以建立关于 k 的方程,即可求解; (ii)根据条件可说明

????

??? ?

? x2 ??? ? ???? x12 1 因此 ?AFM 是锐角, 从而 ?MFD ? 180? ? ?AFM 是 ? y1 ? 1 ? ?1 ? 0 , FA ? FM ? 2 4
钝角,即可得证 试题解析: (1)由 C1 : x ? 4 y 知其焦点 F 的坐标为 (0,1) ,∵ F 也是椭圆 C2 的一焦点,
2

∴ a 2 ? b 2 ? 1 ①,又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 , C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程 为 x ? 4y , 由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为 (? 6, ) , ∴
2
2 2
y

3 2
N D O M

9 6 ②, ? 2 ? 1 ②,联立①, 2 4a b

x2 y 2 B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , ? ? 1; 得a ?9, 故 C2 的方程为 (2) 如图 ,A( x1 , y1 ) , b ?8, 9 8
P x Q

D( x4 , y4 ) ,
( i ) ∵ AC 与 BD 同 向 , 且 | AC |?| BD | , ∴ AC ? BD , 从 而 x3 ? x1 ? x4 ? x2 , 即

????

??? ?

????

??? ?

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,于是 ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? x3 ? x4 ? ? 4 x3 x4 ③,设直线 l 的斜率为 k ,则
2 2

? y ? kx ? 1 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,由 ? 2 得 x 2 ? 16kx ? 64 ? 0 ,而 x1 , x2 是这个方程的两根, x ? 4 y ?



x1 ? x2 ? 4k



x1 x2 ? ?4







? y ? kx ? 1 ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 9 ?8



【考点定位】1.椭圆的标准方程及其性质;2.直线与椭圆位置关系. 【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系,属于较 难题,解决此

类问题的关键: (1)结合椭圆的几何性质,如焦点坐标,对称轴, a 2 ? b 2 ? c 2 等; (2)当看 到题目中出现 直线与圆锥曲线时,不需要特殊技巧,只要联立直线与圆锥曲线的方程,借助根与系数关系, 找准题设条 件中突显的或隐含的等量关系,把这种关系“翻译”出来,有时不一定要把结果及时求出来, 可能需要整 体代换到后面的计算中去,从而减少计算量. 【2015 高考上海, 理 21】 已知椭圆 x ? 2 y ? 1 , 过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于 ? 、
2 2

? 和 C 、 D ,记得到的平行四边形 ??CD 的面积为 S .
( 1 ) 设 ? ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? , 用 ? 、 C 的 坐 标 表 示 点 C 到 直 线 l1 的 距 离 , 并 证 明

S ? 2 x1 y1 ? x2 y1 ;
(2)设 l1 与 l2 的斜率之积为 ?

1 ,求面积 S 的值. 2

【答案】 (1)详见解析(2) S ?

2
y1 x2 ? x1 y2 x12 ? y12
.

【解析】证明: (1)直线 l1 : y1 x ? x1 y ? 0 ,点 C 到 l1 的距离 d ?

?? ? 2 ?? ? 2 x12 ? y12 ,
1 ?? ? d ? 2 x1 y2 ? x2 y1 . 2 1 解: (2)设 l1 : y ? kx ,则 l2 : y ? ? x .设 2k
所以 S ? 2 S ???C ? 2 ?

? ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? .
由?

? y ? kx ?x ? 2 y ? 1
2 2
2

,得 x12 ?

1 . 1 ? 2k 2

同理 x2 ?

1 ? 1 ? 1? 2? ? ? ? 2k ?
2

?

2k 2 . 2k 2 ? 1

? 2k 2 ? 1? 2k x1 ? x2 2k 2 ? 1 ? x2 ? kx1 ? ? x1 x2 ? 由 ?1? , S ? 2 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 , 2k k k 1 ? 2k 2 ? 2k 2 ? 1
整理得 S ?

2.

【考点定位】直线与椭圆位置关系 【名师点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦长问题利 用弦长公式解决,往往会更简单.三角形面积公式的选用也是解题关键.


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