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第二章多面体与旋转体 球的直观图画法和球的表面积


高中立体几何教案 第二章 多面体与旋转体 球的直观图画法和球的表面积教案

教学目标 1.掌握球的正等测画法; 2.熟记球的表面积公式; 3.激发学生研讨公式的兴趣和掌握推导方法,从而培养学生的空间想象能力,逻辑思 维能力和转化能力. 教学重点和难点 重点:球的表面积及表面积公式的推导. 难点:球表面积公式的推导. 教学设计过程 一、复习提问 师:圆的直观图用什么方法画出的. 生:(思考片刻,要求学生答出)一般不用斜二测,而用正等测画. 师:用正等测画圆的直观图规则是什么? 生:(要求思考 1 分钟后回答) 1. 在已知图形⊙O 中, 互相垂直的轴 Ox, Oy 画直观图时, 把它们画成对应的轴 O' x' , O'y',使∠x'Oy'=120°(或 60°). 2.已知图形上平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x'轴或 y'轴的 线段. 3.平行于 x 轴或 y 轴的线段、长度不变. 二、讲新课 1.球的直观图的画法: 师:我们学习了圆的直观图的画法,球和圆有何不同. 生:球是立体图形,圆是平面图形. 师:那么球的直观图是否和圆的直观图画法类似. 生:(学生思考后,举手回答)应有三个坐标轴. 师:你怎么考虑的. 生:因为圆是平面图形,两条相交直线确定平面,球是立体图体,只有三条互相垂直的

直线才能确定空间. 师:以上同学回答得很好,球是立体图形,它需要在三维空间中完成.讲解课本 p.84 例 2,画半径为 R 的球的直观图.画法:(略) 2.球的表面积. 师:圆的面积是多少? 生:(异口同声回答)S=π R2 师:圆的面积 S=π R2,是怎样得来的,你知道吗? 生:书上告诉的.(全班学生大笑) 师:对了,这个结论是书上直接给出的.因为我们所学的知识还无法来解决它的推导过 程,待今后继续深造来解决. 师:我们今天来学习球的面积公式.同学们要特别注意知识的形成过程. 师:(让学生目测实心半球)是半球面积大,还是底面的大圆面积大?(培养学生的观 察能力和估算能力) (全班学生积极发言,充分调动了回答问题的积极性,这个问题较易回答) 师: (同学们再目测一下) 看看上面的面积是大圆面积的几倍 (估算一下) , 是 6 倍吗? (部分学生回答不可能) 师:是 4 倍吗? (教室里肃静,仍有一部分学生回答说:可能性不大) 师:是 2 倍吗? 生:差不多! 师:上面的面积正好是下面底面大圆的 2 倍.为什么是 2 倍呢?正是我们今天解决的问 题. 师:圆柱、圆锥、圆台的表面积公式,都是利用它的展开图求出的,由于球面不能展开 成平面图形,所以球的表面积公式无法用展开图求出,为了求得球的表面积公式,我们 先来证明一个预备定理: 定理 球面内接圆台(圆台上、下底面是球的两个截面)的高为 h,球心到母线的距离为

p,那么圆台的侧面积为 2π ph.

(在投影片上画出课本图 2-48,并且画得大些) 师:将半球面上的半大圆 ANB 分成 2n 等分,用过各分点平行于半球大圆面的平面将半 球分为多少部分,是 2n 部分吗? 生:(个别学生答,是 2n 部分,即注意力不集中的学生)不是. 师:那么是几部分呢? 生:是 n 部分. 师:这 n 部分是什么图形呢? 生:(一少部分回答说 n 个圆台)n-1 个圆台,一个圆锥. 师:我们作这些圆台的高,分别为 h1,h2,h3,?,hn.球心到它们母线的距离是否相 等. 生:(部分学生认为不相等,教师准备作好引导的作用)相等的. 师:设这个距离为 p,由预备定理可得这些圆台圆锥的侧面积的和是多少? 生:(全班学生思考,教师提示)

S=2π ph1+2π ph2+?+2π phn =2π p(h1+h2+?+hn) 师:同学们认真分析,h1+h2+h3+?+hn 和应是多少. 生:ON,即球的半径 R. 师:所以 S=2π p·R. 师:如果分点无限增加,侧面积怎样变化. 生:(这时教师需提示)侧面积无限地接近半球面.(教师对无限地应解释,学生第一 次接触这个名词) 师:分点无限增加,p 与 R 有什么关系. 生:p 无限地接近 R. 师:此时侧面积的和 S 变为 2π R2,我们把这个和作为半球面的面积,即 S 球面=4π R2. 例 已知:圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.

师:圆柱的侧面积是什么? 生:底面周长乘以高,即 S=c·h. 师:在本题中底面周长是什么? 生:c=2π R. 师:高是什么. 生:h=2R. 师:所以圆柱侧面积为 S=4π R2. (这样问题(1)得证,证明过程要求学生下去练习完成)

师:圆柱的全面积是侧面积加两个底面积.那全面积是多少呢?

作业: p.92.6,7. 家庭作业: 1.阅读课文.(巩固知识的形成过程加深理解记忆) 2.对于课文把半球的半大圆 ANB 分成 2n 等分.如果对球半径 n 等分行不行. 课堂教学设计说明 1.本节课完成了两个内容,一是球的直观图画法,二是球表面积公式及其推导.教案 整体构思是要突出教师为主导,学生为主体,学生参与整个教学过程,克服学生上课走 神的现象.常此以往,能调动学生学习积极性和主动性. 2.重视知识的形成过程,培养学生逻辑推理能力和大胆猜想能力,因为发现问题要比 解决问题更重要. 数学这门学科不能仅仅作为工具去教学. 不能把知识的结论抛给学生, 使学生记住结论会演算两道题就行了.而是要培养学生在提高思考能力上下功夫.教学 上要力戒“奉送真理,灌注真理”的做法。


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