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1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象


1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

引入新课:
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的 关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都是常数). 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y
6 6 4 2

4 2


o
-2 -4

2

4

6

8

x
-2 -4

o

0.01

0.02

0.03

0.04

x

-6 -6

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何 关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似, 从解析式来看,函数y ? sin x就是函数y ? A sin(?x ? ? )在 A ? 1, ? ? 1,? ? 0时的情况.

你认为怎样讨论参数? , ? , A对y ? A sin(?x ? ? )的 图象的影响?

明目标、知重点
1.理解y=Asin(ωx+φ)中ω、φ、A对图象的影响. 2. 掌握 y = sin x 与 y= Asin(ωx+ φ) 图象间的变换关系, 并能正确地指出其变换步骤.

(一)探索?对y ? sin( x ? ? ), x ? R的图象的影响 .
例1 画出下列函数的简图 ? 1) y ? sin(x ? ), x ? R 3 2) y ? sin(x ?
?

?
4

), x ? R

y=sin (x+?),x∈R( ? ? ? 3??≠0) ? x? ? 2? 0 2 ? 2 2 3 的图象,可以看作把正弦曲线上 4 ? 5 9? 5 ? )或向右 7? 5 ??> 20 ?? 3 所有的点向左( x ? 6 3 4 4 6 4 3 43 4 (? <0)平行移动| |个单位 ? ? sin( x ? ? ) 0 1 0 ?1 0 0 0 长度而得到 。 3 4

y ? sin( x ? ) 的图象可由y=sinx的 y 3
1
? ?? 2 3

图象向左平移 ?个单位
3

?

o
-1

? 4

?

2? 9?
4

x
?
4个单位

y ? sin( x ?

?
4

) 的图象可由y=sinx的图象向右平移

(二)探索?对y ? sin ?x的图象的影响 .

例2 画出下列函数的简图:
(1) y ? sin 2 x, x ? R; 1 (2) y ? sin x, x ? R; 2
y


1 x 2 x 2

0 0

x



横坐标缩 短1 2 倍
2?
● ●

1 x 0 sin 2 x 2

? 4
1

? 2 ?

3? ? 2 2? ? 3? ? ? 2 ? 3? 4 2 4

0

?1

0

横坐标伸长到原来的 2 倍
4?


0

● ●

● ? 2

?


x

1 ?

函数 y=sinωx, x∈R(ω>0且ω≠1)的图象,可以看作 把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长 1 (0<ω<1)到原来的 ? 倍(纵坐标不变)而得到。



(三)探索A对y ? A sin x的图象的影响 . ? 3? A 2? 例3 画出下列函数的简图。 x不改变函数 0 2 ? y=sinx 2 sin x 0 1 0 ? 1 0 单调性,周期性,奇 ① y=2sinx, x∈R; ?2 0 2 2偶性 sin x 0 1 0 (图象的对称性)只 ② y= 2 sinx,x∈R; 1 1 1 ? 0 sin x 0 0 2 改变函数的值域范围 2 2 y 函数y=Asinx,x∈R(A>0且A 纵坐标伸 2 ≠1)的图象,可以看作把正弦曲 长 2倍 1


1

2



?1



2 ?1

0

?2

纵坐标缩 1 短2倍

? 2

?



3? 2

线上所有点的纵坐标伸长(A>1)





x 2?

或缩短(0<A<1)到原来的A倍
(横坐标不变)而得到.其中



y ? ?? A, A?

ymax ? A

ymin ? ? A

函数y=Asin(ωx+φ)的图象
例4 画出函数的简图
? y ? 3 sin( 2 x ? ), x ? R 3
向左平 ? 移
3

? 2x ? 3

0
?

x
? 3 sin(2 x ? ) 3
3

?
6

? 2 ?
12

?
? 3

3? 2 7?
12

2?
5? 6

y ? sin x
y ? sin( x ?

0

3

0
?
3 )

?3

0

y

y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

)

横坐标压 1 缩 倍
2

y ? sin x
y ? sin( x ?
?
3

?
3

)

y ? sin( 2 x ?

?
3

)

?

?

?
6

0

? ? 12 3

7? 12

5? 6

?
?
3 )

2?

x

纵坐标伸 长3 倍

y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

y ? sin( 2 x ?
)

?3

函数y=Asin(ωx+φ)的图象
) 函数 y ? A sin(?x ? ?的 x 图象可由 y ? sin得到
y ? sin x ? ?0 ? ??
y

A

y ? A sin(?x ? ? )
A ?1

y ? sin(x ? ? )
0<ω<1横坐标伸长 倍 ? 1 ω>1横坐标压缩 倍
?
1

y ? sin x
?? 0
2?

? ?0

x

y ? sin(?x ? ? )
0<A<1纵坐标压缩 A倍 A>1 纵坐标伸长A 倍

y ? sin(x ? ? )

?A

y ? A sin(?x ? ? )

? ?1 y ? sin(?x ? ? )

小试牛刀:

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ?
(1)为了得到函数 y ? 3 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? ( A)向右平行移动 ( B )向左平行移动

?

? ?
5

个单位长度. 个单位长度.

5 2? (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度. 5

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ? (2)为了得到函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ?
( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

?

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ? (3)为了得到函数 y ? 4 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? 4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

?

点击高考
(2014四川理数) 将函数 y ? sin x 的图像上
? 所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得 10

各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),

所得图像的函数解析式是
10 1 ? C. y ? sin( x ? ) 2 10
A. y ? sin(2 x ?

?

)

B. y ? sin(2 x ?

?
5

)

1 ? D. y ? sin( x ? ) 2 20

2.把y ? sin( 2 x ? )的图象向右平移 个单位, 3 6 D 这时图象所表示的函数 为? ? A. y ? sin( 2 x ? ) 2 B. y ? sin( 2 x ? ) 6 3 C. y ? sin( 2 x ? ) 2 D. y ? sin 2 x

?

?

? ?

x ? x 3.要得到函数 y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 的图象? C ? A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移

?
6

?
6

?
3

?
3

小结1:
步骤1

1

y o
?
?
2

-1

3? 2

2?

x

(沿x轴平行移动)

y
步骤2
1

o
-1

3? 2

2?

?
2

?

x (横坐标伸长或缩短)

1

y o
?
2

步骤3
-1

?

3? 2

2?

x

(纵坐标伸长或缩短)
1

y o

?
2

步骤4
-1

?

3? 2

2?

x

小结2: 作正弦型函数y=Asin(?x+?) 的图 象的方法: (1)利用变换关系作图; (2)用“五点法”作图。

作业:
用两种方法画出函数 y ? 2 sin(2 x ? )在长度 4 为一个周期的闭区间上 的简图.

?


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