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高二数学推理与证明习题精选


高二数学推理与证明单元测试卷
一、 选择题: 1、 下列表述正确的是( ). ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一 般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③; B.②③④; C.②④⑤; D.①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 ( ).

A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ”

a?b a b (c≠0) ” ? ? c c c n n D.“ (ab) ? a nbn ” 类推出“ (a ? b) ? a n ? bn ”
C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“ 3、 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b? ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误
?

的,这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误 ) 。

4、用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时, 反设正确的是 ( (A)假设三内角都不大于 60 度; (B) 假设三内角都大于 60 度; (C) 假设三内角至多有一个大于 60 度; (D) 假设三内角至多有两个大于 60 度。

5、在十进制中 2004 ? 4 ?100 ? 0 ?101 ? 0 ?102 ? 2 ?103 ,那么在 5 进制中数码 2004 折合 成十进制为 ( ) A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1+a+a +?+a 成立时,左边应该是 ( (A)1 (B)1+a ) (C)1+a+a2 (D)1+a+a2+a3
2 n+1

1 ? a n?2 = , (a≠1,n∈N)”时,在验证 n=1 1? a

7、某个命题与正整数 n 有关,如果当 n ? k (k ? N ? ) 时命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时命题也成立. 现已知当 n ? 7 时该命题不成立,那么可推得 A.当 n=6 时该命题不成立 C.当 n=8 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 D.当 n=8 时该命题成立 ( )

8、用数学归纳法证明“ (n ? 1)( n ? 2) ?(n ? n) ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? (2n ? 1) ” ( n ? N ? )时,
n

1/6

从 “ n ? k到n ? k ? 1 ”时,左边应增添的式子是 A. 2k ? 1 B. 2(2k ? 1) C.

( D.



2k ? 1 k ?1

2k ? 2 k ?1

9、已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明

1?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2( ? ? ? ? ) 时,若已假设 n ? k (k ? 2 为偶 2 3 4 n ?1 n?2 n?4 2n
( ) B. n ? k ? 2 时等式成立 D. n ? 2(k ? 2) 时等式成立

数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 A. n ? k ? 1 时等式成立 C. n ? 2k ? 2 时等式成立

10、数列 ?a n ?中,a1=1,Sn 表示前 n 项和,且 Sn,Sn+1,2S1 成等差数列,通过计算 S1,S2, S3,猜想当 n≥1 时,Sn= ( )

2n ? 1 A. n ?1 2

2n ? 1 B. n ?1 2

C.

n(n ? 1) 2n

D.1-

1 2 n ?1

11、根据下列图案中圆圈的排列规律,第 2008 个图案的组成情形是( ).

A.其中包括了 l003×2008 +1 个◎ C.其中包括了 l004×2008 个◎

B.其中包括了 l003×2008 +1 个● D.其中包括了 l003×2008 个● ”如下:当 a≥b 时, ;

12、在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“ 当 a<b 时, A.―1 .则函数 B.1 C.6 D.12

的最大值等于( )

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2/6

填空题: 13、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若 将此若干个圈依此规律继续下去 , 得到一系列的圈 , 那么在前 120 个圈中的●的个数 是 。 14、 类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形 ABC 中的两边 AB、AC 互相垂直,则三角形 三边长之间满足关系: AB 2 ? AC 2 ? BC 2 。若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两 两互相垂直,则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .

15 、从 1=1 , 1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4), ? , 推广 到第 n 个 等式 为 _________________________. 16、设平面内有n条直线 (n ? 3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同 一点.若用 f (n) 表示这n条直线交点的个数,则 f (4) = 当n>4时, 三、解答题: 17、 (8 分)求证: (1) 6 + 7 >2 2 + 5 (2) a 2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) ;

f (n) =

(用含 n 的数学表达式表示) 。

18、用数学归纳法证明: n ? 5n 能被 6 整除;
3

19、若 a,b,c 均为实数,且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用 源。, 求证:a,b,c 中至少有一个大于 0。

20、用数学归纳法证明: 1 ?

1 1 1 1 ? ? ??? n ? n; 2 3 4 2 ?1
3/6

21、观察(1) tan10 tan 20 ? tan 20 tan 60 ? tan 60 tan10 ? 1;
0 0 0 0 0 0

(2) tan 5 tan10 ? tan10 tan 75 ? tan 75 tan 5 ? 1
0 0 0 0 0 0

由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论 并加以证明。
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22 、已知正项数列 ?a n ? 和 { bn } 中, a 1 = a ( 0 < a < 1 ) , b1 ? 1 ? a

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当 n ≥ 2 时,

an ? an ?1bn,bn ?

bn ?1 2 1 ? an ?1
*

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(1)证明:对任意 n ? N , 有 a n ? bn ? 1 ; (2)求数列 ?a n ?的通项公式; (3)记 cn ? a n bn ?1,S n 为数列 ?cn ?的前 n 项和,求 S n
2

高二数学选修 2-2《推理与证明测试题》答案
4/6

一、

选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.

DCABB CABBB AC 二、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.

13、14 14、错误!未找到引用源。 15、 16、 5 三、解答题:本大题共 6 题,共 58 分。 17、证明: (1) ∵ a2 ? b2 ? 2ab ,

a 2 ? 3 ? 2 3a , b2 ? 3 ? 2 3b ; 将此三式相加得 2 (a 2 ? b2 ? 3) ? 2ab ? 2 3a ? 2 3b ,
∴ a 2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) . (2)要证原不等式成立,
2 2 只需证( 6 + 7 ) >(2 2 + 5 ) ,

即证 2 42 ? 2 40 。 ∵上式显然成立, ∴原不等式成立. 18、可以用综合法与分析法---略 19、可以用反证法---略 20、(1)可以用数学归纳法---略 (2)当 n ? k ? 1 时,左边 ? (1 ?

1 1 1 1 ??? k ) ? ( k ? ? ? k ?1 ) ? k ? 2 2 ?1 2 2 ?1 1 1 1 1 ( k ? k ? ? ? k ) ? k ? 2 k ? k ? k ? 1 =右边,命题正确 2 2 2 2
2k 项

21、可以用数学归纳法---略 22、解: (1)证明:用数学归纳法证明

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① 当 n=1 时,a1+b1=a+(1-a)=1,命题成立:②假设 n=k(k≥1 且 k ? N * )时命题成立,
5/6

即 ak+bk=1, 则当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? bk ?1 ? a k bk ?1 = ∴当 n ? k ? 1 时,命题也成立
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a k bk
2 1 ? ak

?

bk
2 1 ? ak

?

bk ?1 ? a k ?
2 1 ? ak

?

bk b ? k ?1 1 ? a k bk
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综合①、②知, an ? bn ? 1 对 n ? N * 恒成立
a n bn
2 1 ? an

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( 2 ) 解 ; ∵ a n ?1 ? a n bn ?1 ?
1 a n ?1 ? 1 ?1 ③ an

?

a n ?1 ? a n ?
2 1 ? an

?

1 ? an an 1 1 ? ? ?1 , 即 ,∴ a n ?1 an an 1 ? an

∴数列 ?

?1 ? ? 是公差为 1 的等差数列,其首项是 ? an ?
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1 1 1 1 a ∴ ? , ? ? ?n ? 1? ? 1 ,从而 a n ? a1 a an a 1 ? ?n ? 1?a
2 (3)解:∵ cn ? a n bn ?1 ? a n ?a n bn ?1 ? ? a n a n ?1 ,

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③式变形为 an an?1 ? an ? an?1 ,

∴ cn an ? an?1 , ∴ S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? ?a1 ? a2 ? ? ?a2 ? a3 ? ? ? ? ?an ? an?1 ? ? a1 ? an?1 ? a ? ∴ lim S n ? lim ? a ?
n?? n???

a 1 ? na

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?

a ? ??a 1 ? na ?

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